Bài giảng Tích phân bội và giải tích vectơ

Một hàm thực bị chặn trên một hình hộp là khả tích trên hình hộp đó khi và chỉ khi tập hợp những điểm tại đó hàm không liên tục có độ đo không.. 1.2.9 Ví dụ.[r]

Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ

Huỳnh Quang Vũ

-3 -2 -1

0 y

Tập giảng tích phân Riemann hàm nhiều biến Giải tích vectơ cho sinh viên ngành toán trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giảng tương ứng với phần cuối giáo trình vi tích phân phổ biến J Stewart [Ste12], có ý tới đặc thù cho sinh viên ngành tốn, có u cầu cao tính xác hàm lượng lý thuyết Đối với sinh viên giỏi giảng hướng tới trình độ phần tương ứng giáo trình giải tích kinh điển [Rud76], [Lan97]

DấuXở tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng,

nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc Có thể giáo trình cịn đọc lại sau mơn học kết thúc, phần * thể rõ ý nghĩa Để làm số tập cần dùng phần mềm máy tính chẳng hạn Matlab hay Maxima

• Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maxima

• Hướng dẫn sử dụng phần mềm Matlab

Huỳnh Quang Vũ

Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí

Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, Email:hqvu@hcmus.edu.vn

Tài liệu tiếp tục sửa chữa bổ sung Bản có web địa chỉ: http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu//gt3.pdf Mã nguồn LaTeX có

http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.tar.gz

This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see

Mục lục

1 Tích phân bội 5

1.1 Tích phân hình hộp

1.2 Sự khả tích 11

1.3 Tích phân tập tổng quát 18

1.4 Công thức Fubini 23

1.5 Công thức đổi biến 31

1.6 Ứng dụng tích phân bội 44

1.7 * Thay tích phân Riemann tích phân Lebesgue 50

2 Giải tích vectơ 53 2.1 Tích phân đường 53

2.2 Công thức Newton–Leibniz 62

2.3 Công thức Green 69

2.4 Tích phân mặt 77

2.5 Công thức Stokes 86

2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky 91

2.7 Vài ứng dụng Giải tích vectơ 97

2.8 * Cơng thức Stokes tổng quát 100

Chương 1

Tích phân bội

Trong chương nghiên cứu tích phân Riemann khơng gian nhiều chiều

1.1

Tích phân hình hộp

Tích phân khơng gian nhiều chiều phát triển tương tự tích phân chiều Do ý quen thuộc khơng khó, người đọc xem lại phần tích phân chiều để dễ theo dõi

ChoI hình hộp, f :I→R Ta muốn tính tổng giá trị hàm f hình hộpI Ta

chia nhỏ hình hộpI hình hộp nhỏ Ta hy vọng hình hộp nhỏ

hơn đó, giá trị hàm f thay đổi hơn, ta xấp xỉ f hàm Ta hy vọng ta chia nhỏ xấp xỉ tốt hơn, qua giới hạn ta giá trị tổng giá trị f

Sau cách giải thích hình học Giả sử thêm hàm f không âm, ta muốn tìm “thể

tích” khối bên đồ thị hàm f bên hình hộpI Ta xấp xỉ khối

hình hộp với đáy hình hộp củaI chiều cao giá trị f hình hộp

đó Ta hy vọng số hình hộp tăng lên ta gần giá trị thể tích Hình hộp thể tích hình hộp

Dưới ta bắt đầu làm xác hóa ý tưởng

Trong môn học nói đến khơng gianRn,n∈Z+, ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, tích Euclid, cụ thể nếux=(x1,x2, ,xn) ∈Rnthì chuẩn (tức chiều dài) x

kxk=(x12+x22+· · ·+xn2)1/2, khoảng cách giữaxvày=(y1,y2, ,yn) ∈Rnlà

kx−yk=

(x1−y1)2+(x2−y2)2+· · ·+(xn−yn)2 1/2

,

và tích giữaxvớiylà

hx,yi=x1y1+x2y2+· · ·+xnyn

Ta định nghĩa mộthình hộpn-chiềutrongRnlà tập củaRncó dạng[a1,b1] × [a2,b2] × · · · × [an,bn]vớiai<bivới mọi1≤i≤n, tức tích củanđoạn thẳng Ví dụ hình hộp1-chiều đoạn thẳng trongR

Để khởi đầu thể tích hình hộp, xét trường hợp chiều Chiều dài đoạn thẳng[a,b]bằng bao nhiêu?

Ta muốn khái niệm chiều dài tốn học mơ khái niệm chiều dài vật lý thường dùng

trong đời sống từ xưa Như trước hết chiều dài đoạn thẳng [a,b] số thực

khơng âm Vì chiều dài vật lý không phụ thuộc vào cách đặt hệ tọa độ, ta tịnh tiến đoạn thẳng chiều dài khơng thay đổi, kí hiệu chiều dài đoạn [a,b] |[a,b]| cần có|[a+c,b+c]|=|[a,b]| Nếunlà số nguyên dương, đoạn thẳng[0,na]gồmnđoạn thẳng [0,a],[a,2a],[2a,3a], ,[(n−1)a,na], nên ta muốn có tính chất “cộng tính” thể qua|[0,na]|= n|[0,a]| Điều dẫn tới|[0,a]|=n|[0,n1a]|, hay|[0,n1a]|= n1|[0,a]| Do vớim,nlà số ngun dương thì|[0,mna]|= mn|[0,a]| Trong trường hợp riêng, ta có|[0,mn]|= mn|[0,1]| Vì số thựca giới hạn dãy số hữu tỉ, nên ta muốn chiều dài có “tính liên tục” ta cần có|[0,a]|=a|[0,1]|, phải có|[a,b]|=|[0,b−a]|=(b−a)|[0,1]| Để chuẩn hóa ta thường lấy |[0,1]|=1, thế|[a,b]|=(b−a)

Như quan trọng chiều dài có tính chất mong muốn trên, giá trị cụ thể xác định cách chọn chiều dài đơn vị, giống việc chọn đơn vị đo vật lý

Lý luận tương tự cho số chiều cao hơn, ta đưa định nghĩa ngắn gọn sau:

Định nghĩa. Thể tích(volume)n-chiều hình hộp [a1,b1] × [a2,b2] × · · · × [an,bn]được định nghĩa số thực(b1−a1)(b2−a2) · · · (bn−an)

Ta thường dùng kí hiệu|I|để thể tích I Khi số chiềun=1ta thường thay từ thể tích từchiều dài(length) Khin=2ta thường dùng từdiện tích(area)

Đối với khái niệm tổng, lý luận tương tự khái niệm thể tích, ta đến kết luận tổng hàm hằngctrên hình hộpI làc|I|

Chia nhỏ hình hộp

Mộtphép chia, hay mộtphân hoạch(partition) khoảng[a,b]là tập hữu hạn khoảng[a,b]mà chứa cảavàb Ta đặt tên phần tử phép chia làx0,x1, ,xm vớia= x0< x1< x2<· · ·< xm=b.Mỗi khoảng[xi−1,xi]là mộtkhoảng concủa khoảng[a,b] tương ứng với phép chia

Một phép chia hình hộpI=Ỵn

i=1[ai,bi]là tích Descartes phép chia khoảng[ai,bi] Cụ thể mỗiPilà phép chia khoảng[ai,bi]thìP=Ỵni=1Pilà phép chia hình hộpI Xem ví dụ hình 1.1.1

Mộthình hộp conứng với phép chiaPcủa hình hộp I tích khoảng

của cạnh hình hộpI Cụ thể hình hộp hình hộpIcó dạngỴn

i=1Titrong đóTi khoảng khoảng[ai,bi]ứng với phép chiaPi ĐặtSR(P)là tập hợp tất hình

hộp ứng với phép chiaP Người đọc hình dung trường hợp 1, 2, chiều để dễ theo

dõi

Tích phân hình hộp

ChoIlà hình hộp, f :I→R Với phép chiaPcủaI, thành lậptổng Riemann1

1.1 TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP

a b

c d

x

y

R

Hình 1.1.1: Một phép chia hình chữ nhật[a,b] × [c,d]gồm điểm mà tọa độ thứ tạo thành phép chia của[a,b]và tọa độ thứ hai tạo thành phép chia của[c,d]

Õ

R∈SR(P)

f(xR)|R|

ở tổng lấy tất hình hộp conRcủaP, vàxRlà điểm thuộcR Đây xấp xỉ “tổng giá trị” f I Nếu f ≥0thì xấp xỉ “thể tích” khối bên đồ thị f bên trênI

“Giới hạn” tổng Riemann phép chia “mịn hơn” tích phân hàm f I, kí

hiệu là∫I f

Vậy∫I fđại diện cho“tổng giá trị”của hàm f trênI Nếu f ≥0thì∫I f đại diện cho “thể tích” khối bên đồ thị f bên trênI.2

Để làm xác ý tưởng ta cần làm rõ trình qua giới hạn Chúng ta dùng cách trình bày Jean Gaston Darboux đề xuất năm 1870

Khi nói tích phân Riemann tachỉ xét hàm bị chặn Nhớ lại cho tích phân hàm

một biến để xét tích phân hàm khơng bị chặn cần lấy giới hạn tích phân để thu “tích

phân suy rộng”, khái niệm mà ta không khảo sát môn học Vậy giả sử f bị chặn

GọiL(f,P)=Í

R∈SR(P)(infR f)|R|,trong tổng lấy tất hình hộp ứng

với phép chiaP, làtổng dướihayxấp xỉ dướiứng vớiP

Tương tự,U(f,P)=Í

R∈SR(P)(supR f)|R|làtổng trênhayxấp xỉ trênứng vớiP ChoPvàP0là hai phép chia hình hộpI NếuP⊂P0thì ta nóiP0làmịn hơn P

Bổ đề(chia mịn xấp xỉ tốt hơn). Nếu phép chiaP0là mịn phép chiaPthìL(f,P0) ≥ L(f,P)vàU(f,P0) ≤U(f,P).

Đây ưu điểm quan trọng xấp xỉ xấp xỉ ta thấy với tổng Riemann chia mịn không thiết dẫn tới xấp xỉ tốt hơn, xem tập 1.1.7

Chứng minh. Mỗi hình hộp conR0củaP0nằm hình hộp conRcủaP Ta cóinfR0 f ≥ infR f Vì

Õ

R0⊂R,R0∈SR(P0) (inf

R0 f)|R

0

| ≥ Õ

R0⊂R,R0∈SR(P0) (inf

R f)|R

0

|=inf R f

Õ

R0⊂R,R0∈SR(P0)

|R0|=(inf R f)|R|

Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo tất hình hộp R P ta L(f,P0) ≥

L(f,P)

2Kí hiệu∫

(xR,yR)

R

z=f(x,y) f(xR,yR)

z

y

x I

Hình 1.1.2: Xấp xỉ Riemann

Bổ đề(xấp xỉ dưới≤xấp xỉ trên). NếuPvàP0là hai phép chia hình hộp thì L(f,P) ≤U(f,P0).

Chứng minh. Với hai phép chiaPvàP0bất kì ln có phép chiaP00mịn cảPlẫnP0,

chẳng hạn nếuP=Ỵn

i=1PivàP0=Ỵi=1n Pi0thì lấyP00=Ỵi=1n Pi00vớiPi00=Pi∪Pi0 Khi L(f,P) ≤L(f,P00) ≤U(f,P00) ≤U(f,P0)

Một hệ chặn nhỏ tập hợp tất xấp xỉ dướisupPL(f,P)và chặn lớn của tập hợp tất xấp xỉ trêninfPU(f,P)tồn tại, vàsupPL(f,P) ≤infPU(f,P) Định nghĩa(tích phân Riemann). Cho hình hộpI Hàm f :I→Rlàkhả tích(integrable) f bị chặn vàsupPL(f,P)=infPU(f,P) Nếu f khả tích thìtích phân(integral) f định nghĩa số thựcsupPL(f,P)=infPU(f,P),và kí hiệu

∫ I f Ví dụ. Nếuclà số thì∫Ic=c|I|

Khi số chiềun=1ta có tích phân hàm biến quen thuộc từ trung học khảo

sát mơn Giải tích 1, với∫[a,b]f thường viết là∫ab f(x)dx Như vậyta thừa hưởng tất cả kết tích phân hàm biến có Giải tích 1, chẳng hạn cơng thức Newton–Leibniz để tính tích phân

1.1 TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP

xấp xỉ

tổng Riemann

xấp xỉ f

R

infRf

f(xR)

supRf

xR

Hình 1.1.3: Xấp xỉ dưới≤xấp xỉ Riemann≤xấp xỉ

1.1.4 Mệnh đề. Cho f bị chặn hình hộpI Khi đó f là khả tích trênI nếu với mọi

>0có phép chiaPcủaIsao choU(f,P) −L(f,P)< .

Như hàm khả tích xấp xỉ xấp xỉ gần tùy ý Chứng minh. (⇒) Cho f khả tích Cho >0, có phép chiaPvàP0sao cho

L(f,P)>−+ ∫

I f

U(f,P0)< + ∫

I f LấyP00mịn cảPvàP0 Khi

U(f,P00) −L(f,P00) ≤U(f,P0) −L(f,P)<2

(⇐) Giả sử với > cho trước có phép chia P cho U(f,P) −L(f,P) < Bất đẳng thức dẫn tớiU(f,P)<supPL(f,P)+, đóinfPU(f,P)<supPL(f,P)+, hay0≤ infPU(f,P) −supL(f,P)< với >0 Do đóinfPU(f,P)=supPL(f,P) Tính chất tích phân

Ta có tính chất tương tự trường hợp biến: 1.1.5 Mệnh đề. Nếu f vàgkhả tích hình hộpI thì:

(a) f+gkhả tích và∫I(f+g)=∫ I f+

∫ Ig

(b) Với số thựccthìc f khả tích và∫Ic f =c∫ I f.

(c) Nếu f ≤gthì∫

I f ≤ ∫

Ig

Chứng minh. Ta chứng minh phần (a), phần lại để phần tập

Cho >0, có phép chiaP cho L(f,P)>∫

I f − có phép chiaP

0sao cho L(

g,P0)> ∫

Ig− Lấy phép chia P

00 mịn cả

Pvà P0 L(f,P00) ≥L(f,P)>∫

I f− L(g,P

00) ≥

L(g,P0)>∫

Ig− Suy

L(f+g,P00) ≥L(f,P00)+L(g,P00)> ∫

I f+

∫

I

g−2

Tương tự, có phép chiaQsao cho

U(f+g,Q) ≤U(f,Q)+U(g,Q)< ∫

I f+

∫

I

g+2

Lấy phép chiaQ0mịn cảP00vàQthì ta ∫

I f+

∫

I

g−2 <L(f+g,Q0) ≤U(f+g,Q0)< ∫

I f+

∫

I

g+2

Hệ thức dẫn tớiU(f+g,Q0) −L(f+g,Q0)<4, f+gkhả tích, ∫

I f+

∫

I

g−2 < ∫

I

(f+g)< ∫

I f+

∫

I

g+2, ∀ >0, đó∫I(f+g)=∫

I f+ ∫

Ig

* Đọc thêm

Có thể định nghĩa tích phân Riemann sau Ta nói f khả tích trênI có số thực, gọi

là tích phân f trênI, kí hiệu là∫I f, có tính chất với >0cóδ >0sao cho tất

các cạnh hình chữ nhật củaPđều có chiều dài nhỏ hơnδthì với cách chọn điểm

xRthuộc hình hộp conRcủaPta có

Í

R f(xR)|R| − ∫

I f

< Có thể chứng minh định nghĩa tương đương với định nghĩa Darboux

Có thể hỏi ta dùng cách xấp xỉ khác có mang tới tích phân hay khơng? Nếu ta muốn tích phân có tính chất thường dùng, gồm chẳng hạn tính tuyến tính, thực có loại tích phân thỏa tính chất đó, xem [Lan97, tr 575]

Bài tập

1.1.6. Một hồ nước hình chữ nhật kích thước4m×8mcó độ sâu khơng Người ta đo chiều sâu số điểm hồ bảng sau Ví dụ bảng độ sâu điểm cách bờ trái5m bờ

1m là4,6m Hãy ước lượng lượng nước hồ

vị trí

1 3,1 4,5 4,6 4.,0

3 3,7 4,1 4,5 4,4

1.1.7. Hãy cho ví dụ minh họa xấp xỉ Riemann ứng với phép chia mịn không thiết tốt

1.1.8. XChứng minh tính chất 1.1.5

1.1.9. Hãy cho ước lượng cho giá trị tích phân (nghĩa cho biết tích phân có giá trị từ đâu tới đâu)

∬

[0,1]×[1,2]

ex2y3 dxdy 1.1.10. Điều sau hay sai, giải thích:

∬

[0,1]×[1,4]

(x2+√y)sin(xy2)dA=10

1.2 SỰ KHẢ TÍCH 11

1.2

Sự khả tích

Qua ý tích phân, ta thấy việc xấp xỉ dựa giả thiết: biến thay đổi giá trị hàm thay đổi Như khả tích phụ thuộc chặt chẽ vào liên tục

Đây điều kiện đủ cho khả tích mà ta dùng thường xuyên:

1.2.1 Định lý(liên tục khả tích). Một hàm liên tục hình hộp khả tích đó. Chứng minh. Chứng minh chủ yếu dựa vào tính liên tục của hàm Ta dùng kết sau Giải tích (xem chẳng hạn [Lan97, tr 193]):

(a) Một tập củaRnlà compắc đóng bị chặn.

(b) Một hàm thực liên tục tập compắc củaRnthì liên tục

(c) Một hàm thực liên tục tập compắc bị chặn

Giả sử f:I→Rlà hàm liên tục hình hộpI Khi f liên tục trênI, cho trước

>0, cóδ >0sao chokx−yk< δ⇒ f(x) − f(y)<

Lấy phép chiaPcủaI cho khoảng cách hai điểm hình hộp

là nhỏ hơnδ Điều khơng khó: chiều dài cạnh hình hộp nhỏ hơnαthì chiều

dài đường chéo hình hộp nhỏ hơn√nα

Với hai điểm x,y thuộc hình hộp R f(x) −f(y)< Suy supR f− infR f ≤.Vì

U(f,P) −L(f,P)=Õ R

(sup R

f−inf

R f)|R| ≤ Õ

R

|R|=|I|

Theo tiêu chuẩn 1.1.4 ta có kết

Tập tích khơng

Ví dụ sau cho thấy hàm không liên tục khả tích Ví dụ. Cho f :[0,1] →R,

f(x)= (

0, x, 12

1, x= 12

Với phép chiaPbất kì của[0,1]sao cho chiều dài khoảng nhỏ 2 sai khác U(f,P)vàL(f,P)nhỏ Vì hàm f khả tích Chú ý f khơng liên tục 12

Ví dụ. Cho f :[0,1] →R,

f(x)= (

1, x∈Q 0, x<Q

Với phép chiaPnào khoảng[0,1]ta cóL(f,P)=0andU(f,P)=1 Do f khơng khả tích Chú ý f khơng liên tục điểm

1.2.2 Định nghĩa. Một tập conCcủaRnđược gọi cóthể tích (n-chiều) khơng(of content zero) với số >0có họ hữu hạn hình hộpn-chiều{U1,U2, ,Um}sao chmi=1Ui⊃C vàÍm

i=1|Ui|<

Nói cách khác, tập củaRnlà tích khơng ta phủ tập hữu hạn

(b) Tập hợp gồm điểm trongRncó thể tíchn-chiều không với mọin≥1.

(c) Một đoạn thẳng nằm ngang hay thẳng đứng trongR2có diện tích khơng

(d) Hội hai tập tích khơng tập tích khơng

1.2.3 Mệnh đề. Đồ thị hàm khả tích hình hộp trongRncó thể tích khơng trong Rn+1.

Chứng minh. Cho f khả tích hình hộpI ⊂Rn Cho trước >0có phép chiaPcủaI sao cho U(f,P) −L(f,P)=Í

R(supR f−infR f)|R|< Đồ thị hàm f, tập{(x,f(x)) | x ∈I}, phủ họ tất hình hộpR× [infR f,supR f]

R

supRf−infRf <

supRf

infRf

Tổng thể tích hình hộp làÍ

R(supR f−infR f)|R|, nhỏ Ví dụ. Đồ thị hàm liên tục khoảng đóng có diện tích khơng trongR2 Vậy đoạn thẳng, đoạn parabola, đường trịn có diện tích khơng

1.2.4 Định lý(liên tục trừ tập tích khơng khả tích). Một hàm thực bị chặn trên hình hộp liên tục hình hộp trừ tập tích khơng khả tích trên hình hộp đó.

Chứng minh. Giả sử f hàm thực bị chặn hình hộp I, có số thực M cho |f(x)| ≤Mvới mọix∈I ChoClà tập hợp điểm thuộcI mà hàm f khơng liên tục Giả thiết choCcó thể tích khơng

Ý chứng minh dùng hữu hạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ để phủCvà dùng tính

bị chặn f phần Trên phần hình hộp cịn lại f liên tục đều, ta sử dụng lập luận phần chứng minh 1.2.1 Để dễ theo dõi người đọc tiến hành cho ví dụ cụ thể hình 1.2.5

Cho >0, có họ hình hộp{Ui}1≤i≤m phủC có tổng thể tích nhỏ Có thể giả sử hình hộpUilà hình hộp củaI, cách thayUibởiUi∩Inếu cần Ta muốn tách rờiCkhỏi hình hộp ngồi họ Mở rộng hình hộpUithành hình hộpUi0chứa trongI tích khơng q hai lần thể tích củaUisao cho phần củaUi0chứaUi(ở ta

xét phần tương I, nghĩa tập xét coi tập không gian I.)

Như ta có họ mới{Ui0}1≤i≤mcác hình hộp củaI với tổng thể tích nhỏ hơn2,

hội phần hình hộp chứaC ĐặtT=I\Ðm

i=1

◦

Ui0thìT rời khỏiCdo f liên tục trênT

Bây ta làm tương tự 1.2.1 GọiPlà phép chia củaI nhận cách lấy tọa độ

đỉnh hình hộpUi0làm điểm chia cạnh I.VìT compắc nên f liên tục

đều trênT, ta lấy phép chiaP0mịn hơnPsao cho với hình hộp

RcủaP0chứa trongT thìsupR f−infR f < Khi vớiP0ta có Õ

R⊂T (sup

R

f−inf

R f)|R|< Õ

R⊂T

1.2 SỰ KHẢ TÍCH 13

C

Ui0

T

Hình 1.2.5: Một trường hợp:Clà đoạn thẳng

Nếu hình hộp conRcủaP0khơng chứa trongT Rchứa hình hộpUi0nào đó,

đó

Õ

R*T (sup

R

f−inf

R f)|R| ≤ Õ

R*T

2M|R|=2MÕ R*T

|R|=2M m Õ

i=1

|Ui0|<2M2

Kết hợp hai đánh giá ta cóU(f,P0) −L(f,P0)<(|I|+4M).Từ ta kết luận hàm f khả

tích

1.2.6 Định lý. Giả sử f và g là hàm bị chặn hình hộp I và f(x)=g(x) trên I trừ ra một tập tích khơng Khi đó f khả tích trênI khi khig khả tích trênI, đó ∫

I f = ∫

Ig.

Vậygiá trị hàm bị chặn tập tích khơng khơng ảnh hưởng đến tích phân.

Chứng minh. Đặth=g− f thìhbị chặn, vàh(x)=0trừ tậpC tích khơng Ta

chỉ cần chứng minhhkhả tích và∫Ih=0, sau dùng 1.1.5 Ta tiến hành giống cách chứng

minh 1.2.4

Cho trước >0, ta có họ{Ui}1≤i≤mcác hình hộp củaIvới tổng thể tích nhỏ hơnvà

hội phần (tương không gianI) hình hộp chứaC ĐặtT=I\ ∪m

i=1

◦

Ui thìT rời khỏiCdo đóh=0trênT

GọiPlà phép chia I nhận cách lấy tọa độ đỉnh hình hộpUi làm

điểm chia cạnh củaI.TrênT Õ

R⊂T (sup

R

f)|R|= Õ R⊂T

(inf

R f)|R|=0

Dohbị chặn nên có số M>0sao cho|h(x)| ≤M với mọix ∈I Nếu hình hộp Rkhơng

chứa trongTthìRchứa hình hộpUinào đó,

Õ

R*T (sup

R

h)|R| ≤ Õ R*T

M|R|=MÕ R*T

|R|=M m Õ

i=1

|Ui|<M Tương tự:

Õ

R*T (inf

R h)|R| ≥ Õ

R*T

−M|R|=−MÕ R*T

|R|=−M m Õ

i=1

Vậy−M <L(h,P) ≤U(h,P)< M

Từ ta kết luận hàmhkhả tích và∫Ih=0

Điều kiện cần đủ cho khả tích

Trong phần trả lời hồn chỉnh vấn đề khả tích Nếu người đọc thấy q khó khơng có đủ thời gian cần nắm phát biểu kết 1.2.8

1.2.7 Định nghĩa(độ đo không). Một tập conCcủaRnlà cóđộ đo khơng(of measure zero) với số >0có họ hình hộp(U1,U2, ,Un, )sao chi∞=1Ui⊃CvàÍ∞n=1|Un|<

Nói cách khác, tập củaRnlà có độ đo khơng ta phủ tập họ

đếm đượccác hình hộp có tổng thể tích nhỏ số dương cho trước Ví dụ. Một tập tích khơng có độ đo khơng

Một mệnh đềP(x)được gọi đúnghầu khắp nơi(hầu khắp) (almost everywhere)

nó với mọixtrừ tập có độ đo không, tức tập hợp tất xsao choP(x)khơng có độ đo khơng Đối với tích phân hiểu sơ lược tập có độ đo không tập “không đáng kể”

Dưới câu trả lời hồn chỉnh cho vấn đề khả tích, thường gọi điều kiện khả tích Lebesgue:

1.2.8 Định lý(khả tích = bị chặn + liên tục hầu khắp). Một hàm thực bị chặn hình hộp là khả tích hình hộp tập hợp điểm hàm khơng liên tục có độ đo khơng.

1.2.9 Ví dụ. Sau ví dụ kinh điển hàm khả tích có tập hợp điểm khơng liên tục có độ đo khơng khơng tích không

Cho f :[0,1] →R,

f(x)= (1

q, x= p

q,p,q∈Z,q>0,gcd(p,q)=1 0, x<Q

Rõ ràng f không liên tục số hữu tỉ Mặt khác chứng minh f liên tục số vô

tỉ (bài tập 1.2.16) Tập hợp số hữu tỉ khoảng[0,1] có độ đo khơng khơng

tích khơng (bài tập 1.2.17)

Hóa hàm f khả tích Thực vậy, cho >0, gọiC tập hợp số hữu tỉx trong[0,1]sao cho nếux = pq dạng tối giản q1 ≥ Vì0 ≤ p≤q ≤ 1, nên tậpC hữu hạn Ta phủ C

bằng họU gồm hữu hạn khoảng rời khoảng [0,1] có tổng chiều dài nhỏ

hơn Các điểm đầu mút khoảng sinh phép chia P khoảng[0,1] Ta có

Í

R∈U(supR f)|R| ≤ Í

R∈U|R|< Trong số x= p

q dạng tối giản khơng thuộcC

1

q < , Í

R<U(supR f)|R|< Í

R<U|R| ≤.VậyU(f,P)<2 Từ ta kết luận f khả tích, nữa∫[0,1]f =0

* Chứng minh 1.2.8

Cho f hàm bị chặn miền xác định làD⊂Rn Ta định nghĩadao động(oscillation)

f tạix∈Dlà số thực

o(f,x)=inf

δ>0 B(xsup,δ)∩D f−B(xinf,δ)∩Df !

= lim

δ→0 B(xsup,δ)∩Df−B(xinf,δ)∩Df !

1.2 SỰ KHẢ TÍCH 15 1.2.10 Bổ đề. Hàm f liên tục tạixkhi khio(f,x)=0.

Chứng minh. (⇒) Giả sửo(f,x)=0 Cho trước >0, cóδ >0sao chosupB(x,δ)f−infB(x,δ)f <

Suy f(y) −f(x)< f(x) −f(y)< , thế|f(y) − f(x)| < với mọiy∈B(x, δ) ∩D Vậy f liên tục tạix

(⇐) Giả sử f liên tục tạix Cho >0, cóδ >0sao cho|f(y)−f(x)|< với mọiy∈B(x, δ)∩D Vì với mọiy,z∈B(x, δ) ∩Dta có|f(y) −f(z)|<2 Suy rasupB(x,δ)f−infB(x,δ) f ≤2 Vậy

o(f,x)=0

Chứng minh phần điều kiện đủ 1.2.8. Phần phát triển từ chứng minh 1.2.4, dùng kĩ thuật 1.2.9

Giả sử|f(x)| ≤M với mọix hình hộp I GọiC tập điểm trongI f khơng liên tục, giả sửCcó độ đo không

Cho trước >0 ĐặtC ={x ∈I | o(f,x) ≥} Khi theo 1.2.11,C tập compắc,

chứa trongC, theo 1.2.12C tích khơng Như phần chứng minh 1.2.4, có

một họ hữu hạn hình hộp(U1,U2, ,Um), hình hộp chứa trongI, choC phủ họ phần đối vớiI cácUi, nghĩa làC⊂Ðim=1

◦

Ui, vàÍim=1|Ui|< ĐặtT =I\Ðm

i=1

◦

Ui Khi đóT rời khỏiC Với x∈T o(f,x)< Có hình hộpRx lân cận x trongI chosupRx f−infRx f < VìT compắc, phủ mở có phủ

hữu hạn (xem chẳng hạn [Lan97, tr 203]), nên họ{

◦

Rx | x ∈T}phủT có phủ hữu hạn

{Rj | j=1,2, ,k}

Các hình hộpUi vàRj,1≤i≤mvà1≤ j≤k sinh phép chiaPcủaI, tạo từ tọa độ đỉnh hình hộp

Nếu hình hộp conRcủaPnằm trongTthìR⊂Rjnào đó, thếsupR f−infR f < Do Õ

R⊂T (sup

R

f−inf

R f)|R|< Õ

R⊂T

|R|< |I|

Nếu hình hộp conRcủaPkhơng chứa trongT thìR⊂Uinào Do

Õ

R*T (sup

R

f−inf

R f)|R| ≤ Õ

R*T

2M|R|=2MÕ R*T

|R|=2M m Õ

i=1

|Ui|<2M

Từ hai đánh giá ta cóU(f,P) −L(f,P)<(|I|+2M).Ta kết luận hàm f khả tích

Trong chứng minh ta dùng bổ đề sau:

1.2.11 Bổ đề. Với mọi >0, tập{x∈D| o(f,x) ≥}là tập đóng trongD.

Chứng minh. Ta chứng minh rằngA={x∈D|o(f,x)< }là tập mở trongD Giả sửx∈A Có

δ >0sao chosupB(x,δ)∩D f−infB(x,δ)∩D f < Lấyy∈B(x, δ) ∩D Lấyδ0>0sao choB(y, δ0) ⊂ B(x, δ) Khi đósupB(y,δ0)∩Df −infB(y,δ0)∩D f <supB(x,δ)∩Df −infB(x,δ)∩Df < Điều dẫn

tớiy∈A

1.2.12 Bổ đề. Một tập compắc có độ đo khơng tích khơng.

Chứng minh. Giả sử C compắc có độ đo khơng Cho >0, có họ hình hộp đóng U1,U2, cho ∪∞i=1Ui ⊃ C Í∞i=1|Ui| < /2 Mở rộng kích thước tất cạnh mỗiUi để hình hộpUi0 cho |Ui0| <2|Ui| Khi

◦

Ui0 chứaUi, Ð∞i=1

◦

Ui0 ⊃C, Í∞

i=1|U

0

i|< VìCcompắc nên họ(

◦

Ui0)∞i=1 có họ hữu hạn(

◦

Ui0

k) n

k=1thỏa Ðnk=1

◦

Ui0

k ⊃C

Suy raÍn k=1|

◦

Ui0

Chứng minh phần điều kiện cần 1.2.8. Giả sử|f(x)| ≤Mvới mọixtrong hình hộpIvà f khả tích trênI GọiClà tập điểm trongItại f liên tục Vớim∈Z+đặtC1/m={x∈I |o(f,x) ≥ 1/m} Khi đóC=Ð∞

m=1C1/m Ta chứng minh tậpC1/mcó thể tích khơng, theo

1.2.13 tậpCcó độ đo khơng

Cho >0 Vì f khả tích nên có phép chia P củaI choU(f,P) −L(f,P)< TậpC1/m

gồm điểm (đối vớiI) số hình hộp củaP, họ tất hình hộp ta

gọi làS, điểm biên số hình hộp khác, họ tất hình hộp ta gọi T

NếuR∈SthìRcó điểm trongx∈C1/m Do đósupR f−infR f ≥o(f,x) ≥1/m Vậy

>Õ R∈S

(sup R

f−inf

R f)|R| ≥ Õ

R∈S m|R| Vậy ta

Õ

R∈S

|R|<m

Theo 1.2.14 tậpTcó thể tích khơng Có phủQcủaT hữu hạn hình hộp cho

tổng thể tích hình hộp nhỏ Do đóC1/mđược phủ họS∪Qvới tổng thể tích

nhỏ hơn(m+1) Ta kết luậnC1/mcó thể tích khơng

Trong chứng minh ta dùng bổ đề sau

1.2.13 Bổ đề. Hội họ đếm tập tích khơng tập có độ đo khơng. Chứng minh. Giả sửCi,i∈Z+là tập tích khơng ĐặtC=Ð∞i=1Ci

Cho >0 Với mỗiicó họ hữu hạn hình hộp{Ui,j|1≤ j≤ni}phủCivàÍnj=i1|Ui,j|<

2i

Bây ta liệt kê tậpUi,jtheo thứ tự

U1,1,U1,2, ,U1,n1,U2,1,U2,2, ,U2,n2,U3,1,

Đây phủ đếm củaCcó tổng diện tích nhỏ hơnÍ∞

i=1

2i = VậyCcó độ đo khơng

1.2.14 Bổ đề. Biên hình hộp tích khơng.

Chứng minh. Do 1.2.13 ta cần chứng minh mặt hình hộp n-chiều tích khơng trongRn Mỗi mặt hình hộp tập hợp Dcác điểm có dạng(x1,x2, ,xi, ,xn) vớiaj≤ xj ≤bj j,i, vàxi=cvớic=ai hoặcc=bi Cho trước >0 Lấy hình hộpRphủ Dcó chiều dài cạnh chiều thứiđủ nhỏ, cụ thểRgồm điểm có dạng(x1,x2, ,xi, ,xn)với aj≤ xj≤bjkhi j,ivàc−δ≤ xi≤c+δ Khi đó|R|=2δỴj,i(bj−aj)< nếuδđủ nhỏ Bài tập

1.2.15. Các hàm sau có khả tích khơng? Nếu hàm khả tích tích phân bao nhiêu? (a) f(x)=

(

x, 0≤x≤1, x,12,

0, x=12 (b) f(x,y)=

(x

y, 0≤x≤1,0<y≤1,

0, 0≤x≤1, y=0

(c) f(x,y)= (

4, 0≤x≤1,0≤y≤1, (x,y),(1 2,

1 2),

5, (x,y),(12,12)

(d) f(x,y)= (

2, 0≤x≤1,0≤y≤1, y,x,

1.2 SỰ KHẢ TÍCH 17

(e) f(x,y)= (

3, 0≤x≤1,0≤y≤1, y,x2,

x2, 0≤x≤1,0≤y≤1, y=x2

1.2.16. Chứng tỏ hàm định nghĩa ví dụ 1.2.9 liên tục số vô tỉ

1.2.17. Chứng tỏ tập hợp số hữu tỉ khoảng[0,1]có độ đo khơng khơng tích khơng

1.2.18. Mệnh đề 1.2.6 có cịn khơng thay thể tích khơng độ đo khơng?

1.2.19. Chứng tỏ hội tập có độ đo khơng với tập tích khơng có độ đo khơng

1.2.20. Chứng tỏ f khả tích thì|f|khả tích ∫

I f

≤

∫

1.3

Tích phân tập tổng quát

Chúng ta xét tập củaRn Để ngắn gọn ta thường dùng từmiền(region) để tập Chúng tachỉ xét miền bị chặn Nhớ lại Giải tích để xét tích phân khoảng khơng bị chặn ta phải dùng tới giới hạn tích phân xây dựng khái niệm tích phân suy rộng

Cho Dlà miền bị chặn, cho f :D→R VìDbị chặn nên có hình hộpI chứaD Mở

rộng hàm f lên hình hộpI thành hàmF:I →Rxác định

F(x)= (

f(x), x∈D 0, x∈I\D

Định nghĩa. Ta nói f khả tích DnếuF khả tích trênI, tích phân f D định nghĩa tích phân củaFtrênI:

∫ D f = ∫ I F

Để tích phân f Dđược định nghĩa F phải bị chặn I, f phải bị chặn

trênD

Bổ đề. Tích phân∫D f khơng phụ thuộc vào cách chọn hình hộpI.

Chứng minh. Giả sửF1là mở rộng f lênI1⊃ Dbằng khơng ngồiD, vàF2là mở rộng f lênI2⊃Dbằng khơng ngồiD Ta cần chứng minh điều sau: nếuF1khả tích trênI1thìF2khả tích trênI2, và∫I

1F1= ∫

I2F2

Đặt I3=I1∩I2 I3 hình hộp I1, F3 mở rộng f lên I3⊃ D khơng ngồiD Ta chứng minh điều sau đủ:F1 khả tích trênI1 khiF3 khả tích I3, và∫I

1F1= ∫

I3F3

Đặt hàmF10xác định trênI1sao cho F10 trùng vớiF1trừ biên I3, nơi màF10được định nghĩa không VìF10chỉ khácF1trên tập tích khơng nên theo 1.2.6F10khả tích khiF1khả tích,

∫ I1F

0

1= ∫

I1F1

Một phép chia bất kìPcủaI3sinh phép chiaP0củaI1 cách thêm vào tọa độ đỉnh củaI1 Nếu hình hộp conRứng vớiP0khơng chứa trongI3thìsupRF10=infRF

0

1=0(ở chỗ có dùng giả thiếtF10bằng khơng biên củaI3) Điều dẫn tớiU(F10,P0)=U(F10|I3,P) vàL(F10,P0)=L(F10|I

3,P) Do ta kết luận nếuF

0

1|I3khả tích thìF

0

1khả tích ∫

I1F

0

1= ∫

I3F

0

1 |I3 Ngược lại, phép chia P0củaI1sinh phép chiaP00 củaI1 mịn hơnP0 cách thêm vào tọa độ đỉnh củaI3 Hạn chế P00lên I3ta phép chiaP củaI3 Giống đoạn vừa rồi,U(F10,P00)=U(F10|I

3,P)và L(F

0

1,P

00)=L(F0

1|I3,P) Do F

0

1 khả tích F10|I

3khả tích ∫

I3F

0

1|I3= ∫

I1F

0

1 Cuối cùng, hàmF10|I

3, hạn chế củaF

0

1 xuốngI3, khácF3trên biên củaI3, tập tích khơng Do đóF10|I

3khả tích khiF3khả tích, ∫

I3F

0

1|I3= ∫

3F3

Ghi chú. KhiDlà hình hộp định nghĩa tích phân trùng với định nghĩa có Thể tích

Ta định nghĩa thể tích thơng qua tích phân:

Định nghĩa. Cho Dlà tập bị chặn củaRn.Thể tích n-chiều Dđược định nghĩa

tích phân hàm1trênD:

|D|= ∫

1.3 TÍCH PHÂN TRÊN TẬP TỔNG QUÁT 19

NếuDlà hình hộp định nghĩa trùng với định nghĩa hình hộp có

Ta thường thay từ thể tích3bằng từ chiều dài khin=1và từ diện tích khin=2

Có thể giải thích định nghĩa thể tích sau Đặt miền bị chặnDvào hình

hộpI Xét hàm có giá trị Dvà bằng0ngồi D Hàm thường gọi gọi

Hình 1.3.1: Xấp xỉ ngồi xấp xỉ diện tích hình trịn

hàm đặc trưngcủaD, kí hiệu χD:

χD(x)= (

1, x∈D 0, x∈Rn\D Định nghĩa nói

|D|= ∫

I

χD Xét phép chiaPcủaI Ta cóU(χD,P)=Í

R(supRχD)|R|=ÍR∩D,∅|R|, tổng thể tích

của hình chữ nhật củaI mà có phần chung khác rỗng với D, xấp xỉ thể

tích củaD Trong đóL(χD,P)=Í

R(infR χD)|R|=ÍR⊂D|R|, tổng thể tích hình chữ nhật củaImà nằm trongD, xấp xỉ thể tích củaD TậpDcó thể tích hai xấp xỉ gần tùy ý, số thực nằm gọi thể tích

củaD

Xấp xỉ xấp xỉ thể tích gần tùy ý hình hộp phủ phần biên có tổng thể tích nhỏ tùy ý Ta có:

1.3.2 Định lý. Một tập bị chặn củaRn có thể tíchn-chiều biên có thể tíchn-chiều khơng.

Chứng minh 1.3.2. ChoDlà tập bị chặn củaRn, lấy hình hộpI chứaD Tập hợp điểm khơng liên tục củaχDlà tập biên∂DcủaD Vậy χDkhả tích khi∂Dcó độ

đo không Biên tập củaRnluôn tập đóng, ngồi vìDbị chặn nên∂Dcũng

bị chặn, đó∂Dlà compắc Do 1.2.12, ta biết∂Dcó độ đo khơng tích

khơng

Ví dụ(hình trịn có diện tích). Xét hình trịn cho x2+y2≤ R2 Biên hình trịn đường trònx2+y2=R2 Đường tròn hội nửa đường tròn nửa đường tròn

Nửa đường tròn đồ thị hàmy=

√

R2−x2,−R≤x ≤R Theo 1.2.3, tập có diện tích khơng Tương tự nửa đường trịn có diện tích khơng Vậy đường trịn có diện tích khơng, theo 1.3.2 ta kết luận hình trịn có diện tích

1.3.3 Ví dụ. Tương tự, hình tam giác có diện tích biên hội hữu hạn đoạn thẳng, tập có diện tích khơng

Ví dụ. Tập hợpQ∩ [0,1]có biên bằng[0,1], tập khơng có chiều dài (xem thêm 1.2.17)

Sự khả tích

Tương tự trường hợp hình hộp 1.2.8, ta có:

1.3.4 Định lý(khả tích tập tích = bị chặn + liên tục hầu khắp). ChoDlà tập con có thể tích củaRn Khi đó f khả tích trênDkhi khi f bị chặn liên tục hầu khắp trênD.

Chứng minh. ChoI hình hộp chứaDvà choF mở rộng f lênI, khơng ngồi D Tích phân∫D f tồn tích phân∫IF tồn Theo 1.2.8 ta biết tích phân∫IF tồn khiFliên tục hầu khắp trênI TậpEcác điểm đóFkhơng liên tục gồm tậpC

các điểm trênDmà f khơng liên tục điểm khác biên củaD Như

C⊂E⊂ (C∪∂D) Do giả thiết,∂Dcó thể tích khơng NếuCcó độ đo khơng thìC∪∂Dcó độ đo

khơng (xem 1.2.19), dẫn đếnEcó độ đo khơng, đóFkhả tích Ngược lại, nếuFkhả tích thìE

có độ đo khơng, đóCcó độ đo khơng

Tương tự 1.2.3 ta có:

1.3.5 Mệnh đề. Đồ thị hàm khả tích tập bị chặn củaRn có thể tích khơng trongRn+1.

Chứng minh. Giả sửD⊂Rnbị chặn và f :D→

R GọiI hình hộp chứaDvàFlà mở rộng

của f lênI, khơng ngồiD Vì f khả tích nênFkhả tích trênI Theo 1.2.3, đồ thị củaFcó

thể tích khơng trongRn+1 Đồ thị f tập đồ thị củaF

Ví dụ(quả cầu tích). Xét cầu cho bởix2+y2+z2≤R2 Nửa mặt cầu đồ thị hàmz=pR2−x2−y2với(x,y)thuộc hình trịnx2+y2≤R2 Vì hình trịn có diện tích hàm liên tục, nên theo 1.3.4 hàm khả tích, theo 1.3.5 đồ thị tích khơng trongR3 Tương tự nửa mặt cầu tích khơng, mặt cầu tích khơng, 1.3.2 nên cầu tích

Tính chất tích phân

Những tính chất sau hệ đơn giản tính chất tương ứng cho hình hộp 1.1.5: 1.3.6 Mệnh đề. Nếu f vàgkhả tích trênDthì:

(a) f+gkhả tích và∫D(f+g)=∫ D f+

∫ Dg

(b) Với số thựccthìc f khả tích và∫Dc f =c∫D f. (c) Nếu f ≤gthì∫D f ≤∫

Dg

Chứng minh. Ta chứng minh phần (a), phần lại để phần tập Lấy hình hộp

I chứaDvà gọiFvàGlần lượt mở rộng f vàglênI, bằng0ngoàiD Theo định nghĩa

tích phân, f vàgkhả tích trênDnênFvàGkhả tích trênI Theo tính chất tích phân hình hộp (1.1.5), ta có(F+G)khả tích trênIvà

∫

I

(F+G)= ∫

I F+

∫

Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maxima Hướng dẫn sử dụng phần mềm Matlab http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu//gt3.pdf http://www.math.hcmus.edu.vn/∼ http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.