Trắc nghiệm, bài giảng pptx các môn chuyên ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành Y dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php?use_id=7046916. Slide bài giảng môn giải tích ppt dành cho sinh viên chuyên ngành kinh tế và Y dược. Trong bộ sưu tập có trắc nghiệm kèm đáp án chi tiết các môn, giúp sinh viên tự ôn tập và học tập tốt môn giải tích bậc cao đẳng đại học ngành Y dược và các ngành khác
Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0) f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ) ∂f fx′ ( x0 , y ) = ( x0 , y ) = lim ∆x →0 ∂x ∆x (Cố định y0, biểu thức hàm biến theo x, tính đạo hàm hàm x0) Đạo hàm riêng cấp f theo biến y (x0, y0) f ( x0 , y + ∆y ) − f ( x0 , y ) ∂f fy′ ( x0 , y ) = ( x0 , y ) = lim ∆y →0 ∂y ∆y Ý nghĩa đhr cấp Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 qua P (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b) f’x(a, b) = g’(a) hệ số góc tiếp tuyến T1 C1 x = a f’y(a, b) hệ số góc tiếp tuyến T2 C2 ( phần giao S với mp x = a) y = b Các ví dụ cách tính 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx′ (1,2) : fx′ (1,2), fy′ (1,2) cố định y0 = 2, ta có hàm biến f ( x , 2) = x + x ′ ⇒ fx (1,2) = (6 x + x )′ |x =1 = 12 x + |x =1 = 16 f(x,y) = 3x2y + xy2 fy′ (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm biến f (1, y ) = 3y + y 2 ⇒ fy′ (1, 2) = (3y + y )′ |y = = (3 + y ) |y = = 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx′ ( x , y ), fy′ ( x , y ) với (x, y) ∈ R2 fx′ ( x , y ) Xem y hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x ′ fx ( x , y ) = xy + y , ∀( x , y ) Áp dụng tính: fx′ (1,2) = (6 xy + y ) | x =1, y = = 16 (Đây cách thường dùng để tính đạo hàm điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2 fy′ ( x , y ) Xem x hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y ′ fy ( x , y ) = 3x + x y , ∀( x , y ) Áp dụng tính: fx′ (1,2) = (3x + xy ) |x =1,y =2 = 2/ Tính fx′ (1,1), fy′ (1,1) với f(x, y) = xy y −1 ′ fx ( x , y ) = yx , ∀x > 1−1 ⇒ fx′ (1,1) = × = 1; y fy′ ( x , y ) = x ln x , ∀x > ⇒ fy′ (1,1) = ln1 = 10 ∂ f 2/ Cho f ( x , y ) = ln(2 x + 3y ) Tính ( − 1,1) ∂x 7∂y Đạo hàm f: lần theo x, lần theo y −1 7 ∂ f 6! (−1) (7 − 1)!2 (x, y ) = = 7 ∂x (2 x + 3y ) (2 x + 3y ) ∂ f ∂ ∂ f ( x, y ) = ( x, y ) ÷ ∂x ∂y ∂y ∂x 10 ∂ ∂ f ∂ 6! (x, y ) ÷ = 3 7÷ ∂y ∂x ∂y (2 x + 3y ) = 276!33 (−7)(−7 − 1)(−7 − 2)(2 x + 3y ) −10 = −27 × 9!× 33 × (2 x + 3y ) −10 10 ∂ f ( − 1,1) = − × 9! × ∂x 7∂y SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN (CẤP 1) f khả vi (x0, y0) tồn số A, B cho: f ( x0 + ∆x , y + ∆y ) − f ( x0 , y ) = A∆x + B∆y + o ( ρ ) o( ρ ) = o ( ∆x + ∆y ) VCB bậc cao ρ ∆x, ∆y → df ( x0 , y ) = A∆x + B∆y vi phân f (x0, y0) Điều kiện cần khả vi: 1.f khả vi (x0, y0) f liên tục (x0, y0) 2.f khả vi (x0, y0) f có đạo hàm riêng (x0, y0) fx′ ( x0 , y ) = A, fy′ ( x0 , y ) = B Vi phân hàm biến thường viết dạng: df ( x0 , y ) = fx′ ( x0 , y )dx + fy′ ( x0 , y )dy Điều kiện đủ khả vi: Cho f xác định miền mở chứa (x0, y0), đhr f’x, f’y liên tục (x0, y0) f khả vi taïi Các hàm sơ cấp thường gặp thỏa mãn điều kiện (x0, y0) VD: cho f (x, y ) = x y tính df ( x , y ) df ( x , y ) = fx′ ( x , y )dx + fx′ ( x , y )dy = xy 3dx + 3x y 2dy Các cơng thức tính vi phân: hàm biến d (α f ) = α df , α ∈ R d (f ± g ) = df ± dg , d (f g ) = gdf + fdg Sau gom lai theo dx, dy f gdf − fdg d ÷= g g Vi phân hàm n biến: z = f ( x1, x2 , , xn ) dz = fx′1 dx1 + fx′2 dx + + fx′n dxn VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp f vi phân df(x,y) xem dx, dy số (ta xét trường hợp đhr hỗn hợp nhau) Cách viết: d2f(x, y) = d(df(x, y)) d f = d ( fx′dx + fy′ dy ) = d (fx′ )dx + d (fy′ )dy ′′ dx + fxy ′′ dy )dx + (fyx ′′ dx + fyy ′′ dy )dy = (fxx 2 ′′ dx + 2fxy ′′ dxdy + fyy ′′ dy d f ( x , y ) = fxx hay 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 d f ( x , y ) = dx + dxdy + dy ∂x∂y ∂x ∂y Công thức áp dụng x, y biến độc lập VÍ DỤ Tìm vi phân cấp 1, (0, 1) 2 x f ( x, y ) = x y − y e x 2 x * fx′ = xy − y e , fy′ = x y − 3y e df (0,1) = fx′ (0,1)dx + fy′ (0,1)dy = −dx − 3dy x ′′ = y − y e , * fxx ′′ = x − 6ye x fyy x ′′ = xy − 3y e fxy ′′ = y − y 3e x , fxy ′′ = xy − 3y 2e x , fyy ′′ = x − 6ye x * fxx 2 ′′ ′′ ′′ d f (0,1) = fxx (0,1)dx + 2fxy (0,1)dxdy + fyy (0,1)dy = dx + × (−3)dxdy − 6dy Cơng thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n vi phân vi phân cấp (n – 1) (Chỉ áp dụng f biểu thức đơn giản theo x, y (thường hợp hàm sơ cấp với đa thức bậc x, y) Cơng thức hình thức: (trường hợp biến độc lập) n ∂ ∂ d f ( x , y ) = dx + dy ÷ f ( x , y ) ∂y ∂x n Trong khai triển nhị thức Newton, thay lũy thừa ∂ cấp đhr tương ứng f, lũy thừa dx, dy tính thường cụ thể: ∂ ∂ d f ( x , y ) = dx + dy ÷ f ∂y ∂x 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f = dx + dxdy + dy ∂x∂y ∂x ∂y ∂ ∂ d f ( x , y ) = dx + dy ÷ f ∂y ∂x 3 3 ∂f ∂f ∂f ∂f 2 = dx + dx dy + dxdy + dy ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y Ví dụ Tính vi phân cấp dz = d (e Cách 1: z = f (x, y ) = e x+y x+y ) x+y x+y = e dx + e dy x+y = e (dx + dy ) ( d z = d (dz ) = d e = d (e x+y x+y (dx + dy ) )(dx + dy ) = e ( d z = d (d z ) = d e x+y x +y ) (dx, dy hằng) (dx + dy ) ) (dx + dy ) = e x +y (dx + dy ) Cách 2: f (x, y ) = e 3 x+y 3 ∂f ∂f ∂f 2 ∂ f d z = dx + dx dy + dxdy + dy ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y 3 d z=e x+y ⇒d z=e ( dx x+y 2 + 3dx dy + 3dxdy + dy (dx + dy ) 3 ) ... ′′ ′′ d f (0 ,1) = fxx (0,1)dx + 2fxy (0,1)dxdy + fyy (0,1)dy = dx + × (−3)dxdy − 6dy Cơng thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n vi phân vi phân cấp (n – 1) (Chỉ áp dụng...Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0) f... A∆x + B∆y vi phân f (x0, y0) Điều kiện cần khả vi: 1.f khả vi (x0, y0) f liên tục (x0, y0) 2.f khả vi (x0, y0) f có đạo hàm riêng (x0, y0) fx′ ( x0 , y ) = A, fy′ ( x0 , y ) = B Vi phân hàm biến