Bài giảng giải tích 2 chương 2.1 tích phân kép – định nghĩa và cách tính

§1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ cos( x + y )dxdy D D miền giới hạn : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2 Miền D chia thành phần  − π ≤ x ≤ − π , − π ≤ y ≤ π (D1) 2   − π ≤ x ≤ π , − π ≤ y ≤ − π (D 2) 4   − π ≤ x ≤ π ,π ≤ y ≤ π (D3) 4  π π π π  ≤ x ≤ , − ≤ y ≤ (D 4)  −π π −π D3 D4 D1 D2 π I1 = ∫ dx ∫ cos( x + y )dy = ∫ sin( x + y ) π dx − −π −π −π 2 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính −π −π I1 = ∫ (cos x − ( − cos x ))dx = Tương tự, ta tính cho tích phân miền cịn lại Ta cịn tính tích phân cách tính tích phân hình vng lớn trừ tích phân hình vng nhỏ π π π π I = ∫ dx ∫ cos( x + y )dy − ∫ dx ∫ cos( x + y )dy −π −π −π −π §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ: Tính tích phân kép I = ∫∫ y − x dxdy D D miền giới hạn -1≤x≤1, 0≤y≤1 I = ∫∫ ( xy ) dxdy = ∫∫ y − x dxdy + ∫∫ y − x dxdy D1 D ( ) ( ) = ∫∫ y − x dxdy + ∫∫ x − y dxdy D1 D1 D2 D2 D2 −1 x2 ( D2 ) x2 −1 ( ) = ∫ dx ∫ y − x dy + ∫ dx ∫ x − y dy 11 I = 15 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính x Ví dụ: Tính tích phân I = ∫∫ e y dxdy D Với D miền giới hạn x = y 2, x = 0, y = Nếu nhìn vào miền lấy tích phân ta chiếu D xuống trục Tuy nhiên, hàm dấu tích phân buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy y2 0 x x 1 y = ∫ ( ye y )0 dy = ∫ ( ye y − y )dy I = ∫ dy ∫ e dx y 0 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính y y −2 Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx Ta vẽ miền lấy tích phân  ì ≤ y ≤2 ï ï D: í   ï y - ££ x ï ỵ y D2 D1 Chiếu miền D vừa vẽ xuống trục Ox -2 Ta thấy phải chia D thành phần D1 D2 x +2 x +2 −2 0 x I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y )dy §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nhắc lại tọa độ cực Điểm M có tọa độ (x,y) tọa độ Descartes → Đặt : → ϕ = g (Ox,OM ) r = OM Khi đó, mối liên hệ x, y r, φ ì r = x2 + y ï x = r cos ϕ ï   Û ï í y = r sin ϕ  ï j = arctan y ï ï x ợ M(x,y) r Đ1: Tớch phõn kộp Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ: Đổi phương trình sau sang tọa độ cực (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ x2 y 2 + = a b Đổi sang tọa độ cực mở rộng cách đặt : x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ x = ↔ rcosφ = Thì ta pt r = ↔ r= cos j §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Công thức đổi biến sang tọa độ cực ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ J f (r cos ϕ , r sin ϕ )drdϕ D( r ,ϕ ) D( x,y ) D( x, y ) J= = D(r,ϕ ) Trong ′ xr ′ xϕ y r′ ′ yϕ =r Thơng thường, ta đổi tích phân kép sang tọa độ cực miền lấy tích phân kép phần hình trịn ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực ∫∫ Ví dụ : Tính tích phân I = D ( x − 2y )dxdy Trong D giới hạn : x + y = x, y = 0( y ≥ 0) Để xác định cận tích phân theo φ, ta quét từ lên theo ngược chiều kim đồng hồ tia màu đỏ Ta φ từ đến π/2 Còn để xác định cận tích phân theo r, ta theo tia màu vàng từ gốc tọa độ ra, gặp đường trước pt đường (trong tọa độ cực) cận dưới, đường trước pt đường cận §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nếu gặp đường ví dụ cận ta lấy 0, cận pt đường tròn sau đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy : π 2cos ϕ π I = ∫ dϕ ∫ r (r cos ϕ − 2r sin ϕ )dr r 2cos ϕ = ∫ ((cos ϕ − 2sin ϕ ) )0 dϕ π = ∫ (cos ϕ − 2sin ϕ )8cos3 ϕ dϕ 30 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực I = ∫∫ x + y dxdy Ví dụ : Tính tích phân D x + y = a2 , x = 0, y = 3x( x, y ≥ 0) Trong D giới hạn y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3 Suy ra: p £ j £ p Đi từ gốc tọa độ gặp đường nên ≤ r ≤ a π π π r3 a π I = ∫ dϕ ∫ r r dr = ( − )( )0 = a 3 18 π a §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ xydxdy D Trong D giới hạn x + y ≤ 2y , x + y ≤ y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy : 3π/4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy : ≤ r ≤ 2sinφ π 2sin ϕ 3π I = ∫ dϕ ∫ r r cos ϕ r sin ϕ dr §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ (2y − 1)dxdy D Trong D giới hạn : x ≤ x + y ≤ x, − 3x ≤ y ≤ 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ « - p ££ j Đây trường hợp ta khơng cần vẽ hình lấy cận tích phân - 3x ££ y cos ϕ I = ∫ dϕ ∫ −π 2cos ϕ r (2r sin ϕ − 1)dr §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = ∫∫ xdxdy D Trong D giới hạn ( x − 2)2 + y ≤ 1,0 ≤ y Ta tích phân cách dời hình trịn để tâm hình trịn (0,0), sau đổi sang tọa độ cực Thực việc phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng sau: đặt  x = + r cos ϕ   y = r sin ϕ 1 -1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Khi đó, miền D giới hạn Vậy : π 0 0 ≤ ϕ ≤ π  0 ≤ r ≤ I = ∫ dϕ ∫ r (2 + r cos ϕ )dr §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực x2 y I = ∫∫ − − dxdy a b D Ví dụ : Tính tích phân x2 y + ≤ 1, x ≤ a b Trong D giới hạn Ta đổi biến sang tọa độ cực mở rộng cách đặt b  x = ar cos ϕ ⇒ J = abr   y = br sin ϕ a Thì D giới hạn π ≤ ϕ ≤ 3π  2  0 ≤ r ≤  3π ⇒ I = ∫ dϕ ∫ abr − r dr π ...§1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính −π −π I1 = ∫ (cos x − ( − cos x ))dx = Tương tự, ta tính cho tích phân miền cịn lại Ta cịn tính tích phân cách tính tích phân hình vng lớn trừ tích phân. .. D1 D2 D2 D2 −1 x2 ( D2 ) x2 −1 ( ) = ∫ dx ∫ y − x dy + ∫ dx ∫ x − y dy 11 I = 15 §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính x Ví dụ: Tính tích phân I = ∫∫ e y dxdy D Với D miền giới hạn x = y 2, ... Thông thường, ta đổi tích phân kép sang tọa độ cực miền lấy tích phân kép phần hình trịn ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực ∫∫ Ví dụ : Tính tích phân I = D ( x − 2y )dxdy Trong D