Bài giảng Giải tích 2 – Chương 5 – Tích phân đường (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân Định lý: không phát biểu cho miền đa liên Giả sử tồn tại miền mở đơn liên D chứa cung AB, sao cho Px,y, Qx,y và các ĐHR cấp 1 của chúng liên[r]

1 Tích phân đường loại Tích phân đường loại TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Định nghĩa  A2        M2   A1 M1   A0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  An Mn   An1    Định nghĩa Xét hàm f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ các điểm A0 , A1, , An Độ dài tương ứng L1, L2 , , Ln Trên cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi ) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y )dl C gọi là tích phân đường loại f = f(x,y) trên cung C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 1) Hàm f(x,y) liên tục trên cung C thì khả tích trên C 2) L(C )   dl 3)    fdl   fdl C C 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C C C C 5) Tích phân đường loại không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C 6) Nếu C chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau:  fdl   fdl   fdl C C1 C2 7) ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L Khi đó tồn điểm M0 thuộc cung C, cho:  fdl  f ( M )  L C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C có phương trình: y  y ( x), a  x  b Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ các điểm A0 , A1, , An Độ dài tương ứng L1, L2 , , Ln Li  Ai 1 Ai  ( xi  xi 1 )  ( yi  yi 1 )  (xi )  (yi ) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Theo công thức Lagrange (Định lý giá trị trung bình) y(x) đoạn [xi–1, xi], ta tìm giá trị 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] cho: y ( xi )  y ( xi 1 )  y( xi* )  ( xi  xi 1 )  yi  y( xi* )  xi  Li  (xi )  (yi )  (xi )   y( x )  xi  * i 2    y( x )   (xi )    y( x )   xi * i 23-Mar-21 * i TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN (do xi  0) Cách tính Sau thực phép chia đường cong C, đó: Trên cung Ai 1 Ai lấy điểm M i ( xi* , y ( xi* )) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 n  f i 1 * * ( xi , y ( xi ))  1 *  y( xi )     xi Do đó: n  * * * I  lim I n  I   f ( x, y )dl  lim   f ( xi , y ( xi ))    y( xi )   xi  n n  i 1 C  b   f ( x, y ( x))    y( x)   dx a 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Cung C cho phương trình: y  y ( x ) , a xb b  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))    y( x)   dx C a Tương tự, cung C cho phương trình: x  x( y ) , d c yd  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )    x( y )   dy C 23-Mar-21 c TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Cung C cho phương trình tham số: x  x(t ) , y  y (t ) , t1  t  t2 Khi đó:  x(t )   y(t ) y(t ) y( x)  ; dx  x(t )dt ;   y( x)   x(t ) t2  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C 23-Mar-21 x(t )  x(t )    y(t )  2  dt t1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Cung C cho hệ tọa độ cực: r  r ( ) , 1     Khi đó, phương trình tham số cung C: x  r ( ) cos  , y  r ( )sin    x( )    y( )   r ( )   r ( )  2 2  f ( x, y )dl   f  r ( ) cos  , r ( )sin    r ( )   r ( )   d C 23-Mar-21 2 1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Định nghĩa Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường không gian f  f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C không gian C cho phương trình tham số:  x  x(t )   y  y (t ),  z  z (t )  t1  t  t2 I   f ( x, y, z )dl C t2  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t ))  C 23-Mar-21  x(t )    y(t )    z (t )  2  dt t1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 11 Ví dụ x Tính I   x3dl , đó C là cung parabol y  ,  x  C b I   f ( x, y ( x))    y( x)   dx a   x   y( x)  dx   x 23-Mar-21 58  x dx  15 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 12 Ví dụ Tính I   xdl , đó C = C1 U C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và C C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2) I   xdl   xdl   xdl   x    y( x)   dx  C C1 C2 2   2.1   x( y )   dy 1   x   x  dx   1     23-Mar-21 2 5 1  dy  2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 13 Tính I   (2  x y )dl , với C là nửa trên đường tròn x  y  C b Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))    y( x)   dx a việc tính toán phức tạp Viết phương trình tham số cung C Đặt: x  r cos t ; y  r sin t Vì x  y  1, nên r =  x  cos t ; 0t  Phương trình tham số nửa trên đường tròn:   y  sin t   I   (2  cos t  sin t )  x(t )    y(t )  dt   (2  cos t  sin t ) dt  2  0 23-Mar-21 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 14 Tính I   xy 4dl , với C là nửa bên phải đường tròn x  y  16; x  C Viết phương trình tham số cung C  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x  y  16 , nên r   x   cos t   ;  t  Phương trình tham số C:  2  y   sin t  /2  /2 I   4cos t  sin t ( 4sin t )  (4cos t ) dt   cos t  sin tdt    /2  /2 23-Mar-21 4 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 15 Tính I   ( x  y )dl , với C là nửa đường tròn x  y  x; x  C Viết phương trình tham số cung C  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x  y  x , nên r  2cos t Phương trình tham số C:  x  2cos t  cos t   cos 2t   ; - t   4  y  2cos t  sin t  sin 2t  /4 I   (2  2cos 2t ) ( 2sin 2t )  (2cos 2t ) dt   2  /4 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 16 Tính I   xdl , với C là giao mặt: x  y  ; x  z  C  x  r cos t  Đặt:  y  r sin t  z   r cos t  Vì x  y  4, nên r  Phương trình tham số C:  x  2cos t  ;  t  2  y  2sin t  z   2cos t  2 I   4cos t  (2sin t )  (2cos t )  (2sin t ) dt  0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 17 Tính I   ( x  y )dl , với C là đường tròn: x  y  z  4; y  x C Đường tròn 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 Trong đó, 𝐶1 là nửa đường tròn nằm phần nửa mặt cầu bên phải Tham số đường cong 𝐶1 qua hệ tọa độ cầu   sin t x  y  r  Đặt   z  r  cos t  Vì x  y  z  4, y  x , nên r  Phương trình tham số 𝐶1 :  x  y  sin t ; 0t    z  2cos t  I1   2 sin t  2cos t  2cos t  4(  sin t ) dt  23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 18 Tính I   ( x  y )dl , với C là đường tròn: x  y  z  4; y  x C 𝐶2 là nửa đường tròn nằm phần nửa mặt cầu bên trái Tham số đường cong 𝐶2 qua hệ tọa độ cầu 1   sin t x  y  r  Đặt   z  r  cos t  Vì x  y  z  4, y  x , nên r  Phương trình tham số 𝐶2 :  x  y   sin t ; 0t    z  2cos t  I    2 sin t  2cos t  2cos t  4(  sin t ) dt  8  I  I1  I  0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 19 2 Tính I   x dl , với C là đường tròn: x  y  z  4; x  y  z  C Viết phương trình tham số đường tròn C (qua hệ tọa độ trụ) phức tạp Nhận xét: đường tròn C đối xứng qua gốc O, hàm dấu tích phân là hàm chẵn nên: I   x 2dl   y 2dl   z 2dl C C  C  2  I   x  y  z dl   dl 3C 3C   độ dài đường tròn C (chu vi đường tròn R=2 ) 16   4  3 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 20 Tính I   ( x  z )dl , với C là đường x  3cos t , y  3sin t , z  t ,  t  4 C Ta có phương trình mặt trụ: x  y  Với  t  4 thì đường cong C là đường cong nằm trên mặt trụ 4 I   (3cos t  t )   x(t )    y(t )    z (t )  dt 2 4 I   (3cos t  t ) 10dt  8 10 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 Bài toán Tính công lực biến đổi trên đường cong: Cho chất điểm M di chuyển dọc theo cung phẳng 𝐴𝐵 từ điểm A đến điểm B tác dụng lực: 𝐹 𝑀 = 𝑃 𝑀 𝑖 + 𝑄 𝑀 𝑗 , 𝑀 ∈ 𝐴𝐵 Hãy tính công W lực đó sinh 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 22 Bài toán Chia cung 𝐴𝐵 cách tùy ý n đường cung nhỏ các điểm chia: A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1, y1 ), , An ( xn , yn ) Khi đó: Ai 1 Ai  xi  i  yi  j Lấy M i ( xi , yi )  Ai 1 Ai Cung Ai 1 Ai nhỏ, nên có thể coi nó xấp xỉ dây cung Ai 1 Ai và F ( M i ) không đổi (về chiều và độ lớn) trên cung đó Do đó, công lực sinh chất điểm di chuyển từ 𝐴𝑖−1 đến 𝐴𝑖 theo cung Ai 1 Ai xấp xỉ là: F ( M i )  Ai 1 Ai  P ( M i )  xi  Q ( M i )  yi 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23 Bài toán Vậy công W lực sinh xấp xỉ với: n W    P ( xi , yi )  xi  Q ( xi , yi )  yi  i 1 Do đó, giới hạn tổng trên 𝑛 → ∞ chính là công lực: n W= lim   P ( xi , yi )  xi  Q ( xi , yi )  yi  n i 1 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 24 Định nghĩa P  P ( x, y ), Q  Q ( x, y ) xác định trên đường cong C có hướng Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ các điểm: A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1, y1 ), , An ( xn , yn ) Trên cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi ) ; Ai 1 Ai  xi  i  yi  j n Lập tổng Riemann: I n    P ( M i )  ( xi  xi 1 )  Q ( M i )  ( yi  yi 1 )  i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy C gọi là tích phân đường loại hai P(x,y) và Q(x,y) trên cung C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 25 Tính chất 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C:  Pdx  Qdy    Pdx  Qdy AB BA 2) Nếu C chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau:  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy C 23-Mar-21 C1 C2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 26 Cách tính tích phân đường loại hai: 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy   P ( x, y )dx   Q ( x, y )dy C C C Chia [a,b] thành n đoạn: a  t0  t1  t2  xi  xi  xi 1  x (ti )  x (ti 1 )   tn  b ñònh lyù Lagrange   x(ti* )  ti Chọn điểm trung gian Mi x (ti* ), y (ti* ) , đó: n * * P ( x , y ) dx  lim P ( x ( t ), y ( t   i i ))  xi n i 1 C n  P ( x , y )dx  lim  P C n i 1  x (ti* ), y (ti* )   x (ti* )  ti b   P  x (t ), y (t )   x (t )  dt a b  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P  x(t ), y (t )   x(t )  Q  x (t ), y (t )   y (t )  dt C 23-Mar-21 a TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 27 Cách tính Các hàm 𝑃(𝑥, 𝑦) và 𝑄(𝑥, 𝑦) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C 2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung x2  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P ( x, y ( x))  Q ( x, y ( x))  y ( x)  dx C x1 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung y2  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P ( x( y ), y )  x( y )  Q ( x( y ), y )  dy C 23-Mar-21 y1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Tích phân đường loại không gian Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn AB n  Pdx  Qdy  Rdz  lim   P ( Mi )xi  Q( Mi )yi  R ( Mi )zi  n i 1 AB Cung AB có phương trình tham số: x  x (t ), y  y (t ), z  z(t ); a  t  b  Pdx  Qdy  Rdz  AB b    P ( x (t ), y (t ), z(t ))  x (t )dt  Q( x (t ), y (t ), z(t ))  y(t )dt  R ( x (t ), y (t ), z(t ))  z(t )dt  a b    P  x(t )  Q  y(t )  R  z(t )  dt a 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 29 Tích phân đường loại không gian Giả sử: 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 là trường vector xác định trên cung AB Nếu cung AB cho phương trình vector: r ( t )  x ( t ) i  y ( t ) j  z( t ) k Tích phân đường F trên cung AB là (công lực F sinh di chuyển vật trên đường cong AB):  F  dr   F(r(t ))  r '(t )dt AB 23-Mar-21 AB TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30 Ví dụ Tính I   ( x  y )dx  ydy , đó C là biên tam giác OAB C với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ I     C OA AB BO Phương trình OA: y = x B Hoành độ điểm đầu: x = A Hoành độ điểm cuối: x = 1 I1     ( x  x )dx  xdx OA I1     ( x  x )dx  OA 23-Mar-21 O 17 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 31 Phương trình AB: y = – x B Hoành độ điểm đầu: x = A Hoành độ điểm cuối: x = 0 11 I     ( x  3(2  x ))dx   (2  x )  (1)dx   AB Phương trình BO: x = Tung độ điểm cuối: y = I  I1  I  I  23-Mar-21 O Tung độ điểm đầu: y = I     (02  3y )   dy   y  dy  4 BO 17 11    3 6 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 Tính I   ydx  xdy , đó C là cung x  y  x, từ O(0,0) C đến A(1,1), chiều kim đồng hồ  x  r cos t Sử dụng tọa độ cực   y  r sin t x  y  x  r  2cos t Phương trình tham số cung C:   x  2cos t  cos t   cos 2t   y  2cos t  sin t  sin 2t    t1  ; t2      /4 I   sin 2t  (2sin 2t )  (1  cos 2t )  (2cos 2t )  dt   /2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 33 Tính I   ydx  zdy  xdz với C là đường cong có phương trình tham số: C x  a cos t, y  a sin t, z  bt,0  t  2 theo hướng tăng dần biến t 2 I   a sin t  (a sin tdt )  bt  (a cos tdt )  a cos t  (bdt ) 2   I    a sin t  abt cos t  ab cos t dt   a 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 34 I   ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz với C là giao mặt: x  y  z2  4, C y  x  tan  ;0     , ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Ox Từ phương trình đường cong C, ta có: x  x tan   z2  x2 z2   1 4cos  Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ: x  2cos   cos t ; y  2sin   cos t ; z  2sin t 2 (0  t  2 ) I    (2sin  cos t  2sin t )( 2cos  sin t )  (2sin t  2cos  cos t)(-2sin  sin t )  dt      (2cos   cos t  2sin   cos t )  (2cos t )  dt  2 sin     4  2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 35 Công thức Green C là biên miền D Chiều dương qui ước trên C là chiều mà theo chiều này ta thấy miền D phía bên tay trái Miền D gọi là miền đơn liên nó bị giới hạn đường cong kín Ngược lại D gọi là miền đa liên nó bị giới hạn nhiều đường cong kín Trong đa số trường hợp, chiều dương qui ước là ngược chiều kim đồng hồ Trong trường hợp tổng quát điều này không đúng 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 36 Công thức Green Miền đơn liên 23-Mar-21 Miền đa liên TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Công thức Green D là miền (đơn liên đa liên) đóng, giới nội mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 với biên C (kín) liên tục, trơn khúc 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦) và các đạo hàm riêng cấp liên tục trên miền D  Q P   dxdy  P ( x , y )dx  Q( x , y )dy      y  C D  x Dấu + chiều lấy tích phân trùng chiều dương qui ước (đi theo chiều lấy tích phân, miền D nằm bên tay trái) Điều kiện để sử dụng công thức Green: 1) C là cung kín 2) P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp liên tục trên miền D có biên C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 38 Tính I   ( x  y )dx  ydy , đó C là biên tam giác OAB C với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Cung C kín P ( x , y )  x  3y ; Q ( x , y )  y B A P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp liên tục trên miền D có biên C  Q P  I   ( x  3y )dx  ydy      dxdy  y  C D  x 2 x x O     3 dxdy   dx  (3)dy  3 D 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 39 Tính I   ( x  y )2 dx  ( x  y ) dy , đó C nửa trên đường tròn: C x  y  x cùng chiều kim đồng hồ Cung C không kín I        I1  I C C  AO AO  Q P  I1        dxdy  y  D  x C  AO  /2 2cos  0     2( x  y )  2( x  y )  dxdy    d  4r cos   r  dr  2 D I   ( x  0) dx  ( x  0) 0dx   2 I  I1  I  2  Có thể giải cách viết phương trình tham số cung C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 40 ( x  y )dx  ( x  y )dy Tính I   , đó C đường tròn: 2 x y C x  y  ngược chiều kim đồng hồ Cách 1: Cung C kín, P, Q và các ĐHR cấp không liên tục trên D, không sử dụng công thức Green !!! Viết phương trình tham số cung C:  x  2cos t   y  2sin t t1  0; t2  2 (2cos t  2sin t )  ( 2sin t ) dt  (2cos t  2sin t)  2cos tdt I   2 2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 Cách 2: Tích phân trên đường tròn: 𝑥 + 𝑦 = 4, nên thay vào mẫu số ta có: ( x  y )dx  ( x  y )dy I C Có thể sử dụng công thức Green trường hợp này I   ( x  y )dx  ( x  y )dy 4C   (1  1)dxdy    SD  2 x  y 4 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 42 Ví dụ Tính I   (4  y )dx  xdy , đó C là cung Cicloid: C x  2(t  sin t ), y  2(1  cos t ),0  t  2 (cùng chiều kim đồng hồ) Cung C không kín 2 I     2(1  cos t )   2(1  cos t ) dt  2(t  sin t )(2sin t ) dt 2 I   4t sin tdt  8 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 43 Ví dụ Tính I   e  x2  y  cos xydx  sin xydy  , đó C là đường tròn: C x  y  , ngược chiều kim đồng hồ P ( x, y )  e  x2  y cos(2 xy ) ; Q ( x, y )  e  x2  y sin(2 xy ) P  x2  y2  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy) y Q  x2  y2  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy) x  Q P  I     dxdy   y  x  y   x 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 44  ydx  xdy Tính I   , đó C là đường cong kín tùy ý, 2 x y C không qua gốc O, ngược chiều kim đồng hồ Trường hợp 1: C không bao quanh gốc O Sử dụng công thức Green y P( x, y)  x  y2 P 1 2y2   2 2 y x  y x y     x Q( x , y )  x  y2 Q 2x2   x x  y x2  y2 23-Mar-21  Q P   I     dxdy   y  D  x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 45 Trường hợp 2: C bao quanh gốc Không sử dụng công thức Green vì P, Q và các ĐHR cấp không liên tục trên miền D, có biên là C Kẻ thêm đường tròn C1 có bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt C, chọn chiều kim đồng hồ I        I1  I C C C1 C1 I1   C C1  Q P   dxdy  =     y  D  x Green Tính tích phân I2 trên cung tròn: 𝑥 + 𝑦 = 𝑎2 Phương trình tham số cung C1: x  a cos t, y  a sin t, t1  2 , t2  a cos t  a cos t  dt  a sin t  a sin t  dt I2    2 a 2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  I  I1  I  2 46 Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân Định lý: (không phát biểu cho miền đa liên) Giả sử tồn miền mở đơn liên D chứa cung AB, cho P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp chúng liên tục D Các mệnh đề sau tương đương: Q P  , ( x , y )  D x y Tích phân I   Pdx  Qdy không phụ thuộc đường cong (trơn khúc) AB nối điểm A, B nằm D Tồn hàm U(x,y) trên D là vi phân toàn phần Pdx + Qdy, tức là: dU ( x, y)  Pdx  Qdy Tích phân trên đường cong kín C, trơn khúc D 0: I   Pdx  Qdy  C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 47 Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân  Q P   Tích phân không phụ thuộc đường    x  y   I        I1  I AB AC B CB I1   P ( x, y)dx  Q( x , y )dy x  xB AC xB y A , yB   P ( x , y A )dx  Q( x , y A )  0dx xA A I   P ( x , y )dx  Q( x , y )dy y  yA x A , xB C CB yB   P ( x A , y )  0dy  Q( x B , y )dy yA 23-Mar-21 xB yB xA yA  I   P ( x , y A )dx   Q( x B , y )dy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 48 (2,3) Tính I   ydx  xdy ( 1,2) Q P   suy ra, tích phân không phụ thuộc đường x y B(2,3) Cách 1: A(1, 2)  1 C I       2dx   2dy  AC CB Cách 2: Tồn hàm U(x,y) là vi phân toàn phần Pdx + Qdy U x  P ( x , y ) tìm hàm U ( x , y )  xy  C   U y  Q( x , y ) (2,3) (2,3) I   ydx  xdy  U ( x, y ) ( 1,2)  U (2,3)  U (1, 2)  ( 1,2) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 49 (6,8) Tính I   xdx  ydy (1,0) x2  y , với đường cong không bao quanh gốc tọa độ Q P  suy ra, tích phân không phụ thuộc đường x y Tồn hàm U(x,y) là vi phân toàn phần Pdx + Qdy   U x  P ( x , y )    U   Q( x , y )   y  x x2  y2 y x2  y2 (1) (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ) U ( x, y)  (2) x  y  g( y ) (2)  g( y )   g( y )  C  U ( x, y)  x  y  C I (6,8)  U ( x, y ) (1,0) 23-Mar-21  U (6,8)  U (1,0)  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 50 xdx  ydy Tính I   theo đường cong AB tùy ý từ A(1,0) đến B(2,0): 2 AB x  y a) Không bao quanh gốc tọa độ b) Bao quanh gốc tọa độ a) Q P  , tích phân I không phụ thuộc đường từ A đến B x y dx Nên ta tính tích phân theo trục hoành: I   b) x  ln x  ln Q P  , tích phân I không phụ thuộc đường từ A đến B x y Tuy nhiên I không thể tính câu a (theo đường thẳng từ A đến B theo trục hoành), vì không tồn miền đơn liên D nào chứa đường thẳng AB và đường cong kín bao quanh gốc O P, Q và các ĐHR cấp liên tục trên D 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 51 Cách 1: Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0) Cách 2: Tìm hàm U(x,y) là vi phân toàn phần P(x,y)dx+Q(x,y)dy x   U x  P ( x , y )  x  y (1)   y U   Q( x , y )  (2) y 2  x y ln( x  y )  U ( x, y)  C (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ) ln( x  y ) U ( x, y)   g( y ) (2)  g( y )   g( y )  C ln  ln1  U (2,0)  U (1,0)   ln 2 Cách 3: Bổ sung thêm đoạn thẳng từ B đến A, đưa vào đường tròn (đủ nhỏ) bao (2,0) I  U ( x, y ) (1,0) quanh gốc O Sử dụng công thức Green miền đa liên này 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 52 I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy C a) Tìm số  để tích phân I không phụ thuộc đường b) Với  câu a), tính I biết C là cung tùy ý nối A (0, ) và B (1,0) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi: Q P  x y xy xy x  2e  xye   e xy xy x sin y  2e  xye  e sin y  1 Đây là điều kiện đủ vì với cung C luôn tìm miền đơn liên D chứa cung C cho P, Q và các ĐHR cấp liên tục trên miền D 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 53 b) Với   ta có tích phân: (1,0) I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy (0, )  A(0,  ) x0 Chú ý: tích phân I không phụ thuộc đường O I   AO y1   , y2  B(1,0) OB  y0 x I    sin ydy   e dx x1  1, x2  I  e 1 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 54 Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân a) Cho P( x, y )  y, Q( x, y )  x  ye y Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = cho tích phân I   h( y ) P ( x, y )dx  h( y )Q( x, y )dy không phụ thuộc đường C b) Với h(y) câu a), tính I biết C là phần đường cong có phương trình: x  y  36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi: Q P  x y 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 55