KIẾN THỨC VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

: Ta nói dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và ) sao cho với mọi n > N0 ta có xna <  . limx n = a   > 0, N 0 : n> N 0: xn  a <  . Ta nói dãy số (xn) dần đến nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M sao cho với mọi n > N0, ta có xn > M. limxn = +  M > 0. N 0  : n > N 0 : xn > M. Tương tự, limxn =    P< 0 N 0  : n > N 0: xn < P. Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hữu hạn hoặc dần đến vô cùng ( hoặc ) gọi là dãy phân kì.

KIẾN THỨC VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ  ĐỊNH NGHĨA 1.4: : Ta nói dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N 0 (phụ thuộc vào dãy số x n và ε ) sao cho với mọi n > N 0 ta có < ε . limx = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N∈ : ∀n> N: |xn − a| < ε . Ta nói dãy số (x n ) dần đến +∞ nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N 0 (phụ thuộc vào dãy số x n và M sao cho với mọi n > N 0 , ta có x n > M. limxn = +∞ ⇔ ∀M > 0. ∃N ∈: ∀n > N : xn > M. Tương tự, limxn = − ∞ ⇔ ∀P< 0 ∃N ∈ : ∀n > N: xn < P. Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hữu hạn hoặc dần đến vô cùng ( +∞ hoặc −∞ ) gọi là dãy phân kì.  Tính Chất:  Nếu lim n u = +∞ thì 1 lim 0 n u = .  Nếu lim ,lim n n u v= ±∞ = ±∞ thì lim . n n u v = ±∞ , trong đó dấu + hoặc − được chọn theo đúng quy tắc nhân dấu thông thường.  Nếu lim ,lim 0 n n u v L= ±∞ = ≠ thì lim . n n u v = ±∞ , trong đó dấu + hoặc − được chọn theo đúng quy tắc nhân dấu thông thường.  Nếu lim 0,lim 0 n n u L v = ≠ = và (v n ) có dấu xác định kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim n n u v = ±∞ trong đó dấu + hoặc − được chọn theo đúng quy tắc chia dấu thông thường.  Nếu lim ,lim n n u v L= ±∞ = thì ( ) lim n n u v + = ±∞ .  Cho dãy số . Khi đó nếu tổng x 1 + x 2 + x 3 + … + x n có giới hạn hữu hạn thì tích (1+x 1 )(1+x 2 ). …. . (1+x n ) cũng có giới hạn hữu hạn .  Định lí 1.1: Mọi dãy hội tự đều có giới hạn duy nhất. Chứng minh. Ta thấy rằng nếu 1 2 ,a a ∈¡ và 1 2 a a ε − < . Khi đó với mọi ε dương nhỏ tùy ý cho trước thì 1 2 a a = . Thật vậy, nếu 1 2 a a ≠ ta chọn 1 2 2 a a ε − = 1 2 a a ε ⇒ − > , mâu thuẫn. Giả sử 1 lim n x u a →+∞ = , 2 lim n x v a →+∞ = . Khi đó 0 : ε ∀ > 1 1 : : 2 n n n n u a ε ∃ ∀ > − < và 2 2 2 : : 2 n n n n u a ε ∃ ∀ > − < . Đặt { } 0 1 2 ax ;n m n n = có: 1 2 1 2 1 2 2 2 n n n n a a a u u a u a u a ε ε ε − = − + − ≤ − + − < + = . Theo nhận xét trên thì 1 2 lim n x u a a →+∞ = = .  Định Lý 1.2: : Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn của dãy.  Định Lý 1.3 : Cho ba dãy số (x n ), (y n ), (z n ), trong đó (x n ) và (z n ) có cùng giới hạn hữu hạn L, và 0 0 :N n N∃ ∈ ∀ >¥ ta có n n n x y z≤ ≤ . Khi đó (y n ) cũng có giới hạn là L.  Định Lý 1.4 : Mọi dãy số hội tụ thì bị chặn.  Định Lý 1.5 : Một dãy tăng không nghiêm ngặt (knn) và bị chặn trên hay một dãy giảm knn và bị chặn dưới thì hội tụ. Ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.  Định Lý 1.6 ( cantor) : Cho hai dãy số thực (a n ), (b n ) sao cho: a) * : n n n a b∀ ∈ ≤¥ . b) [ ] [ ] * 1 1 : ; ; n n n n n a b a b + + ∀ ∈ ⊃ ¥ . c) 0 n n b a− → khi n → +∞ . Khi đó tồn tại duy nhất số thực L sao cho [ ] { } 1 ; n n n a b L ∞ = = I .  Định Lý 1.7 (bolzano-Weierstrass) : Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ.  Định Nghĩa 1.5: (dãy cauchy) : Dãy ( ) n x được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu 0 0, :N ε ∀ > ∃ ∈¥ 0 ,m n N∀ > (N 0 phụ thuộc ε ) thì m n x x ε − < .  Định Lý 1.8 (tiêuu chuẩn cauchy) : Dãy số ( ) n x có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy  Định lý 1.9 Stole: : nếu: i) U > U ii) U = +∞ iii) =α ⇒ ∃ = α  Định lý 1.10 (Toeplit) : G/S: i) các số P > 0 ii) P =1 iii) U iv) P =0 khi đó ta có:∀n, k∈ N* thì dãy V = P U hội tụ và V =α  Quy tắc L'Hopital: = α →tìm giới hạn x - x (=α) ? ⇒ = α ⇒ = α với γ= 1/λ  Định Lý 1.11 (Trung bình Cesaro) : Dãy {x } có g/h là α thì dãy { } cũng có g/h là α. (x - x )=α ⇒ =α  Phương pháp sd: :Bt dạng: = m  Một số mệnh đề liên quan đến giới hạn dãy số: cho số A ⇒ A= 2.r với r = 2n +1 với 3n (n ∈ N) số đầu tiên luôn có 2n số mà không có 3 số nào lập thành 1 cấp số cộng  U hội tụ nếu: ∃N ∈ N, ∀n∈N , n≥ N ⇒ U ≥ α thì U ≥ α  U ≤ β → ≤ β  α≤ U ≤β→ α≤ U ≤β  Nếu: V ≤ U ⇒ U ≥ V ⇒lim V = +∞→limU =+∞ với limU = limW =α mà : U ≤ V ≤ W ⇒lim Vn = α (đl kẹp)  ⇒ lim(Un + Vn) = α+β,lim(λUn)= λα lim = , lim (V U )= αβ xét dãy có dạng: x= ƒ(x ) -:cho dãy x = ƒ(x ) khi đó dãy có lim=a thì a là nghiệm của pt x = ƒ(x) -:nếu ƒ(x) là số co trên D thì {x n } là dãy hội tụ. -:nếu ƒ(x) tăng trên D +) x < x ⇒ {x } tăng +) x > x ⇒ {x } giảm -;nếu ƒ(x) giảm và: +)thì {x 2p } và {x 2p+r } đơn điệu phụ thuộc vào x 0  Định lý về ba mệnh đề tương đương. Cho dãy số {c k } với 0 < c k < 1 k = 1,2,3,…. Xét dãy số: Xn = (1+c i ), Yn = (1−c i ) Khi đó ba kd sau là tương đương : (i) Xn = +∞ (ii) Yn = 0  Định Nghĩa 1.6 (hàm co) : Cho I là một khoảng đóng. Hàm số :f I I→ được gọi là một hàm số co trên I nếu tồn tại số thực q, 0 1q< < sao cho ( ) ( ) .f x f y q x y − ≤ − ,x y I∀ ∈ . Nếu ƒ(x) là hàm số co trên D thì dãy số xác định bởi x = a∈D,x=f(x) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của phương trình x = ƒ(x n )  Định Lý 1.12 : Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Nếu ( ) f x là một hàm số co trên I thì dãy số ( ) n x xác định bởi 0 x a I= ∈ , ( ) 1n n x f x + = hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên I của phương trình ( ) x f x = .  Định Lý 1.13: ( Trung bình nhân) : Nếu dãy số dương ( ) n x có giói hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình nhân ( ) 1 2 n n x x x cũng có giới hạn là a. E: PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:  Phương pháp dãy số phụ: : Phương pháp dãy số phụ để khảo sát sự hội tụ của các dãy số không đơn điệu mà tăng giảm bất thường. Trong một số trường hợp, ta có thế xây dựng 1 hay 2 dãy số phụ đơn điệu (từ dãy số chính), chứng minh sự hội tụ của các dãy phụ đó, sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn.  Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình.  Ta xét ví dụ sau: Giả sử xét 2 α = , α là nghiệm của phương trình 2 2 α = . Ta viết lại dưới dạng 2 α α = 2 2 α α α ⇔ = + 2 2 α α α + ⇔ = và ta thiết lập dãy ( ) n x thỏa 0 x a = , 1 2 2 n n n x x x + + = . Nếu dãy này hội tụ thì lim 2 n x = . Tương tự như vậy, ta có thể xây dựng được dãy số như sau: 1 0 1 , 2 n k n n m x x x a x − + + = = . Cũng với giới hạn là 2 , ta có thể xây dựng một dãy số khác như sau: 2 2 2 2 1 0 1 2 2 α α α α α = ⇔ − = ⇔ = + − Khi đó ta có dãy ( ) n x xác định bởi 2 0 1 , 1 2 n n n x x a x x + = = + − .  Dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n :Xét một họ phương trình ( ) , 0F n x = . Nếu với mỗi n, phương trình ( ) , 0F n x = có nghiệm duy nhất n x trên một miền xác định D nào đó thì dãy số ( ) n x đã được xác định. Từ mối liên hệ giữa các hàm ( ) , 0F n x = , dãy số này có thể có những tính chất thú vị. F: DÃY SỐ − TOÁN CAO CẤP:  Định Lý 1.14: ( Stolz-L'Hopital) : Xét 2 dãy ( ) n x và ( ) n y , trong đó ( ) n y là dãy dương tăng và dần đến vô cùng. Khi đó ta có 1 1 lim lim n n n n n n x x x y y y − − − = − Với điều kiện tồn tại giới hạn ở vế phải.  Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả Trong nhiều trường hợp, dự đoán được kết quả đã là một nửa, thậm chí là 2/3 lời giải. Chúng ta đã gặp nhiều tình huống là lời giải đầu tiên thu được một cách rất khó khăn, nhưng sau đó thì hàng loạt lời giải đẹp hơn, gọn hơn xuất hiện. Sao chúng ta không nghĩ ngay được những lời giải đẹp? Vì chúng ta chưa biết đáp số. Khi biết rồi thì có thể định hướng dễ dàng hơn rất nhiều. Dưới đây, ta xem xét một số ứng dụng của xấp xỉ trong việc dự đoán kết quả.  Định Lý 1.15 : Cho dãy số thực ( ) n x . Khi đó nếu tổng 1 2 n x x x+ + + có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ thì tích ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n x x x + + + cũng có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ . G: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ CÁC DÃY SỐ ĐẶC BIỆT:  Dãy số thực a.Dạng x = f(xn) : Phần đông các bài toán có dạng như thế này nên việc đi giải bài toán này đặc biệt tìm giới hạn ta sd định lý hàm co b. Dạng x = xn ± : Đây là trường hợp đặc biệt của dạng (a) ta sd định lý trung bình Cesaro.  Dãy số nguyên: : Ta sd định lý Dirichlet và một số định lý sau:  Định Lý 1.16(Weil:) : nếu α là vô tỉ thì {nα} phân bố trên  Định luật tuần hoàn của số dư: : {x }: x =∑ax với i=1→k ∪ j= n+k - 1→n j= n+k - i khi đó ∀M∈N dãy số dư {x }/ M tuần hoàn.  Hệ đếm cơ số. : Một số bài toán sẽ rất khó khi ta nhìn với hệ đếm cơ số thông thường nhưng lại trở nên khả đơn giản khi ta tìm cho nó một hệ đếm cơ số thích hợp.  Số phức: : xét cho cùng dù ở thể loại nào ta cũng không thể bỏ qua ứng dụng của số phức với lượng kiến thức không quá lớn kết hợp với tính rộng rãi của nó. Số phức là công cụ hữu hiệu khi ta gặp bí ở nghiệm của phương trình. Tóm lại một bài toán hay còn tùy vào con mắt người làm.  Dãy số phần nguyên:  Định Lý 1.17  : Nếu a,b là các số vô tỉ thỏa mãn + = 1 thì hai dãy số: x n = và y n = (n = 1,2, ) Lập thành một phân hoạch của tập hợp các số nguyên dương.  Dãy số xây dựng từ phương trình:  Các phương pháp giải khác: a. Phương pháp sắp xếp lại : Phương pháp này khá hiệu quả trong việc chứng minh bất đẳng thức ở dãy số nếu ta sd phương pháp này ta sẽ có điều hiển nhiên sau: ≤ |an−a| + |a−a|+ + |a−a|. với a < a < < a. và sd các mối liên hệ ta được dpcm. b. Phép thế lượng giác: : một phương pháp khá quen thuộc ta sẽ không phải nói nhiều về phương pháp này vì nó xuất hiện hầu hết trong các chương toán học và với dãy số thì sẽ rất hữu hiệu cho dãy số tuần hoàn và một chút nhạy cảm thì bài toán giải quyết xong. c. dãy số phụ : một số dãy số biến điệu phức tạp công cụ dãy số phụ là hữu hiệu nhất, thường thì ta bám theo dãy số đầu xét một số dãy số phụ kết hợp với định lý kẹp. c. phương pháp sai phân. : Bài toán đặt ra là tính tổng sau: 1 + 2 + 3 + + n = ? bài toán này đã được nhà toán học Bernoulli và các nhà toán học thể kỷ 18 tìm ra công thức tổng quát. Phương pháp đó là sai phân họ tìm hàm số ƒ(n) sao cho n = ƒ(n+1) − ƒ(n) và từ đó tìm được công thức tổng quát. Với dãy số cũng vậy để tính tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số a+ a+ + a ta tìm hàm số ƒ(n) sao cho an = ƒ(n+1) − ƒ(n). suy ra ∑an = ƒ(n) − ƒ(0). . toán học và với dãy số thì sẽ rất hữu hiệu cho dãy số tuần hoàn và một chút nhạy cảm thì bài toán giải quyết xong. c. dãy số phụ : một số dãy số biến điệu phức. v + = ±∞ .  Cho dãy số . Khi đó nếu tổng x 1 + x 2 + x 3 + … + x n có giới hạn hữu hạn thì tích (1+x 1 )(1+x 2 ). …. . (1+x n ) cũng có giới hạn hữu hạn .  Định. hàm số ƒ(n) sao cho n = ƒ(n+1) − ƒ(n) và từ đó tìm được công thức tổng quát. Với dãy số cũng vậy để tính tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số a+ a+ + a ta tìm hàm số