Bài giảng tích phân bội và giải tích vector

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh E-mail: hqvu@hcmus.edu.vn e d c f −1 b a TÓM TẮT NỘI DUNG Đây tập giảng cho môn Giải tích A3 (TTH024), môn học bắt buộc cho tất sinh viên Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Môn học gồm hai phần tích phân Riemann hàm nhiều biến Giải tích vectơ Nội dung tương ứng với phần cuối giáo trình Calculus phổ biến J Stewart [Ste12], có ý tới đặc thù cho sinh viên ngành Toán, có yêu cầu cao tính xác hàm lượng lí thuyết Đối với sinh viên giỏi hướng tới trình độ phần tương ứng giáo trình Giải tích kinh điển [Rud76], [Lan97] √ Dấu tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, không bắt buộc Có thể giáo trình đọc lại sau môn học kết thúc, phần thể rõ ý nghĩa Để làm số tập cần dùng phần mềm máy tính chẳng hạn Matlab hay Maxima Tập giảng tiếp tục sửa chữa bổ sung Bản có web địa http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/teaching/gt3.pdf Ngày 19 tháng năm 2016 Mục lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân hình hộp 1.2 Sự khả tích 1.3 Tích phân tập tổng quát 15 1.4 Công thức Fubini 20 1.5 Công thức đổi biến 28 1.6 Ứng dụng tích phân bội 41 Hướng dẫn học thêm Chương 47 Giải tích vectơ 49 2.1 Tích phân đường 49 2.2 Công thức Newton-Leibniz 59 2.3 Công thức Green 64 2.4 Tích phân mặt 71 2.5 Công thức Stokes 80 2.6 Công thức Gauss-Ostrogradsky 86 2.7 Ứng dụng công thức Stokes 92 2.8 * Công thức Stokes tổng quát 95 Hướng dẫn học thêm 100 Gợi ý cho số tập 101 Tài liệu tham khảo 103 Chỉ mục 105 iii iv Mục lục Chương Tích phân bội Trong chương nghiên cứu tích phân Riemann không gian nhiều chiều 1.1 Tích phân hình hộp Tích phân không gian nhiều chiều phát triển tương tự tích phân chiều Do ý quen thuộc không khó Người đọc xem lại phần tích phân chiều để dễ theo dõi Cho I hình hộp, f : I → R Ta muốn tính tổng giá trị hàm f hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp nhỏ Ta hy vọng hình hộp nhỏ đó, giá trị hàm f thay đổi hơn, ta xấp xỉ f hàm Ta hy vọng ta chia nhỏ xấp xỉ tốt hơn, qua giới hạn ta giá trị tổng giá trị f Sau cách giải thích hình học Giả sử thêm hàm f không âm, ta muốn tìm "thể tích" khối bên đồ thị hàm f bên hình hộp I Ta xấp xỉ khối hình hộp với đáy hình hộp I chiều cao giá trị f hình hộp Ta hy vọng số hình hộp tăng lên ta gần giá trị thể tích Hình hộp thể tích hình hộp Trong môn học này, ta nói đến không gian Rn ta dùng chuẩn khoảng cách Euclid, cụ thể x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn độ lớn x x = ( x12 + x22 + · · · + xn2 )1/2 , khoảng cách x y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn x − y Ta định nghĩa hình hộp n-chiều tập Rn có dạng [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] với < bi với ≤ i ≤ n Ví dụ, n = hình hộp 1-chiều đoạn thẳng R Tích phân bội Để khởi đầu thể tích hình hộp, xét trường hợp chiều Chiều dài đoạn thẳng [ a, b] bao nhiêu? Chúng ta trả lời số thực (b − a), sao? Ta muốn khái niệm chiều dài toán học có tính chất "tự nhiên", mô khái niệm chiều dài vật lí thường dùng đời sống từ xưa Như trước hết chiều dài đoạn thẳng [ a, b] số thực không âm Vì chiều dài vật lí không phụ thuộc vào cách đặt hệ tọa độ, ta tịnh tiến đoạn thẳng chiều dài không thay đổi, kí hiệu chiều dài đoạn [ a, b] |[ a, b]| cần có |[ a + c, b + c]| = |[ a, b]| Nếu n số nguyên dương, đoạn thẳng [0, na] gồm n đoạn thẳng [0, a], [ a, 2a], [2a, 3a], , [(n − 1) a, na], nên ta muốn có |[0, na]| = n|[0, a]| Điều dẫn tới |[0, a]| = n|[0, n1 a]|, hay |[0, n1 a]| = n1 |[0, a]| Do m với m, n số nguyên dương |[0, m n a ]| = n |[0, a ]| Trong trường hợp riêng, m ta có |[0, m n ]| = n |[0, 1]| Vì số thực a giới hạn dãy số hữu tỉ, nên ta muốn chiều dài có tính "liên tục" ta cần có |[0, a]| = a|[0, 1]|, phải có |[ a, b]| = |[0, b − a]| = (b − a)|[0, 1]| Để chuẩn hóa ta thường lấy |[0, 1]| = 1, |[ a, b]| = (b − a) Như quan trọng chiều dài có tính chất mong muốn, chiều dài xác định nhất, với giá trị cụ thể cách chọn chiều dài đơn vị, giống chọn đơn vị đo vật lí Lí luận tương tự cho số chiều cao hơn, ta có định nghĩa sau: ĐỊNH NGHĨA Thể tích (volume) n-chiều hình hộp [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] định nghĩa số thực (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ) Ta thường dùng kí hiệu | I | để thể tích I Khi số chiều n = ta thường thay từ thể tích từ chiều dài (length) Khi n = ta thường dùng từ diện tích (area) Chia nhỏ hình hộp Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) khoảng [ a, b] tập hữu hạn khoảng [ a, b] mà chứa a b Ta đặt tên phần tử phép chia x0 , x1 , , xm với a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = b Mỗi khoảng [ xi−1 , xi ] khoảng khoảng [ a, b] tương ứng với phép chia Một phép chia hình hộp I = ∏in=1 [ , bi ] tích Descartes phép chia khoảng [ , bi ] Cụ thể Pi phép chia khoảng [ , bi ] P = ∏in=1 Pi phép chia hình hộp I Một hình hộp ứng với phép chia P hình hộp tích khoảng cạnh hình hộp ban đầu Cụ thể hình hộp hình hộp I có dạng ∏in=1 Ti Ti khoảng khoảng [ , bi ] ứng với phép chia Pi Tích phân hình hộp Cho I hình hộp, f : I → R Với phép chia P I, thành lập tổng Riemann1 1Bernard Riemann người đề xuất định nghĩa chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854, tích phân biết trước 1.1 Tích phân hình hộp y d R c a b x HÌNH 1.1.1 Một phép chia hình chữ nhật [ a, b] × [c, d] gồm điểm mà tọa độ thứ tạo thành phép chia [ a, b] tọa độ thứ hai tạo thành phép chia [c, d] ∑ f (xR )| R| R tổng lấy tất hình hộp R P, x R điểm thuộc R Đây xấp xỉ "tổng giá trị" f I Nếu f ≥ xấp xỉ "thể tích" khối bên đồ thị f bên I “Giới hạn” tổng Riemann phép chia “mịn hơn” tích phân ´ hàm f I, kí hiệu I f ´ ´ Vậy I f đại diện cho"tổng giá trị"của hàm f I Nếu f ≥ I f đại diện cho "thể tích" khối bên đồ thị f bên I.2 Để làm xác ý tưởng ta cần làm rõ trình qua giới hạn Chúng ta dùng cách trình bày Jean Gaston Darboux đề xuất năm 1870 Khi nói tích phân Riemann ta xét hàm bị chặn Nhớ lại cho tích phân hàm biến, để xét tích phân hàm không bị chặn cần lấy giới hạn tích phân để có "tích phân suy rộng" Vậy giả sử f bị chặn Gọi L( f , P) = ∑ R (infR f )| R|, tổng lấy tất hình hộp ứng với phép chia P, tổng hay xấp xỉ ứng với P Tương tự, U ( f , P) = ∑ R (supR f )| R| tổng hay xấp xỉ ứng với P Cho P P hai phép chia hình hộp I Nếu P ⊂ P ta nói P mịn P BỔ ĐỀ (chia mịn xấp xỉ tốt hơn) Nếu phép chia P mịn phép chia P L( f , P ) ≥ L( f , P) U ( f , P ) ≤ U ( f , P) Đây ưu điểm quan trọng xấp xỉ xấp xỉ ta thấy với tổng Riemann chia mịn không thiết dẫn tới xấp xỉ tốt hơn, xem 1.1.6 2Kí hiệu ´ Gottfried Leibniz đặt xây dựng phép tính vi tích phân vào kỉ 17 Nó đại diện cho chữ "s" chữ Latin "summa" (tổng) Tích phân bội z f (xR , yR ) z = f ( x, y) y R (xR , yR ) I x xấp xỉ supR f f tổng Riemann f (xR ) infR f xấp xỉ xR R HÌNH 1.1.2 Xấp xỉ ≤ xấp xỉ Riemann ≤ xấp xỉ CHỨNG MINH Mỗi hình hộp R P nằm hình hộp R P Ta có infR f ≥ infR f Vì ∑ (inf f )| R | ≥ R ⊂R R ∑ R ⊂R (inf f )| R | = inf f R R ∑ R ⊂R | R | = (inf f )| R| R Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo tất hình hộp R P ta L ( f , P ) ≥ L ( f , P ) BỔ ĐỀ (xấp xỉ ≤ xấp xỉ trên) Nếu P P hai phép chia hình hộp L( f , P) ≤ U ( f , P ) 1.1 Tích phân hình hộp CHỨNG MINH Với hai phép chia P P có phép chia P mịn P lẫn P , chẳng hạn P = ∏in=1 Pi P = ∏in=1 Pi lấy P = ∏in=1 Pi với Pi = Pi ∪ Pi Khi L( f , P) ≤ L( f , P ) ≤ U ( f , P ) ≤ U ( f , P ) Một hệ chặn nhỏ tập hợp tất xấp xỉ supP L( f , P) chặn lớn của tập hợp tất xấp xỉ infP U ( f , P) tồn tại, supP L( f , P) ≤ infP U ( f , P) ĐỊNH NGHĨA (tích phân Riemann) Cho hình hộp I Hàm f : I → R khả tích (integrable) f bị chặn supP L( f , P) = infP U ( f , P) Nếu f khả tích tích phân (integral) f định nghĩa số thực supP L( f , P) = infP U ( f , P), ´ kí hiệu I f ´ VÍ DỤ Nếu c số I c = c| I | Khi số chiều n = ta có tích phân hàm biến quen thuộc từ trung ´ học khảo sát môn Giải tích 1, với [ a,b] f thường viết ´b a f ( x ) dx Như ta thừa hưởng tất kết tích phân hàm biến có Giải tích 1, chẳng hạn công thức Newton-Leibniz để tính tích phân ˜ ˜ Khi n = ta có tích phân bội hai, thường viết I f ( x, y) dA hay I f ( x, y) dxdy ˝ ˝ Khi n = ta có tích phân bội ba, thường viết I f ( x, y, z) dV hay I f ( x, y, z) dxdydz GHI CHÚ Hiện dx, dxdy, dxdydz, dA, dV kí hiệu để loại tích phân, ý nghĩa độc lập 1.1.3 MỆNH ĐỀ Cho f bị chặn hình hộp I Khi f khả tích I với > có phép chia P I cho U ( f , P) − L( f , P) < Như hàm khả tích xấp xỉ xấp xỉ gần tùy ý CHỨNG MINH (⇒) Cho f khả tích Cho > 0, có phép chia P P cho ˆ L( f , P) > − + f I ˆ U( f , P ) < + f I Lấy P mịn P P Khi U ( f , P ) − L( f , P ) ≤ U ( f , P ) − L( f , P) < (⇐) Giả sử với > cho trước có phép chia P cho U ( f , P) − L( f , P) < Bất đẳng thức dẫn tới ≤ infP U ( f , P) − sup L( f , P) < với > Do infP U ( f , P) = supP L( f , P) Tính chất tích phân Ta có tính chất tương tự trường hợp biến: 1.1.4 MỆNH ĐỀ Nếu f g khả tích hình hộp I thì: Tích phân bội ´ ´ + g) = I f + I g ´ ´ (b) Với số thực c c f khả tích I c f = c I f ´ ´ (c) Nếu f ≤ g I f ≤ I g (a) f + g khả tích ´ I( f CHỨNG MINH Ta chứng minh phần (a), phần lại để phần tập Với phép chia P I, hình hộp R ta có infR f + infR g ≤ f ( x ) + g( x ), ∀ x ∈ R Suy infR f + infR g ≤ infR ( f + g) Do L( f , P) + L( g, P) ≤ L( f + g, P) ´ Cho > 0, có phép chia P cho L( f , P) > I f − có phép chia P cho ´ L( g, P ) > I g − Lấy phép chia P mịn P P L( f , P ) ≥ L( f , P) > ´ ´ I f − L ( g, P ) ≥ L ( g, P ) > I g − Suy ˆ ˆ L( f + g, P ) ≥ L( f , P ) + L( g, P ) > f + g−2 I Tương tự, có phép chia Q cho I ˆ ˆ U ( f + g, Q) ≤ U ( f , Q) + U ( g, Q) < f+ I g+2 I Lấy phép chia Q mịn P Q ta ˆ ˆ ˆ ˆ f + g − < L( f + g, Q ) ≤ U ( f + g, Q ) < f + g+2 I I I I Hệ thức dẫn tới U ( f + g, Q ) − L( f + g, Q ) < , f + g khả tích, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f + g − < ( f + g) < f + g + , ∀ > 0, I I I I ´ ´ I ´ I ( f + g) = I f + I g * Đọc thêm Có thể định nghĩa tích phân Riemann sau Ta nói f khả ´ tích I có số thực, gọi tích phân f I, kí hiệu I f , có tính chất với > có δ > cho tất cạnh hình chữ nhật P có chiều dài nhỏ δ với cách chọn điểm x R thuộc hình ´ hộp R P ta có ∑ R f ( x R )| R| − I f < Có thể chứng minh định nghĩa tương đương với định nghĩa Darboux Có thể hỏi ta dùng cách xấp xỉ khác có mang tới tích phân hay không? Nếu ta muốn tích phân có tính chất thường dùng, gồm chẳng hạn tính tuyến tính, thực có loại tích phân thỏa tính chất đó, xem [Lan97, tr 575] Bài tập 1.1.5 Một hồ nước hình chữ nhật kích thước 4m × 8m có độ sâu không Người ta đo chiều sâu số điểm hồ bảng sau Ví dụ bảng độ sâu điểm cách bờ trái 1m bờ 5m 4.6m Hãy ước lượng lượng nước hồ 92 Giải tích vectơ 2.7 Ứng dụng công thức Stokes Định luật Gauss cho điện trường Giả sử có điện tích q điểm O Do Định luật Coulomb (2.2.8), ta đưa định nghĩa điện trường ứng với điện tích q điểm không gian có vị trí cho vectơ r từ điểm mang điện tích q tới điểm xét là: E (r ) = q r 4π |r |3 Đối với môn học chúng ta, điều đáng ý định luật Coulomb điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |r |2 , thường gọi luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law) Như ta thấy (2.2), trọng trường cũng cho luật Tính toán trực tiếp, ta thấy div E = 0, điều cho trường có dạng r/|r |m (trường xuyên tâm, radial) m = Giả sử S mặt đóng, mặt biên khối D Giả sử công thức Stokes áp dụng cho D Nếu D không chứa điểm O ta có ¨ ˚ E · dS = div E dV = S D Mặt khác S bao điểm O, nói cách khác D chứa điểm O phần lấy cầu tâm O với bán kính R đủ nhỏ cho không cắt S, cho biên ∂B(O, R) định hướng B(O, R) Khi S ∂B(O, R) với định hướng ngược lại tạo thành biên khối D không chứa O Áp dụng công thức Stokes cho D ta ¨ ¨ ˚ E · dS − Suy ¨ ˜ E · dS = ¨ E · dS = S S E · dS = ∂B(O,R) S ˜ div E dV = D E · dS Tính trực tiếp, ta ¨ r q E · dS = E· dS = |∂B(O, R)| | r | 4π 0R ∂B(O,R) ∂B(O,R) q q = 4πR2 = 4π R2 ∂B(O,R) q ∂B(O, R) D S 4Các thí nghiệm sau kiểm chứng số m định luật Coulomb sai khác không × 10−16 2.7 Ứng dụng công thức Stokes 93 Như thông lượng điện trường qua mặt đóng bao điện tích không phụ thuộc vào mặt tỉ lệ với điện tích bao Đây nội dung định luật phát biểu Johann Carl Friedrich Gauss Ở ta vừa trình bày định luật Coulomb định luật Gauss cho điện tích Trong trường hợp môi trường chứa điện tích điểm ta có: Định luật Coulomb Định luật Gauss ˜ ˝ ρ Q div E = , với ρ hàm mật độ S E · dS = D ρ dV = , với điện tích D khối bao mặt S Q tổng điện tích D Rõ ràng định luật Gauss nhận từ định luật Coulomb cách áp dụng định lí Gauss-Ostrogradski Ngược lại định luật Gauss suy định luật Coulomb Xét điểm p xét cầu đóng B ( p, r ) tâm điểm với bán kính r Theo định luật Gauss định lí Gauss-Ostrogradsky: ˚ ¨ ρ dV = B ( p,r ) ˚ E · dS = ∂B ( p,r ) div E dV B ( p,r ) Chia hai vế cho thể tích cầu B ( p, r ) lấy giới hạn r → 0, dùng tính chất giới hạn giá trị trung bình hàm liên tục 2.6.1 ta ρ( p) = div E( p) Tuy nhiên định luật Gauss kiểm chứng thí nghiệm dễ định luật Coulomb, định luật Gauss có tính vĩ mô định luật Coulomb có tính vi mô Định luật Coulomb cho môi trường mang điện liên tục nhận cách túy toán học từ định luật Coulomb cho điện tích cách lấy tích phân dùng hàm Dirac, hàm suy rộng Các phương trình Maxwell điện từ Không lâu sau hai định luật Coulomb Gauss, thập kỉ 1820, André Marie Ampère phát dòng điện tạo quanh từ trường theo định luật: ˆ B · ds = µ0 I, C C đường cong kín bao quanh dòng điện có cường độ không đổi I, B từ trường, µ0 số Năm 1831 Michael Faraday phát từ trường thay đổi theo thời gian tới lượt lại tạo điện trường Định luật Faraday cho công thức: ¨ ˆ d B · dS E · ds = − dt S ∂S 5Trong tài liệu Vật lí định luật Gauss thường phát biểu mà không kèm theo điều kiện tính trơn mặt hàm công thức 94 Giải tích vectơ Năm 1864, James Clerk Maxwell phát triển định luật Ampère thống điện trường với từ trường: Các phương trình Maxwell Dạng vi phân (1) (Coulomb) div E = (2) curl E = Dạng tích phân ˜ (Gauss) S E · dS = ρ Q , với S mặt đóng ´ ˜ d (Faraday) ∂S E · ds = − dt S B · dS ˜ B · d S = 0, với S mặt S − ∂B ∂t (3) div B = đóng ´ ˜ + dtd S E · dS, với J mật độ dòng điện với I cường độ dòng điện qua mặt S Giống tương đương định luật Coulomb định luật Gauss, dạng vi phân dạng tích phân phương trình Maxwell tương đương với nhau, thông qua định lí Stokes định lí Gauss-Ostrogradsky Bằng thí nghiệm, Maxwell phát 01µ0 = c2 , bình phương vận tốc ánh sáng chân không Các phương trình Maxwell với định luật Newton tổng kết toàn Vật lí cổ điển Chẳng lí thuyết Maxwell ứng dụng thực tế với việc phát minh sóng điện từ Heinrich Hertz năm 1887 Có thể đọc thêm [Fey64, Chương 18] (4) (Ampère) µ0 curl B = J + ∂E ∂t , µ0 ∂S B · dS = I Bài tập 2.7.1 * Dùng công thức Stokes công thức Gauss-Ostrogradsky, chứng tỏ dạng vi phân dạng tích phân phương trình Maxwell tương đương với 2.8 * Công thức Stokes tổng quát 95 2.8 * Công thức Stokes tổng quát Công thức Stokes cho mặt (n − 1)-chiều không gian Rn Sau trường hợp công thức Stokes dùng phổ biến nghiên cứu phương trình vật lí toán phương trình đạo hàm riêng ([Eva97, tr 627], [GT01, tr 13]) Với F = ( F1 , F2 , , Fn ) : Rn → Rn đặt div F = n n i =1 i =1 ∂F ∑ Di Fi = ∑ ∂xii 2.8.1 ĐỊNH LÍ Cho Ω tập mở bị chặn không gian Euclid Rn Giả sử biên ∂Ω thuộc lớp C1 Giả sử v vectơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω Giả sử trường vectơ F có thành phần thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: ˆ ˆ Ω F · v dS div F dx = ∂Ω Trong công thức trên, ta nói biên ∂Ω thuộc lớp C1 có nghĩa điểm ∂Ω có lân cận vi đồng phôi với tập mở Rn−1 Điều có nghĩa điểm ∂Ω có lân cận mà ∂Ω đồ thị hàm trơn theo (n − 1) biến Như ta thấy phần chứng minh 2.1.3 2.4.4, khái niệm tổng quát hóa khái niệm đường qui mặt qui Một hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) có đạo hàm riêng cấp liên tục Ω đạo hàm có mở rộng liên tục lên Ω Tích phân theo phần tử diện tích mặt dS định nghĩa cách tương tự tích phân đường loại tích phân mặt loại Tuy nhiên có khó khăn cần tới nhiều phép tham số hóa để phủ hoàn toàn mặt Để vượt qua khó khăn người ta dùng công cụ gọi "phân hoạch đơn vị" Sự thống công thức Newton-Leibniz, Green, Stokes Gauss-Ostrogradsky Ta nhận thấy thống công thức này: tích phân đối tượng hàm w biên ∂M đối tượng hình học M với tích phân đối tượng hàm dw liên quan tới đạo hàm đối tượng hàm w ban đầu đối tượng hình học M ban đầu: ˆ ˆ w= ∂M dw M Đây dạng công thức tổng quát, gọi chung công thức Stokes Công thức Stokes cho mặt k-chiều không gian Rn Công thức Stokes tổng quát trường hợp sau Về mặt hình học, M mặt k-chiều, theo nghĩa điểm M có lân cận vi đồng phôi với tập mở Rk tập mở nửa Rk , điểm không thuộc loại đầu tạo thành biên ∂M Đây khái niệm đa tạp trơn (smooth manifold) k-chiều 96 Giải tích vectơ Đối tượng hàm w phức tạp Đó dạng vi phân (differential form) bậc (k − 1) Khi dw đạo hàm dạng w dạng bậc k Thế tích phân dạng vi phân mặt? Vì điểm mặt có lân cận vi đồng phôi với với tập Rk nên thông qua phép vi đồng phôi ta mang tích phân mặt tích phân Rk công thức liên quan tới công thức đổi biến tích phân Tất nhiên miêu tả chưa đủ để người đọc hiểu cụ thể Ở người viết tham vọng mà muốn giới thiệu vài ý niệm, hy vọng người đọc tìm hiểu thêm sau Vài nét dạng vi phân Những kí hiệu dx, dy, dA, dV, dxdy, ds, dS, ds, dS, mà ta thấy xuất môn học chưa giải thích ý nghĩa rõ ràng Chúng phần tử tập hợp nào? Quan hệ chúng sao? Dạng vi phân bậc Xét không gian Rn Giả sử x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Lạm dụng kí hiệu ta xi hàm cho tọa độ thứ i x, tức hàm ( x1, x2 , , xn ) → xi Khi ta định nghĩa dạng vi phân dxi đạo hàm hàm xi Tức dxi = dxi ! Vậy dxi hàm Rn Tại điểm x ∈ Rn , giá trị dxi ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, đại diện vectơ (0, 0, , 0, 1, 0, , 0) số nằm tọa độ thứ i Tổng quát hơn, f : Rn → R hàm trơn đạo hàm d f f dạng vi phân Rn Tại điểm x d f ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào ∂f ∂f ∂f R, đại diện vectơ ∂x ( x ), ∂x ( x ), , ∂xn ( x ) Từ ta có đẳng thức: d f (x) = ∂f ∂f ∂f ( x )dx1 ( x ) + ( x )dx2 ( x ) + · · · + ( x )dxn ( x ) ∂x1 ∂x2 ∂xn hay ngắn gọn hơn: df = ∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + · · · + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn Trong trường hợp chiều công thức là: d f = f dx Khác với mơ hồ ta thấy công thức lần đầu học vi phân giáo trình toán giải tích trung học hay năm đầu đại học, thứ công thức có nghĩa xác Ta định nghĩa dạng vi phân bậc Rn hàm cho tương ứng điểm với ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, cho công thức f dx1 + f dx2 + · · · + f n dxn f , , f n hàm trơn VÍ DỤ Trên R2 , dạng bậc cho công thức Pdx + Qdy P, Q hàm trơn R2 2.8 * Công thức Stokes tổng quát 97 Tích dạng vi phân Người ta định nghĩa phép nhân dạng vi phân, thường kí hiệu ∧ (wedge - tích chèn), ta bỏ qua kí hiệu cho đơn giản Phép nhân dạng vi phân có tính phân phối với phép cộng Nó có tính chất đặc biệt, tính phản đối xứng: dxdy = −dydx Một hệ dxdx = VÍ DỤ Khi n = 2: Ta có dxdy dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R2 , giá trị dxdy( p) ánh xạ mà tác động vào cặp vectơ u, v ∈ R2 cho det(u, v), diện tích có hướng hình bình hành sinh u v Vì có lẽ không ngạc nhiên ta biết kí hiệu dA dxdy: dA = dxdy VÍ DỤ Khi n = 3: Ta có dxdydz dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R3 , giá trị dxdydz( p) ánh xạ mà tác động vào vectơ u, v, w ∈ R3 cho det(u, v, w), diện tích có hướng hình bình hành sinh u, v w Kí hiệu dV dxdydz: dV = dxdydz Tổng quát hơn, p ∈ Rn dx1 dx2 · · · dxn ( p) = det, dạng thể tích dV Rn dV = dx1 dx2 · · · dxn Với ≤ i1 , i2 , , ik ≤ n dxi1 dxi2 · · · dxik dạng bậc k Tổng hai dạng bậc k dạng bậc k Tích hàm trơn với dạng bậc k dạng bậc k Ta định nghĩa dạng vi phân bậc k Rn tổng hữu hạn dạng f dxi1 dxi2 · · · dxik VÍ DỤ Một dạng bậc R3 có công thức Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, P, Q, R hàm trơn R3 Ở chưa bàn tới dạng vi phân nội đường, mặt, hay tổng quát tập "k-chiều" Rn Vì ta chưa có hội giải thích dạng ds, dS, Tích phân dạng vi phân Theo định nghĩa dạng vi phân bậc n Rn tổng hữu hạn dạng f dx1 dx2 · · · dxn Rất đơn giản, ta định nghĩa tích phân dạng f dx1 dx2 · · · dxn tập D Rn tích phân bội hàm f D Định nghĩa dùng cho tập D "n-chiều" Rn Nếu tập D có số chiều k < n (ví dụ đường, mặt Rn ) cần có định nghĩa khác dành riêng cho số chiều k Như ta thấy qua tích phân đường tích phân mặt, định nghĩa dùng tới việc "kéo lui" dạng D dạng k-chiều Rk , lấy tích phân Chi tiết phức tạp, nên ta dừng lại 98 Giải tích vectơ Đạo hàm dạng vi phân Người ta định nghĩa phép đạo hàm dạng Phép tính có tính tuyến tính, nên xác định công thức: d( f dxi1 dxi2 · · · dxik ) = (d f )dxi1 dxi2 · · · dxik ∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + · · · + dxn dxi1 dxi2 · · · dxik ∂x1 ∂x2 ∂xn = Như đạo hàm dạng bậc k dạng bậc (k + 1) VÍ DỤ Trên R2 xét dạng w = Pdx + Qdy Ta có dw = ∂P ∂P dx + dy dx + ∂x ∂y ∂Q ∂Q dx + dy dy = ∂x ∂y ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy VÍ DỤ Trên R3 xét dạng w = Pdx + Qdy + Rdz Ta có ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz dx + ∂x ∂y ∂z = dw ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dz ∂x ∂y ∂z + ∂R ∂Q − ∂y ∂z = ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dy + ∂x ∂y ∂z ∂P ∂R − ∂z ∂x dydz + dzdx + ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy Chú ý thành phần dw thành phần curl( P, Q, R) VÍ DỤ Trên R3 xét dạng w = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ta có ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz dydz + ∂x ∂y ∂z = dw + = ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dzdx + ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dxdy ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz Thành phần dạng dw div( P, Q, R) Tương ứng hàm dạng hàm thực f dạng bậc không f trường ( P, Q, R) dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz trường bảo toàn dạng bậc mà đạo hàm dạng bậc không trường curl( P, Q, R) dạng bậc hai ∂P ∂z hàm div( P, Q, R) − ∂R ∂x ∂R ∂y dzdx + dạng bậc ba ∂P ∂x ∂Q ∂z dydz + ∂Q ∂P ∂x − ∂y dxdy ∂Q ∂R ∂y + ∂z dxdydz − + VÍ DỤ Tính d(d f ) ta được: d(d f ) = d = ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂2 f ∂2 f − ∂y∂z ∂z∂y dydz + ∂2 f ∂2 f − ∂z∂x ∂x∂z dzdx + ∂2 f ∂2 f − ∂x∂y ∂y∂x dxdy 2.8 * Công thức Stokes tổng quát 99 Vậy f trơn cấp hai d(d f ) = Đây không khác hệ thức curl(∇( f )) = VÍ DỤ Nếu ta lấy w = Pdx + Qdy + Rdz tính dw = ∂P ∂z − ∂R ∂x dzdx + d(dw) = ∂Q ∂x − ∂P ∂y ∂R ∂y − ∂Q ∂z dxdy, tương ứng với trường curl( P, Q, R), ∂2 R ∂2 Q ∂2 P ∂2 R ∂2 Q ∂2 P − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y dxdydz Nếu trường ( P, Q, R) trơn cấp hai d(dw) = Đây hệ thức div(curl( F )) = Tổng quát, tích hai ánh xạ đạo hàm d nối tiếp không: d2 = Bổ đề Poincaré tổng quát Ta thấy w = du dw = Điều ngược lại nội dung bổ đề Poincaré tổng quát: Trên miền mở hình Rn , w dạng bậc k dw = tồn dạng u bậc k − cho du = w Công thức Stokes tổng quát Công thức Stokes tổng quát Rn : ˆ ˆ w= dw ∂M M • Công thức Newton-Leibniz ứng với trường hợp w dạng bậc không f M tập 1-chiều R (đoạn thẳng) • Công thức Green ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy M tập 2-chiều R2 • Công thức Stokes ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz M tập 2-chiều R3 (mặt) • Công thức Gauss-Ostrogradsky ứng với trường hợp w dạng bậc hai Pdydz + Qdzdx + Rdxdy M tập 3-chiều R3 (khối) Bài tập 2.8.2 (công thức Green) Đây hệ công thức Stokes 2.8.1 Với giả thiết Ω, ta viết pháp tuyến đơn vị v = (v1 , v2 , , ) Chứng minh công thức sau (xem 2.3.14 2.6.12): ´ ´ ∂f (a) Ω ∂x dx = ∂Ω f vi dS Giả sử hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) i ´ ∂f ´ ´ ∂g (b) Ω ∂x g dx = ∂Ω f gvi dS − Ω f ∂x dx Giả sử f g thuộc lớp C1 (Ω) i i ´ ´ ∂f ∂f (c) Ω ∆ f dx = ∂Ω ∂v dS Giả sử f thuộc lớp C2 (Ω) Ta viết = ∇ f · v, đạo hàm ∂v ∂2 f f theo hướng v Nhắc lại toán tử Laplace ∆ cho ∆ f = ∑in=1 ∂x2 i ´ ´ ´ ∂g (d) Ω ∇ f · ∇ g dx = ∂Ω f ∂v dS − Ω f ∆g dx Giả sử f g thuộc lớp C2 (Ω) ´ ´ ∂g ∂f (e) Ω ( f ∆g − g∆ f ) dx = ∂Ω f ∂v − g ∂v dS 2.8.3 (diện tích mặt cầu) * Gọi Sn ( R) mặt cầu n-chiều tâm với bán kính R, biên cầu B (n+1) ( R) tâm bán kính R Hãy dùng 2.8.1 để tính diện tích (nói cách khác, thể tích n-chiều) Sn ( R) dydz + 100 Giải tích vectơ Hướng dẫn học thêm Để trình bày chặt chẽ nội dung tích phân đường mặt tổng quát hóa cho nhiều chiều cần nghiên cứu hai lãnh vực: đa tạp vi phân (differential manifolds) (tổng quát hóa đường mặt), dạng vi phân (differential forms) (tổng quát hóa trường vectơ) Quyển sách nhỏ Spivak [Spi65] giáo trình kinh điển Quyển sách Munkres [Mun91] xuất sau, có nội dung tương tự có nhiều chi tiết Một tài liệu hay gần tập giảng [Sja06] Một tiếp cận khác vấn đề tích phân tập không gian Euclid trình bày Lí thuyết độ đo hình học (Geometric Measure Theory), đọc [Mor00] Như gợi ý, Giải tích vectơ ứng dụng trực tiếp vào vật lí ngành toán học liên quan [Arn89], khảo sát phương trình vật lí toán, thường phương trình đạo hàm riêng [Eva97] Gợi ý cho số tập 1.2.16: Giả sử x ∈ [0, 1] số vô tỉ { pn /qn }n∈Z+ dãy số hữu tỉ hội tụ x Nếu dãy {qn }n∈Z+ không tiến vô có số thực M dãy {qnk }k∈Z+ cho qnk < M với k ∈ Z+ Dãy { pnk /qnk }k∈Z+ gồm hữu hạn giá trị 1.2.17: Tập hợp số hữu tỉ đếm 1.4.12: Dùng công thức Fubini hai lần, ý điều kiện áp dụng 1.4.20: (b) Dùng ý 1.1.10 1.4.13: Đặt khối vào hình hộp dùng công thức Fubini, tương tự chứng minh 1.4.4 (4 − x2 − 2y2 )/3 với ( x, y) thuộc hình e-líp ≤ Vì e-líp có diện tích hàm f liên tục, nên hàm f khả tích, đồ thị f tích không R3 Tương tự nửa mặt tích không, e-líp tích không, nên khối e-líp tích 1.5.15: Chú ý miền D đối xứng qua trục Oy Có thể có kết mà không cần tính trực tiếp tích phân Để giải thích xác dùng phép đổi biến x → − x 1.5.22: Dùng 1.4.13 1.6.6: Đổi đơn vị giá sang triệu đồng/km2 2.1.9: Dùng công thức Frénét Giả sử với s Dγ(s) ⊂ B(γ(s), k(1s) ), với k(s) = 1.5.13: Nửa mặt e-líp đồ thị hàm z = f ( x, y) = x2 + 2y2 | T (s)| > độ cong đường γ γ(s) Dùng 1.6.5 Có thể đọc thêm báo R Osserman, Mathematics of the Gateway Arc, Notices of the AMS, vol 57, no 2, 2010, p 225 2.2.14: Xem kĩ thuật phần chứng minh 2.1.3 101 Tài liệu tham khảo [Áng97] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1997 39 [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Arn89] Vladimir I Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 100 [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Eva97] Lawrence C Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 1997 95, 100 [Fey64] Richard P Feynman, Robert B Leighton, Mathew Sands, The Feynman’s lectures in Physics, [GT01] David Gilbarg and Neil S Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 vol 2, Addison-Wesley, 1964 94 Springer, 2001 95 [Kel29] Oliver Dimon Kellogg, Foundations of potential theory, Springer, 1929 66 [Khu10] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích toán học, tập 2, Nhà Xuất Bản Đại học Sư phạm Hà Nội, 2010 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I, [LDP02] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích hàm nhiều biến, Nhà Xuất [Mor00] Frank Morgan, Geometric measure theory: A beginner’s guide, Academic Press, 2000 100 Addison-Wesley, 1968 ii, 6, 8, 12, 28, 34, 39 Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 [Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991 34, 40, 100 [Mun00] , Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000 77 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 ii, 34 giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [Rud86] , Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986 [Sja06] Reyer Sjamaar, Manifolds and differential forms, 2006, Cornell University 67, 100 [Spi65] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965 29, 34, 100 [Ste12] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 7th ed., Brooks/Cole, 2012 ii, 34, 53 [Vutop] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Science, [Zor04] Vladimir A Zorich, Mathematical Analysis II, Springer, 2004 http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/teaching/n.pdf 103 Chỉ mục độ đo không, 11 hàm đặc trưng, 16 độ cong, 58 hàm điều hòa, 70, 90 động năng, 60 hàm Gamma, 45 đạo hàm theo hướng, 70 hàm mật độ, 41 định lí hàm ngược, 29 hàm thế, 59 đường đi, 49 đóng, 49 khối ống, 58 đơn, 49 khối đơn giản với biên trơn mảnh, 86 định hướng, 54 khối nón, 38 qui, 53 khả tích, liên tục, 49 khả vi liên tục, 28 trái định hướng, 54 khả vi khúc, 51 vết, 49 mặt, 71 đường cong, 54 định hướng, 74 hướng tiếp tuyến, 55 đơn, 75 đa tạp trơn, 95 biên, 75 qui, 75 bổ đề Poincaré, 66, 84, 99 hướng lên, 75 vết, 71 công thức đổi biến, 29 công thức Divergence, 86 ma trận Jacobi, 28 công thức Fubini, 21 miền, 15 công thức Gauss-Ostrogradsky, 86 miền đơn giản, 22, 23 công thức Green, 64, 69, 70, 90, 99 phép đổi biến, 29 công thức Newton-Leibniz, 59 phép chia, công thức Pappus, 46 khoảng con, công thức Stokes, 81, 95, 99 mịn hơn, công thức tích phân phần, 70 curl, 80 tích phân, tích phân đường dạng vi phân, 96 độc lập với đường đi, 59 div, 68, 86 loại hai, 51 loại một, 51 giá trị qui, 63 tích phân lặp, 20 hầu khắp, 11 tích phân mặt hình hộp, loại hai, 73 con, loại một, 72 thể tích, tích phân phần, 99 hình sao, 66 tập mức, 63 105 106 tọa độ cầu, 33 tọa độ trụ, 32 tổng dưới, tổng Riemann, tổng trên, năng, 60 thông lượng, 69 thể tích, 16 thể tích không, toán tử Laplace, 70 trơn, 28 đường đi, 49 trường bảo toàn, 59 gradient, 59 vectơ gradient, 28 vectơ pháp tuyến ngoài, 68 vi đồng phôi, 29 đảo ngược định hướng, 30, 73 bảo toàn định hướng, 30, 52, 73 xấp xỉ dưới, xấp xỉ trên, Chỉ mục [...]... f khả tích và D c f = c D f ´ ´ (c) Nếu f ≤ g thì D f ≤ D g CHỨNG MINH Ta chứng minh phần (a), các phần còn lại được để ở phần bài tập Lấy một hình hộp I chứa D và gọi F và G lần lượt là mở rộng của f và g lên I, bằng 0 ngoài D Theo định nghĩa của tích phân, do f và g khả tích trên D nên F và G khả tích trên I Theo tính chất của tích phân trên hình hộp (1.1.4), ta có ( F + G ) khả tích trên I và ˆ... trong Giải tích 1 để xét tích phân trên khoảng không bị chặn ta đã phải dùng tới giới hạn của tích phân và khái niệm tích phân suy rộng Giả sử D là một miền bị chặnvà f : D → R Vì D bị chặn nên có hình hộp I chứa D Mở rộng hàm f lên hình hộp I thành hàm F : I → R xác định bởi   f ( x ), x ∈ D F(x) = 0, x ∈ I \ D ĐỊNH NGHĨA Ta nói f là khả tích trên D nếu F khả tích trên I, và khi đó tích phân của... 1.3.4 thì đồ thị của nó có thể tích không trong R3 Tương tự 18 1 Tích phân bội nửa mặt cầu dưới cũng có thể tích không, do đó mặt cầu có thể tích không, và do 1.3.2 nên quả cầu có thể tích Tính chất của tích phân Những tính chất sau là hệ quả đơn giản của những tính chất tương ứng cho hình hộp 1.1.4: 1.3.5 MỆNH ĐỀ Nếu f và g khả tích trên D thì: ´ ´ ´ (a) f + g khả tích và D ( f + g) = D f + D g ´ ´... bằng cách thêm vào tọa độ các đỉnh của I3 Hạn chế P lên I3 ta được một phép chia P của I3 Giống như đoạn vừa rồi, U ( F3 , P) = U ( F1 , P ) và L( F3 , P) = ´ ´ L( F1 , P ) Do đó nếu F1 khả tích thì F3 khả tích và I3 F3 = I F1 1 GHI CHÚ Khi D là một hình hộp thì định nghĩa tích phân này trùng với định nghĩa đã có Thể tích Ta định nghĩa thể tích thông qua tích phân: 16 1 Tích phân bội ĐỊNH NGHĨA... trên D1 và f 1 = 0 trên D \ D1 Tương tự, đặt f 2 xác định trên D sao cho f 2 = f trên D2 và f 2 = 0 trên D \ D2 Vì f khả tích trên D1 nên từ định nghĩa tích phân ta có ngay f 1 ´ ´ ´ ´ khả tích trên D và D f 1 = D f Tương tự f 2 khả tích trên D và D f 2 = D2 f 1 Ta có f 1 + f 2 = f trên D \ ( D1 ∩ D2 ) Vì f 1 + f 2 khả tích trên D và D1 ∩ D2 có thể tích không nên do 1.3.6 f khả tích trên D và ˆ ˆ... 1.4.7 Giải thích vì sao có thể đổi thứ tự tích phân trong các tích phân lặp sau và hãy tính chúng: ´ 1 ´ 1 − y2 (a) 0 dy dx x2 xe ´1 ´1 √ 3 √ (b) 0 y x + 2 dx dy 1.4.8 (a) Tính tích phân ˝ E y dV trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 0) và (0, 0, 1) ˝ (b) Tính tích phân E z dV trong đó E là khối được bao bởi các mặt z = 0, x = 0, y = x, y = 1, z = 2x + 3y 26 1 Tích phân bội. .. thể tích của D, và L(χ D , P) = ∑ R (infR χ D )| R| = ∑ R⊂ D | R| chính là xấp xỉ dưới thể tích của D Từ đây ta thấy thể tích của D chính là tích phân của χ D trên I Mà đây chính là tích phân của hàm 1 trên D Xấp xỉ dưới và xấp xỉ trên của thể tích có thể gần nhau tùy ý khi các hình hộp phủ phần biên có tổng thể tích nhỏ tùy ý, vậy: 1.3.2 ĐỊNH LÍ Một tập con bị chặn của Rn có thể tích n-chiều khi và. .. ảnh hưởng tới tích phân) Cho D là tập con bị chặn của Rn , C là tập con của D có thể tích không, và f bị chặn trên D Khi đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f khả tích trên D \ C, và khi đó ´ ´ D f = D \C f CHỨNG MINH Đặt hàm g xác định trên D sao cho g( x ) = f ( x ) trên D \ C và ´ ´ g( x ) = 0 trên C Do 1.3.6 g cũng khả tích trên D và D g = D f Mặt khác từ định ´ ´ ´ nghĩa của tích phân ta có D... khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên D CHỨNG MINH Cho I là một hình hộp chứa D và cho F là mở rộng của f lên I, ´ ´ bằng không ngoài D Tích phân D f tồn tại nếu và chỉ nếu tích phân I F tồn tại ´ Theo 1.2.8 ta biết tích phân I F tồn tại khi và chỉ khi F liên tục hầu khắp trên I Tập E các điểm tại đó F không liên tục gồm tập C các điểm trên D mà tại đó f không liên tục và. .. thể tích không thì bằng không 1.3.17 * Chứng tỏ một tập con bị chặn của Rn có thể tích không khi và chỉ khi nó có thể tích và thể tích đó bằng không Như vậy thể tích không chính là có thể tích bằng không! 1 Tích phân bội 20 1.4 Công thức Fubini Công thức Fubini trong không gian hai chiều có dạng: ¨ ˆ b ˆ [ a,b]×[c,d] ˆ d f ( x, y) dxdy = ˆ d b f ( x, y) dy dx = a c f ( x, y) dx dy c a Một tích phân ... thể tích hình không thay đổi qua phép dời hình 1.6 Ứng dụng tích phân bội 41 1.6 Ứng dụng tích phân bội Tích phân tổng, ý nghĩa tích phân Vì có nhu cầu tính tổng vô hạn giá trị tích phân xuất Tích. .. nguyên Vào đầu kỉ 20 Henri Lebesgue xây dựng nên tích phân tổng quát tích phân Riemann, theo nghĩa hàm khả tích Riemann khả tích Lebesgue, tích phân Lebesgue hàm trùng với tích phân Riemann hàm Tích. .. P ) Do F1 khả tích F3 khả tích I3 F3 = I F1 GHI CHÚ Khi D hình hộp định nghĩa tích phân trùng với định nghĩa có Thể tích Ta định nghĩa thể tích thông qua tích phân: 16 Tích phân bội ĐỊNH NGHĨA