Bài giảng giải tích 2 chương 2.2 tích phân bội ba

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định miền đóng bị chặn Ω khơng gian Oxyz Chia Ω thành n phần không dẫm lên Ω1, Ω2 , , Ωn tích tương ứng ∆V1, ∆V2 , , ∆Vn Trong miền Ωk lấy điểm Mk(xk,yk,zk) n Lập tổng tích phân Sn = ∑ f ( xk , y k , zk )∆Vk k =1 Cho max d (Ωk ) → 0, tổng tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω cách lấy điểm Mk giới hạn hữu hạn S gọi tích phân bội ba hàm f(x,y,z) miền Ω §2 tính Vậy: Tích phân bội ba – Định nghĩa cách ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = Ω lim n ∑ f ( xk , y k , zk )∆Vk max d ( Ωk )→0 k =1 Chú ý : Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta chia Ω mặt phẳng song song với mặt tọa độ Khi miền nhỏ hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì ta thường dùng kí hiệu : ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz Ω Ω §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách Tính chất: Các hàm f, g khả tích Ω tính ∫∫∫ dxdydz = V (Ω ) Ω ∫∫∫ C.f ( x, y , z )dxdydz = C ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz Ω Ω ∫∫∫ (f ( x, y , z ) + g ( x, y , z ))dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz + ∫∫∫ g ( x, y , z )dxdydz Ω Ω Nếu g ≥ f Ω Ω ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz ≤ ∫∫∫ g ( x, y , z )dxdydz Ω Ω Nếu Ω chia thành miền không dẫm lên Ω1, Ω2 ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz Ω Ω1 Ω2 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục miền đóng, giới nội, liên thơng Ω Ω tồn điểm M0(x0,y0,z0) cho : ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = f ( x0 , y , z0 )V ( Ω) Ω Ta gọi giá trị trung bình hàm f Ω đại lượng ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz V (Ω) Ω §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính tính Cách Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D giới hạn mặt z = φ(x,y), giới hạn mặt z = ψ(x,y)  ϕ ( x ,y )  ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy Ω D ψ ( x ,y )  ϕ ( x ,y ) Ta cịn viết tích phân dạng ∫∫ dxdy ∫ f ( x, y , z )dz D ψ ( x ,y ) Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau xác định mặt giới hạn trên, Ω §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I1 = ∫∫∫ 2zdxdydz Ω Trong Ω giới hạn ≤ x,0 ≤ y , x + y ≤ z ≤ Hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy phần hình trịn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn x2+y2≤z ≤4, nên I1 = ∫∫ dxdy ∫ 2zdz x2 +y D 2 = ∫∫ ( z )x + y dxdy D π 2 = ∫∫ (16 − ( x + y ) )dxdy = ∫ dϕ ∫ r (16 − r )dr D 0 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính y=0 z=4 z=x2+y2 D x=0 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I2 = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz Ω Trong Ω giới hạn y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz tựa lên đường parabol y=x2 mặt trụ khơng kín, ta cần thêm giao tuyến mặt phẳng z + y = với mặt phẳng Oxy đường thẳng y = để có hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 tức ≤ - y nên D Ω mặt phẳng z = – y nằm mặt phẳng z = -1 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính y+z=1 Vì vậy: 1− y I2 = ∫∫ dxdy ∫ ( x + y )dz D = ∫∫ ( x + y )( z0− y )dxdy z=0 D 1 −1 x2 I2 = ∫ dx ∫ ( x + y )(1 − y )dy y=x2 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x miền Ω giới hạn x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu Ω xuống mặt phẳng z=0 miền D giới hạn x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta 0≤z ≤x+y Vậy : x+ y I3 = òòò f ( x, y , z )dxdydz W x +y I3 = òò dxdy ò xdz D 1- x I3 = ò xdx ò dy 0 =1 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2- x - y òò I9 = dxdy x +y £ I9 = òò ò ( x + y )dz x +y 2 ( x + y )( - x - y - 2 x + y )dxdy x +y £ 2p I9 = ò d j 2p r (r cos j + r sin j )( 1- r - r )dr ò I9 = ò(cos j + s inj )dj I9=0 r ( 1- r - r )dr ị §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2π Ví dụ 10 : Đổi tích phân I10 = ∫ dϕ ∫ dr sau tọa độ Descartes 0 4−r ∫ r 2dz Trước tiên, ta xem xét cận tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, 0 ≤ ϕ ≤ 2π D: 0 ≤ r ≤  −1 ≤ x ≤  ⇔ − − x ≤ y ≤ − x  Suy D: x2+y2≤1 -1 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau cận tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn với ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 cuối xem xét đến hàm dấu tích phân để đổi tọa độ Oxyz : f ( x, y , z ) = r = x + y Vậy: I10 = ∫ dx −1 x2 +y ∫ − x2 +y dy 4− x − y ∫ x + y dz §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích a2 − x phân sau sang I11 = ∫ dx ∫ dy −a tọa độ cầu tính − a2 − x − ∫ xdz a2 − x − y Ta cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy  −a ≤ x ≤  D: 2 2 − a − x ≤ y ≤ a − x  ⇔π ≤ ϕ ≤ 3π a -a -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận tích  x + y + z2 ≤ a2 2 phân theo − a − x − y ≤ z ≤ ⇔  z ≤ dz cho ta ½ hình cầu nằm phía mặt phẳng z = Cắt dọc miền lấy tích phân mặt phẳng chứa trục Oz x = ta ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy π/2 ≤ θ ≤ π 0≤ ρ≤a -a z Cuối thay x=ρsinθcosφ vào 3π π a I11 = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ sinθ ρ sinθ cos ϕ d ρ π π a -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân miền V: x2+y2=1, z=0, 2 2 2 x +y =z (z≥0) hàm f ( x, y , z ) = x + y + z mặt giới hạn V khơng có mặt cầu hàm f(x,y,z) mà ta đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu V xuống mp z=0 hình trịn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V mp x=0 ta D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta gặp đường thẳng tương ứng mặt trụ không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2p I12 = ò dj 2p p òdq ò p I12 = ò dj p I12 = (2 sin q p p æ 1sin qử ữ ỗ1 r ữ r sin qr d r = ũ dj ũ sin qd qỗ ữ ỗ4 ữ ỗ ữ ố ứ p 2p 2p 1 ò sin3 qd q = òdj p 2- - ln ) 2 +1 p 2 - d cos q ò (1- co s2 q)2 p §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 §2 Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω tính V ( Ω ) = ∫∫∫ 1.dxdydz Ω Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn y = x , y = x , x + z = 6, z = Hai mặt trụ song song với trục Oz y = √x, y = 2√x tựa lên đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = để miền đóng D hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x §2 Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = tức ứng với ≤ – x nên miền Ω ta có bất đẳng thức 0≤z≤ 6–x O x 6− x Vậy: V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ dz Ω 2√6 √6 x D §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn ≤ x + y + z ≤ 4, x ≤ y Ta tính thể tích cách đổi tích phân bội ba V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz sang tọa độ cầu bình thường Ω Hình chiếu vật thể xuống mặt phẳng Oxy nửa hình trịn D: x + y ≤ 4, x ≤ y π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz y = x ta miền D1 hình vành khăn D §2 Tích phân bội ba – UD hình học nên ≤ θ ≤ π D1 Trong miền D1 ta theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1≤ρ≤2 5π π Vậy: V (Ω ) = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ 2sinθ d ρ π 5π π π 1 3 V (Ω) = ( − ) ( − cos θ )  ρ ÷ 4  1 14π V (Ω) = §2 Tích phân bội ba – UD hình học D D1 §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn x + y + z ≤ 2z, z ≥ x + y Ta tìm hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước x2 + y +(x2 + y ) = x2 + y Û x2 + y =1 Ta hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz mặt x = ta miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên ≤ θ ≤π/4 theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp mặt cầu với phương trình x + y + z ≤ 2z ⇔ ρ ≤ ρ cos θ ⇔ ρ ≤ 2cos θ §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2π π I14 = ∫ dϕ ∫ dθ 0≤ρ ≤2c osθ 0 ≤ θ ≤π/4 2cos θ ∫ ρ sinθ d ρ ... sau đổi tích phân kép hình chiếu sang tọa độ cực ? ?2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 miền Ω giới hạn y2+z2=1, y2+z2=4, x =2? ?, x=4π... ≤π /2 2? ?2 dọc cắt t Mặ x2+y2+z2=1 ? ?2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y x2 y miền Ω giới hạn + + z ≤ 1, x ≤ 0, y ≥ 0, z ≤ Miền lấy tích phân. .. ỗ4 ữ ỗ ÷ è ø p 2p 2p 1 ò sin3 qd q = òdj p 2- - ln ) 2 +1 p 2 - d cos q ò (1- co s2 q )2 p ? ?2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 ? ?2 Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω tính