ĐẠO hàm và VI PHÂN (PHẦN 2) (GIẢI TÍCH)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần Nội dung Đạo hàm vi phân hàm hợp Đạo hàm vi phân hàm ẩn ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp bản: hợp hàm biến hàm biến Cho z = f(x, y) x = x(u, v), y = y(u, v) Nếu z, x, y khả vi: zu′ = fx′ xu′ + fy′ y u′ , zv′ = fx′ xv′ + fy′ yv′ dz = zu′ du + zv′ dv dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ ( xu′ du + xv′ dv ) + fy′ ( y u′ du + y v′ dv ) Trường hợp riêng Cho z = f(x) x = x(u, v) (hợp biến biến) zu′ = f ′( x ) xu′ , zv′ = f ′( x ) xv′ dz = zu′ du + zv′ dv dz = f ′( x )dx = f ′( x )( xu′ du + xv dv ) Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp biến biến) z′(t ) = fx′ x ′(t ) + fy′ y ′(t ) dz = z′(t )dt dz = fx′dx + fy′ dy = fx′ x ′(t )dt + fy′ y ′(t )dt Trường hợp riêng 3: z = f(x, y), y = y(x) (hợp biến biến) z′( x ) = fx′ + fy′ y ′( x ) dz = z′( x )dx Lưu ý: tính đạo hàm hàm hợp, đạo hàm f theo biến Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm biến vào cạnh đạo hàm f VÍ DỤ 1/ Cho: xy z = f (x, y ) = e , x = u , y = u + v tìm z’u, z’v , dz (u, v)= (1, 1) z’u = f’x x’u + f’y.y’u z’v = f’x x’v + f’y.y’v (u, v)= (1, 1) ⇒ (x, y) = (1, 2) xy ′ zu = ye 2u + xe xy xy xy ′ ye zv = + xe zu′ (1,1) = 2.e 2 + 1.e = 5e ⇒ zv′ (1,1) = e 2 dz (1,1) = zu′ (1,1)du + zv′ (1,1)dv = 5e du + e dv u  2/ Cho:z = f ( x ) = sin( x + x ), x = arctan  ÷ v  Tính z’u, z’v (0, 1) z’u = f’(x) x’u z’v = f’(x) x’v 1 zu′ = (1 + x )cos( x + x ) × × v u 1+ v −u zv′ = (1 + x )cos( x + x ) × × v u 1+ v x(0, 1) = zu′ (0,1) =  zv′ (0,1) = 3/ Cho: z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = et Tính dz(t) t = Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x x’(t) + f’y.y’(t), z′(t ) = y cos( xy ) 1+ t t = ⇒ x = 0, y = ⇒ dz (0) = dt + x cos( xy ) e t Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x: Fx′ G = ⇒ Gx′ = Fx′ + Fy′ + Fz′.z′x = ⇒ z′x = − Fz′ Fy′ G = ⇒ Gy′ = Fx′ + Fy′ + Fz′.z′y = ⇒ z′y = − Fz′ Hàm ẩn cho pt (1) có đhr Cách tìm vi phân cấp 1: G = ⇒ dG = dF = Fx′ dx + Fy′ dy + Fz′.dz = ⇒ Giải pt tìm dz dz tìm giải pt từ dz = z’xdx + z’ydy Đạo hàm vi phân cấp hàm ẩn: Cách 1: tính z”xx, z”xy, z”yy d2z từ z’x, z’y dz Cách 2: giải pt (a) G”xx = tìm z”xx (b) G”xy = tìm z”xy (c) G”xy = tìm z”yy (d) d2G = d2F = tìm d2z VÍ DỤ Cho y = y(x) xác định từ pt: e y + xy − e = (1) Tìm y’(0) Cách 1: học kỳ Lấy đạo hàm pt cho: y ′e y + y + xy ′ = (2) x = 0, (1) ⇒ y = 1, (2) ⇒ y ′(0)e + + = −1 ′ ⇒ y (0) = −e Cách 2: F(x, y) = ey + xy – e (1) ⇔ F(x, y) = Fx′ y ′( x ) = − Fy′ y =− y e +x ⇒ y ′(0) = − = −e −1 e+0 Ví dụ 1/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z ) = z − ye x / z = (1) Tìm z’x, z’y (x, y) = (0, 1) từ (1) ta có: (x, y) = (0, 1) ⇔ z = y x/z − e −1 Fx′ z ⇒ z′x (0,1) = − =1 z′x = − = − yx x / z + Fz′ 1+ e z F ( x , y , z ) = z − ye Fy′ z′y = − = − Fz′ x/z =0 x/z −e yx x / z 1+ e z −1 ⇒ z′y (0,1) = − =1 1+ Ví dụ 2/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z ) = xy − sh( x + y − z ) = (1) Tìm z’’xx, z’’xy (x, y) = (1, 0) ( x , y ) = (1,0) ⇒ z = Fx′ y − ch( x + y − z ) z′x = − = − Fz′ ch( x + y − z ) z′x (1,0) = 1, ⇒ ′ z Fy′ y (1,0) = x − ch( x + y − z )  z′y = − = − Fz′ ch( x + y − z ) Fx′ y − ch( x + y − z ) z′x = − = − Fz′ ch( x + y − z ) ′  y − ch( x + y − z )  ′ z′′xx = ( z′x ) x =  − ÷ ch( x + y − z )  x  =− ′ ′ y − c h (.) ch (.) − ch (.) [ ]x [ ] x [ y − ch(.) ] ch (.) −(1 − z′x )sh(.)ch(.) − [ y − ch(.) ] (1 − z′x )sh(.) =− ch ( x + y − z ) −(1 − z′x )sh(.)ch(.) − [ y − ch(.) ] (1 − z′x )sh(.) z′′xx = − ch ( x + y − z ) z′x (1,0) = 1,  ′ zy (1,0) = −(1 − 1).0.1 − (0 − 1)(1 − 1).0 ⇒ z′′xx (1,0) = − =0 Fx′ y − ch( x + y − z ) z′x = − = − Fz′ ch( x + y − z ) z′x (1,0) = 1,  ′ zy (1,0) = ′ y − ch ( x + y − z )   z′′xy = ( z′x ) ′y =  − ÷ ch( x + y − z )  y  1 − (1 − z′y )sh(.)  ch(.) − [ y − ch(.) ] (1 − z′y )sh(.) =− ch ( x + y − z ) ⇒ z′′xy − (1 − 0).0] − (0 − 1)(1 − 0).0 [ (1,0) = − = −1 Ví dụ 3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z ) = z − xz + y − = (1) Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) z(1, -2) =  Lấy vi phân pt (1): dF = 3z dz − 4zdx − xdz + 2ydy = (2) Thay x = 1, y = - 2, z = vào (2): 12dz (1, −2) − 8dx − 4dz (1, −2) − 4dy = ⇒ dz (1, −2) = dx + dy  Lấy vi phân pt (2): ( ) d F = d 3z dz − 4zdx − xdz + 2ydy = ( 2 2 d F = 2zdz + z d z ( ) ) −4dzdx −4 dxdz + xd z +2dy =0 (3) (Vì x, y biến độc lập nên dx = dy = hằng) Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy vào (3) d z (1, −2) = − dx − dxdy − dy Ví dụ 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F = f ( x + z, y ) = (1) với f hàm khả vi cấp Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy Đặt u = x+ z, v = y ⇒ F(x, y, z) = f(u, v) = Fx′ = fu′ u′x + fv′ v x = fu′ , Fy′ = fu′ u′y + fv′ v ′y = fv′ Fz′ = fu′ uz′ + fv′ v z′ = fu′ fu′ z′x = − = −1, fu′ fv′ z′y = − fu′ z′′xx = fv′ z′y = − fu′  fv′ ′ z′′yy = −  ÷  fu′  y =− u = x+ z, v = y ′ f ′ − f ′′ u′ + f ′′ v ′ ′ f ′ ′′ ′ ′′ ′ f u + f v ( vu y vv y ) u ( uu y uv y ) v y y ( fu′ ) ′′ z′y + fvv ′′ ) fu′ − ( fuu ′′ z′y + fuv ′′ ) fv′ fvu ( =− ( fu′ ) z′′yy ′′ z′y + fvv ′′ ) fu′ − ( fuu ′′ z′y + fuv ′′ ) fv′ fvu ( =− ( fu′ ) fv′ z′y = − fu′   fv′     fv′   ′′  − ÷+ fvv ′′ ÷.fu′ −  fuu ′′  − ÷+ fuv ′′ ÷.fv′  fvu fu′  fu′        ′′ zyy = − ( fu′ ) ...Nội dung Đạo hàm vi phân hàm hợp Đạo hàm vi phân hàm ẩn ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp bản: hợp hàm biến hàm biến Cho z = f(x, y) x = x(u, v), y = y(u, v) Nếu z, x, y khả vi: zu′ =... -2), d2z(1, -2) z(1, -2) =  Lấy vi phân pt (1): dF = 3z dz − 4zdx − xdz + 2ydy = (2) Thay x = 1, y = - 2, z = vào (2): 12dz (1, ? ?2) − 8dx − 4dz (1, ? ?2) − 4dy = ⇒ dz (1, ? ?2) = dx + dy  Lấy vi. .. fx′ + fy′ y ′( x ) dz = z′( x )dx Lưu ý: tính đạo hàm hàm hợp, đạo hàm f theo biến Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm biến vào cạnh đạo hàm f VÍ DỤ 1/ Cho: xy z = f (x, y ) = e ,