tài liệu Đạo hàm và vi phân

tài liệu Đạo hàm và vi phân tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN. ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b) ∋ x 0 , xét tỷ số 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x x f x x x x x ∆ − + ∆ − = = ∆ − ∆ Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x 0 hay ∆x → 0 thì f có đạo hàm tại x 0 . Đặt 0 0 0 ( 0) ( ) ( ) lim x x x f x f x x → ∆ → ∆ ′ = ∆ 0 ( ) tan f x x ϕ ∆ = ∆ 0 tan ( )f x α ′ = x → x 0 f’(x 0 ) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x 0 , f(x 0 )) ∆x ∆f(x 0 ) ϕ α x 0 x Đạo hàm trái tại x 0 : 0 0 0 ( 0 ) ( ) ( ) lim x x x f x f x x − − − → ∆ → ∆ ′ = ∆ 0 0 0 ( 0 ) ( ) ( ) lim x x x f x f x x + + + → ∆ → ∆ ′ = ∆ Đạo hàm phải tại x 0 : f có đạo hàm tại x 0 0 0 ( ) ( )f x f x − + ′ ′ =⇔ Cách tính đạo hàm 1.Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp). 2.Nếu tại x 0 , biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa. 3.Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x 0 : tính bằng định nghĩa. 4.Nếu f(x) = u(x) v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra ln ( ) 2 ln 2( ln ) x x f x x x ′ ′ = ln 1 / ( ) 2 x x f x = tại x = 1 ln 2 ln 2(ln 1) x x x= + (1) ln 2f ′ = , 0 ( ) , 0 x x f x x x ≥  =  − <  0 ( ) (0) 0 x f x f x x − − = − 2 / ( )f x x= tại x = 0 1 x → 0 - −1 ⇒f ’(0) không tồn tại x → 0 + 2 1 sin , 0 3 / ( ) 0, 0  ≠  =   =  x x f x x x ≠x 0 ′ = −f x x x x 1 1 ( ) 2 sin cos =x 0 Tính bằng định nghĩa. ( ) (0) 0 f x f x − − 2 1 sin 0x x x − = 1 sinx x = 0 0 x→ → (0) 0f ′ ⇒ = 2 , 1 4 / ( ) 2 1,  ≤ =  −  >1 x x f x x x 1 ( ) (1) lim 1 x f x f x − → − − 2 1 1 lim 1 x x x − → − = − 2= 1 ( ) (1) lim 1 x f x f x + → − − 2= 1 2 1 1 lim 1 x x x + → − − = − tại x = 1 (1) 2f ′ ⇒ = [...]... dx Đạo hàm và vi phân f khả vi tại xo ⇔ f có đạo hàm tại xo df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách vi t thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách vi t khác của đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Ví dụ 2 Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0 df (0) = f ′(0).dx x f ′( x ) = ( x + 1)e ⇒ f ′(0) = 1 ⇒ df (0) = 1.dx = dx 2 Tìm vi phân của f(x) = xsinx df ( x ) = f ′( x ).dx = ( sin x + x cos x ) dx Các phép tính vi. . .Đạo hàm và liên tục f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0 VD: tìm các hằng số a, b để f có đạo hàm tại x0 (Nên xét tính liên tục tại x0 trước) a sin x + b cos x + 1, x < 0 f (x) =  2 x + 1, x ≥ 0 Tìm a, b để f có đạo hàm tại x = 0 Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt Khi đó tồn tại hàm ngược f −1: (c, d) → (a, b) liên tục và tăng ngặt Nếu tồn... e x = -1 ⇔ t.et – 1 = – 1 ⇔ t = 0 ⇒ y ′(−1) = 1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’ có đạo hàm tại x0, đặt f ′′( x0 ) = ( f ′( x ) ) ′ x = x0 f ′′( x ) = ( f ′( x ) ) ′ Có thể vi t: Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) f (n ) f (n −1) ( x ) ′ (x) =   Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1: f ( x ) = arctan x 1 1 1 ′ 1 1  =− 2 f ′( x ) =... y0 = f(x0), f −1 có đạo hàm và 1 (f )′( y 0 ) = f ′( x0 ) −1 Ta thường vi t: 1 (f )′ = f′ −1 Đạo hàm các hàm lượng giác ngược  π π 1 y = arcsinx, x ∈(-1, 1) ⇔ x = sin y, y ∈  − , ÷  2 2 1 1 1 1 ′( x ) = y = = = 2 2 x ′( y ) cos y 1 − sin y 1− x  π π 2 y = arctanx, x∈R ⇔ x = tan y, y ∈  − , ÷  2 2 1 1 1 y ′( x ) = = = x ′( y ) 1 + tan 2 y 1 + x 2 Bảng công thức đạo hàm các hàm mới ( arcsin x... tanh x ) ′ = Đạo hàm hàm cho theo tham số  x = x (t ) Cho các hàm số :   y = y (t ) Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 y ′( x ) = y ′(t ).t ′( x ) y ′(t ) y ′( x ) = x ′(t ) Ví dụ  x (t ) = t et − 1 Tính y’(x) tại x = -1 Cho :   2  y (t ) = t + t  y ′(t ) 2t + 1 y ′( x ) = = t t x ′(t ) e + t e x = -1 ⇔ t.et – 1 = – 1 ⇔ t = 0 ⇒ y ′(−1) = 1 ĐẠO HÀM CẤP CAO... 2.(3t − 1) − 6t 2t −2 − 6t = = 2 2 3 3 (3t − 1) (3t − 1) SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o ( ∆x ) Khi đó đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi là vi phân của f tại xo Ví dụ Cho f(x) = x2 , chứng minh f khả vi và tìm df(1) f ( x ) − f (1) = x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) = ( x... vi phân d (c.f ) = cdf , c = const d ( f ± g ) = df ± dg d ( f g ) = gdf + fdg  f  gdf − fdg d  ÷= 2 g g  Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x )dx Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): y ′(t ) = [ f ( x (t )) ] ′ = f ′( x ).x ′(t ) dy = y ′(t )dt = f ′( x ).x ′(t )dt = f ′( x )dx Dù x là biến độc lập hay hàm. ..  [ sin(ax + b)] = a sin  ÷ 2  (n )  ax + b + n π  n [ cos(ax + b)] = a cos  ÷ 2  (n ) n Công thức đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao ( f ± g) (n ) = f (n ) ± g (n ) của tổng hiệu: Đạo hàm cấp cao của tích: ( f g ) (n ) n = k Cn f (k )g (n −k ) ∑ k =0 (công thức Leibnitz) Ví dụ 1 Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1 f (x) = f f (7) 2x − 3 2 x −x−2 5 1 1 1 = + 3 x +1 3 x − 2 7 7 5 (−1) 1 (−1) (x) = + 3... ′ f ′′( x ) =  2÷  1+ x  1 ⇒ f ′′(1) = 2 = 2x (1+ x ) 2 2 Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản (a ) x (n ) α  (n ) ( ax + b )   (n )  1   ÷  ax + b  [ ln(ax + b)] (n ) =a x ( ln a ) (e ) x (n ) n =e x = a α (α − 1)L (α − n + 1) ( ax + b ) n n = (−1) n ! = (−1) n −1 a n (ax + b) (n − 1)! n +1 a n (ax + b)n α −n Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản  ax + b + n π  [ sin(ax + b)] = a sin  ÷ 2  (n... là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân của y theo x không đổi Ví dụ áp dụng Cho y = f(x) = sin(x2), 1 Tính dy theo dx 2 Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1 1 dy = y ′( x )dx = 2 x cos( x 2 )dx 2 2 2 y = sin( x ) = sin(arctan t ) ( ) ( ) dy = y ′(t )dt = arctan 2 t ′ cos arctan 2 t dt ( ) 1 = 2arctan t cos arctan 2 t dt 1+ t2 Cách khác: dùng vi phân hàm hợp 2 dy = y ′( x )dx = 2 x . f có đạo hàm tại x = 0 Đạo hàm hàm ngược 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) f y f x − ′ = ′ Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt. Khi đó tồn tại hàm ngược f −1 : (c, d) → (a, b) liên tục và tăng. x x x x x ′ = ′ = ′ = ′ = − Đạo hàm hàm cho theo tham số Cho các hàm số : ( ) ( ) x x t y y t =   =  Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 ( ) ( ). ( )y. = ĐẠO HÀM CẤP CAO ( ) 0 0 ( ) ( ) x x f x f x = ′ ′′ ′ = ( ) ( ) ( )f x f x ′ ′′ ′ = Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x 0 , nếu f’ có đạo hàm tại x 0 , đặt Có thể vi t: Tổng quát: đạo