- Bài giảng Giải tích III - Đại học Bách Khoa Hà Nội - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo - Phương trình vi phân/ Chuỗi/ Phương pháp toán tử Laplace - Cập nhật lần 2 năm 2014 - sửa lỗi đánh máy, cập nhật bài tập trong đề thi 2013
PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH III Hà Nội - 2014 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng Dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng Chính nhờ phần lớn công học tập em ” 1945 Hồ Chí Minh PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Trong số mơn tốn đại cương dành cho sinh viên trường Đại học kĩ thuật, Giải tích III mơn học có nội dung kiến thức phong phú có nhiều ứng dụng thú vị Để tạo điều kiện cho sinh viên học tốt q trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến thức bản, dạng tốn quan trọng có minh hoạ đề thi cuối kỳ Các dạng toán thực hành có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho em sinh viên tự học, góp phần nâng cao hiệu giảng lớp Bài giảng cho nhiều ứng dụng thú vị Toán học sống Bài giảng in mặt, mặt lại dành cho sinh viên ghi chép điều cần thiết giảng lớp Đây tài liệu có ích cho em sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Mùa xuân năm 2014 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC Bài Chuỗi số, chuỗi số dương Bài Chuỗi với số hạng có dấu 11 Bài Chuỗi hàm số 15 Bài Chuỗi luỹ thừa 20 Bài Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier 28 Bài Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp 34 Bài Phương trình vi phân cấp 44 Bài Phương trình vi phân cấp hai khuyết 55 Bài Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi 62 Bài 10 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số số 66 Bài 11 Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân 71 Bài 12 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 77 Bài 13 Phép biến đổi toán giá trị ban đầu 84 Bài 14 Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 91 Bài 15 Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 96 Tài liệu tham khảo 106 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PH Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHU I BÀI CH NG I LÝ THUYẾT CHU I § Đại c ng chu i số Định nghĩa Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề: n 2 Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải? + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chu i số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an Định nghĩa: Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 chuỗi số, ký hiệu an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn S ta bảo chuỗi an S hội tụ, có tổng S viết: n 1 Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi Ví dụ Xét hội tụ tính Sn q q q n lim Sn , q 1 n 1 q Phân kỳ q qn 1 q , n 0 qn an phân kỳ n 1 n 0 n 1 1 q , q 1 1 q q Ví dụ Xét hội tụ tính n n 1 n 1 1 n PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 n 1 n n 1 n n 1 lim Sn lim 1 n n n 1 Sn n n 1 n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ n (Chuỗi điều hoà) Sn n n 1 1 1 Lấy n 2m 1 có 1 1 1 1 Sn m 1 m m 1 2 3 4 5 8 2 1 1 1 2m m 1 m 1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn n Chuỗi cho phân kỳ Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: Sn 1 n2 n 1 1 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 n 1 n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 n Sn tăng dương lim Sn S n n2 S n 1 an hội tụ nlim an (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Nhận xét: n 1 Chứng minh: Có an Sn Sn 1 ; lim an lim Sn Sn 1 n Nếu lim an khơng tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu khơng làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn n n 1 n 1 Ví dụ n 1 n n n phân kỳ n 1 n 1 lim Ví dụ 1 n 1 n 1 1 1 n Có lim 1 n 1 n =2k,k n =2k+1 Không tồn lim 1 1 n 1 n n n phân kỳ Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 1) n 1 Ví dụ n 1 n 1 n Tính chất Giả sử 2n 36 n n 1 (ĐS: (PK) an S1, bn S2, n 1 n 1 ( an bn ) an bn S1 S2 n 1 n 1 Định nghĩa Định nghĩa: Nhận xét an , n 1 n 1 §2 Chu i số d Các định lí so sánh an an hội tụ S n 1 ng n bị chặn Trong ta giả thiết xét chuỗi số dư ng Các định lí so sánh Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý từ lúc trở bn hội tụ an n 1 n 1 hội tụ an phân kỳ bn n 1 n 1 phân kỳ Chứng minh a1 a2 an b1 b2 bn Sn Tn Rút khẳng định Ví dụ 3n n 1 Ví dụ 3n 3n n 2 0 1 n ln n phân kỳ n n 2 3n hội tụ n 1 1 Chuỗi cho hội tụ Ví dụ a), n 1 ln n phân kỳ n 1 sin 2n n7 2n3 n 2 , ; (HTTĐ) a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n k n bn phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương an n bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n n bn Ví dụ 2n3 n 1 Chuỗi dương ln n n Chuỗi dương 3n n ln n n2 n 1 n 1 n 1 an bn : n 1 n 1 bn hội tụ an hội tụ an bn hội tụ n 1 bn phân kì an phân kì n 1 n 1 Chuỗi dương PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 2 1 n2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n2 lim : 1 n 2n 2n 2n n 1 hội tụ 2n3 hội tụ n 1 n2 Ví dụ np , p0 n 1 Khi p có n n p , n n p m 1 2 p 1 1 p p p p 1 m 1 4 2 4 p 2m 1 2m 1 p 1 p 1 am 1 , a p 1 1 a 1 a Dãy Sn bị chặn np n 1 2p 1 hội tụ KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p Ví dụ n 1 n3 Chuỗi dương 1 an ; bn 3/2 n n n 3/2 3 n a lim n n bn phân kỳ nên n n 1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m cho n 2m , có Sn S np n 1 p 2p 1 m 1 phân kỳ 2 m p 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo at e sin(kt ) s a thao.nguyenxuan@hust.edu.vn k k , sa (2.3) Ví dụ Tìm phép biến đổi Laplace ngược a) R (s ) s2 s 2s 8s s2 A B C R s s s s s s s s A(s 2)(s 4) Bs(s 4) Cs(s 2) Thay s , s 2 , s ta có 17 ,C 8 A 1, 12B , 24C 17 A ; B 12 24 1 17 R s , s 12 s 24 s 2t 17 4t L 1 R s e e 12 24 s 2s b) F s ( f t cos t sin t cos 2t sin 2t ) s 5s s 2s c) F s ( f t 2 cos t sin t cos 2t sin 2t ) s 3s Ví dụ Giải toán giá trị ban đầu y 4y y t ; y (0) y (0) Tác động phép biến đổi Laplace ta có s 2Y (s ) 4sY (s ) 4Y (s ) s A B C D E Y (s ) s (s 2)2 s s s s 2 s 1 Đồng hệ số ta có Y (s ) 2 s s 2 s2 s s y (t ) 3 t t te 2t e 2t 8 , k 17 , c đơn vị (mét, kilôgam, giây) x(t ) khoảng dịch chuyển khối lượng m từ vị trí cân Nếu khối lượng đặt vị trí x(0) , x '(0) Tìm x(t ) hàm dao động tự tắt dần Ví dụ Xét hệ lắc lị xo với m Hình 4.3.1 Hệ khối lượng-lị xo vật cản Ví dụ 92 PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ta có phương trình vi phân tương ứng với toán là: với điều kiện ban đầu x(0) ; x(0) 1 x x 17 x Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế, ý L 0 ta có s X (s ) 3s 1 sX (s ) 3 34 X (s ) 3s 19 s 3 X (s ) 2 s 6s 34 s 25 s 2 25 Sử dụng (2.2), (2.3) có x (t ) e 3t 3cos5t 2sin5t Hình 4.3.2 Hàm vị trí x(t ) Ví dụ Từ hình ta thấy đồ thị dao động tắt dần Ví dụ a) Xét hệ lắc lị xo - giảm xóc Ví dụ 3, nhiên với điều kiện x(0) x(0) với lực tác động bên F (t ) 15 sin2t Tìm chuyển động tức thời ổn định khối lượng Ta cần giải tốn với giá trị ban đầu x " x ' 34 x 30 sin2t ; x(0) x '(0) 60 Tác động phép biến đổi Laplace vào ta có s X (s ) 6sX (s ) 34 X (s ) s 4 60 As B Cs D X s 2 s (s 3) 25 s s 25 10 50 10 Đồng ta có A ,B , C D Vì vậy, 29 29 29 10s 50 10s 10 10s 25.2 10(s 3) 4.5 X s 2 29 s s 25 29 s s 25 Do x(t ) 2cos 2t sin 2t e 3t 5cos5t sin5t 29 29 b) x x x 0, x 0, x x +) s X s s 1 s X s 1 6sX s s2 1 +) X s s s 6s 15 s s s 93 1 2t 5L 1 L e 3t 6L e 2t L 6e e 3t 15 15 2t 6e e 3t +) x t 15 c) x x x 2, x x ( x t 1 2e2t e 4t t 2t d) x x x e t , x x ( x t 2e e 2cos 2t sin2t ) 10 e) x x 0, x x x x ( x t cosh t cos t ) , 4 3 f) x 13 x 36 x 0, x x 0, x 2, x 13 1 ( x t sin2t sin3t ) 4 g) x x x e2t , x x x x +) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo ( x t thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2t 2e 10t cos t 5t 14 sin t ) 50 h) x x 18 x cos 2t , x x 1 , 3t ( x t e 489cos3t 307 sin3t 7cos2t sin2t ) 510 170 4t i) x x 12x 0, x 0, x x ( x t e 3t e ) 21 14 1 4t 5t k) x x 20 x 0, x 0, x x ( x t e e ) 10 15 l) 1/ x x x 0, x x x 0, x 1 2t 2t ( sin t e e ) 20 20 2/ x x x 0, x x x 0, x 1 3t 3t ( sin t e e ) 10 60 60 m) 1/ x x x x sinh2t , x k 0, k 0, sinh 2t sin 2t sinh t sin t 20 15 sinh 2t sin 2t sinh t sin t x x sin2t , 20 15 Sự cộng h ởng vƠ nhơn tử tích lặp bậc hai Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức đơn giản trường hợp phân tích lặp bậc hai (nhận sử dụng kỹ thuật Ví dụ 5, Bài 13) 2/ x 6 4x 4 94 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 s t sin kt ; L 1 L 1 (sin kt kt cos kt ) 2 s k 2k s k 2k Ví dụ Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán với giá trị ban đầu x 0 x F0 sin t ; x(0) x(0) Tác động phép biến đổi Laplace vào có s X (s ) 0 X (s ) X (s) s F0 s2 0 Nếu 0 ta có X (s ) s F0 s2 2 1 , 0 tìm x t 02 s 02 s F0 F00 2 0 , x(t ) F0 202 sin 0t 0t cos 0t Hình 4.3.4 Nghiệm cộng hưởng (18) với 0 F0 1, với đường bao x C (t ) Ví dụ Giải toán với giá trị ban đầu y 2y " y 4te t ; y (0) y '(0) y "(0) y (3) (0) Có L y (t ) s 2Y (s ) , L y (t ) s 4Y (s ) , L tet Tác động phép biến đổi Laplace vào có Y (s ) (s 1)2 (s 1)2 A (s 1)2 s s 1 2s Y (s ) B Cs D E s F s s2 s 1 Dùng hệ số bất định có 2s 2s Y s s 12 s s 12 s Do y (t ) (t 2)et t 1 sin t 2cos t 95 s 12 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 96 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 15 §4 Đ o hàm, Tích phân, tích phép bi n đ i Tích chập hai hàm Vi phân phép biến đổi Tích phân phép biến đổi Mở đầu Phép biến đổi Laplace nghiệm phương trình vi phân đơi tích biến đổi hai hàm biết Chẳng hạn, xét toán với giá trị ban đầu x " x cos t ; x(0) x '(0) , Tác động phép biến đổi Laplace ta có: s s s X s sx x X s X (s ) L cos t L sin t s 1 s 1 s 1 s 1 Mặt khác ta có L cos t sin t L sin2t 2 s 22 s s 12 Do L cos t sin t L cos t L sin t Rõ ràng rằng, để giải tốn trên, ta cần tìm hàm h t cho L h t L cos t L sin t Tích chập hai hàm Định nghĩa Tích chập phép biến đổi Laplace hai hàm f , g liên tục khúc định nghĩa với sau: (f g )(t ) f ( )g (t )d , t t Tích chập giao hốn Ví dụ a) Tính cos t sin t Ta có cos t sin t cos sin(t )d t b) t e at Định lí t sin t sin(2 t ) d 1 1 1 sin t cos(2 t ) t sin t cos t cos t t sin t 2 2 0 ( eat at t c) t cos t ) a Giả sử f t , g t liên tục khúc với t ( t sin t ) f t , g t bị chặn Mect t , số M , c khơng âm Khi ta có L f (t ) g (t ) L f (t ).L g (t ) L Chứng minh Có G(s ) e su g (u )du e u t 96 1 F (s ).G(s ) f (t ) g (t ) g (t )dt s ( t ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Do G(s ) e s e st thao.nguyenxuan@hust.edu.vn g (t )dt Với g u u , có F (s )G(s ) G(s ) e f ( )d e s f ( )G(s )d es e st g (t )dt d e st f ( )g (t )dt d e f ( ) 0 00 Từ giả thiết cho đổi thứ tự lấy tích phân có t st st F (s )G(s ) e f ( )g (t )d dt e f ( )g (t )d dt 0 0 0 s s e st f (t ) g (t ) dt , Do F (s )G(s ) L f (t ) g (t ) Ví dụ a) Cho f t sin2t , g t e Tính L t Ta có L sin2t , L et s 1 s 1 s 1 s2 t 1 t t L sin2t e e sin2 d s 1 s e t e t e sin2 d e sin 2 2cos 2 0 t t e t e sin2t 2cos 2t 2 2 et sin2t cos 2t 5 1 b) L 1 ( 1 cos2t ) s s 4 t kt sin kt ( ) 2 k3 s s k 1 d) L 1 ( 1 e 2t 2sin t cos t ) s s 4s Vi phân phép bi n đ i c) L 1 97 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Giả sử f (t ) liên tục khúc với t , | f (t ) | Mect t , số (3.1) M , c khơng âm có L tf (t ) F '(s ), s c f (t ) L 1 F (s ) L t 1 F '(s ) (3.2) L t nf (t ) ( 1)n F (n ) (s ), n 1,2,3, Tổng quát ta có Chứng minh +) Từ giả thiết e st f t dt hội tụ tuyệt đối, 0 d e st f t dt +) Do F s ds +) e st tf t dt L tf t d st e f t dt ds (3.3) st e f t liên tục, s c s +) Ta chứng minh (3.3) phương pháp quy nạp toán học Thật vậy, n 1: ta có L tf t F s k Giả sử n k , tức có L t k f t 1 F k s Ta chứng minh với n k 1, d d k k 1 L t k 1f t L t t k f t L t k f t 1 F k s 1 F k 1 s ds ds Ví dụ a) Tìm L t sin kt Từ (3.3) ta có L t sin kt ( 1)2 d 2ks ds s k t cos 2t 6ks 2k 2 s2 k 2s 24s , s 0) s 3s 6s ( , s 0) s 12 s 2s b) L ( d2 k k d 2 ds s k ds s k c) d) tx t 2 x x 0, x 0, +) Tác động phép biến đổi Laplace sử dụng định lí ta có d d +) L tx L x sX s x , ds ds d d L tx L x s X s s x x ds ds 98 L te t sin2 t PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) Thay thao.nguyenxuan@hust.edu.vn vào phương trình ta có d d sX s 2sX s X s s X s x ds ds +) s s 1 X s 4sX s , phương trình vi phân phân li biến số, có nghiệm A ,A0 X s s 14 +) x t Ct 3e t , C e) tx 3t 1 x x f) tx t 1 x x ( x t Ct 2e 3t , C ) ( x t C 1 t e 2t te 2t , C ) g) 1/ tx t 1 x x x 2/ tx t x x x h) tx (3t 1) x x x(0) ( x t ct 3e t , c ) 1 tan s 1 Do đạo hàm tan1 hàm hữu tỉ, từ (3.2) ta có s 1 d L 1 tan1 L 1 tan1 t s s ds Ví dụ a) Tìm L 1/ s L t 1 (1/ s ) sin t L 1 tan1 t s L t 1 1 , ( x t ct 2e t , c ) 1 ( sin t ) t s 1 1 s2 cos 2t cos t b) L ln ( ) t s 4 e 2t sin3t ( ) t Tích phân phép bi n đ i 1 c) L 1 tan1 s2 f t , | f (t ) | Mect t 0 t Định lí Cho f (t ) liên tục khúc t , lim f (t ) t , số M , c khơng âm có L F ( )d , s c t s f (t ) L 1 F (s ) t L Chứng minh 99 F ( )d (4.2) s 1 (4.1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) Từ giả thiết +) Ta có e st thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f t dt hội tụ tuyệt đối đều, s c F d e t f t dt d s s0 +) Từ đổi thứ tự tích phân ta có +) e st F d e 0s s f t f t dt L t t t sinht Ví dụ a) Tìm L t sinh t cosh t Ta có lim lim 1 t t 0 t 0 d sinh t L L sinh t d 1 t s s 1 1 s 1 ln d ln 1 1 s s s sinh t s 1 ln s 1 t 1 cos2t b) L ( ln s ln s, s ) t L et e t c) L t Ví dụ a) Tìm L Từ (4.2) có L 1 ( ln s 1 ln s 1 , s 1) 2s s 1 1 2 tL 2 s 1 2s 2 d 2 s 1 1 1 tL t L t sinh t s 1 1s f t t sinh t thoả mãn định lí 1 100 t e f t d dt t s f t dt L PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t sinh t 2 s 1 1 b) L 2s 1 3 s 1 s ( 1 t sin t t cos t ) Phép bi n đ i hàm liên tục khúc a) Đặt vấn đề Các mơ hình tốn học hệ học hay hệ điện thường liên quan đến hàm khơng liên tục tương ứng với lực bên ngồi bất ngờ đảo chiều bật hay tắt Hàm đơn giản bật, tắt hàm bậc thang đơn vị t a (hàm Heaviside) 0 ua t u(t a ) 1 t a t a có đồ thị sau Hình 4.5.1 Đồ thị hàm đơn vị bậc thang b) Phép tịnh ti n trục t Định lí Nếu L {f (t )} tồn với s c , có (2.1) (2.2) L 1 e L u(t a)f (t a) e asF (s ) e asL f as F (s ) u(t a )f (t a ) u(t a )L 1 F (t a ), s c a Hình 4.5.2 Tịnh tiến f t phía phải a đơn vị 101 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Chứng minh +) Ta có e as thao.nguyenxuan@hust.edu.vn F s e s a f d +) Đổi biến t a , ta có e as F s e st f t a dt t a 0, +) Do u t a f t a , nên có f t a , t a a e as F s e st u t a f t a dt L u t a f t a Ví dụ Cho f (t ) t Tính L Từ (2.2) có L 0 1 (t a ) 1 e 1 e s as u t a L s t a as 1 t a u t a t a s 1 t a Hình 4.5.3 Đồ thị biến đổi ngược Ví dụ 0 t Ví dụ Cho g (t ) Tìm L g t t t Do g t t nên có f (t ) (t 3)2 F (s ) L t 6t s s s 9 Từ định lí có L g (t ) L u(t 3)f (t 3) e 3s F (s ) e 3s s s s cos 2t Ví dụ a) Tìm L f (t ) f (t ) 0 102 t 2 t 2 f (t ) 1 u t 2 cos 2t cos 2t u(t 2 )cos t 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Từ định lí có L f (t ) L cos2t e 2 s L cos 2t s(1 e 2 s ) s2 1, t e s e 4s b) f t ( F s ) s 0, t t 2s s s e (F ) s2 cos t , t c) f t t 2 0, t , t d) f t 1, t 1 e ( F s s2 s ) Ví dụ Một vật nặng 32 lb gắn tự vào lò xo bị căng ft lực lb Khối lượng ban đầu vị trí cân Bắt đầu thời điểm t (lần thứ hai), lực bên f (t ) cos2t tác động vào vật Tuy nhiên thời điểm t 2 lực bị (đột ngột không liên tục) Sau vật lại tiếp tục chuyển động cách tự Tìm hàm vị trí x(t ) vật cho Chuyển toán giá trị ban đầu x " x f (t ) ; x(0) x '(0) cos2t , t 2 f t t 2 0, Tác động (s 4) X (s ) F (s ) X (s ) s s 4 phép biến s(1 e 2 s ) e Laplace vào s2 s 2 s 4 t 2 u (t 2 ) L sin 2(t 2 ) s 4 s 2 s s 1 L 1 e Từ ta có x t L 2 s2 x 4 2 s s vế ta có s L 1 s2 Do 1 e hai , s đổi t sin2t ; 2 t 2 t sin 2t u(t 2 ) sin2(t 2 ) t u(t 2 ).(t 2 ) sin 2t 4 103 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 t 2 , t sin2t, x (t ) sin2t, t 2 2 Ta thấy, vật dao động với tần số với biên độ tăng tuyến tính đến lực bỏ thời điểm t 2 Sau đó, vật tiếp tục chuyển động với tần số với biên độ dao động Lực F (t ) cos2t tiếp tục cộng hưởng, nhiên ta thấy bị biến thời điểm khơng cịn tác động Ví dụ Giải tốn giá trị ban đầu mx cx kx f t , x x 1, t a) m k 4, c 5, f t , 0, t 1 ( x t g t u t 2 g t 2 , g t 4e t e 4t ) 12 t, t b) m 1, k 1, c 0, f t 0, t ( x t g t u t 1 g t 1 h t 1 , g t t sin t, h t cos t ) , 1 t c) 1/ x x f t , x x , f t 0, t ( x t 1 u t 1 u t cos3t ) 1, t 2/ x 16 x f t , x x , f t 0, t 1 u t 1 cos t ) ( x t 16 t 1 1 , x(0) x(0) d) x x f (t ), f (t ) 0 f t t 1 B NG L f t s L f t s a eat f t u t a f t a e asL f t s , a n 1n d L f t s ds n L f t s L g t s t f t n f g t 104 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo f t t f n L f t d s nL f t s s n 1f s n 2f f s t f d B NG F s F s F s F s a n 1 L f t s s t thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 0 L 1 F s t L 1 F s t t tL d t F s 1 F s t u t a L 1 F s t a eat L e asF s 1 L 1F s L 1G s t F s G s L F s s t 1 F s d Thank you and good bye! 105 THE END ... tạo điều kiện cho sinh viên học tốt trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến... PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 2 1 n? ?2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n? ?2 lim : 1 n 2n 2n 2n n 1 hội tụ 2n3 hội tụ n 1 n? ?2 Ví dụ... bát bán cầu dy (8y – y2) ( ) 2. 32y ; dt 24 16 3 /2 5 /2 (8 y 1 /2 y 3 /2 )dy dt ; y y t C 72 72 16 3 /2 5 /2 448 4 Do y(0) = 4, ta có C 15 448 21 50 (s ); tức khoảng 35