BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC tế của TÍCH PHÂN

BÀI TỐN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHẦN Câu 1: 1a vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích A 23a V( H ) = 34 C (CHUYÊN KHTN L4) Gọi phần giao ( H ) hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ B D π a 33 V(VH( )H = = ) 42 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A aa)2 − x O H S ( x )Oxyz (=Ox Ta tọa hình vẽ Khi phần giao vật thể có đáy phần tư tâm bán kính , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục vng có diện tích a ( aH2 )− x dx = 2a3 S x dx = ( ) ( ) ∫0 ∫0 a Câu 2: ( (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công 16 y = Oxy x 25 − x ) gọi trục độ hình tròn hình Thể tích khối học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ hình vẽ bên S1 biết đơn vị hệ Tính diện tích mảnh đất Bernoulli Oxy y viên Tốn x tọa độ tương ứng với chiều dài mét SS == A C 125 125 m m22 ) ( 46 B D SS == Hướng dẫn giải 250 125 ( m2 ) 33 Chọn D Oxy Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Từ giả thuyết tốn, ta có y = ± x − x2 Góc phần tư thứ y = x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] 125 125 x 25 − x dx = ⇒S= (m ) ∫ 40 12 OMH x Ox M = V = V V x = ay( 0H1 ) 5 4 b − 2b2 = ⇒ b2 = (do b > 0) Thay trở ngược vào (1) ta m= Từ (1) (2), trừ vế theo vế ta 27 13m = m6 m c1 , cSO , c3 , c4 , c5 , c6 Câu 13: Câu 13: Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh Chiều cao (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H) sợi dây nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P) vng góc với SO lục giác (P) qua trung điểm SO lục giác có cạnh Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H) A B 135 96 33 S c6 c1 ((m m33)) C 135 (m ) 84 D 1m c2 c3 c5 c4 O 3m Hướng dẫn giải Chọn D Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol A(0;6),1 B(1;3), C (3;0) y = x2 − x + cần tìm qua điểm có tọa độ 2 nên có phương trình Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện Nếu ta đặt Khi diện tích thiết diện lục giác: BM t= OM BM = − 2t + BM 3t ∈ [30;63]  1 S (t ) = = ,  − 2t + ÷  2 4÷ Vậy thể tích túp lều theo 6  37 1 135 V = ∫ S (t )dt = ∫ dt =  − 2t + ÷ đề là: ÷ 2 0   với Câu 14: Một vật có x + y = 16 kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình tròn giới hạn đường tròn, cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: A C B D 256 32 33 256 32 VVVV ==== 33 Hướng dẫn giải Giải phương trình x + y = 16 ⇔ y = 16 − x ⇔ y = ± 16 − x 2 π S ( x) = 16 − x sin = ( 16 − x ) 3 Diện tích thiết diện 4 Thể tích cần tìm 256 V = ∫ S ( x )dx = ∫ ( 16 − x ) dx = Chọn đáp án B −4 −4 Câu 15: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự 131 128 28 26 ((m 33 định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) A B C D Chọn hệ trục hình vẽ Ta có Hướng dẫn giải Oxy : y )=, Bax( 0;8 + c) ( AP1( )4;0 Gọi Parabol qua hai điểm Nên ta có hệ phương trình sau:  0 = a.16 + c a = − ⇔ ⇒ ( P1 ) : y = − x +   c = 128 c1 = 28 S = ∫ − x +8 = m −4 ( ) CD MN BC MNEIF MNEF ABCD EIF ==12 =264 m m m A 20.400.000 đồng C 20.800.000 đồng 12 m I A B E F 6m Câu 16: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên) Cho biết hình chữ nhật có; cung có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ Hỏi cơng ty X cần tiền để làm tranh ? D M N 4m C B 20.600.000 đồng D 21.200.000 đồng Hướng dẫn giải - Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm y = − x +6 O MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình - Khi diện tích khung tranh 208   S = m - Suy số tiền là: đồng 208∫  x + ữdx = ì 900.000 =  20.800.000 −2 Câu 17: Một khối cầu có bán kính , 53 ( dm ) người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa 33 100 43 132 41ππππ( (dm dm dm dm33)))) ( ( A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ox 0, H C2x) +=y22 = 25 (C ) : (xx=−(Oxy 5) Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , xét đường tròn Ta thấy cho nửa trục quay quanh trục ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng giới hạn nửa trục , trục , hai đường thẳng quay xung quanh trục ta khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x − 5) + y = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) Nửa trục có phương trình ⇒ Thể tích vật thể tròn xoay cho quay ( Ox H ) quanh là: ⇒2) C y = 25 − ( x − 5) = 10 x −( Ox x  x3  52π V1 = π ∫ ( 10 x − x ) dx = π  x − ÷ = 0  2 khối cầu là: Thể tích 500π V2 = π 53 = 3 V = V2 − 2V1 = Thể tích cần tìm: 500π 52π − = 132π ( dm3 ) R 3 52π 2 V1 = π ∫ ( R − x ) dx = π ∫ ( 25 − x ) dx = d Cách 2: Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích Vậy thể tích lu 52 V = Vc − 2V1 = π 53 − π = 132π 3 600.000 60m 100 2m m Câu 18: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng người ta làm đường nằm sân (Như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường Kinh phí cho làm đường đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A B C D 293904000 283904000 283604000 293804000 Hướng dẫn giải Chọn A Xét hệ trục tọa độ đặt gốc tọa độ vào tâm Oxy O hình Elip x(2E1x)2 y E : ( ) y = 30 −2 + =2 f=1 (1x ) Phương trình Elip đường viền đường 50 50 30 Phần đồ thị nằm phía trục hồnh có phương trình x( 2Ex2 2) y ( E28 y= (1x ) ) : − +2 =2 f= 48 48 28 Phương trình Elip đường viền đường Phần đồ thị nằm phía trục hồnh có phương trình Sf12 )( x ) y =( E Gọi diện tích hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số Gọi diện tích hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số S Gọi diện tích đường Khi 50 S = S1 − S = ∫ 30 − −50 48 x2 x2 d x − 28 − dx ∫−48 502 482 a I = ∫ b 1− −a x2 dx , ( a , b ∈ ¡ a2 + ) Tính tích phân π  π x = a sin t ,  − ≤ t ≤ ÷⇒ dx = a cos tdt 2  Đặt x = −a ⇒ t = − π π ;x = a⇒ t = 2 Đổi cận π π π I = ∫ b − sin t a cos t dt = 2ab ∫ cos t dt = ab ∫ ( + cos 2t ) dt − π − π − π Khi π  sin 2t  = ab  t + ÷ = abπ  −π  600000.S = 600000.156π ≈ 294053000 S = S1 − S2 = 50.30π − 48.28π = 156π Do Vậy tổng số tiền làm đường (đồng) 6cm 4cm3 Câu 19: Có vật thể hình tròn xoay V ( cm ) có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly chiều cao Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích vật thể cho A B VV ==12 12π C .D 72 72 VV== π Hướng dẫn giải 55 Chọn A Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh A ( −2;6 0;0 ( PO )PI3,) B.x)2( 2;6 ) yI = parabol Vì parabol qua điểm nên parabol có phương trình Ta có Khi thể tích  32 2 x = y V = πy∫= xy ÷⇔ dy = 12π ( cm ) 23  0 cm A B O cm I vật thể cho 70000 6m O2 Câu 20: Một mảnh vườn hình tròn tâm / m bán kính Người ta cần trồng dải đất rộng nhận làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng đồng Hỏi cần tiền trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn A 8142232 8412322 đồng B đồng C 4821322 4821232 đồng D đồng Hướng dẫn giải để vị) Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , phương trình đường tròn tâm O Khi phần nửa cung tròn phía + −y 2x=2 = 36f (x) y = x 36 trục Ox có phương trình x=3 Khi diện tích S mảnh đất x =y −=3;f (x) lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị hai đường thẳng S = t2⇒ 36=−6πxπ dxtdt x⇒ = 6sin dx cos Đặt Đổi cận : ; ∫ x x= =−3−3⇒ t = − π π π 66 6 70000.S ≈ 4821322 Do số tiền cần ⇒ S = ∫ 36cos 2tdt = 36 ∫ (c os2t+1) dt = 18(sin t + t) = 18 + 12π dùng đồng − π − π − π .. .ứng với chiều dài mét SS == A C 125 125 m m22 ) ( 46 B D SS == Hướng dẫn giải 250 125 ( m2 ) 33 Chọn D Oxy Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh... E Gọi diện tích hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số Gọi diện tích hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số S Gọi diện tích đường Khi... V = V2 − 2V1 = Thể tích cần tìm: 500π 52π − = 132π ( dm3 ) R 3 52π 2 V1 = π ∫ ( R − x ) dx = π ∫ ( 25 − x ) dx = d Cách 2: Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích Vậy thể tích lu 52 V = Vc