: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (,) số thực x được gọi là một cận trên của A nếu: a x , x A. Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên Số thực x được gọi là một cận dưới của A nếu: a x , a A. Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới.
KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ i. Số thực : Định Nghĩa 1.1: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (−∞,∞) số thực x ∈ được gọi là một cận trên của A nếu: a ≤ x , ∀x ∈ A. Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên Số thực x ∈ được gọi là một cận dưới của A nếu: a ≥ x , ∀ a ∈A. Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới. Tập A được gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho: |a | ≤ x , ∀a ∈ A. Định Nghĩa 1.2 : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (−∞,∞) Số thực x ∈ được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu: x ∈ A, a ≤ x , ∀a ∈ A. Ta viết: x = max{a: a∈ A} = a Số thực x ∈ được gọi là giá trị bé nhất của A nếu: x ∈ A, a ≥ x , ∀ a ∈ A. Khi đó ta viết: x = min{a: a ∈A} = a. Định Nghĩa 1.3: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (−∞, ∞). Giả sử A bị chặn trên. Số thực x ∈ được gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A, tức là: a ≤ x, ∀a ∈ A. ∀ ε > 0, ∃a ε ∈ A, a ε > x − ε ta viết: x = sup{a : a ∈ A} = a. Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (−∞, ∞). Giả sử A bị chặn dưới: Số thực x ∈ được gọi là cận dưới đúng của A, nếu x là một cận dưới của A và là cận dưới lớn nhất trong tập các cận dưới của A, tức là: a ≥ x, ∀a ∈ A. ∀ε > 0, ∃a ε ∈ A, a ε < x +ε Ta viết: x = inf{a : a ∈ A} = a. Tiên Đề về cận trên đúng : Nếu là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các số thực, Thì có cận dưới (trên) đúng (duy nhất). Suy ra là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực , thì có cận trên và dưới đúng. Nếu tập không bị chặn trên, thì ta quy ước Sup = + , Nếu tập không bị chặn dưới thì ta ước inf = −. Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số thực khác nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r < b ). Một số tính chất mà ta có thể suy ra khi làm bài tập. : Cho A,B không rỗng, Các tập thỏa mãn: A+B = {z = x+y : x A, y B} A−B = { z = x − y : x A, y B } thì ta có : Sup (A+B) = SupA + Sup B Sup (A−B) = Sup A − Sup B. và tương tự cho inf ( A+B), inf( A − B ) Chứng Minh: : Giả sử A và B bị chặn trên và đặt a = supA và b = supB, khi đó a , b lần lượt là một cận trên của A và B suy ra a + b là cận trên của A+ B. Hơn nữa ∀ε > 0, tồn tại x* A và y*B sao cho x* > a − và y* > b − do đó x*+y* > a + b− ε, vì z*= x*+y* A+B ⇒ a+b = sup(A+B) = supA+ supB (1) ta có sup(A−B) = sup(A+(−B)) = supA + Sup(−B) (*) bây giờ ta sẽ chứng minh sup(−B) = −inf B. Giả sử −A = {x : − x A} và A bị chặn dưới a = inf A, khi đó: 1. x ≥ a với mọi x A. 2. với ε > 0, tồn tại x* A sao cho x* < a + ε. nhân hai bất đẳng thức trong (1) và (2) với −1, ta có: i. x ≤ −a với mọi x (−A) ii. với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x* (−A) sao cho x* > − a − ε từ đó suy ra −a = sup(−A). Nếu A không bị chặn dưới thì −A không bị chặn trên và do đó sup(−A) = −inf (A) = +. nên (*) = sup(A) − inf (B). Cho các tập không rỗng A và B những số thực dương, định nghĩa A.B = {z = x.y : x A, y B} = { z = : x A} thì ta có: sup(A.B) = sup A. sup B nếu inf A > 0 thì sup = khi inf A = 0 thì sup = +. Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị chặn thì sup( A. B) = max{ supA.sup B, supA.inf B,infA.supB infA.infB}. chứng minh giả sử cả hai tập bị chặn trên, đặt a = supA và b = supB. vì các phần tử của A và của B là các số dương nên xy ≤ ab với x A, y B. Ta sẽ chứng minh rằng: ab là cận trên nhỏ nhất của A.B. Cho trước ε > 0, tồn tại x* A và y* B sao cho x* > a − ε và y* > b − ε. Khi đó x*.y* > ab − ε(a+b − ε). Vì ε(a+b − ε) có thể nhỏ tùy ý với ε đủ nhỏ, ta thấy rằng bất kỳ số nào nhỏ hơn ab không thể là cận trên của A.B . Do đó ab=sup(A.B). Nếu A hoặc B không bị chặn trên thì A.B cũng không bị chặn. Do đó sup (A. B) = sup A. sup B = + .(1) giả sử nếu a' = inf A > 0. Với mọi x A ta có bất đẳng thức x ≥ a' tương đương với ≤ nên là cận trên của hơn nữa, với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x* A sao cho x* < a' + ε, do đó: > = − vì nhỏ tùy ý nên là cận trên nhỏ nhất của . Xét trường hợp a'=0. thấy rằng tập là bị chặn( thật vậy, với ε > 0, tồn tại x* sao cho x* > ) do đó sup = +. Bây giờ giả sử A,B là các tập bị chặn các số thực bất kỳ và đặt a = supA b = sup B, a' = inf A và b' = inf B. Nếu a' và b' là không âm thì sd kết quả ở trên ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu a' < 0 và a,b' > 0 thì xy ≤ ab với bất kỳ x A và y B. Chọn ε > 0 đủ nhỏ để a − ε > 0. Khi đó tồn tại x* A sao cho x* > a − ε. Hơn nữa, tồn tại y* B sao cho y* > b − ε. Do đó x*.y* > x*(b−ε) > (a − ε )(b − ε ) = ab − ε(b+b − ε ). vậy trong trường hợp này ta có sup( A.B ) = ab. Xét trường hợp a',b' < 0 và a,b > 0. với bất kỳ x A và y B ta có: xy ≤ max{ ab , a'b'}. Đầu tiên xét trường hợp max{ab, a'b'} = a'b'. Theo định nghĩa của cận dưới đúng, với ε > 0 đủ nhỏ tồn tại x* A và y* B sao cho x* < a' + ε < 0 và y* < b' + ε < 0, suy ra: x*y* > x*(b'+ε) > (a'+ε)(b'+ε ) = a'b' + ε(a' + b') + (a' + b' + ε) Nhận xét rằng a' + b' + ε là số âm sy ra a'b' là cận trên bé nhất của A.B Trong trường hợp max{ab, a'b'} = ab lập luận tương tự ta suy ra sup( A.B)=ab Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. . KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ i. Số thực : Định Nghĩa 1.1: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (−∞,∞) số thực x ∈ được gọi là một cận trên. = −. Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số thực khác nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r < b ). Một số tính chất mà ta có. Đề về cận trên đúng : Nếu là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các số thực, Thì có cận dưới (trên) đúng (duy nhất). Suy ra là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số