... y = r sin ϕ ϕ ∈ [0,2π ] hay ϕ ∈ [−π , π ] TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC a ≤ r ≤ b D: α ≤ ϕ ≤ β ϕ=β Dij D ∆ϕ ϕ =α ϕj ϕ j −1 ( ri* ,ϕ *j ) Tổng tích phân Sn = ∑ f (ri * cos ϕ *j , ri * sin ϕ... 3x r = - cosϕ 0 ≤ ϕ ≤ 4π 0 ≤ r ≤ − cos ϕ ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT y ( x , y ) ∈ D ⇔ (u , v ) ∈ D′ D( x , y ) J= = D(u , v ) D x Công thức đổi biến ∫∫ D f ( x , y )dxdy = x = x(u,v), y= y(u,v)... j ∫∫ f ( x , y )dxdy = lim Sn d →0 D lim Sn = d →0 ∫∫ D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ Công thức đổi biến sang tọa độ cực x = r cos ϕ , y = sin ϕ ∫∫∫ D f ( x , y )dxdy = ∫∫ D f (r cos ϕ , r sin ϕ
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP TỌA ĐỘ CỰC M y r 2 r = x +y ≥0 ϕ x x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ϕ ∈ [0,2π ] hay ϕ ∈ [−π , π ] TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC a ≤ r ≤ b D: α ≤ ϕ ≤ β ϕ=β Dij D ∆ϕ ϕ =α ϕj ϕ j −1 ( ri* ,ϕ *j ) Tổng tích phân Sn = ∑ f (ri * cos ϕ *j , ri * sin ϕ *j )ri *∆r ∆ϕ i, j ∫∫ f ( x , y )dxdy = lim Sn d →0 D lim Sn = d →0 ∫∫ D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ Công thức đổi biến sang tọa độ cực x = r cos ϕ , y = sin ϕ ∫∫∫ D f ( x , y )dxdy = ∫∫ D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ Một số đường cong miền D tọa độ cực x = r cos ϕ , y = r sin ϕ R R -R R 2 x +y =R ⇔r =R D -R R 2 x +y ≤R 0 ≤ r ≤ R ⇔ 0 ≤ ϕ ≤ 2π x + y = 2Rx • R 2R r = 2R cos ϕ x + y ≤ 2Rx • 0 ≤ r ≤ 2R cos ϕ π π − ≤ ϕ ≤ 2 x + y = 2Ry 2R R• 2 x + y ≤ 2Ry r = 2R sin ϕ • 0 ≤ r ≤ 2R sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π r = r2 (ϕ ) D β r = r1 (ϕ ) r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ) D: α ≤ ϕ ≤ β (0 < β − α ≤ 2π ) α ∫∫D f (r cosϕ , r sin ϕ )rdrdϕ β ∫α = dϕ r2 (ϕ ) ∫ϕ r1 ( ) f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr VÍ DỤ 1/ Tính: I = 2 x + y ≤1 2 x + y dxdy với D : y ≥ ∫∫D x = r cos ϕ , y = r sin ϕ r=1 -1 I= 0 ≤ r ≤ D: 0 ≤ ϕ ≤ π ∫∫ D π ∫ ∫ r rdrdϕ = dϕ r dr 0 π π = dϕ = 3 ∫ 4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 2 x + y = 4x, x + y = 2x , y = x, y = y = x r = 4cosϕ r = 2cosϕ x = r cos ϕ , y = r sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π D 2cos ϕ ≤ r ≤ 4cos ϕ S (D) = ∫∫ 1dxdy ∫∫ rdrdϕ D = D π ∫ = dϕ 0 ≤ ϕ ≤ π D 2cos ϕ ≤ r ≤ 4cos ϕ 4cos ϕ ∫ϕ 2cos 3π = + rdr 5/ Tính: I = ∫∫D x + y ≤ − x xydxdy với D : 3x ≤ y ≤ y = 3x r = - cosϕ 0 ≤ ϕ ≤ 4π 0 ≤ r ≤ − cos ϕ ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT y ( x , y ) ∈ D ⇔ (u , v ) ∈ D′ D( x , y ) J= = D(u , v ) D x Công thức đổi biến ∫∫ D f ( x , y )dxdy = x = x(u,v), y= y(u,v) ∫∫ D′ xu′ y u′ xv′ yv′ J = D (u , v ) D( x , y ) f ( x (u , v ), y (u, v )) J dudv Áp dụng đổi biến tổng quát Tọa độ cực: J= ∫∫ D xr′ y r′ x = r cos ϕ , y = r sin ϕ xϕ′ cos ϕ = yϕ′ sin ϕ f ( x , y )dxdy = ∫∫ D′ −r sin ϕ =r r cos ϕ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ Hình trịn tâm tùy ý: v y u b • a ∫∫D D: (x – a)2 + (y – b)2 ≤ R2 Dời gốc tọa độ đến tâm x = u + a, y = v + b xu′ J= y u′ x f ( x , y )dxdy = Đổi tiếp sang tọa độ cực: ∫∫ xv′ = =1 yv′ g (u , v ).1dudv u +v ≤R u = r cos ϕ , v = r sin ϕ D: (x – a)2 + (y – b)2 ≤ R2 Tóm tắt: x = a + rcosϕ, y = b + rsinϕ v y r • b a J=r ϕ u x 0 ≤ r ≤ R D′ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f (a + r cos ϕ , b + r sin ϕ )rdrdϕ D D′ Đổi biến ellippse b x y D: + ≤1 a b x = arcosϕ, y = brsinϕ D 2 a x y + = r a2 b2 J = abr 0 ≤ r ≤ D′ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (ar cosϕ , br sin ϕ )abrdrdϕ D D′ 1/ Tính: I = ∫∫ xydxdy với D nửa D hình trịn: (x – 2)2 + (y + 1)2 ≤ u x = + rcosϕ, y = -1 + rsinϕ J=r 0 ≤ r ≤ D′ : ≤ ϕ ≤ π v I= ∫∫ D′ (2 + r cos ϕ )( −1 + r sin ϕ )rdrdϕ I= ∫∫ (2 + r cos ϕ )(−1 + r sin ϕ )rdrdϕ D′ π ∫0 ∫0 = dϕ (−2 − r cos ϕ + 2r sin ϕ + r sin ϕ cos ϕ )rdr = −9π + 18 2/ Tính: I = ∫∫D Ví dụ 2 x y xydxdy , D : + ≤ 1; y ≥ 0; x ≥ x = 3rcosϕ, y = 2rsinϕ J = 3.2.r = 6r Miền D viết lại: r ≤ 3r cos ϕ ≥ 0,2r sin ϕ ≥ r ≤ 0 ≤ r ≤ ⇔ cos ϕ ≥ 0,sin ϕ ≥ 3r cos ϕ ≥ 0,2r sin ϕ ≥ 0 ≤ r ≤ D′ : π ≤ ϕ ≤ π ∫∫ D xydxdy = ∫ ∫ dϕ 3r cos ϕ 2r sin ϕ 6rdr = 3/ Tính diện tích miền giới hạn x ellipse + y = 1, y = 0, y = x , x ≥ x = 3r cos ϕ , y = r sin ϕ • J = 3r Miền D viết lại: x + y ≤ 1, ≤ y ≤ x 0 ≤ r ≤ 1, ⇔ 0 ≤ r sin ϕ ≤ 3r cos ϕ 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ r sin ϕ ≤ 3r cos ϕ 0 ≤ r ≤ 1, ⇔ sin ϕ 0 ≤ tan ϕ = cos ϕ ≤ S (D ) = ∫∫ D π ∫ ∫ dxdy = dϕ 0 ≤ r ≤ ⇔ π 0 ≤ ϕ ≤ 3rdr Tính đối xứng miền D tính kép D đối xứng qua oy D1 = D ∩ {(x,y)/ x ≥ 0} D f(x,y) chẵn theo x: f(x,y) lẻ theo x: D1 ∫∫D f ( x , y )dxdy = ∫∫ D ∫∫D f ( x , y )dxdy f ( x , y )dxdy =