Bài giảng ứng dụng hình học của tích phân kép

... dxdy D Khi đó, hình chiếu Ω lên Oxy D Cách xác định hàm tính tích phân hình chiếu D B1: chọn hàm tính tích phân: Chọn hàm tương ứng với biến xuất lần pt giới hạn miền tính thể tích (Ω) VD: z... Nếu sử dụng tính đối xứng D Miền D đối xứng qua Ox D1 = D∩ {x,y)/ y ≥ 0} ⇒ S(D) = 2S(D1) 0 ≤ ϕ ≤ π  D1 :  1 ≤ r ≤ cos ϕ  S (D) = π cos ϕ dϕ rdr ∫ ∫ BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ...NỘI DUNG • Tính diện tích miền phẳng • Tính thể tích vật thể R3 • Tính diện tích mặt cong TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG D miền đóng bị chận R2: S (D) = ∫∫D dxdy

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP NỘI DUNG • Tính diện tích miền phẳng • Tính thể tích vật thể R3 • Tính diện tích mặt cong TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG D miền đóng bị chận R2: S (D) = ∫∫D dxdy Có thể dùng cách tính xác định GT1 cho khơng đổi biến Ví dụ 1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: y = x ,y = x y=x y= x S (D ) = ∫∫D dxdy x ∫ ∫ dy = dx x2 = 2/ Tính diện tích miền D phần nằm ngồi 2 đường tròn x + y = nằm đường tròn 2 x +y = x Đổi biến: x = rcosϕ, y = rsinϕ Tọa độ giao điểm x + y =  ⇒ 2 x x + y =  x + y = r =   ⇔   2 x cos ϕ = x + y =  − π ≤ ϕ ≤ π  6 D: 1 ≤ r ≤ cos ϕ  S (D ) = π cos ϕ dϕ rdr π − ∫ ∫ r =  ⇔ π ϕ = ± π = − 18 Nếu sử dụng tính đối xứng D Miền D đối xứng qua Ox D1 = D∩ {x,y)/ y ≥ 0} ⇒ S(D) = 2S(D1) 0 ≤ ϕ ≤ π  D1 :  1 ≤ r ≤ cos ϕ  S (D) = π cos ϕ dϕ rdr ∫ ∫ BÀI TỐN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ Ω giới hạn mặt cong z = f2(x, y), mặt z = f1(x, y), bao xung quanh mặt trụ có đường sinh // Oz đường chuẩn biên miền D đóng bị chận Oxy V (Ω) = ∫∫ [ f2 ( x , y ) − f1 ( x , y ) ] dxdy D Khi đó, hình chiếu Ω lên Oxy D Cách xác định hàm tính tích phân hình chiếu D B1: chọn hàm tính tích phân: Chọn hàm tương ứng với biến xuất lần pt giới hạn miền tính thể tích (Ω) VD: z xuất lần : z = f1(x, y), z = f2(x,y), hàm tính z = |f2(x,y) – f1(x,y)| Cách xác định hàm tính tích phân hình chiếu D B2: Xác định miền tính D Gs hàm tính z = f(x,y), D hình chiếu Ω lên mp Oxy xác định từ yếu tố sau: 1.Điều kiện xác định hàm tính 2.Các pt không chứa z giới hạn miền Ω 3.Hình chiếu giao tuyến z = f1(x,y) z = f2(x,y) (có thể khơng sử dụng) 2/ Tính diện tích phần mặt trụ: 2z = x bị chắn mặt x − y = 0, y − x = 0, x=2 Phương trìnht mặt cong: y = x z= D = hc Ω : 2x Oxy 2y = x 2 x − 2y = 0, y − x = 0, x = 2 2 ′ ′ S = ∫∫ + (fx ) + (fy ) dxdy D y = ∫∫ + x dxdy 2y = x D 2 2x = ∫ dx ∫ x = 2x 2 + x dy = 13 x z= 2z = x D 3/ Tính diện tích phần mặt nón: z = x + y bị chắn mặt cầu: 2 x +y +z =2 D = hc Ω : x + y = Oxy S= ∫∫D 2 ′ ′ + (fx ) + (fy ) dxdy = ∫∫ 2dxdy D = 2S (D) = 2π (S(D) diện tích hình trịn có R = 1) 4/ Tính diện tích phần mặt cầu: x + y + z = bị chắn mặt: x = z, z = 3x , x ≥ Phần mặt cầu gồm nửa S1 S2: y1,2 = ± − x − z Hình chiếu S1 S2 lên Oxz giống xác định bởi: 4 − x − z ≥ 0, D: ⇒ S = S1 + S2 z = x , z = 3x , x ≥ 4 − x − z ≥ 0, D: z = x , z = 3x , x ≥ 2 x z = x π z S1 = S2 = ∫∫ 2 + ( y ′x ) + ( y z′ ) dxdz D = ∫∫ D 2dxdz 4−x −z π = ∫π ∫ dϕ π S = S1 + S2 = y = 4−x −z 2rdr 4−r2 π = 12