Bài giảng giải tích 2 chương 2.1 tích phân kép – định nghĩa và cách tính

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcĐể xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ.

, ( 1)











D1

D2

D3

D4

Miền D được chia thành 4 phần

2 2

1

 





§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Ví dụ : Tính tích phân trong đó

D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2

cos( )

D

I  x y dxdy

Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ

4 1

2

(cos ( cos )) 0









§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại

Ví dụ: Tính tích phân kép

D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1

2

D

I y x dxdy

 

D

I  xy dxdy

y x dxdy x y dxdy

2

2

x

x

dx y x dy dx x y dy

11 15

I 

D1

D2

D2

y x dxdy y x dxdy

    

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1

2

D

I y x dxdy

Ví dụ: Tính tích phân kép

D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1

2

D

I y x dxdy

Ví dụ: Tính tích phân kép

D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1

2

D

I y x dxdy

1

x

y

y

I  dy e dx 

Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích

phân này thì ta chiếu D xuống

trục nào cũng như nhau

2

( yex y )y dy ( yey y dy )

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích

phân sẽ buộc ta phải chiếu D

xuống trục Oy

Ví dụ: Tính tích phân x y

D

I  e dxdy

Với D là miền giới hạn bởi x y x2 ,  0,y  1

1

1

Chiếu miền D vừa vẽ xuống

trục Ox

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau

2

2

( , )

y y



2

Ta vẽ miền lấy tích phân







D:

2 2

ìïï

íï - £ £

ïî

D1

D2

Ta thấy phải chia D

thành 2 phần D1 và D2

x

I dx  f x y dy dx  f x y dy



cos sin

x r

y r















Nhắc lại về tọa độ cực

Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa

độ Descartes

Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

M(x,y)

φ

r

( , )

g Ox OM

r OM



 





Đặt :

arctan

y x j

ïï

Û í

ï = ïïî

Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực

Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt :

Thì ta được pt r = 1

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2 2 2

2 2 1

a  b 

x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ

3 cos

r

j

=

↔

Công thức đổi biến sang tọa độ cực

( , ) ( , )

( , ) ( cos , sin )

D x y D r

f x y dxdy J f r r drd





Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc

ellipse

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

( , ) D(r, )

r

r

x x

D x y

J

y y







 

  = r

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Để xác định cận của tích

phân theo φ, ta quét từ dưới

lên theo ngược chiều kim

đồng hồ bởi các tia màu đỏ

( 2 )

D

I  x  y dxdy

Ví dụ : Tính tích phân

Trong đó D giới hạn bởi : x2  y2 2 ,x y 0(y 0)

Ta được φ đi từ 0 đến π/2

Còn để xác định cận của tích

phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia

màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2cos 2

( cos 2 sin )





3

0

0

((cos 2si

3

n ) )r d





0

1



Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận

dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi

đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ

Vậy :

0 3

.

a

I d r r dr







§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ

gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a

Trong đó D giới hạn bởi

Ví dụ : Tính tích phân 2 2

D

I   x  y dxdy

x  y a x  y  x x y 

Suy ra: p3 £ £j p2

3

3 0

( )( )

2 3 3 18

a

r

a

y=√3x ↔ y / x = √3 ↔ φ = π / 3

4

cos sin



§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Trong đó D giới hạn bởi

Ví dụ : Tính tích phân

D

I xydxdy

x  y  y x y 

y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π / 4

Suy ra : 3π / 4 ≤φ ≤ π

x 2 +y 2 = 2y ↔ r = 2sinφ

Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ

2 2

2 x x   y  4 , 3 x  x y   0

D

I   y  dxdy

Ví dụ : Tính tích phân

Trong đó D giới hạn bởi :

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2 x x   y  4 , 3 x  x y   0

D

I   y  dxdy

2 x x   y  4 , 3 x  x y   0

Ví dụ : Tính tích phân (2 1)

D

I   y  dxdy

2 x x   y  4 , 3 x  x y   0

Trong đó D giới hạn bởi :

Ví dụ : Tính tích phân (2 1)

D

I   y  dxdy

2 x x   y  4 , 3 x  x y   0

2x ≤ x 2 +y 2 ≤4x ↔

2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ

0

3x y 0 p3 j

Đây là trường hợp ta có thể

không cần vẽ hình cũng lấy

được cận tích phân

4cos 0

2cos 3



Ví dụ : Tính tích phân

2 2 (x  2)  y  1,0 y D

I  xdxdy

Trong đó D giới hạn bởi

2 1

1

-1

Ta đi tích phân này bằng

cách dời hình tròn để tâm

hình tròn là (0,0), sau đó

mới đổi sang tọa độ cực

Thực hiện 2 việc trên bằng 1

phép đổi biến sang tọa độ

cực mở rộng như sau: đặt

2 cos

sin

y r





 









§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Khi đó, miền D giới hạn bởi 0

0 r 1

 

 





 



I  d   r  r  dr

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Ví dụ : Tính tích phân 2 2

2 2

1

D

x y

a b

  

2 2

2 2 1, 0

x y

x

a  b  

cos sin

x ar

J abr

y br















Trong đó D giới hạn bởi

a

b

Ta đổi biến sang tọa độ cực

mở rộng bằng cách đặt

Thì D giới hạn bởi

3

0 r 1





 



3

1

0 2

1

I d abr r dr







§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực