Bài giảng giải tích 2 chương 5.1 tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ

CHƯƠNG IV: CHUỖI §1 CHUỖI SỐ CHUỖI SỐ DƯƠNG CHUỖI ĐAN DẤU CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2 CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất ¥ å số hạng dãy (TỔNG VÔ HẠN) n=1un chuỗi số Ta gọi: un số hạng tổng quát chuỗi Tổng riêng thứ n chuỗi tổng n – số hạng : Sn=u1+u2+…+un Tổng chuỗi giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < Ơ n đƠ Khi ú, ta núi chui hi tụ Ngược lại, tức không tồn giới hạn giới hạn vơ tận ta nói chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n =1 n đƠ Đ1 Chui s - Tng quan v chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt chuỗi: 15 2n - + + + + Þ un = n 16 2 22 23 24 2n + + + + Þ un = 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n! Ví dụ: Tính số hạng un chuỗi ¥ n +2 Tính u5? Þ u5 = + = å n =1 4n - 4.5 - 19 (2n - 1)!! Tính u6 å n =1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 Þ u6 = = = = (6 +1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 Ơ Đ1 Chui s - Tng quan v chuỗi số Ví dụ: Tính tổng chuỗi cấp số nhân ¥ n å q n =0 Ta việc tính tổng riêng thứ n chuỗi ì n, q = ï ï n Sn = 1+ q + q + + q = ï 1- q n í ï ï 1- q , q ¹ ï ỵ Rõ ràng q=1, Sn=n chuỗi phân kỳ n Khi |q|1: Dãy {Sn} khơng có giới hạn → chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi cấp số nhân å q n hội tụ |q| n →∞ ⇒chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb §1 Chuỗi số - Chuỗi không âm ∞ 4/ ∑a − ln n n =1 Cn = Dn = , a>0 − ln n n − ln n a =a n v lim Cn = a0 = nđƠ − ln( n +1) ln 1−  ÷ a ln n −ln( n +1)  n +1  =a =a − ln n a lim Dn = a0 = nđƠ (Ta khụng dựng c tiờu chun Cauchy, dAlembert) Biến đổi a − ln n = e − ln n×ln a = n − ln a Suy chuỗi cho chuỗi điều hòa Chuỗi HT lna>1 ↔ a>e ∞ ∑ n ln a n =1 §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số ¥ n n å (- 1) un = - u1 + u2 - u3 + + (- 1) un + , un ³ n, " n n=1 gọi chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz : Nếu ì un £ un- ï ¥ ï n ï chuỗi å (- 1) un hội tụ í lim u = ù n=1 ù nđƠ n ù ợ Khi ấy, ta gọi chuỗi chuỗi Leibnitz tổng S chuỗi thỏa 0≤S≤u1 §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi 1/ å n=1 n n (- 1)n n 2/ å n=2 n - 1 1/Ta có : un = đơn điệu giảm dần n Nên chuỗi cho chuỗi Leibnitz n 2/ un = đơn điệu giảm dần n- Nên chuỗi cho chuỗi Leibnitz §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n n=1 n + (- 1) Số hạng tổng quát chuỗi un = (- 1)n n n + (- 1) viết dạng (- 1)n v n ,v n ³ Tức chuỗi không chuỗi đan dấu Ta có un = (- 1)n n n + (- 1) = (- 1)n ( n - (- 1)n ) 2n n - (- 1) (- 1)n n = n- n- §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n n Chuỗi å chuỗi đan dấu hội tụ n=1 n - ¥ chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi å n=2 n - Vậy chuỗi cho chuỗi PK tổng chuỗi HT chuỗi PK §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=1 n - ln n Chuỗi đan dấu với un = n - ln n Để khảo sát đơn điệu dãy un ta đặt x- Âx ) = f (x) = ị f ( < 0, " x > x - ln x x ( x - ln x )2 Tức hàm f(x) dãy {un} đơn điệu giảm dần Vậy chuỗi cho HT theo Leibnitz §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: ¥ Nếu chuỗi å | un | hội tụ n=1 ¥ hội tụ Thì chuỗi å un n=1 ¥ ¥ Khi đó: å u n £ å | un | n=1 n=1 ¥ Và ta gọi chuỗi å un chuỗi hội tụ tuyệt đối n=1 §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức chuỗi ¥ ¥ å un khơng suy chuỗi å | un | n=1 n=1 hội tụ ¥ ¥ Khi chuỗi å un HT chuỗi å | un | PK ta n=1 n=1 ¥ gọi chuỗi å un chuỗi bán hội tụ n=1 Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy d’Alembert ¥ mà biết chuỗi å | un | PK chuỗi n=1 cng PK Ơ un n=1 Đ1 Chui s - Chuỗi có dấu Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ¥ 1 n 1/ å (- 1) tan sin n n n=1 ¥ sin n 2/ å n n=1 1 1 : = , n đ Ơ 1/ Xét un = tan sin n n n n n ¥ Chuỗi å HT, suy chuỗi cho HTTĐ n=1 n n sin n ỉư 1÷ 2/ Xét un = £ = ỗ ữ chui ó cho HTT n n ỗ3 ứ ốữ 3 Đ1 Chui s - Chui có dấu ¥ n n +1 Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å (- 1) 2n - n=1 Chuỗi cho chuỗi đan dấu với un = n +1 2n - Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm dần nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz Mặt khác, coi chuỗi có dấu n +1 | un |= : , n đ Ơ 2n - 2n Ơ Ơ n +1 Tức chuỗi å | un | = å PK n=1 n=1 2n - Vậy chuỗi cho chuỗi bán HT §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu nỉ ¥ (- 1) Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n n=1 Ta có n2 n n u = lim n ổ + 1ử ữ ỗ lim ữ n ữ nỗ n ứ ố nđƠ nđƠ n ổ 1ử e ỗ + ữ = >1 = lim ỗ ữ ữ 2ố nứ nđƠ Ơ Vy chui å un n=1 PK theo t/c Cauchy nên chuỗi cho cng PK n2 n +1ử ữ ỗ ữ ỗ n ứ ữ ố Đ1 Chui s - Chui cú dấu ¥ arcsin(- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=2 n( n + 1)( n - 1) ì p , n = 2k ï n ï arcsin(- 1) = ï í ï - p , n = 2k +1 ï ï î p p Nên u £ : n ® ¥ n n(n +1)( n - 1) n Vì Vậy chuỗi cho HTTĐ §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi ¥ - , u2 n = å un , u2n- = 3n + 3n - n=1 Ta tính tổng riêng thứ 2n chuỗi S2n = u1 + u2 + + u2n- + u2n S2n = (u1 + u2 ) + (u3 + u4 ) + + (u2n- + u2n- ) + (u2n- + u2n ) ỉ - 1ư ỉ - 1ư ỉ 1 - ỉ - ữ ỗ ữ ỗ + ữ ỗ + ữ + ỗ S2n = ỗ + ữ ố ữ ữ ỗ ữ ỗ3n - + 3n - ø+ è n + + 3n - 1ứ ữ ỗ8 ứ+ ữ ữ ữ ố5 ứ ố - 1 - V nđƠ S2n = + ắ ắ ắắ đ 3n + 2 S2n +1 = S2n + u2n +1 ¾ nđƠ đ - ắ ắắ Vy tng chuỗi S = lim Sn = Chuỗi HT nđƠ ... chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n =1 n đƠ §1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát chuỗi: 15 2n - + + + + Þ un = n 16 2 22 23 24 2n + + + + Þ un = 1 .2 1 .2. 3 1 .2. 3.4 n!... 1)n n Chuỗi å chuỗi đan dấu hội tụ n=1 n - ¥ chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi å n =2 n - Vậy chuỗi cho chuỗi PK tổng chuỗi HT chuỗi PK §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi. ..§1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất ¥ å số hạng dãy (TỔNG VƠ HẠN) n=1un chuỗi số Ta gọi: un số hạng tổng quát chuỗi Tổng riêng thứ n chuỗi tổng n – số