TÍCH PHÂN kép (bội) (PHẦN 1) (GIẢI TÍCH)

Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP BÀI TỐN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ Ω giới hạn mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt Oxy, bao xung quanh mặt trụ có đường sinh // Oz đường chuẩn biên miền D đóng bị chận Oxy Tìm thể tích Ω D z z = f(x, y) D x y Xấp xỉ Ω hình trụ Thể tích xấp xỉ hình trụ Vij ≈ S (Dij ) × f ( xij* , y ij* ) V (Ω) = ∑Vij i, j Dij ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định miền D đóng bị chận D Phân hoạch D thành miền D1, D2, …, Dn ∆Sk diện tích Dk miền Dk d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn điểm Dk d = max{d (Dk )} k =1, n Đường kính phân hoạch Mk chọn tùy ý Dk f(Mk) ∆Sk = S ( Dk ) D Mk n Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 Tổng tích phân f n Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 f khả tích nếu: lim Sn < ∞ d →0 với phân hoạch tùy ý D Tích phân kép f D giới hạn có Sn Sn ∫∫ f ( x , y )ds = dlim →0 D Phân hoạch D theo đường // ox, oy Dij B y= x D A O I = ∫∫ xydxdy CÁCH 0 ≤ y ≤ D: y ≤ x ≤ 1 ∫ ∫ = dy xydx y x  = y   dy y  ∫ 1− y = y dy = ∫ 2/ Tính I = ∫∫ ( x + y )dxdy D với D: x2 + y2 ≤ 1, y ≥ y = 1− x 1− x −1 I = ∫ dx ∫ ( x + y )dy -1 1 2  y =  xy +  0  −1 ∫ 1− x dx  −1 ≤ x ≤ 1 2 D:  2 1− x 0 ≤ y ≤ − x = ∫  x − x +  dx = −1   y = 1− x I = ∫∫ ( x + y )dxdy D 1− y ∫ I = dy -1 0 ≤ y ≤ D: 2 − − y ≤ x ≤ − y ∫ ( x + y )dx 1− y ∫0 = y − y dy = I = ∫∫ ( x + 1)dxdy 3/ Tính D với D giới hạn đường y = x, y = x2 y=x y = x x x2 I = ∫ dx ∫ ( x + 1)dy = ∫ ( x + 1)( x − x )dx 0 ≤ x ≤ D: x ≤ y ≤ x 1 = ∫ ( x − x )dx = 4/ Tính I = ∫∫ ( x + 1)dxdy D với D giới hạn đường y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 y y  −2≤ x ≤ 2− D :  48 − 24 ≤ y ≤ 24  y2 – 24x = 48 y2 + 8x = 16 5/ Tính diện tích miền D giới hạn đường y = (2 − x ) x , y = x − x Hoành độ giao điểm (2 − x ) x = x − x ⇔ x = 0, x =  x ≥ 0 ≤ x ≤ D:  x − x ≤ y ≤ (2 − x ) x S (D ) = ∫∫D ∫0 dxdy = dx (2 − x ) x ∫ x −2 x dy 2y xe dxdy 6/ Tính 4−y D miền D giới hạn đường: y = 0, y= – x2, x ≥ 0, ∫∫ 4− x 2 y = 4−x ∫ I = dx ∫ 2y xe dy 4−y Đổi thứ tự ∫ I = dy 4− y ∫ xe y dx 4−y Khó lấy nguyên hàm 4− y ∫ I = dy ∫ 2y xe dx 4−y  4− y e x =   − y  0 ∫ 2y 2y e = dy ∫0 dy e = − 4 7/ Tính ∫∫ x − y dxdy D miền D giới hạn đường: y = 0, y= – x2 D2 D1 − 2 − y = x 6/ Tính ∫∫ x − y dxdy D miền D giới hạn đường: y = 0, y= – x2 I= ∫∫D ( y − x )dxdy D1 + ∫∫ D ( x − y )dxdy D2 − y = x 7/ Vẽ miền lấy tích phân đổi thứ tự lấy VD sau 2− y y 4y y 2− y / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx − 2− y 2− y y / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y 2− y y / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y x = 2−y 2− y y / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y x = 2−y x y  →2 − y y  →1 2− y y / I = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx x= y x = 2−y y  →2 − x 0  0  →x x  y x → − y x →2 1  →1 0  y  →1 y ... khả tích nếu: lim Sn < ∞ d →0 với phân hoạch tùy ý D Tích phân kép f D giới hạn có Sn Sn ∫∫ f ( x , y )ds = dlim →0 D Phân hoạch D theo đường // ox, oy Dij Khi f khả tích, việc tính tích phân. .. xỉ Ω hình trụ Thể tích xấp xỉ hình trụ Vij ≈ S (Dij ) × f ( xij* , y ij* ) V (Ω) = ∑Vij i, j Dij ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định miền D đóng bị chận D Phân hoạch D thành... diện tích Dk miền Dk d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn điểm Dk d = max{d (Dk )} k =1, n Đường kính phân hoạch Mk chọn tùy ý Dk f(Mk) ∆Sk = S ( Dk ) D Mk n Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 Tổng tích phân