TÍCH PHÂN BỘI BA_ GIẢI TÍCH 3

Tích phân bội ba

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là

Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk)

Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu

hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích

phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω

max (d   k ) 0

Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ Khi ấy mỗi miền nhỏ là

hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz

Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :

0 0 0( , , ) ( , , ) ( )

V  

6 Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục

trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho :

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính

Cách tính

( , ) ( , )

Ta còn viết tích phân trên ở dạng

( , ) ( , )

Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định

hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính

Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 2zdxdydz





Trong đó Ω giới hạn bởi 0 x,0 y x, 2  y2  z 4

Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính

Dx=0

y=0

z=4z=x2+y2

Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên

đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng

Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của

Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D

Trong miền D, ta có y≤1

Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính

1D

Vì vậy:

1 2

0

y D

I dxdy  x y dz

1 0

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính

Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền Dgiới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1

x+y =1

Miền D ứng với x+y≥0 nên

ta được 0≤z ≤x+y Vậy :

§2 Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính

x=0x+y=1

y=0x+y=z

Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ

Vậy điểm M được xác

định bởi bộ ba số (r, φ, z),

chúng được gọi là tọa độ

trụ của điểm M Công

thức liên hệ giữa tọa độ

trụ và tọa độ Descartes là

cos sin

z

M(x,y,z)

yx

Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ

Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse

2 2 2 2

z x   y  x  y

Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z

từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0

2 2 2 2 2( x y ) x y 0

01

Trong đó Ω là miền giới hạn bởi

Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là

hình tròn , tương ứng ta có x2  y2  1

Vậy:

Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta

sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt :

cos sin

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ

Miền D

Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ

=0

Rõ ràng, trong hình tròn

ta có √2 -x-y ≥0

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ

Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích

phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt cos

j

-æ ö ÷ ç

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

2 2

2 2

2 2 1

Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu

sang tọa độ cực

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ

Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π

Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song

với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và

được miền D : 1≤ y2+z2≤4

2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π

4

2 2 6

Trong không gian cho điểm

M(x,y,z), N là hình chiếu của M

φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Khi đó, ta dễ dàng tính được sin cos

sin sin cos

x y z

2 2

tan tan

y x

Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu:

Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần

hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu

Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2

Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y

ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2

Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra

ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp

mặt cầu với phương trình

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt

x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 1

1

%Doi bien sang toa do cau x^2+y^2+z^2=1, x,y,z>0

x

z z

Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y

trên miền Ω giới hạn bởi

thì định thức Jacobi J  2.3 2 sin   6 2 sin 

Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần

tư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π

Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta

được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên

π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1Vậy :

2

2 1 9

được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên

π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1

2

2 1 9

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0

Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤1

0≤φ ≤2π

Hình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nên

Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứng x=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z

Suy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Vậy

2 9

sin ( sin cos sin sin )

p p

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Ví dụ 10 : Đổi tích phân

sau về tọa độ Descartes

Trước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ để

có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy,

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

2

2 10

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

2 2

4 1

2 2 2 2

0 : a x

a

-a

Cận tích

phân theo

dz là

cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0

Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

Ví dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x2+y2=1, z=0,

Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp

duy nhất đường thẳng tương

ứng là mặt trụ trong không gian

với pt

x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

1

2 2 sin

2 12

4

1sin

4

p p

4

d d

co

p p

p

q j

§2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu

D1

Miền D nằm bên trái đường thẳng x = 6 tức là ứng với

0 ≤ 6 – x nên trong miền Ω ta có bất đẳng thức

  sang tọa độ cầu bình thường

Hình chiếu của vật thể xuống mặt

phẳng Oxy là nửa hình tròn D:

2 2 4,

x  y  x y

π/4 ≤ φ

≤ π

Trong miền D1 ta đi theo chiều

mũi tên từ gốc tọa độ ra

3

§2 Tích phân bội ba – UD hình họcnên 0 ≤ θ

ta gặp đường tròn nhỏ trước,

đường tròn lớn sau nên

1 ≤ ρ ≤ 2

D1

§2 Tích phân bội ba – UD hình học

Ta tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng

cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước

Cắt dọc Ω bằng 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0

ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên 0 ≤ θ ≤π/4 và

đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình

§2 Tích phân bội ba – Ứng dụng cơ học

Cho vật thể V có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) là f(x,y,z) Ta có

§2 Tích phân bội ba – Ứng dụng cơ học

Moment tĩnh với mp Oxz xz .