bài giảng điện tử toán kinh tế hàm nhiều biến

07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 1 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiện (x 1 , x 2 ,… x n ) (x i ∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n . R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i ∈ R, i = 1, n} Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x. Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x 1 ,x 2 ,… x n ), y = (y 1 ,y 2 ,… y n ) ∈ R n : ∑ = −= n 1i 2 ii )yx()y,x(d 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 2 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Một số tính chất của d: a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  x i = y i , ∀I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y) Điểm biên, tập đóng: Điểm x 0 ∈ R n được gọi là điểm biên của D ⊂ R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Nếu biên của D thuộc D thì D được gọi là tập đóng. Lân cận: Cho x 0 ∈R n và số r > 0. Tập S(x 0 , r) = {x ∈ R n : d(x,x 0 ) < r} được gọi là một lân cận của x 0 . Điểm trong: Điểm x 0 ∈R n được gọi là điểm trong của D ⊂ R n nếu D chứa một lân cận của x 0 . 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 3 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm giới hạn: Điểm x 0 ∈R n được gọi là điểm giới hạn của D ⊂ R n nếu mọi lân cận của x 0 chứa ít nhất một điểm x: x∈D, x≠x 0 . Đặc biệt, nếu điểm x 0 ∈ D không phải là điểm giới hạn thì nó được gọi là điểm cô lập của D. Hàm nhiều: D ⊂ R n . Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc (x 1 , x 2 ,… x n ) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: )x, x,x(fz)x, x,x(:f n21n21 = D: miền xác định f(D) = {z ∈ D | z = f(x 1 , x 2 ,… x n ), ∀(x 1 , x 2 ,… x n ) ∈ D} gọi là miền giá trị 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D ⊂ R 2 . Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc (x,y) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: )y,x(fz)y,x(:f = D: miền xác định f(D) = {z ∈ D | z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) 22 yx1z −−= 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) xác định trên D ⊂ R 2 và M 0 (x 0 ,y 0 ) là điểm giới hạn của D . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến dần đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0: d(M,M 0 ) < δ => |f(M) – L| < ε 2 0 2 00 )y-(y)x-(x)Md(M, += L)M(flim 0 MM = → L)y,x(flim )y,x()y,x( 00 = → L)y,x(flim 0 0 yy xx = → → , , 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 6 C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: 22 )0,0()y,x( yx xy lim + → 22 22 )0,0()y,x( yx )yxsin( lim + + → 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa: Nếu )y,x(f)y,x(flim 00 )y,x()y,x( 00 = → Thì f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R 2 thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D. 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 8 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: z = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D, M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ D. Nếu cho y = y 0 , y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 . Ký hiệu: )y,x( x z ),y,x( x f ,)y,x(f 000000 ' x ∂ ∂ ∂ ∂ Đặt ∆ x f = f(x 0 + ∆x, y 0 ) - f(x 0 ,y 0 ): Số gia riêng của f tại M 0 . ' x x 0x 00 f , x f lim)y,x( x f ∆ ∆ = ∂ ∂ →∆ 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 9 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. ' y y 0y 00 f , y f lim)y,x( y f ∆ ∆ = ∂ ∂ →∆ Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 y2yx5xz +−= y xu = 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 10 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. Ta có 4 đạo hàm riêng: )y,x(f x f x f x '' x 2 2 2 = ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f xy f x f y '' yx 2 = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f yx f y f x '' xy 2 = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f yy f y f y '' y 2 2 = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ Tương tự, ta có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3,… [...]... 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 11 C3 HÀM NHIỀU BIẾN ξ3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm số y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0 * Chú ý rằng mọi hàm số ẩn đều biểu diễn được dưới dạng y = f(x) Ví dụ: xy – ex + ey = 0 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 12 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm. ..C3 HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M 0 thì fxy = fyx tại M0 Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥3) Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:... ẩn 1 biến: Fx y' = − Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 13 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: ... trị của hàm số z = x2 + y2 với điều kiện x + y + 2 = 0 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 17 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Phương pháp nhân tử Lagrange có thể mở rộng cho hàm số n biến (n≥3): Giả sử M0(x0,y0,z0) là cực trị có điều kiện của hàm số u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 thì: f x (M 0 ) + λg x (M 0 ) = 0  f y (M 0 ) + λg y (M 0 ) = 0  f z (M 0 ) + λg z (M 0 ) = 0 Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u... f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 Ta có khái niệm điểm dừng như trong trường hợp hàm một biến: Nếu tại (x0,y0) các đạo hàm riêng không tồn tại hoặc bằng 0 được gọi là điểm dừng của f 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 15 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Giả sử M0(x0,y0) là một điểm dừng của hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận của M0 Đặt: r = fxx(M0) , s = fxy(M0) , t = fyy(M0) 1)... kết luận được (trường hợp nghi ngờ) Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y3 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 16 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) trong đó các biến x,y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có điều kiện Điều kiện cần (Phương pháp nhân tử Lagrange): Nếu f(x,y) đạt cực trị có điều kiện g(x,y)... cos(x+y+z) 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 14 C3 HÀM NHIỀU BIẾN ξ4 CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆) F(M0) gọi chung là cực trị Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x... g(x,y,z) = 0 thì: f x (M 0 ) + λg x (M 0 ) = 0  f y (M 0 ) + λg y (M 0 ) = 0  f z (M 0 ) + λg z (M 0 ) = 0 Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 – 1 = 0 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 18 . đối với hàm n biến số (n≥3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 y2yx5xz +−= y xu = 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 10 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: 22 )0,0()y,x( yx xy lim + → 22 22 )0,0()y,x( yx )yxsin( lim + + → 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa:. giá trị 07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s ố 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D ⊂ R 2 . Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc (x,y) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: )y,x(fz)y,x(:f