Bài giảng Giải tích III TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III TS Bùi Xn Diệu Viện Tốn Ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III / 53 Chương 1: Chuỗi Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi số với số hạng có dấu Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi lũy thừa Các tính chất chuỗi lũy thừa Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Chương 1: Chuỗi Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi số với số hạng có dấu Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi lũy thừa Các tính chất chuỗi lũy thừa Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Định nghĩa Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · gọi chuỗi số kí hiệu ∞ an Khi đó, an gọi n=1 số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Định nghĩa Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · gọi chuỗi số kí hiệu ∞ an Khi đó, an gọi n=1 số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n Nếu dãy số {Sn } hội tụ lim Sn = S tồn tại, ta nói n→∞ chuỗi số ∞ an hội tụ có tổng S viết an = S n=1 n=1 Nếu dãy số {Sn } phân kỳ ta nói chuỗi số TS Bùi Xn Diệu ∞ Giải tích III ∞ an phân kỳ n=1 / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Ví dụ Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Sau chia đơi khoảng ta hai khoảng [0, 1/2] (1/2, 1], khoảng có độ dài 1/2 Sau ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], ta hai khoảng, khoảng có độ dài 1/4 Tiếp tục kéo dài trình ta chuỗi số sau: 1= TS Bùi Xuân Diệu 1 + + ··· + n + ··· Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Ví dụ Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi cấp số nhân ∞ n=0 qn = + q + q2 + · · · TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Ví dụ Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi cấp số nhân ∞ n=0 qn = + q + q2 + · · · Ví dụ Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính ∞ n=1 TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III n(n+1) / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Ví dụ Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi cấp số nhân ∞ n=0 qn = + q + q2 + · · · Ví dụ Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính ∞ n=1 n(n+1) Ví dụ Chứng minh chuỗi điều hòa ∞ n=1 TS Bùi Xuân Diệu n phân kì Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi số ∞ n=1 TS Bùi Xuân Diệu an hội tụ, lim an = n→+∞ Giải tích III / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn cách biểu diễn hàm số dạng tổng hàm tuần hồn có dạng hàm sin hàm cos Định nghĩa Một chuỗi có dạng a0 + ∞ (an cos nx + bn sin nx), n=0 an , b n ∈ R (2) gọi chuỗi lượng giác Nhận xét ∞ n=1 |an |, ∞ n=1 |bn | hội tụ ⇒ chuỗi (2) hội tụ tuyệt đối R Tuy nhiên, chuỗi (2) hội tụ ⇒ TS Bùi Xuân Diệu ∞ n=1 |an |, Giải tích III ∞ n=1 |bn | hội tụ 47 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Định lý Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π có biểu diễn a0 f (x) = + ∞ (an cos nx + bn sin nx), n=0 an , b n ∈ R hệ số tính theo cơng thức a0 = π π f (x)dx, an = −π TS Bùi Xuân Diệu π π f (x) cos nxdx, bn = −π Giải tích III π π f (x) sin nxdx −π 48 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Định lý Nếu hàm số f (x) tuần hồn với chu kỳ 2π có biểu diễn a0 f (x) = + ∞ (an cos nx + bn sin nx), n=0 an , b n ∈ R hệ số tính theo cơng thức a0 = π π π f (x)dx, an = −π π f (x) cos nxdx, bn = −π π π f (x) sin nxdx −π Định nghĩa Chuỗi lượng giác a0 + ∞ (an cos nx + bn sin nx) với hệ số a0 , an , bn n=0 xác định gọi chuỗi Fourier hàm số f (x) TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 48 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier Định nghĩa Nếu chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ hàm f (x) ta nói hàm f (x) khai triển thành chuỗi Fourier TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 49 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier Định nghĩa Nếu chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ hàm f (x) ta nói hàm f (x) khai triển thành chuỗi Fourier Định lý (Dirichlet) Nếu f (x) tuần hồn với chu kì 2π , đơn điệu khúc, bị chặn [−π, π] chuỗi Fourier hội tụ điểm đoạn [−π, π], S(x) = TS Bùi Xuân Diệu f (x), f (x+0)+f (x−0) x điểm liên tục f (x) x điểm gián đoạn f (x) Giải tích III 49 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định sau f (x) = f (x) = 1, −1, x, −1, TS Bùi Xuân Diệu 0≤x ≤π −π ≤ x < −x ≤ x ≤ π −π ≤ x < Giải tích III f (x) = x , −π < x < π f (x) = 1, 0, 0≤x ≤π −π ≤ x < 50 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Khai triển Fourier hàm số chẵn, lẻ π π f (x) cos kxdx, bk = 0, ∀k ∈ π π f (x) sin kxdx, ak = 0, ∀k ∈ N Nếu f (x) hàm số chẵn ak = Nếu f (x) hàm số lẻ bk = TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III N 51 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Khai triển Fourier hàm số chẵn, lẻ π π f (x) cos kxdx, bk = 0, ∀k ∈ π π f (x) sin kxdx, ak = 0, ∀k ∈ N Nếu f (x) hàm số chẵn ak = Nếu f (x) hàm số lẻ bk = N Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hồn với chu kì 2π, xác định sau f (x) = x, −π < x < π TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 51 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Chuỗi Fourier Khai triển Fourier hàm số chẵn, lẻ π π f (x) cos kxdx, bk = 0, ∀k ∈ π π f (x) sin kxdx, ak = 0, ∀k ∈ N Nếu f (x) hàm số chẵn ak = Nếu f (x) hàm số lẻ bk = N Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hồn với chu kì 2π, xác định sau f (x) = x, −π < x < π Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số cosine, sine hàm số 1, ≤ x ≤ π2 0, π2 < x ≤ π f (x) = − x, ≤ x ≤ π f (x) = π + x, ≤ x ≤ π f (x) = x(π − x), < x < π f (x) = TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 51 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier tuần hồn với chu kì Nếu hàm số f (x) tuần hồn với chu kì 2L, đơn điệu khúc bị chặn [−L, L] thực phép đổi biến x ′ = πL x ta có f (x) = f L ′ x π = F (x ′ ) tuần hồn với chu kì 2π TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 52 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier tuần hồn với chu kì Nếu hàm số f (x) tuần hồn với chu kì 2L, đơn điệu khúc bị chặn [−L, L] thực phép đổi biến x ′ = πL x ta có f (x) = f L ′ x π = F (x ′ ) tuần hồn với chu kì 2π.Áp dụng khai triển Fourier cho hàm số F (x ′ ) ta có ∞ a0 π π f (x) = + an cos n x + bn sin x ), L L n=0 a0 = L L f (x)dx, an = −L TS Bùi Xuân Diệu L π f (x) cos n xdx, bn = L L −L L Giải tích III L π f (x) sin n xdx L −L 52 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier tuần hồn với chu kì Nếu hàm số f (x) tuần hồn với chu kì 2L, đơn điệu khúc bị chặn [−L, L] thực phép đổi biến x ′ = πL x ta có f (x) = f L ′ x π = F (x ′ ) tuần hồn với chu kì 2π.Áp dụng khai triển Fourier cho hàm số F (x ′ ) ta có ∞ a0 π π f (x) = + an cos n x + bn sin x ), L L n=0 L a0 = L f (x)dx, an = −L L π f (x) cos n xdx, bn = L L −L L L π f (x) sin n xdx L −L Ví dụ Khai triển Fourier f (x) = x , −2 ≤ x ≤ tuần hoàn với chu kì 2L = TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 52 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] Cho hàm số f (x) đơn điệu khúc bị chặn [a, b] Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier Xây dựng hàm số g (x) tuần hồn với chu kì ≥ (b − a) cho g (x) = f (x) [a, b] Khai triển hàm g (x) thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f (x) x ∈ [a, b] (có thể trừ điểm gián đoạn f (x)) TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 53 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] Cho hàm số f (x) đơn điệu khúc bị chặn [a, b] Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier Xây dựng hàm số g (x) tuần hồn với chu kì ≥ (b − a) cho g (x) = f (x) [a, b] Khai triển hàm g (x) thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f (x) x ∈ [a, b] (có thể trừ điểm gián đoạn f (x)) Vì hàm g (x) khơng nên có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f (x), nói riêng g (x) chẵn chuỗi Fourier gồm hàm số cosine, g (x) lẻ chuỗi Fourier gồm hàm số sine TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 53 / 53 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] Cho hàm số f (x) đơn điệu khúc bị chặn [a, b] Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier Xây dựng hàm số g (x) tuần hồn với chu kì ≥ (b − a) cho g (x) = f (x) [a, b] Khai triển hàm g (x) thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f (x) x ∈ [a, b] (có thể trừ điểm gián đoạn f (x)) Vì hàm g (x) khơng nên có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f (x), nói riêng g (x) chẵn chuỗi Fourier gồm hàm số cosine, g (x) lẻ chuỗi Fourier gồm hàm số sine Ví dụ Khai triển Fourier hàm số sau a) f (x) = |x|, |x| < b) f (x) = 2x, < x < c) f (x) = 10 − x, < x < 15 TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 53 / 53 ... tụ ∞ n=4 TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III (n−1)2 ∞ dx (x−1)2 11 / 53 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ Chứng minh chuỗi TS Bùi Xuân Diệu ∞ n=2 n(ln n)p hội tụ p > Giải tích III 12 / 53... TS Bùi Xuân Diệu n phân kì Giải tích III / 53 Đại cương chuỗi số Đại cương chuỗi số Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi số ∞ n=1 TS Bùi Xuân Diệu an hội tụ, lim an = n→+∞ Giải tích. .. Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ Xét hội tụ chuỗi a) ∞ n=1 TS Bùi Xuân Diệu 1+n2 Giải tích III b) ∞ n=1 nα (α > 0) 11 / 53 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn tích phân