Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng... Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Đ
Trang 1CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1 CHUỖI SỐ
1 CHUỖI SỐ DƯƠNG
2 CHUỖI ĐAN DẤU
3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
§2 CHUỖI LŨY THỪA
1 CHUỖI LŨY THỪA
2 CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
Trang 2§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất cả các
số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN)
Ta gọi: 1 un là số hạng tổng quát của chuỗi
2 Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un
3 Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)
n n
S lim S
®¥
Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ Ngược lại, tức là hoặc
không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
Trang 3§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:
6
(2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99(6 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
+
Trang 4§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
ïïï
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân
0
n n
q
¥
=å
Vậy chuỗi cấp số nhân
0
n n
Trang 5§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Trang 6§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2
Trang 7-§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1ln(1 )
¥
=
+å
Tổng riêng:
1ln(1 ) ln(1 ) ln
Trang 8§1 Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Điều kiện cần của sự hội tụ :
Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi
n n
u u
Trang 9§1 Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Trang 10Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên
chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {S n } bị chặn trên
§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1 Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2 Tiêu chuẩn so sánh
3 Tiêu chuẩn Cauchy
4 Tiêu chuẩn d’Alembert
Trang 11§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy:
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞)
Khi ấy, chuỗi
= thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn tích phân
Trang 12§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
å Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi
2
1(ln )
¥
=å
Trang 13§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Mặt khác
(ln )(ln ) (ln )
khi >1( 1)(ln2)b
=í
ïï
-ïîVậy chuỗi
2
1(ln )
¥
=
å HT khi β>1 và PK khi β≤1
Trang 14§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Trang 15§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
= ç ÷çè ø÷ = =
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
Trang 16§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Trang 17§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau
Trang 18§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 23
(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 23
§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 23
Trang 19§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2
1
n
n n n
= ççè ø÷÷ : =
1
Trang 20§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Trang 21§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
16
¥
=
Trang 22§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3 2
1ln
1
n n
n n
n n
Trang 23§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
1
n n
n
u D
u
1lim n lim n
Trang 24§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Cauchy :
Trang 25§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Rapb :
lim
n n
n n
Trang 26§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
2 4 1
( 1) 1
1
ln 1
n n n n n
Trang 27§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
2 4 1
¥
=
+å
(2 3)! 4
.(2 1)!
4 4
lim n
u u
Trang 28§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
( 1) 1
1
n n
Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy
Trang 29-2 1
(2 1)!! 1
(2 1)
(2 2)!! 2 3(2 1)!! 1 (2 2).(2 3)(2 )!! 2 1
n n
Trang 306 5
n n
chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm
Trang 31(Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert)Biến đổi a lnn e lnnlna n lna
Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln
Trang 32§1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
n n
Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S
của chuỗi thỏa 0≤S≤u1
Trang 33§1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
( 1)
2 /
1
n n
n
n n
n
n
n n
Trang 34§1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
( 1)
( 1)
n n
¥ å
=
+ -
-Số hạng tổng quát của chuỗi ( 1)
-Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu
Trang 35-§1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi
n n
¥ å
¥ å
=
Trang 36-§1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
=
-
-Chuỗi đan dấu với 1
Trang 37-§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối:
Trang 38§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
không suy ra chuỗi
Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert
mà biết được chuỗi
Trang 39§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
= HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ
1
2 1
n n
Trang 40§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2 1
1( 1)
n n
n n
¥ å
=
+-
-Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên
chuỗi HT theo t/c Leibnitz
1 Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với 2 1
Trang 41§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n n
n n
¥ å
n
n u
n
æ + ÷öç
e n
®¥
æ ö÷ç
Trang 42§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
arcsin( 1)( 1)( 1)
n
¥ å
3 2
1
khi n2
Trang 43§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi