KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ

: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (,) số thực x   được gọi là một cận trên của A nếu: a  x , x  A. Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên  Số thực x   được gọi là một cận dưới của A nếu: a  x ,  a A. Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới.

KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ i. Số thực :  Định Nghĩa 1.1: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞,∞) số thực x ∈  được gọi là một cận trên của A nếu: a ≤ x , ∀x ∈ A. Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên  Số thực x ∈  được gọi là một cận dưới của A nếu: a ≥ x , ∀ a ∈A. Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới.  Tập A được gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho: |a | ≤ x , ∀a ∈ A.  Định Nghĩa 1.2 : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞,∞) Số thực x ∈ được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu: x ∈ A, a ≤ x , ∀a ∈ A. Ta viết: x = max{a: a∈ A} = a Số thực x ∈  được gọi là giá trị bé nhất của A nếu: x ∈ A, a ≥ x , ∀ a ∈ A. Khi đó ta viết: x = min{a: a ∈A} = a.  Định Nghĩa 1.3: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞, ∞). Giả sử A bị chặn trên.  Số thực x ∈  được gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A, tức là: a ≤ x, ∀a ∈ A. ∀ ε > 0, ∃a ε ∈ A, a ε > x − ε ta viết: x = sup{a : a ∈ A} = a.  Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞, ∞). Giả sử A bị chặn dưới: Số thực x ∈  được gọi là cận dưới đúng của A, nếu x là một cận dưới của A và là cận dưới lớn nhất trong tập các cận dưới của A, tức là: a ≥ x, ∀a ∈ A. ∀ε > 0, ∃a ε ∈ A, a ε < x +ε Ta viết: x = inf{a : a ∈ A} = a.  Tiên Đề về cận trên đúng : Nếu  là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các số thực, Thì  có cận dưới (trên) đúng (duy nhất).  Suy ra  là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực , thì  có cận trên và dưới đúng.  Nếu tập  không bị chặn trên, thì ta quy ước Sup  = + , Nếu tập  không bị chặn dưới thì ta ước inf  = −.  Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số thực khác nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r < b ). Một số tính chất mà ta có thể suy ra khi làm bài tập. : Cho A,B   không rỗng, Các tập thỏa mãn: A+B = {z = x+y : x  A, y  B} A−B = { z = x − y : x  A, y  B } thì ta có : Sup (A+B) = SupA + Sup B Sup (A−B) = Sup A − Sup B. và tương tự cho inf ( A+B), inf( A − B ) Chứng Minh: : Giả sử A và B bị chặn trên và đặt a = supA và b = supB, khi đó a , b lần lượt là một cận trên của A và B suy ra a + b là cận trên của A+ B. Hơn nữa ∀ε > 0, tồn tại x*  A và y*B sao cho x* > a − và y* > b − do đó x*+y* > a + b− ε, vì z*= x*+y*  A+B ⇒ a+b = sup(A+B) = supA+ supB (1) ta có sup(A−B) = sup(A+(−B)) = supA + Sup(−B) (*) bây giờ ta sẽ chứng minh sup(−B) = −inf B. Giả sử −A = {x : − x  A} và A bị chặn dưới a = inf A, khi đó: 1. x ≥ a với mọi x  A. 2. với ε > 0, tồn tại x*  A sao cho x* < a + ε. nhân hai bất đẳng thức trong (1) và (2) với −1, ta có: i. x ≤ −a với mọi x  (−A) ii. với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x*  (−A) sao cho x* > − a − ε từ đó suy ra −a = sup(−A). Nếu A không bị chặn dưới thì −A không bị chặn trên và do đó sup(−A) = −inf (A) = +. nên (*) = sup(A) − inf (B).  Cho các tập không rỗng A và B những số thực dương, định nghĩa A.B = {z = x.y : x  A, y  B} = { z = : x  A} thì ta có: sup(A.B) = sup A. sup B nếu inf A > 0 thì sup = khi inf A = 0 thì sup = +. Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị chặn thì sup( A. B) = max{ supA.sup B, supA.inf B,infA.supB infA.infB}. chứng minh giả sử cả hai tập bị chặn trên, đặt a = supA và b = supB. vì các phần tử của A và của B là các số dương nên xy ≤ ab với x  A, y  B. Ta sẽ chứng minh rằng: ab là cận trên nhỏ nhất của A.B. Cho trước ε > 0, tồn tại x*  A và y*  B sao cho x* > a − ε và y* > b − ε. Khi đó x*.y* > ab − ε(a+b − ε). Vì ε(a+b − ε) có thể nhỏ tùy ý với ε đủ nhỏ, ta thấy rằng bất kỳ số nào nhỏ hơn ab không thể là cận trên của A.B . Do đó ab=sup(A.B). Nếu A hoặc B không bị chặn trên thì A.B cũng không bị chặn. Do đó sup (A. B) = sup A. sup B = + .(1) giả sử nếu a' = inf A > 0. Với mọi x  A ta có bất đẳng thức x ≥ a' tương đương với ≤ nên là cận trên của hơn nữa, với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x*  A sao cho x* < a' + ε, do đó: > = − vì nhỏ tùy ý nên là cận trên nhỏ nhất của . Xét trường hợp a'=0. thấy rằng tập là bị chặn( thật vậy, với ε > 0, tồn tại x*  sao cho x* > ) do đó sup = +. Bây giờ giả sử A,B là các tập bị chặn các số thực bất kỳ và đặt a = supA b = sup B, a' = inf A và b' = inf B. Nếu a' và b' là không âm thì sd kết quả ở trên ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu a' < 0 và a,b' > 0 thì xy ≤ ab với bất kỳ x  A và y  B. Chọn ε > 0 đủ nhỏ để a − ε > 0. Khi đó tồn tại x*  A sao cho x* > a − ε. Hơn nữa, tồn tại y*  B sao cho y* > b − ε. Do đó x*.y* > x*(b−ε) > (a − ε )(b − ε ) = ab − ε(b+b − ε ). vậy trong trường hợp này ta có sup( A.B ) = ab. Xét trường hợp a',b' < 0 và a,b > 0. với bất kỳ x A và y  B ta có: xy ≤ max{ ab , a'b'}. Đầu tiên xét trường hợp max{ab, a'b'} = a'b'. Theo định nghĩa của cận dưới đúng, với ε > 0 đủ nhỏ tồn tại x*  A và y*  B sao cho x* < a' + ε < 0 và y* < b' + ε < 0, suy ra: x*y* > x*(b'+ε) > (a'+ε)(b'+ε ) = a'b' + ε(a' + b') + (a' + b' + ε) Nhận xét rằng a' + b' + ε là số âm sy ra a'b' là cận trên bé nhất của A.B Trong trường hợp max{ab, a'b'} = ab lập luận tương tự ta suy ra sup( A.B)=ab Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. . KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ i. Số thực :  Định Nghĩa 1.1: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞,∞) số thực x ∈  được gọi là một cận trên.  = −.  Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số thực khác nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r < b ). Một số tính chất mà ta có. Đề về cận trên đúng : Nếu  là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các số thực, Thì  có cận dưới (trên) đúng (duy nhất).  Suy ra  là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số