KIẾN THỨC VỀ CHUỖI SỐ THỰC

Cho chuỗi hình thức i =  i = 1 ai ai được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuổi (A) Dãy các tổng riêng của chuổi (A) được định nghĩa là: sn = i = n i = 1ak. n  . sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (A) Nói rằng chuỗi (A) hội tụ và có tổng bằng s, nếu: lim n   sn = s. Trong trường hợp này, phần đồng dư của chuỗi (A) được định nghĩa là rn = s  sn = i =  i = n+1 ak, n . Nói rằng chuỗi (A) phân kỳ nếu giới hạn nói trên không tồn tại.  Điều kiện cần để chuỗi (A) hội tụ là lim n   an = 0.

KIẾN THỨC VỀ CHUỖI SỐ THỰC

: Cho chuỗi hình thức

ai

a i được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuổi (A)

Dãy các tổng riêng của chuổi (A) được định nghĩa là:

sn = ak. n  

s n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (A)

Nói rằng chuỗi (A) hội tụ và có tổng bằng s, nếu:

sn = s.

Trong trường hợp này, phần đồng dư của chuỗi (A) được định nghĩa là

r n = s − s n = a k, n 

Nói rằng chuỗi (A) phân kỳ nếu giới hạn nói trên không tồn tại.

 Điều kiện cần để chuỗi (A) hội tụ là

an = 0.

 Điều kiện cần và đủ để chuỗi (A) hội tụ là với ε > 0 cho trước, tồn tại nε   sao cho:

< ε, ∀ n > nε , ∀ p  .

 (A) được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0 với mọi n.

 Tiêu chuẩn so sánh: Cho hai chuỗi dương (A) và (B)

với (B) = bi

khi đó:

Nếu chuỗi (B) hội tụ thì (A) cũng hội tụ

Nếu (A) phân kỳ thì (B) cũng phân kỳ

Đặc biệt: nếu = k  0

thì hai chuỗi (A) , (B) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

 Tiêu chuẩn tỷ số (Dalembert) Cho chuỗi dương (A)

thì chuỗi (A) hội tụ

thì chuỗi (A) phân kỳ

Đặc biệt, Giả sử tồn tại giới hạn

a =

Khi đó, nếu a < 1 thì chuỗi (A) hội tụ, nếu a > 1 thì chuỗi (A) phân kỳ

 Tiêu chuẩn căn (Cauchy) Cho chuỗi dương (A) Giả sử tồn tại

khi đó, nếu c < 1 thì chuỗi (A) hội tụ, Nếu c > 1 thì chuỗi (A) phân kỳ

 Tiêu chuẩn RAABE Cho chuỗi dương (A)

thì chuỗi (A) hội tụ

• Nếu

n < 1 thì chuỗi (A) phân kỳ

• Đặc biệt, Giả sử tồn tại giới hạn

r = n Khi đó, Nếu r > 1 thì chuỗi (A) hội tụ, Nếu r < 1 thì chuỗi (A)

phân kỳ

 Nói rằng (A) hội tụ tuyệt đối, Nếu chuỗi (gồm các trị số tuyệt

đối)

hội tụ

chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ Điều ngược lại, nói chung, không đúng

 Nói rằng chuỗi (A) hội tụ có điều kiện hay bán hội tụ, nếu

chuỗi nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối

 Chuỗi đan dấu Là chuỗi có dạng:

b1 − b 2 + b 3− +(−1) + , bn ≥ 0.

 Tiêu chuẩn Leibniz : nói rằng, Nếu dãy số {bn} đơn điệu giảm

và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ

 Phép biến đổi ABEL Cho hai chuỗi bất kỳ (A) và (B) Đặt

An = ai , Bn = bi , Cn = ai b i.

Khi đó ta có:

Cn = anBn − (ak+1−ak).Bk

 Tiêu Chuẩn ABEL Cho hai chuỗi bất kỳ (A) và (B) Xét chuỗi

(C) như sau: ai b i

Nếu chuỗi (B) hội tụ và dãy {an} đơn điệu và bị chặn thì chuỗi (C) hội tụ

 Tiêu chuẩn DIRICHLET Nếu dãy {An} bị chặn, dãy {bn} đơn điệu

và có giới hạn bằng 0 thì chuỗi (C) hội tụ