Tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình của dãy biến ngẫu nhiên martingale

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ THÚY QUỲNH TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN MARTINGALE Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC [ Đà Nẵng –Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 06 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng Tuy nhiên toán thống kê nói chung không cho phép nghiên cứu với cỡ mẫu lớn vô hạn, toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép ước lượng cỡ mẫu cần thiết để áp dụng định lý giới hạn trung tâm Bài toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” Định lý Berry-Essen Nội dung Định lý Berry Essen: sup |P ( x∈R X1 + + Xn − nµ E(|X1 − µ|3 ) √ √ < x) − Φ(x)| ≤ C nσ nσ Trong Φ(x) hàm phân phối chuẩn tắc Có số hướng nghiên cứu định lý là: - Hướng thứ nhất: Ước lượng số C Vì kích thước mẫu n tỉ lệ thuận với số C nên ước lượng số C bé tốt (Essen C > √12π ) - Hướng thứ hai: Đánh giá xấp xỉ với khoảng cách khác chuẩn sup, chẳng hạn chuẩn Lp , khoảng cách tổng biến phân, khoảng cách Wasserstein, khoảng cách KolmogorovSmirnov, - Hướng thứ ba: Thay điều kiện ngặt nghèo đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất điều kiện yếu m-phụ thuộc, phụ thuộc âm, martingale, - Hướng thứ tư: Xem xét xấp xỉ cho trường hợp nhiều số Trong luận văn nghiên cứu theo hướng kết hợp hai hướng hai ba (Nghiên cứu xấp xỉ dãy martingale theo chuẩn L1 ) Chính vậy, chọn đề tài nghiên cứu là: Tốc độ hội tụ số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên martingale 2 Mục đích nghiên cứu Đưa số kết toán xấp xỉ phân phối chuẩn dãy trường martingale Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Giải toán xấp xỉ phân phối chuẩn dãy biến ngẫu nhiên martingale theo chuẩn L1 Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu, sau hệ thống kiến thức - Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để chuẩn bị cho đề tài - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp để thực đề tài Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, ký hiệu dùng luận văn chương: Chương Trình bày số kiến thức sở Chương Xấp xỉ phân phối chuẩn tổng dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale Lớp F gọi σ-đại số tập Ω 1.1.3 Độ đo xác suất Cho F σ-đại số Ω Một hàm tập hợp P : F → R gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện sau: + Với A ∈ F, ≤ P(A) ≤ + P(Ω) = + Nếu A1 , A2 , ,An , đôi không giao (Ai ∩ Aj = ∅ với i = j) thì,: ∞ ∞ P( P(An ) An ) = n=1 n=1 Khi phần tử F gọi biến cố P(A) gọi xác suất xảy biến cố A Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN 1.2.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất cho Định nghĩa 1.2.1 Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị R gọi hàm F- đo biến ngẫu nhiên nếu: {ω: X(ω) ∈ B}=X−1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) Định lý 1.2.2 Giả sử X : Ω → R Khi mệnh đề sau tương đương: a) X biến ngẫu nhiên b) { ω: X (ω) < x } ∈ F với x ∈ R c) { ω: X (ω) ≤ x } ∈ F với x ∈ R d) {ω : a ≤ X(ω) < b} ∈ F với a < b Ví dụ 1.2.3 Cho không gian xác suất (Ω, F, P), A ⊂ Ω Dễ dàng chứng minh IA biến ngẫu nhiên A ∈ F Tổng quát hơn, Ai ∈ F, i ∈ I (I không đếm được) i∈I Ai = Ω với (xi )i∈I ⊂ R, X(ω) = xi IAi (ω) i∈I biến ngẫu nhiên Nó gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Khi I hữu hạn, X gọi biến ngẫu nhiên đơn giản 1.2.2 Cấu trúc biến ngẫu nhiên Định lý 1.2.4 Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) Khi đó: a) Tồn dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đến X b) Nếu X ≥ tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn ) cho Xn ↑ X 1.2.3 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên (Ω, F, P) F(X) = {X−1 (B), B ∈ B(R)} σ-đại số sinh X Với X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) nhận giá trị R = (−∞; +∞) Định nghĩa 1.2.5 Hàm số FX (x) = P[X < x], x ∈ R gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.2.4 Phân phối chuẩn Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với tham số a, σ (σ > 0) (còn viết X ∼ N (a, σ )), hàm mật độ có dạng: (x−a)2 f (x) = √ e− 2σ2 , x ∈ R σ 2π Phân phối N (0, 1) gọi phân phối chuẩn tắc Khi đó: x √1 e− 2π t2 x Φ(x) = √12π −∞ e− dt - Hàm mật độ xác suất ϕ(x) = - Hàm phân phối xác suất 1.2.5 Tính độc lập Họ hữu hạn biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập với ≤ k ≤ n k số ≤ i1 ≤ ≤ ik ≤ n ta có: P(Ai1 Ai2 Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik ) Họ biến cố {Ai , i ∈ I} gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Họ σ- đại số {Fi , i ∈ I} gọi độc lập họ {Ai , i ∈ I} với Ai ∈ Fi độc lập Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập họ σ - đại số {σ(Xi ),i ∈ I} độc lập 1.2.6 Khái niệm hầu chắn Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi hầu chắn (h.c.c) tồn tập N ∈ F cho P(N ) = X(ω) = Y (ω) với ω ∈ / N Khi ta viết X = Y (h.c.c) Một cách tổng quát, ta nói tính chất xảy hầu chắn Ω xảy bên tập N có xác suất không Khi X = Y (h.c.c) ta bảo X tương đương với Y viết X ∼Y 1.2.7 Kỳ vọng Cho biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất (Ω; F; P) Kì vọng X, kí hiệu E(X), xác định E(X) = XdP Ω + Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất x1 p1 X P E(X) = x2 p2 xn pn xk p k k + Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì: +∞ E(X) = xf (x)dx −∞ 1.2.8 Phương sai Cho biến ngẫu nhiên X, số V ar(X) = E(X − E(X))2 gọi phương sai biến ngẫu nhiên X + Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P x1 p1 x2 p2 xn pn 2 x k pk − V ar(X) = xk pk k k + Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) :  +∞ 2 +∞ x2 f (x)dx −  V ar(X) = −∞ xf (x)dx −∞ 1.2.9 Độ lệch tiêu chuẩn Độ lệch tiêu chuẩn biến ngẫu nhiên X, kí hiệu σ (X) xác định công thức: σ (X) = V ar(X) 1.2.10 Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.2.6 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ-đại số F, X biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng điều kiện biến ngẫu nhiên X với G cho biến ngẫu nhiên M thỏa mãn điều kiện sau: 10 - Martingale dưới, có điều kiện (i), (ii), (iii’) với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) ≥ Xn−1 ; - Martingale, có điều kiện (i), (ii), (iii”) với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 ; Ta đưa định nghĩa: Dãy {Xn , Fn , n ∈ N}, gọi martingale suy rộng (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu: (i) {Xn , Fn , n ∈ N} dãy tương thích (ii) Xn có kỳ vọng có điều kiện Fn với n ∈ N (iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn |Fm ) = Xm 1.3.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3.1 Giả sử (ξn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Eξn = 0, n ∈ N Khi tổng riêng Sn = ξ0 + + ξn dãy martingale Fn = σ(ξ0 , , ξn ) Thật vậy, Sn−1 ∈ Fn−1 , tính độc lập ξn với Fn−1 , ta có: 11 E(Sn |Fn−1 ) = E(Sn−1 + ξn |Fn−1 ) = Sn−1 + Eξn = Sn−1 Ví dụ 1.3.2 Giả sử (ξn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Eξn = 1, n ∈ N Khi tích riêng n ξn Xn = k=0 dãy martingale Fn = σ(ξ0 , , ξn ) Điều chứng minh trên, cụ thể là: E(Xn |Fn−1 ) = E(Xn−1 × ξn |Fn−1 ) = Xn−1 × Eξn = Xn−1 Ví dụ 1.3.3 Giả sử X biến ngẫu nhiên có E|X| < ∞ (Fn , n ∈ N) dãy σ- trường không giảm A Khi đó, dãy Xn = E(X|Fn ) dãy martingale Fn , n ∈ N Thật vậy, An−1 ⊂ Fn ta có: Xn−1 = E(X|Fn−1 ) = E(E(X|Fn )|Fn−1 ) = E(Xn |Fn−1 ) Ví dụ 1.3.4 Dễ kiểm tra lại rằng, (ξn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên không âm có kì vọng hữu hạn, tổng riêng Xn = ξ0 + + ξn dãy martingale Fn = σ(ξ0 , , ξn ) 12 Ví dụ 1.3.5 Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale g hàm lồi với E|g(Xn )| < ∞, n ∈ N, {g(Xn ), Fn , n ∈ N} martingale Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có: g(Xm ) = g(E(Xn |Fm )) ≤ E(g(Xn )|Fm ) Ví dụ 1.3.6 Tương tự ta có: Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale g hàm lồi không giảm với E|g(Xn )| < ∞, n ∈ N, {g(Xn ), Fn , n ∈ N} martingale 1.3.3 Các tính chất Tính chất 1.3.7 Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale, hàm trung bình EXn không phụ thuộc n ∈ N Thật vậy, với m ≤ n ta có EXm = E(E(Xn |Fm )) = EXn Tính chất 1.3.8 Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale dưới, hàm trung bình EXn không giảm theo n ∈ N Thật vậy, với m ≤ n ta có EXm ≤ E(E(Xn |Fm )) = EXn Tính chất 1.3.9 Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale, hàm E|Xn |p , ≤ p < ∞ không giảm theo n ∈ N Thật vậy, |x|p , ≤ p < ∞ hàm lồi, nên {|Xn |p , Fn , n ∈ N} martingale Vì thế, từ tính chất suy tính chất 13 1.3.4 Hiệu martingale Dãy tương thích {ξn , Fn , n ∈ N} gọi hiệu martingale, E|ξn | < ∞ n ∈ N E(ξn+1 |Fn ) = Rõ ràng X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale {ξn , Fn , n ∈ N} hiệu martingale, ξ0 = X0 , ξn = ∆Xn = Xn − Xn−1 , n = 1, 2, Ngược lại, {ξn , Fn , n ∈ N} hiệu martingale X = {Xn , Fn , n ∈ N} martingale, X0 = ξ0 , Xn = ξ0 + + ξn Chẳng hạn, dãy {ξn , n ∈ N} biến ngẫu nhiên độc lập ξ có kỳ vọng hiệu martingale (đối với σ- trường tự nhiên σ≤n ) 1.3.5 Định lý Burkholder Định lý Fubini Bất đẳng thức sau chứng minh Burkholder [12] Định lý 1.3.10 Nếu (Sn , Fn , n ≥ 1) dãy martingale p > tồn số dương C phụ thuộc p cho   n   p/2 E(max |Sj |p ) ≤ C E[ E(Xj2 /Fj−1 ) ] + E(max)|Xj |p ) ,   j≤n j≤n j=1 X1 = S1 , Xj = Sj − Sj−1 với j ≥ Định lý 1.3.11 (Định lý Fubini) Giả sử (Ω1 , F1 , P1 ) (Ω2 , F2 , P2 ) hai không gian xác suất Khi tồn 15 Λ1 tập tất hàm 1- Lipsit từ R vào R Ta có mối liên hệ hai chuẩn L1 L∞ sau: Định lý 1.4.2 Nếu hàm mật độ xác suất Y bị chặn số dương C thì, FX − FY ∞ ≤2 C FX − FY Đặc biệt Y có phân phối chuẩn tắc với hàm phân phối xác suất Φ(x) thì, FX − Φ ∞ ≤ FX − Φ (2π)1/4 Với f g hàm số xác định R, ta định nghĩa tích chập f ∗ g f g sau: ∞ f ∗ g(x) = f (x − y)g(y)dy −∞ Ta có Bổ đề sau: Bổ đề 1.4.3 Nếu ≤ p, q, r ≤ ∞, p + 1q = + 1r , f ∈ Lp (R) g ∈ Lq (R) thì, f ∗g r ≤ f p g q Bổ đề sử dụng để chứng minh kết đề tài Bổ đề 1.4.4 Cho X η hai biến ngẫu nhiên Khi đó, với p > 1/2 ta có: FX − Φ ≤ FX+η − Φ + 2(2p + 1) E(η 2p |X) 1/2p ∞ 16 Bổ đề 1.4.5 Cho ψ : R → R hàm số thỏa mãn ψ ψ ∞ < ∞ Với X biến ngẫu nhiên tùy ý, ta có |E(ψ(X))| ≤ ψ ∞ |FX − Φ|1 + ψ ∞ ∞ ε.sn )) → theo xác suất với ε > 0, j=1 lim P (S/s ≤ x) = Φ(x) với x ∈ R n→∞ (2.1) Từ kết Agnew ta có (2.1) hội tụ L1 , tức ∞ |P (S/s ≤ x) − Φ(x)| dx → n → ∞ (2.2) −∞ Nội dung nghiên cứu đề tài xét toán tốc độ hội tụ (2.2) Các kết nghiên cứu sau Định lý 2.2.2 Cho < α ≤ β < ∞, < γ < ∞ Nếu X ≤ γ, σj2 = σ 2j h.c.c α ≤ σ 2j ≤ β với ≤ j ≤ n Khi tồn số C = C(α, β, γ) ∈ (0, ∞) cho FS/s − Φ ≤ Cn−1/4 20 Trong trường hợp (Xn , n ≥ 1) có phân phối xác suất ta có kết sau tốt Định lý 2.2.3 Nếu (Xn , n ≥ 1) có phân phối xác suất E(|X1 |3 ) < ∞; E(Xn2 /Fn−1 ) = σ h.c.c tồn số C ∈ (0; ∞) cho Fn − Φ | ) √1 ≤ C( E(|X + σ3 n √1 ) n Hệ 2.2.4 Cho < γ < ∞ Nếu (Xn ; n ≥ 1) có phân phối xác suất, E(|X1 |3 ) ≤ γ E(Xn2 /Fn−1 ) = σ h.c.c tồn số C = C(σ, γ) ∈ (0, ∞) cho Fn − Φ ≤ C √ n Ví dụ 2.2.5 Cho (Yn ; n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức là: P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = 1/2 Đặt Xn = Y1 Y2 Yn , (Xn ; n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Bernoulli đối xứng (Xn ; n ≥ 1) hiệu martingale bình phương khả tích có E(Xn2 /Fn−1 ) = σ = Theo Định lý 2.2.2 ta có Fn − Φ = O(n−1/4 ) n → ∞ Trong đó, theo Hệ 2.2.4 ta thu Fn − Φ = O(n−1/2 ) n → ∞ Hệ 2.2.6 Nếu (Xn ; n ≥ 1) có phân phối xác suất, E(|X1 |3 ) < ∞ E(Xn2 /Fn−1 ) = σ h.c.c thì, 21 Fn (x) → Φ(x) L1 n → ∞ Hệ 2.2.7 Nếu (Xn ; n ≥ 1) có phân phối xác suất, E(|X1 |3 ) < ∞ E(Xn2 /Fn−1 ) = σ h.c.c Fn (x) → Φ(x) L∞ n → ∞ Hệ 2.2.8 Nếu (Xn ; n ≥ 1) độc lập, phân phối xác suất có kì vọng µ phương sai σ hữu hạn với x ∈ R, P( Sn − nµ √ < x) → Φ(x) n → ∞ σ n Định lý thiết lập tốc độ hội tụ dãy biến ngẫu nhiên bị chặn Định lý 2.2.9 Cho < γ < ∞ Nếu < δ ≤ supn Xn ∞ ≤ γ E(Xn2 /Fn−1 ) ≤ Y h.c.c, với Y biến ngẫu nhiên không âm tồn số C = C(σ, δ, γ) ∈ (0; ∞) cho: Fn − Φ ≤ C √ n Định lý 2.2.10 Cho < γ < ∞ Nếu (Xj ; ≤ j ≤ n) có X ∞ ≤ γ V = h.c.c tồn số < C < ∞ thỏa mãn bất đẳng thức sau FS/s − Φ ≤ Cγ n log n/s3 Hệ 2.2.11 Cho < γ < ∞ p > 1/2 Nếu (Xj ; ≤ j ≤ n) có ||X||∞ ≤ γ tồn số dương C = C(p) phụ thuộc vào p, ta có bất đẳng thức sau: 1/2p 1/2 ||FS/s −Φ||1 ≤ C(γ n log n/s3 +min {||V −1||∞ , (E|V − 1|p ) }) 22 Hệ 2.2.12 Cho < γ < ∞ p > 1/2 Nếu (Xj ; ≤ j ≤ n) có ||X||∞ ≤ γ tồn số dương C = C(p) phụ thuộc vào p cho: FS/s − Φ p 1−2p ≤ C(γ n log n/s3 + (E V − + s−2p ) ) 23 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết xác suất, hướng dẫn khoa học, nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt kết cụ thể sau: Trình bày lại phần lý thuyết xác suất thống kê dựa sở hiểu biết mà đạt trình nghiên cứu, tìm tòi Thiết lập tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên martingale Một phần kết đề tài nhận đăng tạp chí "Khoa học công nghệ" Đại học Đà Nẵng số 82(9)-2014 báo cáo Hội nghị xác suất thống kê toàn quốc lần thứ V, tổ chức trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng từ ngày 23 đến ngày 25/5/2015 Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale nhận giá trị R2 Nghiên cứu Toán tài Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi 24 hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Quý thầy cô bạn bè để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn tất Quý thầy cô giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn ... hạn trung tâm theo trung bình Essen nghiên cứu, Essen chứng minh rằng: Fn − Φ = O(n−1/2 ) n → ∞ 2.2 TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN... (Nghiên cứu xấp xỉ dãy martingale theo chuẩn L1 ) Chính vậy, chọn đề tài nghiên cứu là: Tốc độ hội tụ số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên martingale 2 Mục đích... đến ngày 25/5/2015 Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tốc độ hội tụ Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale nhận giá