bài giảng điện tử toán kinh tế đạo hàm và vi phân

07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 − − → thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt ∆x = x – x 0 , ta có x = x 0 + ∆x và đặt ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ) thì x y lim'y 0x ∆ ∆ = →∆ Ký hiệu dy/dx, df/dx 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: x y lim'y 0x ∆ ∆ = +→∆ x y lim'y 0x ∆ ∆ = −→∆ - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u 3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và 2 ' v u'vv'u v u − =       Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): )]y(f['f 1 )x('f 1 )y()'f( 1 1 − − == Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (c: hằng số) (x α )’ = αx α-1 (α ∈ R, x > 0) (a x )’ = a x lna (a > 0, a ≠ 1) (e x )’ = e x 0) x1,a 0,(a alnx 1 )'x(log a >≠>= 0) x( x 1 )'x(ln >= (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx Z)k ,k/2(x xcos 1 )'tgx( 2 ∈π+π≠= Z)k ,k(x xsin 1 )'gx(cot 2 ∈π≠−= )1x( x1 1 )'x(arcsin 2 < − = )1x( x1 1 )'x(arccos 2 < − −= 2 x1 1 )'arctgx( + = 2 x1 1 )'gxcotarc( + −= 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 dx fd , dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f (n) (x), y (n) (x). n n n n dx fd , dx yd Ví dụ: Cho y = x α (α ∈ R, x > 0), y = ke x , tìm y (n) 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v) (n) = u (n) + v (n) ∑ = − = n 0k k)kn(k n )n( v.uC)uv( trong đó u (0) = u, v (0) = v 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. xln1y += Ví dụ: tìm dy với Vi phân của tổng, tích, thương: Từ công thức của đạo hàm ta suy ra: 1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv 2 v udvvdu v u d − =       07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 9 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: Khi ∆x→0, thì f(x 0 +∆x) – f(x 0 ) và f’(x 0 )∆x là hai VCB tương đương, nên khi ∆x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng f(x 0 +∆x) ≈ f(x 0 ) + f’(x 0 )∆x Ví dụ, tìm 4 8,15 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f( n-1) khả vi, ta ký hiệu d (n) y = y (n) dx n (d (n) f = f (n) dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 10 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho )c('f ab )a(f)b(f = − − Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). [...]... < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm trong khoảng đó Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 15 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại Định nghĩa: Các điểm thoả một trong...C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f ( b ) − f (a ) f ' (c) = g ( b ) − g ( a ) g ' ( c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 11 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN QUI TẮC L’HOSPITAL... dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0 Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x 0 và f’(x) = 0 a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 17 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn: 1 Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút 2 Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong... lần 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 12 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) lim x 3 − 27 x →3 x 2 lim x →0 − 4x + 8 x − sin x x3 tgx − x lim x →0 x − sin x π − arctgx lim 2 1 x →∞ x ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞) ln x xn ln x lim lim x lim n x →0+ cot gx x →+∞ e x →+∞ x 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 13 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2 Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Tìm cách chuyển chúng... eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: lim x 2 lim x 1− x x →1 x2 x →0+ 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 1 lim (cot gx ) ln x x →1 14 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng trong khoảng... chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 16 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong khoảng (a,b) chứa điểm x 0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0 b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi... hạn và tại điểm hai đầu mút 2 Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 18 ... khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b) f (x) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 Nếu lim f ' ( x ) = L thì lim =L x →a x →a x →a g ' ( x ) x →a g ( x ) Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 x →∞ x →∞ lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ x →a x →a lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞ x →∞ x →∞ (2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm . x1 1 )'x(arccos 2 < − −= 2 x1 1 )'arctgx( + = 2 x1 1 )'gxcotarc( + −= 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm. f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số. sinx 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’