KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ

: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (,) số thực x   được gọi là một cận trên của A nếu: a  x , x  A. Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên  Số thực x   được gọi là một cận dưới của A nếu: a  x ,  a A. Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới.

KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ

i. Số thực :

 Định Nghĩa 1.1:

: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  =

(−∞,∞) số thực x ∈  được gọi là một cận trên của A nếu:

a ≤ x , ∀ x ∈ A

Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận

trên

 Số thực x ∈  được gọi là một cận dưới của A nếu:

a ≥ x , ∀ a ∈A.

Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận

dưới

 Tập A được gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị

chặn dưới, A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho:

|a | ≤ x , ∀a ∈ A

 Định Nghĩa 1.2

: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞,∞)

Số thực x ∈ được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu:

x ∈ A, a ≤ x , ∀a ∈ A

Ta viết: x = max{a: a∈ A} = a

Số thực x ∈  được gọi là giá trị bé nhất của A nếu:

x ∈ A, a ≥ x , ∀ a ∈ A

Khi đó ta viết: x = min{a: a ∈A} = a

 Định Nghĩa 1.3:

: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞, ∞) Giả sử A bị chặn trên

 Số thực x ∈  được gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một

cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A, tức là:

a ≤ x, ∀ a ∈ A

∀ ε > 0, ∃aε ∈ A, aε > x − ε

ta viết: x = sup{a : a ∈ A} = a.

 Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞, ∞) Giả sử A bị chặn dưới:

Số thực x ∈  được gọi là cận dưới đúng của A, nếu x là một

cận dưới của A và là cận dưới lớn nhất trong tập các cận dưới của A, tức là:

a ≥ x, ∀ a ∈ A

∀ε > 0, ∃aε ∈ A, aε < x +ε

Ta viết: x = inf{a : a ∈ A} = a.

 Tiên Đề về cận trên đúng

: Nếu  là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các

số thực, Thì  có cận dưới (trên) đúng (duy nhất)

 Suy ra  là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực , thì  có cận trên và dưới đúng

 Nếu tập  không bị chặn trên, thì ta quy ước Sup  = + , Nếu tập  không bị chặn dưới thì ta ước inf  = −

 Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số

thực khác nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r <

b )

Một số tính chất mà ta có thể suy ra khi làm bài tập.

: Cho A,B   không rỗng, Các tập thỏa mãn:

A+B = {z = x+y : x  A, y  B}

A−B = { z = x−y : x  A, y  B }

thì ta có : Sup (A+B) = SupA + Sup B

Sup (A−B) = Sup A − Sup B

và tương tự cho inf ( A+B), inf( A − B )

Chứng Minh:

: Giả sử A và B bị chặn trên và đặt a = supA và b = supB, khi đó

a , b lần lượt là một cận trên của A và B

suy ra a + b là cận trên của A+ B Hơn nữa ∀ε > 0, tồn tại x*  A

và y*B sao cho x* > a − và y* > b −

do đó x*+y* > a + b− ε, vì z*= x*+y*  A+B ⇒ a+b = sup(A+B)

= supA+ supB (1)

ta có sup(A−B) = sup(A+(−B)) = supA + Sup(−B) (*)

bây giờ ta sẽ chứng minh sup(−B) = −inf B

Giả sử −A = {x : − x  A} và A bị chặn dưới a = inf A, khi đó:

1. x ≥ a với mọi x  A

2. với ε > 0, tồn tại x*  A sao cho x* < a + ε.

nhân hai bất đẳng thức trong (1) và (2) với −1, ta có:

i. x ≤ −a với mọi x  (−A)

ii. với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x*  (−A) sao cho x* > − a − ε

từ đó suy ra −a = sup(−A) Nếu A không bị chặn dưới thì −A không bị chặn trên và do đó sup(−A) = −inf (A) = +

nên (*) = sup(A) − inf (B)

 Cho các tập không rỗng A và B những số thực dương, định nghĩa

A.B = {z = x.y : x  A, y  B}

= { z = : x  A}

thì ta có: sup(A.B) = sup A sup B

nếu inf A > 0 thì sup =

khi inf A = 0 thì sup = + Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực

bị chặn thì sup( A B) = max{ supA.sup B, supA.inf B,infA.supB

infA.infB}

chứng minh giả sử cả hai tập bị chặn trên, đặt a = supA và b = supB vì

các phần tử của A và của B là các số dương nên xy ≤ ab với x  A, y 

B Ta sẽ chứng minh rằng: ab là cận trên nhỏ nhất của A.B

Cho trước ε > 0, tồn tại x*  A và y*  B sao cho x* > a − ε và y* > b

− ε Khi đó x*.y* > ab − ε(a+b − ε) Vì ε(a+b − ε) có thể nhỏ tùy ý với ε

đủ nhỏ, ta thấy rằng bất kỳ số nào nhỏ hơn ab không thể là cận trên của A.B Do đó ab=sup(A.B) Nếu A hoặc B không bị chặn trên thì A.B cũng không bị chặn Do đó sup (A B) = sup A sup B = + .(1)

giả sử nếu a' = inf A > 0 Với mọi x  A ta có bất đẳng thức x ≥ a' tương đương với ≤ nên là cận trên của

hơn nữa, với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x*  A sao cho x* < a' + ε, do đó:

> = −

vì nhỏ tùy ý nên là cận trên nhỏ nhất của Xét trường hợp a'=0 thấy rằng tập là bị chặn( thật vậy, với ε > 0, tồn tại x*  sao cho

x* > ) do đó sup = +

Bây giờ giả sử A,B là các tập bị chặn các số thực bất kỳ và đặt a = supA b = sup B, a' = inf A và b' = inf B Nếu a' và b' là không âm thì sd kết quả ở trên ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Nếu a' < 0 và a,b'

> 0 thì xy ≤ ab với bất kỳ x  A và y  B Chọn ε > 0 đủ nhỏ để a − ε

> 0 Khi đó tồn tại

x*  A sao cho x* > a − ε Hơn nữa, tồn tại y*  B sao cho y* > b − ε

Do đó

x*.y* > x*(b−ε) > (a − ε )(b − ε ) = ab − ε(b+b − ε ).

vậy trong trường hợp này ta có sup( A.B ) = ab

Xét trường hợp a',b' < 0 và a,b > 0 với bất kỳ x A và y  B ta có:

xy ≤ max{ ab , a'b'}.

Đầu tiên xét trường hợp max{ab, a'b'} = a'b' Theo định nghĩa của cận dưới đúng, với ε > 0 đủ nhỏ tồn tại x*  A và y*  B sao cho x* <

a' + ε < 0 và y* < b' + ε < 0, suy ra:

x*y* > x*(b'+ε) > (a'+ε)(b'+ε ) = a'b' + ε(a' + b') + (a' + b' + ε)

Nhận xét rằng a' + b' + ε là số âm sy ra a'b' là cận trên bé nhất của A.B Trong trường hợp max{ab, a'b'} = ab lập luận tương tự ta suy ra sup( A.B)=ab

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự