x y BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHẦN Câu 1: CHUYÊN KHTN L4 Gọi là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ vuông góc với nhau.. Ở đó có một mảnh đất mang tê
Trang 1x y
BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHẦN
Câu 1: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ
vuông góc với nhau Xem hình vẽ bên Tính thể tích của
A B
C D
Hướng dẫn giải Chọn đáp án A
vuông có diện tích
Thể tích khối là
Câu 2: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác
một trong những đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một
mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường
Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ
bên
tọa độ tương ứng với chiều dài mét
H1 4
a
H
3
2 3
H
a
V
3
3 4
H
a V
3
2
H
a V
3
4
H
a V
Oxyz Ox H a
H
2 3
Oxy
Trang 2y
O
a
M
H
4
K
Hướng dẫn giải
Chọn D
đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
Từ giả thuyết bài toán, ta có Góc phần tư thứ
nhất
Nên
Câu 3: (CHUYÊN VINH –
L2)Gọi là thể tích khối tròn xoay
trục Đường thẳng cắt đồ thị hàm tại (hình vẽ bên) Gọi là
Biết rằng Khi đó
A.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có Khi đó
Ta có Khi quay tam giác quanh trục tạo thành hai hình nón có chung đáy:
Hình nón có đỉnh là , chiều cao , bán kính đáy ;
Hình nón thứ 2 có đỉnh là , chiều cao , bán kính đáy
Khi đó Theo đề bài
Câu 4: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu , có cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc
A B C D
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gắn hệ trục như hình vẽ
Khối cầu chứa một đường tròn lớn là
2
125 6
S125 m2
4
2
250 3
S 125 m2
3
Oxy
2
1 5 4
y x x
2
1
4
y x x x
5
( ) 0
I
y x Ox0H 4 x 4
x aV y OMHOxM V12V x a1
2
a 2 2
a 5
2
a a 3
0
OMH Ox
NO1
1
h OK a
NH2
2 4
h RHK MK a a
1
4
3
S1
SR S21
( )( )S V S S212 3
V R3
2
R
V
3
5 12
R
V
3
2 5
R
V
Oxy
,
S O R
3
m
3
m 3
14,923 m 8,307 m 3
C
D
O O'
A
B
.5 5 (m )
V r h
3 1
3 5 3,070 (m )
V
3
V V V
x y
A
B
O
P
P
(0;0)
O
P : y ax 2bx c
(0;0)P O(3;0) A
(1,5; 2, 25)
B
P : yx23x
3 2 0
9 3
2
S x x dx ( ) :C x2y2 R2
y
Trang 3Câu 5:Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có
bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu
( đơn vị lít) là bao nhiêu ?
A lit B lit.C lit D lit.
Hướng dẫn giải
Gọi là parabol đi qua điểm và có đỉnh (hình vẽ) Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục
Dễ dàng tìm được
Thể tích thùng rượu là:
Chọn A.
Câu 6: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy
1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị )
A 11,781§ B.
12,637§ C 1 D §
Hướng dẫn giải
2 2
5
R R
R R
425, 2
425162212, 6
x
y
0,4m
0,3m 0,5m
O
S
A
P y ax:A S x 0,5;0,30;0, 4 Ox P0,52bx c
5
P y x
3
m
3
m 3
14,923 m 8,307 m 3
C
D
O O'
A
B H
1 2
( ); ( );E E x4;x4
8sin
x t 3 80
S
3
T
yf x ax bx yy cx d a b c C C 4 f x a
S
C
9
S 27 4
S 21
4
5 4
f x x
f x f x dx x dx x x C
C4
y
Trang 4 Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là:
Thể tích phần đã rút dầu ra
(phần trên mặt (ABCD))
là:
Vậy thể tích cần tìm là:
Chọn B.
Câu 7: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều
rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm
phải trả là:
Hướng dẫn giải
Gắn parabol và
hệ trục tọa độ sao cho đi qua
Gọi phương trình của parbol là (P):
Theo đề ra, đi qua ba điểm ,,
Từ đó, suy ra
Diện tích phần Bác Năm xây dựng:
Vậy số tiền bác Năm phải trả là: (đồng)
Chọn C
Câu 8:Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục quay quanh
trục biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
A B C D
Hướng dẫn giải
V r h
3 1
3 5 3,070 (m )
V
3
V V V
x y
A
B
O
P
P
(0;0)
O
P : y ax 2bx c
(0;0)P O(3;0) A
(1,5; 2, 25)
B
P : yx23x
3 2 0
9 3
2
S x x dx
9
1
yOx x
2
8 dm 3
15
dm
2
14
dm
2
15
dm 2
1 1 1 1 0
r y x
2
28
2
26
2
128
2
131
Oxy
A P14;0 ,:y axB0;82c
1
2
c
c
4
4
x y
O 3
Trang 5Chọn B
Câu 9: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol)
D
Hướng dẫn giải
Chọn D
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta có
Gọi là Parabol đi qua hai điểm
Nên ta có hệ phương trình sau:
Gọi là Parabol đi qua hai điểm
Nên ta có hệ phương trình sau:
Ta có thể tích của bê tông là:
Câu 10: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng § và độ dài trục bé bằng§ Ông muốn trồng hoa
trên một dải đất rộng § và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để
trồng hoa là § đồng/§ Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được
làm tròn đến hàng nghìn.)
Hướng dẫn giải
Ch n B.ọn B
Giả sử elip có phương trình §
Từ giả thiết ta có § và §
2m
0,5m
3
19m 21m3 3
18 40m m3
Oxy
y
1 :
P y ax c
19
2
A B
2
2 1
8 19
361 2
361 2
2
a a
b b
P2 :y ax 2c
10;0 , 0;5
2
C D
2
2 2
1 5
40
a a
19
2
V x dx x dx m
16m 8m
100.0001m2
7.862.000 7.128.000
2 2
2 2 1
a b
2a16 a8
2b10 b5
MNEIF ABCD6
BC12 m
CD MN MNEF EIFm24 m m
2
1 6 6
y x
2
2
6
208 900.000 20.800.000
5 dm
3 dm
3
100
3 dm3
43
3 dm3
41 dm 3
Oxy2 2
( ) : (C x x 0, 5)Ox Ox Ox Ox Ox H C C xy2 25