Chương 5. Đại cương về chuỗi số

Chương CHUỖI 5.1 Đại cương chuỗi số 5.1.1 Định nghĩa Cho dã y so u1, u2, …, un, …Khi đó bieu thức u1 + u2 + … + un + … được gọ i là chuo ∑ là i so, kı́ hiệ u Cá c so u1, u2, u3, tương ứng được gọ i là so hạ ng thứ nhat, thứ hai, thứ ba, … củ a dã y và un được gọ i là so hạ ntổng g quát thứ n Tong = ∑ = + +⋯+ được gọ i là tong riê ng thứ n củ a chuo i so Như vậ y ta có dã y tong riê ng S1, S2, , Sn, Neu Sn → S khi n → , ta nó i ra ng chuo ∑i so chuo hộ i tụ và có tong là S, ngược lạ i ta nó i i phâ n kỳ Hiệ u Rn = S – Sn được gọ i là pha n dư (Remainder) thứ n củ a chuo i so Neu chuo Ví dụ i so hộ i tụ thı̀ R n → 0 khi n → ∞ ∑ =1+ + Xé t chuo i so + ⋯+ +⋯ Với q  1, đó là tong củ a cap so nhâ n vô hạ n với cô ng bộ i q Ta có 1− = + + + ⋯+ = 1− | | → 0 hay Neu | | < 1 thı̀ → khi n → , do đó chuo i so hộ i tụ và có tong = n|  +  hay S   khi n  , vậ y chuo i so phâ n kı̀ Neu |q| > 1 thı̀ |q n Với q = 1, Sn = n   khi n  , chuo i so phâ n kı̀ Với q = –1, chuo i so có dạ ng 1 – 1 + 1 – 1 + … Vı̀ S n = 0 khi n cha n, S n = 1 khi n lẻ , nê nn S khô ng da n đen mộ t giới hạ n hữu hạ n khi n  , chuo i so phâ n kı̀ ∑ Tó m lạ i, chuo i so hộ i tụ khi |q| < 1, phâ n kı̀ khi |q|  1 Vı́ dụ , cá c chuo i sau đâ y là hộ i tụ : Cá c chuo , (−1) , , √2 − , √3 − i sau phâ n kỳ: √2 , √3 5.1.2 Điều kiện có chuỗi số hội tụ Nếu chuỗi số ∑∞n=1 u hội tụ thì số hạng tổng quát un  0 khi n   Định lý Từ đâ y suy ra ra ng neu u n tới 0 khi n   thı̀ chuo ∑i so n khô ng da Vı́ dụ , cá c chuo ∑ i sau phâ n kỳ: ,∑ ,∑ sin , ∑ cos phâ n kı̀ 5.1.3 Vài tính chất đơn giản chuỗi số hội tụ hộ i tụ và có tong u thı̀ chuo∑ i so , trong đó  là mộ t ha ∑ i so 1) Neu chuo so, cũ ng hộ i tụ và có tong là u Nó i khá c đi, ∑ = ∑ 2) Nếu ∑ và ∑ hội tụ và tương ứng có tổng là u và v thì chuỗi số ∑ ( + ng ) cũng hội tụ và có tổng là u + v 3) Tı́nh hộ i tụ hay phâ n kı̀ củ a mộ t chuo i so khô ng thay đoi khi ta thê m hoặ c bớt đi mộ t so hữu hạ n so hạ ng đa u tiê n 5.2 Chuỗi số dương Chuỗi số ∑ được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 n = 1, 2, Vì Sn+1 – Sn = un+1 > 0 nên {Sn} là một dãy số đơn điệu tăng Do đó nếu dãy số {Sn} bị chặn trên thì tồn tại limSn , tức là chuỗi số hội tụ Nếu dãy số {Sn} n  không bị chặn trên tức Sn  khi n, vậy chuỗi số phân kì 5.2.1 Các định lí so sánh ∑∞=1 Định lý Cho hai chuo i so dương  neu ∑∞=1 hộ i tụ  ∑∞=1  neu ∑∞=1 ∑∞=1 thoả mã nn u và  vn, n  no  N Khi đó hộ i tụ , Định lý phâ n kỳ ∑∞=1 phâ n kı̀ ∑ ∑ Cho hai chuo i so dương và lim = → thı̀ hai chuo Chuo ∑i ln + Ví dụ Chuo ∑i sin n tạ i giới hạ n hữu hạ n > i so ay đo Ví dụ Neu to ng thờ i hộ i tụ hoặ c đo phâ n kı̀ vı̀ lim → hộ i tụ vı̀ lim → ng thờ i phâ n kı̀ ∑ i phâ n kı̀ và chuo = và chuo∑ i hộ i tụ 5.2.2 Các quy tắc khảo sát tính hội tụ chuỗi số ∑ i so dương a) Quy tắc d’Alembert Cho chuo Neu lim Ví dụ Ta có = thı̀ chuo →  (n!) n 1 nn Xé t chuo i so  u n 1 un  (n  1)!   nn (n  1) n 1 (n!)   i so hộ i tụ khi D < 1, phâ n kı̀ khi D > 1 ,   R (n  1) n n   ( )  (n  1)1  (1  ) n  (n  1) n  n   1 Ta có lim (1  ) n = nê n chuo n e n  i hộ i tụ   1 và phâ n kı̀ khi  > 1  b) Quy tắc Cauchy Cho chuo i so dương  un n 1 Neu lim n  n u n = C thı̀ chuo i so hộ i tụ khi C < 1 và phâ n kı̀ khi C > 1 Ví dụ  Xé t chuo i so  2n n 1 n Ta có n u n  Neu sin2 < n n   sin   2sin2  , tức là 0 <  < , chuo i hộ i tụ  Neu  = , chuo Neu sin 2n  , 0 <  <  i trở thành  , nó hộ i tụ n 1 n   <   , chuo i phâ n kỳ c) Quy tắc so sánh với tích phân Giả sử hàm so dương f(x) liê n tụ c và đơn điệ u giảm trê n khoả ), dang [1, + n tới 0  khi x  +  Khi đó tı́ch suy rộ ng   f (x)dx và chuo i sou n , trong đó un = f(n), cù ng hộ i tụ n 1 hoặ c cù ng phâ n kı̀ Ví dụ  Xé t chuo  i n 1 n  sá nh nó với tı́ch phâ n  dx x  ,  > 0 là ha ng so Chuo i đó được gọ i là chuo i Riemann Ta so , vı̀ tı́ch phâ n ay hộ i tụ  >1, phâ n kı̀ khi   1, nê n chuo i Riemann hộ i tụ khi  >1, phâ n kı̀ khi   1 5.3 Chuỗi có số hạng với dấu 5.3.1 Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ Xé t chuo  i so  u n với cá c so hạ ng un bat kı̀ n 1 Định lý Ví dụ   n 1 n 1 Nếu chuỗi  u n hội tụ thì suy ra  u n hội tụ  cos n n 1 n2 Xé t chuo  i   cos n | cos n | Vı̀  và  hộ i tụ nê n  hộ i tụ n n n 1 n n 1 n   n 1 n 1 Chú thích Chuo  i u n hộ i tụ chı̉ là đie u kiệ n đủ đe chuo i , chứ khô ng phả i  u n hộ i tụ là đie u kiệ n ca n   n 1 n 1 Định nghĩa 1 Chuỗi số  u n gọi là hội tụ tuyệt đối nếu  u n hội tụ, bán hội tụ   n 1 n 1  u n hội tụ nhưng  u n phân kì  Chú thích Neu dù ng quy ta c d’Alembert hay quy ta c Cauchy mà biet đươ un ̣ c chuo i n 1  phâ n kı̀ thı̀ kha ng định chuo i n kı̀ vı̀ khi ay |u n tới 0 khi n  +, do đó n| khô ng da  u n phâ n 1 un cũ ng the, vậ y chuo i so phâ n kı̀ 5.3.2 Chuỗi số đan dấu Chuo là chuo i so đan dau i so có dạ (u ng 1 – u2 + u3 – u4 + ), uk > 0 – u Rõ ràng chı̉ ca n xé t chuo i so đan dau với so hạ ng da u tiê1n dương: u 2 + u3 – u4 + … Định lý (Leibniz) Neu cá c so hạ ng đơn điệ u giảm và da n ve thı̀ chuo ∑ (−1) hộ i tụ và có tong bé hơn u ( 1 )n 1 Nó thoả mã n cá c đie n n 1 i đan d  Ví dụ Xé t chuo i đan dau   nê n nó hộ i tụ , nhưng  n 1  ( 1 )n 1   là chuo n n 1 n u kiệ n củ a định lý Leibniz, i so đie u hoà, nó phâ n kı̀ Vậ y chuo i so đa xé t là bá n hộ i tụ 5.3.3 Vài tính chất chuỗi số hội tụ tuyệt đối Ta biet ra ng tong củ a mộ t so hữu hạ n cá c so có tı́nh giao hoá n và tı́nh ket hợp: nó khô ng thay đoi khi ta thay đoi thứ tự củ a cá c so hạ ng củ a nó hay khi ta nhó m mộ t so hạ ng lạ i mộ t cá ch tuỳ ý trước khi cộ ng Nhưng đie u đó khô ng cò n đú ng nữa đoi với cá c chuo i so hạ ng có dau bat kı̀ ( 1) n 1 , n n 1  Ví dụ Gọ i S là tong củ a chuo 1 1 S = 1 –     + < 1 i so hô  ̣ i tụ (*) (2*) ( 1) n 1 cũ ng hộ i tụ và có tong là n 1 2n  Khi đó chuo  i S 1 1       2 10  Nê n chuo  i [ n 1 ( 1) n 1 ( 1) n 1  ] cũ ng hộ i tụ và có tong n 2n 3S 1 1  1      Nhưng chuo i so (2*) lạ i suy ra từ chuo i (*) ba ng cá ch thay đoi thứ tự củ a cá c so hạ ng, tức là tong củ a nó đã thay đoi khi ta đoi thứ tự cá c so hạ ng củ a nó Ví dụ Xé t chuo  i đan dau bá n hộ i tụ n 1 ( 1) n 1 n Viet lạ i nó dưới dạ ng (1  1 1 1 1  )(   )   (   )  4p  4p  2p Gọ i vn là so hạ ng tong quá t, vn = ( 1   )  4n  4n  2n 4n 2n Khi n  +, vn   1   (1  ) , nê n chuo  i v n phâ n kı̀ 4n 2n n n 1 Vậ y tı́nh hộ i tụ củ a chuo i đã thay đoi khi ta đoi thứ tự và nhó m cá c so hạ ng Tuy nhiê n tı́nh chat giao hoá n và tı́nh chat ket hợp va n đú ng với cá c chuo i so hộ i tụ tuyệ t đoi Ngườ i ta đã chứng minh được cá c tı́nh chat sau đâ y: Tính chất Với chuo i hộ i tụ tuyệ t đoi, tı́nh hộ i tụ và tong củ a nó khô ng thay đoi khi ta thay đoi thứ tự cá c so hạ ng và nhó m tuỳ ý mộ t so so hạ ng Với chuo chuo i so bá n hộ i tụ , ta có the thay đoi thứ tự củ a cá c so hạ ng củ a nó đe nhậ n được i so hộ i tụ và có tong ba ng mộ t so bat kı̀ cho trước, hoặ c trở nê n phâ n kı̀    n 1 n 0 n 0   n 1 n 0 Định nghĩa 2 Cho hai chuỗi  u n  v n , người ta gọi tích của chúng là chuỗi số  w n , n trong đó wn   ukvnk k0 Tính chất Nếu hai chuỗi  u n  v n , hội tụ tuyệt đối và có tổng là U và V thì tích của chúng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng U.V 5.4 Dãy hàm số Định nghĩa Giả sử f1, f2, …, fn, là một dãy các hàm số cùng xác định trên X  R Điểm x0  X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm số ấy nếu dãy số {fn(x0)} hội tụ Tập hợp những điểm hội tụ của dãy hàm số {fn} được gọi là miền hội tụ của nó Như vậ y, neu dã y hàm so {f n} hộ i tụ tới hàm so f trê n tậ p hợp X, thı̀ x X,  > 0, n0(,x)  N :fn(x) – f(x)<  n  n0 So n0 phụ thuộ c  và nó i chung phụ thuộ c x Trong trườ ng hợp so n ̣ c 0 chı̉ phụ thuô mà khô ng phụ thuộ c x  X, ta nó i ra ng dã y hàm so {f u trê n X tới hàm so f n} hộ i tụ đe Định nghĩa Dãy hàm số {fn} được gọi là hội tụ đều trên X tới hàm số f nếu  > 0, n0()  N : fn(x) – f(x)  < , n  n0, x  X Ve mặ t hı̀nh họ c, dã {f đe u trê n đoạ n [a, b] tới f neu đo thị củ a cá c hà m so f ́ i n} hôỵ i tụ n(x) vơ  bao quanh đo thị củ a f(x) trê n đoạ n [a, b] (Hı̀nh 0.1) mọ i n  n0 đe u na m trong “dải” Ví dụ n Xé t dã y hàm so {f n(x)} = x y n Neu |x| < 1, lim x  n  y = f(x)  n Neu |x| >1, lim x   n  y = fn(x)  lim x n  Neu x = 1, thı̀ n  Neu x = –1, khô ng to lim x n n tạ i O Vậ y mie n hộ i tụ củ a dã y hàm Hình 0.1 n  x {f là n} so nử a khoảng (–1, 1] và trê n khoảng ay 0   x  f(x) = lim f n    n  1 x  Dã y hàm so này hộ i tụ tới 0 trê n khoảng (–1, 1), nhưng khô ng hộ i tụ đe u trê n khoả ng ay vı̀ với mọ i so n  N, luô n tı̀m được x  [0, 1) sao cho |xn – 0| = |xn| > Nhưng dã y hàm so này hộ i tụ đe u tới 0 trê n mọ i đoạ n đó ng [0, a] với a < 1 Thậ t vậ y,  < 0, luô n tı̀m được so n 0  N, sao cho a n0 Khi đó ta có x  [0, a], n  n0, |xn – 0| = |xn|  a <  n0 <  5.4.1 Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ Định lý Dãy các hàm số {fn} xác định trên tập hợp X hội tụ đều trên đó khi và chỉ khi  > 0, n0()  N: fn(x) – fm(x) < ,  m  n0, n  n0, x  X 5.4.2 Các tính chất dãy hàm số hội tụ Định lý Giả sử dãy các hàm số {fn} liên tục và hội tụ đều trên khoảng I tới hàm số f thì f là một hàm số liên tục trên I Chú thích: Từ định lý trê n suy ra ra ng neu dã y hàm so {f n} liê n tụ c và hộ i tụ tới mộ t hà m so giá n đoạ n trê n I thı̀ sự hộ i tụ đó là khô ng đe u 0   x  , đâ y là Dã y hàm so trong Vı́ dụ hộ i tụ trê n đoạ n [0, 1] tới hàm so f(x) =  1 x  hà m giá n đoạ n, nê n sự hộ i tụ là khô ng đe u Định lý Giả sử dã y cá c hàm so {f u trê n [a, b] tới f n} liê n tụ c và hộ i tụ đe Khi đó với x0 [a, b], ∫ Đặ c biêlim ̣ t → ∫ ( ) ( ) =∫ hộ i tụ đe u trê n [a, b] tơ ∫́ i ( ) ( ) Định lý Giả sử trên [a, b], dãy hàm số {fn} khả vi liên tục và hội tụ tới f, dãy các đạo hàm {f ’n} hội tụ đều tới g Khi đó trên [a, b], hàm f khả vi và f ’(x) = g(x) Tức là, (limfn(x))'= lim[fn'(x)] 5.5 Chuỗi hàm số 5.5.1 Hội tụ hội tụ ( ) mà cá c so hạ ng u Xé t chuo ∑i  R ̣ p X n(x) là những hàm so xá c định trê n tâ ( ) Gọ i ( ) là tong riê ng thứ n củ a nó( , ) = ∑ Định nghĩa 1 Chuỗi hàm số ∑∞=1 ( ) gọi hội tụ điểm x0  X dãy hàm số {Sn(x)} hội tụ tại điểm x0, và được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm x0  X Giới hạn S của {Sn} gọi là tổng của chuỗi Ví dụ Xé t chuo  2 + + xn + = i hàm so 1 + x + x  x n 1 n 1 Với | | < 1, ( )=1+ Vậ y ( ) = với | | < Ví dụ Xé t chuo Ta có + ⋯+ + ∑ i hàm so = → ∞ x  R Mà chuo∑ i < → hộ i tụ nê n chuo i đã cho hộ i tụ tuyệ t đoi theo dau hiệ u so sá nh Ví dụ ∑ i hàm so Chuo hộ i tụ khi x > 1, phâ n kı̀ khi x  1 Vậ y mie n hộ i tụ củ a nó là khoảng (1, + ) Ví dụ Xé t chuo ∑ i hàm so ! = 1+ ! + ! +⋯+ ! + ⋯ 'Alembert vào chuo Rõ ràng nó hộ i tụ tạ i x = 0 Neu x  0, ta á p dụ ng quy ta c d hạ ng dương ∑ | | ! ta được lim = lim → | | → ( ! )!| | = | | lim → = i có cá c so Vậ y chuo i hàm so đang xé t hộ i tụ tuyệ tx  R đoi ∞ Định nghĩa 2 Chuỗi hàm số ∑ =1 ( )Error! Reference source not found được gọi là hội tụ đều trên X đến hàm S(x) nếu dãy hàm số {Sn} hội tụ đều trên X tới S(x), nghĩa là:  > 0, n0 N* : |Sn(x) – S(x)| <  n  n0, x  X Ví dụ Xé t chuo ∑ i hàm so ( ) Đâ y là chuo i đan dau thoả mã n cá c đie u kiệ n củ a định lý Leibniz, nê n nó hộ i tụ  R với mọ i x Pha n dư thứ n củ a nó cũ ng là mộ t chuo i đan dau nê n có tong ve trị tuyệ t đoi bé thua trị tuyệ t | ́ (c là ) − ( )| < đoi củ a so hạ ng đa u tiê n củ a nó , tư Neu < | ( ) − ( )| < < , tức là > − 1 thı̀ Vậ y ta có the chọ n Do đó chuo = (pha n nguyê n), rõ ràng n 0 khô ng phụ thuộ c vào x i đang xé t hộ i tụ đe u trê n R 5.5.2 Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm số Từ định nghı̃a hộ i tụ đe u củ a chuo i hàm so và tiê u chuan Cauchy ve hộ i tụ đe u c hà m so, ta suy ra tiê u chuan Cauchy ve sự hộ i tụ đe u củ a chuo i hàm so ∑ ( ) hộ i tụ đe u trê n X khi và chı̉ khi Định lý (Tiê u chuan Cauchy) Chuo i hàm so  > 0, n0() N* : |Sn(x) – Sm(x)| <  n > m  n0, x  X ∑ (Tiê u chuan Weiertrass) Cho chuo i hàm so u (x) Định lý ∑ Neu |un(x)|  an n  N*, x  X và neu Ví dụ Chuo ∑ i hàm so < Ví dụ Chuo | | √ < √ i hộ i tụ đe u trê n X hộ i tụ tuyệ t đoi và đe u trê n R vı̀ ∑ n, x  R và ∑ i hàm so hộ i tụ thı̀ chuo √ hộ i tụ hộ i tụ tuyệ t đoi và đe u trê n [–1, 1] vı̀ ∑ i n, x  [–1, 1] và chuo / hộ i tụ 5.5.3 Tính chất chuỗi hàm số hội tụ Từ tı́nh chat củ a dã y hàm so hộ i tụ đe u ta suy ra cá c tı́nh chat củ a chuo i hà m hộ i tụ đ Ta biet ra ng tong củ a mộ t so hữu hạ n cá c hàm so liê n tụ c là mộ t hàm so liê n tụ c, đạ o hà (hoặ c tı́ch phâ n) củ a tong củ a mộ t so hữu hạ n hàm so ba ng tong đạ o hà m (hoặ c tı́ch p củ a mo i so hạ ng Đoi với cá c chuo i hàm so, cá c tı́nh chat ay nó i chung khô ng cò n đú ng nữa, nhưng cá c tı́nh chat ay va n đú ng đoi với cá c chuo i hàm so hộ i tụ đe u Định lý Cho chuỗi hàm số ∑ chuỗi hàm số hội tụ đều thì tổng của nó cũng liên tục trên I ( ) Trên miền I, nếu các số hạng un cùng liên tục và Từ định lý này ta thay ra ng: neu chuo i hàm so có cá c so hạ ng liê n tụ c mà hộ i tụ tới m hà m so giá n đoạ n trê n X thı̀ chuo i hàm so đó hộ i tụ khô ng đe u trê n X (1 − ) Ví dụ Xé t chuo ∑i ∑ (1 − ) hộ i tụ và có tong là Với |1 – x| < 1, tức là 0 < x < 2, chuo i hàm , nê n chuo i ∑ (1 − ) hộ i tụ và có tong là 1 Với x = 0, chuo i hàm so đã cho hộ i tụ và có tong là S(0) = 0 Với x = 2, chuo ∑i (1 − ) phâ n kỳ nê n chuo∑ i (1 − ) phâ n kỳ Vậ y chuo i hàm hộ i tụ trê n khoảng [0, 2) tới mộ t hàm giá n đoạ n 0 x  S(x) =  1  x  Vậ y chuo i hàm hộ i tụ khô ng đe u trê n khoảng [0, 2) Định lý Trên [a, b], nếu các số hạng un(x) cùng liên tục và chuỗi hàm số ∑ tụ đều tới S(x) thì ∫ ( ) =∑ ∫ ( ) ( ) hội Định lý Giả sử trên (a, b), các số hạng chuỗi hàm số ∑ thì tổng S(x) khả vi và ′( ) = ∑∞=1 ′ ( ) Ví dụ | ( )| < Vı̀ ( ) hội tụ tới S(x), còn chuỗi hàm số ∑ ∑ i hàm so Xé t chuo ( ) liên tục cùng với đạo hàm của chúng và ( )=∑ ( ) hội tụ đều n, x  R và chuo∑ i hộ i tụ nê n chuo i đã cho hộ i tụ tuyệ t đoi và đe u trê n R Gọ i S(x) là tong củ a nó thı̀ S(x) là mộ t hàm so liê n tụ c =∫ ∑ ( ) Theo Định lý 4, ∫ =∑ ∑ i mà chuo Vı̀ ′ ( ) = ′( ) = ∑ ∫ sin ( =∑ ) hộ i tụ đe u trê n R nê n theo định lý trê n ta có 5.6 Chuỗi luỹ thừa 5.6.1 Chuỗi luỹ thừa Bán kính hội tụ là chuo Chuo i luỹ thư ̀a ∑ = + i hàm so có dạ ng + +⋯+ + ⋯ Van đe cơ bản đa u tiê n khi khảo sá t mộ t chuo i luỹ thừ a là xá c định mie Định lý (Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x0  0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x với |x| < |x0| Hệ Neu chuo Rõ ràng chuo n hộ i tụ củ i luỹ thừ a phâ n kı̀ tạ1 thı̀ nó i x = x phâ n kı̀ tạ i mọ i |x| > |x 1| i luỹ thừ a luô n hộ i tụ tạ i x = 0 Từ định lý Abel suy ra ra ng to n tạ i mộ t so R (0  R < + ) sao cho chuo i luỹ thừ a hộ i tụ tuyệ t đoi trong khoảng (–R, R) và phâ n kı̀ trong cá c khoảng (– , –R) và (R, + ) Tạ i x = –R và x = R chuo i luỹ thừ a có the hộ i tụ hoặ c phâ n kı̀ So R được gọ i là bá n kı hộ i tụ , khoảng (–R, R) được gọ i là khoảng hộ i tụ củ a chuo Muon tı̀m mie nó , ro n hộ i tụ củ a chuo i luỹ thừ a i luỹ thừ a, ta tı̀m bá n kı́nh hộ i tụ tức là khoả ng ho i khảo sá t sự hộ i tụ tạ i hai đa u mú t 5.6.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa Định lý Nếu lim =  hoặc lim → → | | =  thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ thừa được xác định bởi ∑ 0< = Ví dụ Ta có lim ∞