TÍCH PHÂN bội BA (GIẢI TÍCH)

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định miền đóng bị chặn Ω khơng gian Oxyz Chia Ω thành n phần không dẫm lên Ω1, Ω2 , , Ωn tích tương ứng ∆V1, ∆V2 , , ∆Vn Trong miền Ωk lấy điểm Mk(xk,yk,zk) n Lập tổng tích phân Sn = ∑ f ( xk , y k , zk )∆Vk k =1 Cho max d (Ωk ) → 0, tổng tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω cách lấy điểm Mk giới hạn hữu hạn S gọi tích phân bội ba hàm f(x,y,z) miền Ω §2 tính Vậy: Tích phân bội ba – Định nghĩa cách ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = Ω lim n ∑ f ( xk , y k , zk )∆Vk max d ( Ωk )→0 k =1 Chú ý : Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta chia Ω mặt phẳng song song với mặt tọa độ Khi miền nhỏ hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì ta thường dùng kí hiệu : ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz Ω Ω §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách Tính chất: Các hàm f, g khả tích Ω tính ∫∫∫ dxdydz = V (Ω ) Ω ∫∫∫ C.f ( x, y , z )dxdydz = C ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz Ω Ω ∫∫∫ (f ( x, y , z ) + g ( x, y , z ))dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz + ∫∫∫ g ( x, y , z )dxdydz Ω Ω Nếu g ≥ f Ω Ω ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz ≤ ∫∫∫ g ( x, y , z )dxdydz Ω Ω Nếu Ω chia thành miền không dẫm lên Ω1, Ω2 ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz Ω Ω1 Ω2 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục miền đóng, giới nội, liên thơng Ω Ω tồn điểm M0(x0,y0,z0) cho : ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = f ( x0 , y , z0 )V ( Ω) Ω Ta gọi giá trị trung bình hàm f Ω đại lượng ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz V (Ω) Ω §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D giới hạn mặt z = φ(x,y), giới hạn mặt z = ψ(x,y)  ϕ ( x ,y )  ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy Ω D ψ ( x ,y )  ϕ ( x ,y ) Ta cịn viết tích phân dạng ∫∫ dxdy ∫ f ( x, y , z )dz D ψ ( x ,y ) Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau xác định mặt giới hạn trên, Ω §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I1 = ∫∫∫ 2zdxdydz Ω Trong Ω giới hạn ≤ x,0 ≤ y , x + y ≤ z ≤ Hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy phần hình trịn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn x2+y2≤z ≤4, nên I1 = ∫∫ dxdy ∫ 2zdz x2 +y D 2 = ∫∫ ( z )x + y dxdy D π 2 = ∫∫ (16 − ( x + y ) )dxdy = ∫ dϕ ∫ r (16 − r )dr D 0 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính y=0 z=4 z=x2+y2 D x=0 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I2 = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz Ω Trong Ω giới hạn y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz tựa lên đường parabol y=x2 mặt trụ khơng kín, ta cần thêm giao tuyến mặt phẳng z + y = với mặt phẳng Oxy đường thẳng y = để có hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 tức ≤ - y nên D Ω mặt phẳng z = – y nằm mặt phẳng z = -1 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính y+z=1 Vì vậy: 1− y I2 = ∫∫ dxdy ∫ ( x + y )dz D = ∫∫ ( x + y )( z01− y )dxdy z=0 D 1 −1 x2 I2 = ∫ dx ∫ ( x + y )(1 − y )dy y=x2 §2 Tích phân bội ba – Định nghĩa cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x miền Ω giới hạn x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu Ω xuống mặt phẳng z=0 miền D giới hạn x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta 0≤z ≤x+y Vậy : x+ y I3 = òòò f ( x, y , z )dxdydz W x +y I3 = òò dxdy ò xdz D 1- x I3 = ò xdx ò dy 0 =1 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2- x - y òò I9 = dxdy x +y £ I9 = òò ò ( x + y )dz x +y 2 ( x + y )( - x - y - 2 x + y )dxdy x +y £ 2p I9 = ò d j 2p r ( r cos j + r sin j )( r - r )dr ò I9 = ò(cos j + s inj )dj I9=0 2 r ( r - r )dr ị §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2π Ví dụ 10 : Đổi tích phân I10 = ∫ dϕ ∫ dr sau tọa độ Descartes 0 4−r ∫ r 2dz Trước tiên, ta xem xét cận tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, 0 ≤ ϕ ≤ 2π D: 0 ≤ r ≤ −1 ≤ x ≤ ⇔ − − x ≤ y ≤ − x Suy D: x2+y2≤1 -1 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau cận tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn với ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 cuối xem xét đến hàm dấu tích phân để đổi tọa độ Oxyz : f ( x, y , z ) = r = x + y Vậy: I10 = ∫ dx −1 x2 +y ∫ − x2 +y dy 4− x − y ∫ x + y dz §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích a2 − x phân sau sang I11 = ∫ dx ∫ dy −a tọa độ cầu tính − a2 − x − ∫ xdz a2 − x − y Ta cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy −a ≤ x ≤ D: 2 2 − a − x ≤ y ≤ a − x ⇔π ≤ ϕ ≤ 3π a -a -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 2 Cận tích  x + y + z ≤ a 2 phân theo − a − x − y ≤ z ≤ ⇔  z ≤ dz cho ta ½ hình cầu nằm phía mặt phẳng z = Cắt dọc miền lấy tích phân mặt phẳng chứa trục Oz x = ta ½ hình trịn y2+z2≤a2, z≤0 Suy π/2 ≤ θ ≤ π 0≤ ρ≤a -a z Cuối thay x=ρsinθcosφ vào 3π π a I11 = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ sinθ ρ sinθ cos ϕ d ρ π π a -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân miền V: x2+y2=1, z=0, 2 2 2 x +y =z (z≥0) hàm f ( x, y , z ) = x + y + z mặt giới hạn V khơng có mặt cầu hàm f(x,y,z) mà ta đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu V xuống mp z=0 hình trịn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V mp x=0 ta D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta gặp đường thẳng tương ứng mặt trụ không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2p I12 = ò dj 2p p òdq ò p I12 = ò dj p I12 = (2 sin q p p ỉ sin q ữ ỗ ữ r sin qr d r = ũ dj ũ sin qd qỗ r ữ ç ÷ ç ÷ è ø p 2p 2p 1 d q = ò dj ò sin q p 2- - ln ) 2 +1 p 2 - d cos q 2 ò (1 co s q ) p §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 §2 Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω tính V ( Ω ) = ∫∫∫ 1.dxdydz Ω Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn y = x , y = x , x + z = 6, z = Hai mặt trụ song song với trục Oz y = √x, y = 2√x tựa lên đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = để miền đóng D hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x §2 Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = tức ứng với ≤ – x nên miền Ω ta có bất đẳng thức 0≤z≤ 6–x O x x 6− x Vậy: V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ dz Ω 2√6 √6 D §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn ≤ x + y + z ≤ 4, x ≤ y Ta tính thể tích cách đổi tích phân bội ba V (Ω) = ∫∫∫ dxdydz sang tọa độ cầu bình thường Ω Hình chiếu vật thể xuống mặt phẳng Oxy nửa hình trịn D: x + y ≤ 4, x ≤ y π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz y = x ta miền D1 hình vành khăn D §2 Tích phân bội ba – UD hình học nên ≤ θ ≤ π D1 Trong miền D1 ta theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1≤ρ≤2 5π π Vậy: V (Ω ) = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ 2sinθ d ρ π 5π π π 1 3 V (Ω) = ( − ) ( − cos θ )  ρ ÷ 4  1 14π V (Ω) = §2 Tích phân bội ba – UD hình học D D1 §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn x + y + z ≤ 2z, z ≥ x + y Ta tìm hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước x2 + y +(x2 + y ) = x2 + y Û x2 + y =1 Ta hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz mặt x = ta miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên ≤ θ ≤π/4 theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp mặt cầu với phương trình x + y + z ≤ 2z ⇔ ρ ≤ ρ cos θ ⇔ ρ ≤ 2cos θ §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2π π I14 = ∫ dϕ ∫ dθ 0≤ρ ≤2c os θ 0 ≤ θ ≤π/4 2cos θ ∫ ρ sinθ d ρ ... tích phân bội ba tọa độ trụ việc tính tích phân bình thường theo dz, sau đổi tích phân kép hình chiếu sang tọa độ cực §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội. .. ρ 3d ρ π π 2 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D Hình chiếu z 0≤ρ≤ / π π ≤ ≤θ ặ M t ắ tc §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y... §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y 2 x y miền Ω giới hạn + + z ≤ 1, x ≤ 0, y ≥ 0, z ≤ Miền lấy tích phân phần ellipsoid nên ta đổi tích