ĐẠO hàm và VI PHÂN (PHẦN 2) (GIẢI TÍCH)

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN • • • • • CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • • • • • • • §1: Các khái niệm – Giới hạn liên tục §2: Đạo hàm riêng §3: Khả vi Vi phân §4: Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp §5: Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn §6: Cơng thức Taylor – Maclaurint §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN miền đóng §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Định nghĩa hàm biến : Cho D tập R2 Hàm biến f(x,y) ánh xạ f : D → R ( x, y ) a f ( x, y ) = z Miền xác định hàm tất giá trị (x,y) làm biểu thức hàm có nghĩa Miền giá trị hàm tập giá trị mà hàm nhận §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT hàm f ( x, y ) = - x - y MXĐ hình trịn D = { ( x, y ) Ỵ R : x + y £ 9} MGT đoạn [0,3] MXĐ f(x,y) (x,y) 3 MGT §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục x + y +1 Ví dụ: Cho hàm f ( x, y ) = x- Tính f(2,1) tìm MXĐ f Giải : a f(2,1) = b MXĐ : Ta lấy nửa mặt phẳng phía đường thẳng x+y+1 = bỏ toàn đường x = §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Cho f(x, y) hàm biến với MXĐ D Đồ thị f tập tất điểm M(x, y, z)∈R3, với (x, y)∈D, z = f(x, y)  Đồ thị hàm z = f(x, y) phần mặt S, khác với đồ thị hàm biến y = f(x) phần đường cong §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Hình trịn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu B(M0,r) tập B( M , r ) = { M Ỵ R : d ( M , M ) < r } { ( x, y ) Ỵ 2 R : ( x - x0 ) + ( y - y ) < r } Hình trịn mở gọi r - lân cận điểm M §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Cho tập D điểm M thuộc R2 Ta định nghĩa loại điểm sau : Điểm : M gọi điểm D tồn r>0 cho r- lân cận M B(M,r) nằm hoàn toàn D Điểm biên : M gọi điểm biên D với r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa điểm thuộc D điểm không thuộc D Điểm tụ : Điểm M gọi điểm tụ D với r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa điểm N thuộc D, khác M §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Định lý : Điểm M điểm tụ tập D tồn dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến M, tức n→∞ d(Mn,M) →0 • Chú ý : Như điểm D chắn thuộc A, cịn điểm biên D không thuộc D Điểm biên chắn điểm tụ, điểm tụ khơng điểm biên §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Tập D gọi tập đóng D chứa điểm biên Tập điểm biên D gọi biên D Tập D gọi tập mở R2\D tập đóng, đó, điểm thuộc D điểm trong, D không chứa điểm biên Tập D gọi tập bị chặn chứa hình cầu đó, tức $r : D Ỵ B(O, r ) Như vậy, có tập chứa phần biên mà khơng chứa tồn biên nên tập khơng mở, khơng đóng §2 : Đạo hàm riêng Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm biến f(x,y), đạo hàm theo biến x hàm f điểm (x0,y0) giới hạn (nếu có) f ( x0 +D x, y ) - f ( x0 , y ) ¶f fx¢( x0 , y ) = ( x0 , y ) = lim D x đ0 ảx Dx Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng hàm f theo biến y Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng hàm f(x,y) theo biến x, ta coi y số §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ: Tính đạo hàm riêng hàm sau: a f(x,y)= x + y b f(x,y)=e cos x y y c f(x,y,z)=ln(x+e ) + xyz x Giải : ¢ , fy ¢= a fx = x2 + y b fx ¢= e cos x y x ¢ (- s in ) , fy = e y y cos x y y x2 + y x x (- s in )(- ) y y y e ¢ ¢ c fx ¢= + yz ,f = + xz , f y z = xy y y x +e x +e §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ : Cho hàm f ( x, y ) = x + y Tính f’x, f’y (0,0) Giải : Nếu tính cách thơng thường, ta khơng tính đhr điểm đặc biệt (0,0) Do đó, ta tính đhr định nghĩa 3 f (D x,0) - f (0,0) D x - ¢ fx (0,0) = lim = lim =1 D x ®0 D x ®0 Dx Dx Vì vai trị x, y hàm f nên ta có f’y(0,0) = §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ : Tính đhr hàm f(x,y,z) = (y/x)z Giải: Ta tính đhr hàm biến Để tính đhr f theo x y, ta viết lại f(x,y,z) = yz.x-z tính đạo hàm bình thường Lấy đhr theo x: yz, z số nên: f’x = yz.(-z)x-z-1 Tương tự: f’y = zyz-1x-z Cuối cùng, tính đhr theo z ta để nguyên hàm ban đầu y/x số nên : f’z = (y/x)zln(y/z) §2 : Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng hàm f(x,y) (a,b): Gọi S mặt cong z=f(x,y) C1 giao S mặt phẳng y = b đạo hàm fx’(a,b) hệ số góc tiếp tuyến T1 hệ số góc mặt S theo phương Ox P(a,b,c) Tương tự, hệ số góc tiếp tuyến T2 tức hệ số góc mặt S theo phương Oy f’y(a,b) §2 : Đạo hàm riêng Đạo hàm cấp hàm f(x,y) đạo hàm đạo hàm cấp 1: ¶ Đạo hàm cấp f ¢¢( x , y ) = f ( x , y ) = f ¢(f ¢)( x , y ) xx 0 x x 0 theo x: ¶x 0 ¶ f Đạo hàm cấp ¢¢ fyy ( x0 , y ) = ( x0 , y ) = fy¢(fy¢)( x0 , y ) theo y: ảy o hm cp ả 2f fxyÂÂ( x0 , y ) = ( x0 , y ) = fx¢(fy¢)( x0 , y ) hỗn hợp: ¶y ¶x §2 : Đạo hàm riêng Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) đạo hàm riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn liên tục miền mở chứa (x0,y0) f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0) Ghi : Đối với hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwartz điểm tồn đạo hàm Định lý Schwartz cho đạo hàm riêng từ cấp trở lên Tức đạo hàm riêng hỗn hợp số lần lấy đạo hàm theo biến nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo biến §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ: Tính đạo hàm riêng đến cấp hàm f ( x, y ) = sin(e x + e y ) Giải : Hàm biến nên ta tính đạo hàm riêng cấp x x y y x y ¢ ¢ fx = e cos(e + e ), fy = e cos(e + e ) đạo hàm riêng cấp x y x x y ù fxx¢¢= e x é cos( e + e ) e sin( e + e ) , ë û y é x y y x y ù ¢ ¢ fyy = e ëcos(e + e ) - e sin(e + e )û, x y é x y ù ¢ ¢ ¢ ¢ fxy = fyx = e e ë- sin(e + e )û §2 : Đạo hàm riêng Tương tự, ta có đạo hàm riêng cấp (n+1) đạo hàm đạo hàm cấp n Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm: f(x,y) = x2y – 3ex+y Giải: x +y x +y ¢ ¢ f = xy e , f = x e đạo hàm riêng cấp : x y x +y x +y ¢ ¢ ¢ ¢ đạo hàm riêng cấp : fxx = 2y - 3e , fyy = - 3e , fxy¢¢= fyx¢¢= x - 3e x +y x +y x +y ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢¢= fxyx ¢¢¢, f =3 e , f = e = fyxx xxy đạo hàm riêng cấp 3: xxx ¢¢¢ =- 3e x +y , fyyx ¢¢¢=- 3e x +y = fyxy ¢¢¢ = fxyy ¢¢¢ fyyy §2 : Đạo hàm riêng Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp số lần lấy đạo hàm theo biến (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo biến) Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đạo hàm riêng cấp đạo hàm cấp 1: fx¢= cos y , fy¢= - x sin y - sin z, fz¢= - 2y cos z đạo hàm cấp fxx¢¢= 0, fxy¢¢= - sin y = fyx¢¢, fxz¢¢= = fzx¢¢, fyy¢¢= - x cos y , fyz¢¢= - 2cos z = fzyÂÂ, fzzÂÂ= 2y sin z Đ3 : Khả vi Vi phân Hàm biến f(x,y) gọi khả vi (x0,y0) số gia Δf = f(x0+ Δx,y0+ Δy) – f(x0,y0) viết dạng Δf = A Δx + B Δy + αΔx + βΔy, A, B số, α, β →0 Δx, Δy →0 Khi ấy, đại lương A Δx + B Δy gọi vi phân hàm f(x,y) (x0,y0) kí hiệu df (x0,y0) = A Δx + B Δy Định lý 1: Hàm khả vi (x0,y0) liên tục Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải vi (x0,y0) có đạo hàm riêng theo x, y (x0,y0) tương ứng A, B định nghĩa vi phân §3 : Khả vi Vi phân Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định miền mở chứa (x0,y0) đạo hàm riêng liên tục (x0,y0) hàm khả vi (x0,y0) Từ định lý 2, ta có biểu thức vi phân df ( x0 , y ) = fx¢( x0 , y )dx + fy¢( x0 , y )dy Tương tự hàm biến, ta có cơng thức d (f + g ) = df + dg d (f g ) = g.df + f dg f g.df - f dg d( ) = g g2 §3 : Khả vi Vi phân Ví dụ: Cho hàm f(x,y) = 2x2y – 3xy2 Tính df(2,-1) Giải: Tính đạo hàm riêng fx¢= xy - y 2, fy¢= x - xy Thay vào công thức vi phân df(2,-1) = -11dx + 20dy Ví dụ : Tính vi phân hàm f(x,y) = (xy)z Tương tự hàm biến, ta có vi phân hàm biến df = fx¢dx + fy¢dy + fz¢ dz df = zx z- z z y dx + zx y Nên ta z- z dy + ( xy ) ln( xy )dz §3 : Khả vi Vi phân Vi phân cấp vi phân vi phân cấp d f = d (df ) = d (fx¢dx + fy¢dy ) = d (fx¢ dx ) + d (fy¢dy ) = (d (fx¢)dx + fx¢d (dx )) + (d (fy¢)dy + fy¢d (dy )) 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = fxx dx + 2fxy dxdy + fyy dy Hay ta viết dạng 2 ¶ f ¶ f ¶ f 2 d f = dx + dxdy + dy ¶x ¶x¶y ¶y Vậy ta viết dạng quy ước sau ỉ¶ ả ữ df = ỗ dx + dy f ữ ỗ ữ ỗ ốảx ảy ứ ổả ả ữ d f =ỗ dx + dy f ữ ỗ ữ ỗ ốảx ảy ứ Đ3 : Kh vi Vi phân Tổng quát công thức cho hàm biến cho vi phân cấp Vi phân cấp hàm biến f(x,y) ỉ¶ ả ữ d f =ỗ dx + dy f ữ ỗ ữ ỗ ốảx ảy ứ 3 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = fxxx dx + 3fxxy dx dy + 3fxyy dxdy + fyyy dy Vi phân cấp hàm biến f(x,y,z) ỉ¶ ¶ ¶ d f ( x, y , z ) = ỗỗ dx + dy + dzữ f ữ ỗốảx ứ ảy ảz ữ = fxxÂÂdx + fyyÂÂdy + fzz¢¢dz + 2fxy¢¢dxdy + 2fyz¢¢dydz + 2fzx¢¢dzdx ...CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • • • • • • • §1: Các khái niệm – Giới hạn liên tục §2: Đạo hàm riêng §3: Khả vi Vi phân §4: Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp §5: Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn §6: Cơng... )û §2 : Đạo hàm riêng Tương tự, ta có đạo hàm riêng cấp (n+1) đạo hàm đạo hàm cấp n Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm: f(x,y) = x2y – 3ex+y Giải: x +y x +y ¢ ¢ f = xy e , f = x e đạo hàm riêng... (xy)z Tương tự hàm biến, ta có vi phân hàm biến df = fx¢dx + fy¢dy + fz¢ dz df = zx z- z z y dx + zx y Nên ta z- z dy + ( xy ) ln( xy )dz §3 : Khả vi Vi phân Vi phân cấp vi phân vi phân cấp d f