Bài giảng đổi biến trong tích phân bội ba

...ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA x = x(u,v,w) f(x,y,z) xác định Ω, đặt y = y(u,v,w) (x,y,z) ∈ Ω ⇔ (u,v,w) ∈ Ω’... dz ÷dxdy y ÷ −1  2− y dr ∫ rdz r sin ϕ −1 Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid Ω : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 ≤ R2 x = a +ρsinθcosϕ , Đổi biến: y = b + ρsinθsinϕ, z = c + ρcosθ J =... ellipsoid: 2 x y z + + ≤1 a b c x = a ρsinθcosϕ, Đổi biến: y = b ρsinθsinϕ, z = c ρcosθ J = abcρ2sinθ 0 ≤ ρ ≤  Ω : 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π  VÍ DỤ Tính thể tích vật thể giới hạn bên mặt nón mặt ellipsoid:

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA x = x(u,v,w) f(x,y,z) xác định trong Ω, đặt y = y(u,v,w) (x,y,z) ∈ Ω ⇔ (u,v,w) ∈ Ω’ xu′ D( x , y , z) J= = y u′ D (u , v , w ) zu′ ∫∫∫ Ω f ( x , y , z)dxdydz = ∫∫∫ Ω′ x ′y xw′ yv′ zv′ y w′ zw′ z = z(u,v,w) g (u , v ,w ) | J | dudvdw Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của Ω Nếu Ω gồm 2 phần Ω1 và Ω2 đối xứng nhau qua mp z = 0 ∫∫∫ Ω 1.f chẵn theo z : =2 f ( x , y , z )dxdydz ∫∫∫ Ω f ( x , y , z )dxdydz 1 2.f lẻ theo z : ∫∫∫ Ω f ( x , y , z )dxdydz = 0 Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu Ω đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x) TỌA ĐỘ TRỤ x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z z z x ϕ M r y (r = 2 x +y 2 ) M’ cố định z đổi sang tọa độ trụ ⇔ hình chiếu D đổi sang tọa độ cực. TỌA ĐỘ TRỤ x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z J=r ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z)rdrdϕ dz Ω′ Ω Điều kiện giới hạn: 1.r ≥ 0 2.ϕ ∈ [0, 2π] hay ϕ ∈ [- π, π] TỌA ĐỘ CẦU x = ρsinθcosϕ, z θ x ϕ y = ρsinθsinϕ, M ρ y z = ρcosθ J = ρ2 sinθ Điều kiện giới hạn: 1.ρ ≥ 0 2.ϕ ∈ [0, 2π] hay ϕ ∈ [- π, π] 3.θ ∈ [0, π] Lưu ý: 2 2 ρ = x +y +z 2 x 2 + y 2 = ρ sin θ Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu. Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu 2 2 2 x +y +z =R 2 2 2 x +y +z ≤R 2 2 ⇔ ρ =R 0 ≤ ρ ≤ R  ⇔ 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π   ρ ≤ 2R cosθ  π 2 2 2 x + y + z ≤ 2Rz ⇔ 0 ≤ θ ≤ 2  0 ≤ ϕ ≤ 2π z 1 x + y = ⇔ tan θ = a a 2 2 R x +y =R ⇔ ρ = sin θ 2 2 2 Nón trên. Trụ tròn. VÍ DỤ 1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 4 ∫ I = dx 0 2 • 2 4x−x2 ∫ 0 2 ∫ dy xzdz 0 0 ≤ x ≤ 4 D = hc Ω :  2 Oxy 0 ≤ y ≤ 4 x − x  x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z Ω: 0 ≤ r ≤ 4cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 2 z=2 y =0 x2 + y2 = 4x 4x−x2 4 ∫0 I = dx π 2 = ∫ 0 ∫0 ∫0 dy xzdz 4cos ϕ dϕ z=0 2 ∫ 0 2 dr ∫ 0 r cos ϕ .z.rdz 2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 ∫0 I = dy 4− y 2 ∫0 0 dx ∫ − 4− x 2 − y 2 xzdz 2 ∫ I = dy 0 4− y 2 ∫ 0 ∫ dx 0 xzdz − 4− x 2 − y 2 π 2 I= ∫ 0 ∫ 0 y = rsinϕ, z=z 0 2 dϕ x = rcosϕ, dr ∫ r cosϕ .z.rdz − 4−r 2 4− y 2 2 ∫0 ∫0 I = dy π 2 I= ∫ 0 π dϕ 0 dx ∫ xzdz − 4− x 2 − y 2 2 ∫π ∫ 2 dθ ρ sin θ cos ϕ .ρ cosθ .ρ sin θ d ρ 2 0 3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu: I= ∫∫∫ Ω zdxdydz Ω Là miền bên trong nón 2 z= x +y 2 2 2 2 x + y + z =2 và bị chắn bởi mặt cầu 2 2 2 2 x + y + z = 2, z = x + y 2 x = rcosϕ, y = rsinϕ, z=z 1 J=r Giao tuyến: z = 1 2 I= ∫∫∫ Ω 2 x + y =1 1 2π zdxdydz = 1 ∫ ∫ dϕ dr 0 0 2−r 2 ∫ r π z.rdz = 2 z = x + y , x + y + z = 2 x = ρsinθcosϕ, y = ρsinθsinϕ, 2 2 2 2 2 z = ρcosθ. 1 J = ρ2 sinθ 2π I= ∫ 0 π 4 dϕ ∫ 0 2 dθ ∫ 0 ρ cosθρ 2 sin θ d ρ 4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I = ∫∫∫ zdxdydz Ω 2 2 2 x + y + z ≤ 2z Ω: z ≤ x + y , 2 2 2 2 2 2 2 z ≤ x + y , x + y + z ≤ 2z Giao tuyến của mặt cầu và trụ 1 π 4 1 z = x 2 + y 2  2 2z = 2z z = 1 ⇔ 2 2 x + y =1  z ≤ x + y , x + y + z ≤ 2z x = ρsinθcosϕ, y = ρsinθsinϕ, 2 2 2 2 2 z = ρcosθ. 1 J = ρ2 sinθ π 4 ρ 2 ⇔ ρ = 2cosθ π 2 2π ∫∫∫ zdxdydz = Ω ∫ 0 dϕ 2 x + y + z = 2z θ 1 2 ∫π 4 2cosθ dθ ∫0 ρ cosθρ 2 si n θ d ρ I= ∫∫∫ zdxdydz = Ω 2π = ∫0 π = 6 π 2 dϕ ∫π 4 2cosθ dθ ∫0 2 ρ cosθρ sin θ d ρ Cách 2: Ω: z ≤ 2 2 x + y , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2z  ρ cosθ ≤ ρ 2 sin 2 θ = ρ sin θ Biểu diễn lại Ω:   ρ ≤ 2cosθ  ρ cosθ ≤ ρ 2 sin 2 θ = ρ sin θ   ρ ≤ 2cosθ (⇒ cosθ ≥ 0) 0 ≤ ρ ≤ 2cosθ  ⇔ (0 ≤ θ ≤ π / 2)  tan θ ≥ 1  0 ≤ ρ ≤ 2cosθ  ⇔ π 4 ≤ θ ≤ π 2 0 ≤ ϕ ≤ 2π  5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I = ∫∫∫ xdxdydz Ω Ω: 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x ≥ y 2 + z 2 x = ρcosθ, y = ρsinθcosϕ, z = ρsinθsinϕ J = ρ2 sinθ 2 2 2 2 2 ≤ x + y + z ≤ 4, x ≥ y + z I= ∫∫∫ Ω 2π xdxdydz = ∫ 0 π 4 dϕ ∫ 0 2 2 dθ ∫ 2 2 ρ cosθρ sin θ d ρ 1 2 = 3 − ÷π 2 4  Cách 2: Ω: 2 2 2 2 2 ≤ x + y + z ≤ 4, x ≥ y + z 2  ρ cosθ ≥ ρ 2 sin 2 θ = ρ sin θ (0 ≤ θ ≤ π )  2 2 ≤ ρ ≤4   tan θ ≤ 1 ⇔  2≤ρ ≤2 0 ≤ θ ≤ π 4 ⇔  2≤ρ ≤2 0 ≤ϕ ≤ 2π 6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu: 1− y 2 1 I= ∫ −1 dy ∫ − 1− y 2 4− x 2 − y 2 dx ∫ 2 2 2 x + y + z dz 0 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 Ω: 2 2 x + y ≤1  π 6 z = 4 − x 2 − y 2 z = 3 ⇔ Giao tuyến:  2 2 2 2 x + y =1   x + y = 1 π 6 0 ≤ ρ ≤ 2  Ω1 : 0 ≤ θ ≤ π 6 0 ≤ ϕ ≤ 2π  0 ≤ ρ ≤ 1  sin θ  Ω 2 : π 6 ≤ θ ≤ π 2 0 ≤ ϕ ≤ 2π   0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 Ω: 2 2 x + y ≤1  0 ≤ ρ cosθ ≤ 4 − ρ 2 sin 2 θ ⇔ 2 2  ρ sin θ ≤ 1  0 ≤ ρ ≤ 2,  ⇔ cosθ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ θ ≤ π 2  1 0 ≤ ρ ≤  sin θ 1 π vì sin θ ≥ 2 ⇔ θ ≤ 6 0 ≤ ρ ≤ 2  Ω1 : 0 ≤ θ ≤ π 6 0 ≤ ϕ ≤ 2π  2 2 nên Ω được chia làm 2 miền: 0 ≤ ρ ≤ 1  sin θ  Ω 2 : π 6 ≤ θ ≤ π 2 0 ≤ ϕ ≤ 2π   2 2 2 2 I = ∫∫∫ x + y + z dxdydz + ∫∫∫ x + y + z dxdydz Ω1 Ω2 2π π 6 2 0 0 0 3 2π π 2 1 sin θ 0 π 6 0 3 = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ sin θ d ρ + ∫ dϕ ∫ dθ ∫ ρ sin θ d ρ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: 2 2 x + y = 2y , z + y = 2, y = 2z + 2 z+y =2 V= ∫∫∫ Ω dxdydz  =  x 2 + y 2 ≤2 y  ∫∫ y = 2z + 2 Dùng tọa độ trụ = π ∫ 2 2 − 2sin ϕ 2sin ϕ ∫ ∫ dϕ 0  dz ÷dxdy y ÷ −1  2 2− y 0 dr ∫ rdz r sin 2 ϕ −1 Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid Ω : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 ≤ R2 x = a +ρsinθcosϕ , Đổi biến: y = b + ρsinθsinϕ, z = c + ρcosθ J = ρ2 sinθ 0 ≤ ρ ≤ R  Ω : 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π  Ω là ellipsoid: 2 2 2 x y z + 2 + 2 ≤1 2 a b c x = a ρsinθcosϕ, Đổi biến: y = b ρsinθsinϕ, z = c ρcosθ J = abcρ2sinθ 0 ≤ ρ ≤ 1  Ω : 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π  VÍ DỤ Tính thể tích vật thể giới hạn bên trong mặt nón và mặt ellipsoid: 2 2 x 2 x 2 2 z≥ + y , + y + z ≤1 3 3 [...]... ∫ dθ ∫ ρ sin θ d ρ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: 2 2 x + y = 2y , z + y = 2, y = 2z + 2 z+y =2 V= ∫∫∫ Ω dxdydz  =  x 2 + y 2 ≤2 y  ∫∫ y = 2z + 2 Dùng tọa độ trụ = π ∫ 2 2 − 2sin ϕ 2sin ϕ ∫ ∫ dϕ 0  dz ÷dxdy y ÷ −1  2 2− y 0 dr ∫ rdz r sin 2 ϕ −1 Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid Ω : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 ≤ R2 x = a +ρsinθcosϕ , Đổi biến: y = b + ρsinθsinϕ, z...VÍ DỤ 1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 4 ∫ I = dx 0 2 • 2 4x−x2 ∫ 0 2 ∫ dy xzdz 0 0 ≤ x ≤ 4 D = hc Ω :  2 Oxy 0 ≤ y ≤ 4 x − x  x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z Ω: 0 ≤ r ≤ 4cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 2 z=2 y =0 x2 + y2 = 4x 4x−x2 4 ∫0 I = dx π 2 = ∫ 0 ∫0 ∫0 dy xzdz 4cos ϕ dϕ z=0 2 ∫ 0 2 dr ∫ 0 r cos ϕ z.rdz 2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 ∫0 I =... b)2 + (z – c)2 ≤ R2 x = a +ρsinθcosϕ , Đổi biến: y = b + ρsinθsinϕ, z = c + ρcosθ J = ρ2 sinθ 0 ≤ ρ ≤ R  Ω : 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π  Ω là ellipsoid: 2 2 2 x y z + 2 + 2 ≤1 2 a b c x = a ρsinθcosϕ, Đổi biến: y = b ρsinθsinϕ, z = c ρcosθ J = abcρ2sinθ 0 ≤ ρ ≤ 1  Ω : 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π  ... 4−r 2 4− y 2 2 ∫0 ∫0 I = dy π 2 I= ∫ 0 π dϕ 0 dx ∫ xzdz − 4− x 2 − y 2 2 ∫π ∫ 2 dθ ρ sin θ cos ϕ ρ cosθ ρ sin θ d ρ 2 0 3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu: I= ∫∫∫ Ω zdxdydz Ω Là miền bên trong nón 2 z= x +y 2 2 2 2 x + y + z =2 và bị chắn bởi mặt cầu 2 2 2 2 x + y + z = 2, z = x + y 2 x = rcosϕ, y = rsinϕ, z=z 1 J=r Giao tuyến: z = 1 2 I= ∫∫∫ Ω 2 x + y =1 1 2π zdxdydz = 1 ∫ ∫ dϕ dr 0 0... ρ 1 2 = 3 − ÷π 2 4  Cách 2: Ω: 2 2 2 2 2 ≤ x + y + z ≤ 4, x ≥ y + z 2  ρ cosθ ≥ ρ 2 sin 2 θ = ρ sin θ (0 ≤ θ ≤ π )  2 2 ≤ ρ ≤4   tan θ ≤ 1 ⇔  2≤ρ ≤2 0 ≤ θ ≤ π 4 ⇔  2≤ρ ≤2 0 ≤ϕ ≤ 2π 6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu: 1− y 2 1 I= ∫ −1 dy ∫ − 1− y 2 4− x 2 − y 2 dx ∫ 2 2 2 x + y + z dz 0 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 Ω: 2 2 x + y ≤1  π 6 z = 4 − x 2 − y 2 z = 3 ⇔ Giao tuyến:  2 2 2 2 x