Thông tin tài liệu
PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I CÁC NHÓM NGÀNH 1, VÀ Hà Nội - 2018 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn “Non s«ng Việt Nam có trở nên t-ơi đẹp hay không Dân tộc Việt Nam có b-ớc tới đài vinh quang để sánh vai với c-ờng quốc năm châu đ-ợc hay không Chính nhờ phần lớn công học tập em 1945 H Chí Minh PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Để tạo điều kiện học tốt trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích cho nhóm ngành 1, viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho em sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội (có kèm theo đề cương nhóm ngành) Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến thức bản, dạng toán quan trọng có minh hoạ đề thi cuối kỳ từ K50 đến giải mẫu Các tập phong phú dạng có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho em sinh viên tự học tốt Do khối lượng giảng có hạn, nên khơng thể đưa vào lời giải tất ví dụ đề thi khóa trước, mà dẫn lời giải số dạng toán tiêu biểu Những lời giải thú vị thực lớp Vì giảng khơng đặt mục đích thay giảng lý thuyết lớp Đây tài liệu có ích cho em sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Ghi Bài giảng nên phơ tơ mặt, cịn mặt để sinh viên ghi chép PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài Hàm số, dãy số Bài Giới hạn, liên tục Bài Đạo hàm vi phân 16 Bài Đạo hàm vi phân cấp cao, định lí hàm khả vi 22 Bài Định lí hàm khả vi ứng dụng 26 Bài Khảo sát hàm số 33 CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài Tích phân bất định 37 Bài Tích phân xác định 41 Bài Tích phân xác định, tích phân suy rộng 46 Bài 10 Tích phân suy rộng 53 Bài 11 Ứng dụng tích phân xác định 59 CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 12 Hàm nhiều biến 65 Bài 13 Đạo hàm riêng vi phân 71 Bài 14 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao, cực trị 76 Bài 15 Cực trị có điều kiện 83 Bài 16 Tích phân kép (Nhóm ngành 3) 86 Tài liệu học tập 94 Đề thi kỳ cuối kỳ năm học 2016-2017-2018 95 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN BÀI (§1.1 §1.5) Tổng quan Phương pháp học §1.1 Mở đầu :Các tập hợp số , , , Đặt vấn đề I Sơ lược yếu tố logic Điều kiện cần đủ PQ PQ Mệnh đề tương đương P Q Chứng minh logic a) Phương pháp bắc cầu: (P Q, Q R) (P R) b) Phương pháp phủ định: (P Q) ( Q P ) c) Phương pháp phản ví dụ Phương pháp quy nạp Cần chứng minh mệnh đề T(n) n Giả sử có +) T(1) +) T(k) T(k + 1) đúng, k Khi T(n) n n n 1 Ví dụ + + + n = ,n 3 II Các tập hợp số Sự cần thiết mở rộng tập hợp số Hệ tiên đề tập hợp số thực a) (+, ): a, b, c có a + b , a.b giao hoán, kết hợp b) a, b ! x c) a, b , a ! x d) a, b a b b a : a + x = b : a.x = b PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu e) Tiên đề supremum A , A bị chặn có supremum A , A bị chặn có infimum Chú ý Từ nhận tính chất biết phổ thơng, chẳng hạn T/c Archimede: a, b trù mật ,a>0n : a, b : na > b ,a a < x < a b) |x| > b, b > x > b x < b c) |a + b| |a| + |b| d) |ab| = |a||b| e) a a ,b0 b b § 1.3 HÀM SỐ Đặt vấn đề Định nghĩa X , tương ứng f: X hàm số thoả mãn: +) x X f(x) +) x1 = x2 f(x1) = f(x2) Khi X tập xác định, cịn {f(x), x X} tập giá trị Ví dụ Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 128ft/s Tên lửa chuyển động lên xuống theo đường thẳng Bằng thực nghiệm, độ cao tên lửa cho cơng thức f(t) = 128t 16t2 Ví dụ x x y PGS TS Nguyễn Xn Thảo Ví dụ Tìm tập xác định y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x cos x Ví dụ a) Tìm tập giá trị y sin x cos x b) (K59) Tìm tập xác định tập giá trị y lg(1 2sinx) 7 ( ( k 2 ; k 2 );( ;lg3) ) c) (K60) Tìm tập xác định y arcsin 2x 1 x ( x 1) Ví dụ Tìm f(x) biết f x x , x > x Một số khái niệm a) Đồ thị hàm y = f(x) {(x, f(x)), x TXĐ} b) y = f(x) chẵn x MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ y 1 x 1 x c) y = f(x) lẻ x MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ a) y = ax ax, a > b) (K59) y sinx cos2 x (không chẵn, không lẻ) d) Hàm y = f(x) tuần hoàn T 0: f(x + T) = f(x), x TXĐ Số T > bé để f(x + T) = f(x), x gọi chu kì Ví dụ y tan x đ) Hàm hợp: y = f(x), x = (t), có hàm hợp y = f f((t)) e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = (y) +) (f )(y) = y, y Y +) ( f)(x) = x, x X Hàm ngược hàm y=f(x) thường ký hiệu y f 1( x ) Ví dụ a) y x với 1 x 0, có x y , y [0 ; 1] b) (K59) f ( x ) x 2 x , (,0] x x2 : [2, ) ( ,0] ) ( y log2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn § 1.4 HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Các hàm số sơ cấp x, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, hàm lượng giác ngược Các hàm số sơ cấp a) y = x, TXĐ: phụ thuộc , đồ thị (1 ; 1), b) y = ax, < a 1, TXĐ: , TGT: y > 0, đồng biến a > 1, nghịch biến a < ax + y =ax ay , ax y = ax / a y c) y = logax, < a 1, TXĐ: x > 0, TGT: , đồng biến a > 1, nghịch biến a < x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x| loga|y|, logax = loga|x|; y y = logax có hàm ngược x = ay d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx e) Các hàm lượng giác ngược +) y = arcsinx: [1 ; 1] ; hàm ngược hàm y = sin x 2 +) y = arccosx: [1 ; 1] [0 ; ] hàm ngược hàm y = cosx +) y = arctanx: ( ; ) ; hàm ngược hàm y = tan x 2 +) y = arccotx : ( ; ) (0 ; ) hàm ngược hàm y = cotx f) Các hàm hyperbolic e x e x +) y = sinhx= e x e x +) y = coshx= sinhx +) y = tanhx= cosh x +) y = cothx= hàm sin-hyperbolic x hàm cosin-hyperbolic x e x e x e x e x e x e x hàm tan-hyperbolic x coshx hàm cotan-hyperbolic x sinh x e x e x Các hàm hyperbolic có số tính chất tương tự hàm lượng giác, cụ thể : +) cosh2 x sinh2 x +) cosh2x 2cosh2 x 2sinh2 x 1 +) coth2 x +) tanh2 x cosh x sinh2 x +) cosh2x cosh2 x sinh2 x +) coth2 x sinh2 x +) sinh( x y ) sinhxcosh y sinh y cosh x +) sinh2x 2sinh x cosh x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) cosh( x y ) coshxcosh y sinh x sinh y t anhx y +) tanh( x y ) x y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) tanh2x 2t anhx tanh2 x Hàm số sơ cấp Định nghĩa Tạo nên từ hàm số sơ cấp số hữu hạn phép tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp số Ví dụ y x+sinx Ví dụ y = |x| x Ví dụ y sin t 2dt § 1.5 DÃY SỐ Đặt vấn đề Định nghĩa x1, x2, , xn, , xi Giới hạn a) Định nghĩa lim xn a, a n > 0, bé tuỳ ý, N( ): n > N( ) có |xn a| < Định nghĩa Khi lim xn M > 0, lớn tuỳ ý, N: n > N có |xn| > M, ta nói dãy số n phân kì b) Tính chất 1) lim xn a , a > p (a < p) N: n > N có xn > p (xn < p) n 2) lim xn a , xn p (xn p) a p (a p) n 3) lim xn a , lim xn b a = b n n 4) lim xn a M > 0: |xn| M, n n c) Phép tốn Có lim xn a , lim y n b , ta có n n xn a , b 0, yn 0, n n y n b lim xn y n a b ; lim xn y n ab ; lim n n PGS TS Nguyễn Xuân Thảo d) Các tiêu chuẩn tồn giới hạn thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn (dưới) có giới hạn 2) Tiêu chuẩn kẹp Có xn yn zn, lim xn a lim zn lim y n a n n n 3) Tiêu chuẩn Cauchy lim xn a > 0, N( ): m, n > N có |xm xn| < n Ví dụ Cho dãy xn: x1 2, xn 1 xn Chứng minh {xn} hội tụ tìm giới hạn Ví dụ Cho dãy xn: x1 0, xn 1 tìm giới hạn 1 xn Chứng minh {xn} hội tụ xn 2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số sau: b(K51) 1) z x 2y x y (zCT(1 ; 0) = 1) ( zCD ; 1 1) (zCĐ(6 ; 3) = 27, cực trị (0 ; 0) 2) z xy y x (zCĐ(3 ; 6) = 27, cực trị (0 ; 0) a(K50) 1) z x x arctan y 2) z arccot x y 2y c(K52) (zCT 1; e ) 2 1) z ( x x y )e 2 y 2) z x y xy (zCĐ(1 ; 1) = 3) (zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị (0 ; 0) e 1) z x y 2x xy 2y 2) z x y x y xy d) (K53) z x y xy 3) z ( x y )e( x y ) 4) z ( x y )2/3 5) z xy ln( x y ) 6) z x xy y 4ln x 10ln y f) x y z x y 6z 11 g(K54) 1) z e x 2x 3y y (zCĐ(0 ; 1) = 2, cực trị (2 ; 1) x y 3y z M1 ; 1 2x 3y y x x e +) 2 x M ; 1 zy e 3 y y 1 +) zxx e x 2x 3y y , zxy e x 3y , zyy e x 6y Mi A B C Kết luận M1 2 6 12 zCĐ(M1) = M2 2e2 6e2 12e4 Khơng có cực trị 2) z e y x x 2y h(K55) 1) z xy x y (3 ; 0) 2) z xy x y 3 (zCĐ(1 ; 0) = 2, cực trị (1 ; 2) (zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị (0 ; 0), (0 ; 3), (zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị (0 ; 0), (0 ; 3), (3 ; 0) 3) z x y x y ( zmin 1; , (1 ; 2) không cực trị) 80 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 4) z x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y2 x y ( zmax 1; 1 , (1 ; 1) không cực trị) k(K56) 1) z x 2y x y (zmax(0 ; 1) = 1, zmin(1 ; 0) = 1, (0 ; 0), (1 ; 1) không cực trị) 2) z x y x 2y (zmin(0 ; 0) = 0, zmax(1 ; 1) = (0 ; 1), (1 ; 0) không cực trị) , xy (zmin(1 ; 1) = = zmin(1 ; 1)) x2 y , xy (zmax(1 ; 1) = 4 = zmax(1 ; 1)) 3) z x y 4) z 5) z x 2y x y (zmin(1 ; 1) = 2, (1 ; 0) không cực trị) 6) z 2x y 3x 2y (zmin(1 ; 1) = 2, (0 ; 1) không cực trị) l(K57) 1) z x y 2) z x x y y2 x y ( zmin 1, 1 5, CT 1, 1 ) ( zmax 2, 1 7, CT 2, 1 ) m(K58) 1) z e2x 4x2 2xy y (zmin(0; 0) = 0, cực trị (-1 ; -1)) 2) z e2x x y )( x y (zCĐ(2 ; 1) = e4 , cực trị (-1 ; -1)) 3) z x y ( x y )3 (zmin(3 ; 3) = -54, cực trị (0 ; 0)) 4) Tìm a, b,c để hàm số z x xy 2y ax by c đạt cực trị M(1,1) có z(M) = (a=b=-9, c=11) n(K59) 1) z x y x 2y 2) z x 2xy 2y 4y 3) z x xy y x 4) z 2x 3y e( x y ) ( zmin(0; 1) 1 ; (0 ;0) không cực trị) ( zmin(1;1) 2 ; (0 ;0) không cực trị) 1 ( zmin(1;1) ; ( ; ) không cực trị) 3 ( zmin(0;0) 1 ) o(K60) 1) z x x y 2y 2) z 12 xy x y ( (6; 9) ; (0 ;0) không cực trị) ( zmin(1;2) 6 ; (0 ;0) không cực trị) 81 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 3) z x 4) z thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y xy 2 ( zmin (1;1) ; (1; 1) , (0;0) không cực trị) x y 2xy 1 ( zmin (1;1) , zmin ( 1; 1) , (0;0) không cực trị) 2 5) z x 16 y 3 x y ( zmin(2;1) 17 ; (2; 1) không cực trị) p(K61) 1) z y y x x3 ( zmin(1;1) 1) 2) z y xy x y 12 ( zmax (4; 3) 3 ) ( (1;1) không cực trị ) 3) z x y xy x y q(K62) 10 ( zmin(1;2) 6 ; ( ; ) không cực 3 1) z x xy x y y trị) ( zmin ( 2) z x xy x y y không cực trị) 3) z 3xey x3 e3y ;2 13 ) ; (0;2) ( zmax (1;0) 1; (0;2) không cực trị) Have a good understanding! 82 PGS TS Nguyễn Xn Thảo GIẢI TÍCH I BÀI 15 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn §3.3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ (TT) III Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề Ta thường gặp tốn tìm cực trị biểu thức với điều kiện ràng buộc biến Tuy nhiên việc thay điều kiện ràng buộc vào hàm ban đầu để đưa toán biết thuận lợi Ta cần khắc phục nào? Phương pháp nhân tử Lagrange khắc phục khó khăn trên, cơng cụ quan trọng kinh tế, hình học vi phân lý thuyết học nâng cao Cực trị hàm số z = f(x, y) với điều kiện g(x, y) = Tìm giá trị cực trị hàm số z = f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = Đặt L(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y) L L L 0, 0, , biến gọi biến Lagrange Ta có x y Như tốn tìm cực trị z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)=0 chuyển toán cực trị hàm L(x, y, ) Đây phương pháp nhân tử Lagrange Phương pháp nhân tử Lagrange quan trọng lý thuyết, ngồi thực hành có ưu điểm sau: Khơng phải băn khoăn tính đối xứng tốn lựa chọn biến độc lập Việc đưa thêm vào biến khác khử ràng buộc Dễ dàng mở rộng cho trường hợp nhiều biến nhiều ràng buộc Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện x y b) z x 2y , x y a) z x y 2, c) z xy, x y d) z xy , x y 2x e) z x m y m m 1 , x y 2, x, y 1 1 f) z , x y x y a2 2) Cực trị hàm số u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = Tìm cực trị hàm w = f(x, y, z), với điều kiện g(x, y, z) = Đặt L(x, y, z, ) = f(x, y, z) + g(x, y, z) Có L L L L 0, 0, 0, 0 x y z Như tốn tìm cực trị hàm w = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = chuyển tốn tìm cực trị hàm: L(x, y, z, ) = f(x, y, z) + g(x, y, z) 83 PGS TS Nguyễn Xn Thảo Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện a) u xy 2z3, x y z a, x 0, y 0, z 0, a thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2 y z2 b) u x y z , 2 2 x 0, y 0, z d) u xyz, xy yz zx 8, x, y , z 1 e) u x y z, x y z c) u sin x sin y sin z, x y z f) u x 2y 2z, x y z x n y n zn g) u , x y z s x 0, y 0, z 0, s , n > 3) Cực trị hàm u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = Tương tự đặt L = f(x, y, z) +g(x, y, z) + h(x, y, z) có L L L L L 0, 0, 0, 0, 0 x y z Bài tốn tìm cực trị với hai điều kiện ràng buộc nói chuyển tốn tìm cực trị hàm L(x, y, z, , ) = f(x, y, z) + g(x, y, z) + h(x, y, z) Ví dụ Tìm cực trị với điều kiện a) u xy xz, x y 2, x z x 0, y 0, z b) u xyz, x y z 5, xy yz zx Chú ý: Trong kinh tế, phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng để giải toán tối đa hố tổng sản lượng cơng ty, phụ thuộc vào ràng buộc tài nguyên sẵn có cố định, chẳng hạn: P = f(x, y) = Axy, với điều kiện + = 1, P sản lượng (tính la) biểu diễn qua x đơn vị vốn y đơn vị lao động IV Giá trị lớn nhất, bé Cách tìm 1 Tìm điểm dừng (trong miền mở biên) 2 So sánh giá trị hàm số điểm dừng Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, bé a) z = x2y, x2 + y2 b) z = x2 + y2 2x y, x 0, y 0, x + y c) z = sinx + siny + sin(x + y), x, y /2 d) u = x + y + z, x2 + y2 z e) Tìm hình hộp chữ nhật tích lớn nội tiếp ellipsoide f) Tìm điểm mặt cầu x2 + y2 + z2 = mà tổng bình phương khoảng cách từ điểm đến ba điểm M1(1 ; ; 0), M2(2 ; ; 1), M3(0 ; ; 2) bé 84 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo g) Tìm ellipsoide x2 a2 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y2 b2 z2 c2 qua (1 ; ; 3) tích bé (a h) Tìm điểm ellip b c ) x2 y gần nhất, xa tới đường thẳng 3x y = i)(K52) z xy x y , x 2, y (max z = 1, z = 4) z = x2 + y2 + x + y, x + y + = 0, x = 0, y = (max z = 2, z = ) k)(K54) z x y , miền đóng x2 y2 (max z = 9, z = 9) y2 1 (max z = 4, z = 4) z x y , miền đóng x l) Tìm bán trục Ellipse: 5x2 + 8xy + 5y2 = 2 m)(K57) 1) z cos x cos y cos x y , x ,y x y xy sin sin , x, y 2 ( Max z , Min z 1) ( Max z 3 , Min z ) 1) Tìm điểm thuộc y 2x cho gần điểm A(1,4) ( M(2,2) ) 2) z sin n)(K58) 2) Tìm điểm thuộc ellipse 4x y cho xa điểm A(1,0) 3 ( M(- , 63) , N(- ,63) ) 8 8 o)(K61) Tìm GTLN, GTBN z x y xy x y miền OAB, O(0;0), A(6,0), B(0;6) ( Maxz(0;0) 0;Minz(2;3) 19 ) Thank you and Good bye! 85 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI 16 TÍCH PHÂN KÉP Tính thể tích tích phân lặp b Đã biết cơng thức tính thể tích vật thể Giải tích I: V S x dx a Diện tích tiết diện thẳng S(x) tính sau: S x (0.1) y2 x f x, y dy (0.2) y1 x Thay (0.2) vào (0.1) ta có y2 ( x ) b y2 x b V f x, y dy dx dx f ( x, y )dy a y1 x a y1( x ) 1 x Ví dụ Tính tích phân lặp I 2ydy dx x2 Ví dụ Sử dụng tích phân lặp tính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng toạ độ mặt phẳng x + y + z = Tích phân hai lớp hình chữ nhật đóng 2.1 Định nghĩa a) Phân hoạch chia hình chữ nhật R = [a ; b] [c ; d] thành hữu hạn hình chữ nhật đóng, đơi khơng có phần chung có R n Ri , i 1 Ri diện tích hình chữ nhật thứ i, |R| diện tích hình chữ nhật R; di đường chéo hình chữ nhật Ri, d() = max di i 1,n b) Tổng tích phân n = (f, , p1, , pn) = f i , i Ri , pi i , i , i 1 Hàm f(x,y) xác định bị chặn R c) Các tổng Đacbu 86 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Tổng Đacbu dưới: s Tổng Đacbu trên: S thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn n mi Ri i 1 n Mi Ri , i 1 mi inf f x, y , Mi sup f x, y , Ri có Ri m|R| s() (f, , p1, , pn) S() M|R| d) Tổng không tăng, tổng không giảm Ta bảo phân hoạch mịn hình chữ nhật phân hoạch ln nằm hình chữ nhật phân hoạch Khi mịn , ta có s() s() S() S() e) Dãy chuẩn tắc phép phân hoạch Cho {n} dãy phân hoạch hình chữ nhật R Dãy {n} gọi chuẩn tắc lim d n n f) Định nghĩa tích phân kép Cho f xác định hình chữ nhật đóng R, Nếu có lim f , , p1, n , pn pn lim n f i , i Ri I (số thực hữu hạn) với dãy chuẩn tắc i 1 {n}: n = {R1, R2, , R pn }, với cách chọn điểm pi = ( i ; i) Ri, ta có hàm f khả tích R viết f x, y dx dy I R 2.2 Điều kiện khả tích Định lí Hàm f khả tích R đóng f bị chặn Định lí Cho f bị chặn R Khi f khả tích R > 0, bé tuỳ ý, phân hoạch R cho S() s() < Định lí f liên tục R f khả tích R 2.3 Tích phân hai lớp tập hợp bị chặn a) Định nghĩa R hình chữ nhật đóng, tập bị chặn D R, hàm f xác định D, 87 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn f x, y , x, y D f0 x, y 0, x, y R \ D Nếu f0 khả tích R ta bảo f khả tích D định nghĩa f x, y dx dy f0 x, y dx dy D R b) Tính chất 1/ Cộng tính D = D1 D2 bị chặn f khả tích D có , |D1 D2| = 0, f khả tích D1, D2 f x, y dx dy f x, y dx dy f x, y dx dy D D1 2/ Tuyến tính D bị chặn có f x, y g x, y dx dy D2 , f, g khả tích D f + g khả tích D D f x, y dx dy g x, y dx dy, , D D 3/ Bảo toàn thứ tự Hai hàm f, g khả tích tập bị chặn D g(x, y), (x, y) D Khi , có f(x, y) f x, y dx dy g x, y dx dy D D Hệ Nếu m f(x, y) M, (x, y) D, có mD f x, y dx dy M D D Hệ f x, y dx dy f x, y dx dy D D 4/ Các định lí giá trị trung bình Định lí D tập hợp đo được, f khả tích D có m f(x, y) M, (x, y) D Khi [m, M] cho f x, y dx dy D D Định lí Cho D đóng, đo được, liên thơng, f liên tục D p(, ) D cho f x, y dx dy f p D D 88 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 2.4 Đưa tích phân hai lớp tích phân lặp a) Định lí Fubini hình chữ nhật f khả tích hình chữ nhật R a ; b c ; d d f x, y dy 1/ Nếu tồn d với x cố định [a ; b] x f x, y dy khả tích c [a ; b] có c b d f x, y dx dy f x, y dy dx a c R b (4.1) b 2/ f x, y dx , với y cố định thuộc [c ; d] y f x, y dx khả tích [c ; d] a a (4.2) f x, y dx dy f x, y dx dy R c a Nói riêng, có f liên tục R ta có đồng thời (4.1), (4.2) có d b Ví dụ x y dx dy , R = [0 ; 1][0 ; 2] R Ví dụ R x 2dx dy , R = [0 ; 1][0 ; 1] 1 y b) Định lí Fubini tập hợp bị chặn 1/ 1, 2 khả tích [a ; b], 1(x) 2(x), x [a ; b], D = {(x ; y): a x b, 1(x) y 2(x)} 2 x f khả tích D, Khi đó, x 2 x f x, y dy , x cố định thuộc [a ; b] 1 x f x, y dy khả tích [a ; b] có 1 x b 2 x f x, y dx dy dx f x, y dy D a (4.3) 1 x Nói riêng, 1, 2 liên tục [a ; b], f liên tục D 2/ 1, khả tích [c ; d], 1(y) 2(y), y [c ; d], D = {(x ; y): c y d, 1(y) x 2(y)} 2y f khả tích D f x, y dx , y cố định thuộc [c ; d] 1 y 89 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Khi y 2y f x, y dx khả tích [c ; d] có 1 y 2y d f x, y dx dy dy D thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn f x, y dx (4.4) 1 y c Nói riêng, 1, liên tục [c ; d], f liên tục D Ví dụ 2 x y dx dy , D: y = x, y = x D Ví dụ x y dx dy , D: x = 1, y = 0, y = x D Ví dụ cos x y dx dy , D: [0 ; ] [0 ; ] D Ví dụ y x dx dy , D: [1 ; 1] [0 ; 2] D Ví dụ Đổi thứ tự tính tích phân dy Ví dụ Tính 3 y f ( x, y )dx 2y 2 dy e x dx y 2.5 Đổi biến tích phân lớp a) Đổi biến Định lí Tập mở U , D tập đo được, compact U, ánh xạ : U , (u, v) (x(u, v), y(u, v)), x, y khả vi liên tục |D đơn ánh Định thức Jacobi J u, v D x, y xu D u, v yu xv D yv Khi (D) tập compact đo Nếu f : (D) R liên tục (D) có f x, y dx dy f x u, v , y u, v J u, v du dv D D 90 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn x sin x y dx dy , D : x , y x Ví dụ Tính D 2 x y dx dy , D: x 1, x y x Ví dụ Tính D Ví dụ Tính D x y 0, y 1 arcsin x ydx dy , D : x y 1, y dx dy , D: y = x, y = 4x, xy = 1, xy = Ví dụ Tính D b) Đổi biến toạ độ cực Cho ánh xạ : 2, , r Ta có J , r x, y , x = r cos, y = r sin D x, y r sin D , r r cos cos r sin Dễ thấy không song ánh, nhiên thu hẹp A = ( ; + 2) (0 ; +), song ánh từ A \ ; Nếu D tập compact đo cho IntD U, thu hẹp IntD đơn ánh J(, r) IntD Khi với hàm số liên tục tuỳ ý f : (D) ta ln có f x, y dx dy f r cos , r sin r dr d D Ví dụ I e x D y dx dy , D: x2 + y2 D Ví dụ I sin x y dx dy , D: 2 x2 + y2 42 1 x2 1 x2 y D Ví dụ I D Ví dụ I D Ví dụ I D a2 y2 b2 1 x y 2 dx dy , D : x2 a2 y2 b2 dx dy , D : {x2 + y2 1, x 0, y 0} x2 y x2 y x2 y2 dx dy , D : c) Tích phân hai lớp tập đối xứng Cho D = D1 D2, D2 = S (D1), tập D1, D2 đo |D1 D2| = 0, S phép đối xứng 1/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y), (x, y) D có f x, y dx dy f x, y dx dy D 91 D1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 2/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y) có f x, y dx dy D Ví dụ Tính I x y dx dy , D : D Ví dụ Tính I a) x D y x2 a2 dx dy , D : x2 a2 y2 b2 1 y2 b2 1 x 2y dx dy b (K58) 1) Tính I ( 2 ) x y 2y 2) Đổi thứ tự tính tích phân 2 x dx f ( x, y )dxdy 1 2 y ( dy f ( x, y )dx dy c (K59) 1) Tính I 2 x y dx dy 0 f ( x, y )dx ) , D: x 2y 2, x 0, y ( D 2) Tính I x 2y dx dy , D giao : y x 2, y x ( D 3) Đổi thứ tự tính tích phân f ( x, y )dxdy 1 x ( dy 4) Tính I sin x y dx dy , D l : x D d (K60) 1) Tính I ex y 2 f ( x, y )dx ) 1 y ,0 y x D 3) Tính I y 3xdxdy y 1 ( 2) dx dy , D: a x y b2, x 0,(0 a b ) ( dxdy f ( x, y )dx dy D 2) Tính I 88 ) 15 1 x dx ) 2 ( ln5 ) , D: x y , D: x 2,1 x y D 92 (eb ea ) ) ( 12 ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 4) Tính I ( x thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 2y )dxdy , D: x y D HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 93 ( 3 ) TÀI LIỆU HỌC TẬP Sách, giáo trình : [1] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS TS Trần Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Tốn học cao cấp tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2015, 424 trang [2] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập 3: Phép tính giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003, 276 trang [3] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS TS Trần Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Bài tậpToán học cao cấp tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2017, 412 trang [4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp tập 2: Phép tính giải tích biến số , NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000, 256 trang [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đình, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập tốn học cao cấp tập 3: Phép tính giải tích nhiều biến số , NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999, 499 trang Sách tham khảo: [1] Trần Bình, Giải tích I, Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1998, 359 trang [2] Trần Bình, Giải tích II III, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2005, 575 trang [3] Trần Bình, Hướng dẫn giải tập giải tích tốn học, tập 1, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001, 394 trang [4] Trần Bình, Bài tập giải sẵn giải tích II, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2001, 400 trang [5] George F Simmons, Calculus With Analytic Geometry, McGraw – Hill Science/ Engineering/ Math 1996 USA [6] James Stewart, Calculus, Brooks/ Cole Publishing Company 2003 USA 94 ... theo, tạo ? ?i? ??u kiện thuận l? ?i cho em sinh viên tự học tốt Do kh? ?i lượng giảng có hạn, nên đưa vào l? ?i gi? ?i tất ví dụ đề thi khóa trước, mà dẫn l? ?i gi? ?i số dạng toán tiêu biểu Những l? ?i gi? ?i thú vị... NHIỀU BIẾN SỐ B? ?i 12 Hàm nhiều biến 65 B? ?i 13 Đạo hàm riêng vi phân 71 B? ?i 14 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao, cực trị 76 B? ?i 15 Cực trị có ? ?i? ??u kiện 83 B? ?i 16 Tích. .. Chớ Minh PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn L? ?I N? ?I ĐẦU Để tạo ? ?i? ??u kiện học tốt trình học theo học chế tín chỉ, giảng Gi? ?i tích cho nhóm ngành 1, viết sở đề cương Gi? ?i tích
Ngày đăng: 25/12/2022, 09:19
Xem thêm:
