Tài liệu chuẩn cho SV năm nhất đại học Bách khoa Hà Nội. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 BÀI TẬP GIẢI TÍCH Kiểm tra kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ Thi cuối kỳ : Tự luận CHƯƠNG Hình học vi phân Ứng dụng hình học phẳng Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong: a) y x3 x x điểm (2;5) b) y e1 x giao điểm đường cong với đường thẳng y 1 t x t c) điểm A(2;2) y 2t 2t x3 y3 d) điểm M (8;1) Tính độ cong của: a) y x3 điểm có hồnh độ x x a (t sin t ) b) y a (1 cos t ) c) x3 y3 a3 (a 0) điểm điểm ( x, y ) (a 0) d) r aeb , (a, b 0) điểm Tìm hình bao họ đường cong sau: x a) y c b) cx c y c Ứng dụng hình học khơng gian c) y c ( x c)2 Giả sử p (t ) , q (t ) , (t ) hàm khả vi Chứng minh rằng: d d p (t ) d q (t ) a) p(t ) q(t ) dt dt dt d dp(t ) ( (t ) p (t )) (t ) ' (t ) p(t ) b) dt dt d q (t ) d p (t ) d c) p(t )q(t ) p(t ) q(t ) dt dt dt Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 d d q (t ) d p (t ) d) p(t ) q(t ) p(t ) q(t ) dt dt dt Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: x a sin t a) y b sin t cos t điểm ứng với t , (a, b, c 0) z c cos t et sin t x b) y điểm ứng với t t z e cos t Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong: a) x y z điểm (2;2;3) b) z x y điểm (2;1;12) c) z ln(2 x y ) điểm (1;3;0) Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: x y 10 a) điểm A(1;3;4) 2 y z 25 x y z 47 b) điểm B (2;1;6) 2 x y z CHƯƠNG Tích phân bội Tích phân kép Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau a) dx 1 x f ( x, y )dy 1 1 y b) dy 1 1 x 2 2x c) dx x x f ( x, y )dy d) dy f ( x, y )dx 2 y 1 y f ( x, y )dx sin y e) Tính tích phân sau a) x sin( x y )dxdy với D Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội b) x Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 ( y x)dxdy với D miền giới hạn đường cong x y D yx c) | x y | dxdy với D d) | y x |dxdy , với D e) | y x | dxdy , với D f) xydxdy với D giới hạn đường x y ; x 1; y y D | x | | y | dxdy g) | x|| y| 1 h) ( x y)dxdy với D giới hạn đường x y 1; x y D Tìm cận lấy tích phân tọa độ cực f ( x, y)dxdy D D miền xác định sau: a) b) c) Dùng phép đổi biến tọa độ cực, tính tích phân sau R R x2 a) dx 0 ln(1 x y ) dy , ( R 0) R Rx x b) dx Rx x c) Rx x y dy , ( R 0) xydxdy , với D 1) D mặt tròn ( x 2) y 2) D nửa mặt tròn ( x 2) y , y d) xy dxdy , với D miền giới hạn đường tròn x ( y 1) D x y2 4y Chuyển tích phân sau theo hai biến u v : x u x y a) dx f ( x, y )dy , đặt v x y b) Áp dụng tính với f ( x, y ) (2 x y ) x Tính tích phân sau Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 4 y x y y dxdy a) , D : 2 (x y ) x y 3x D b) D 1 x2 y2 dxdy , D : x y 1 x2 y2 x y 12 2 xy x y x c) dxdy , D : 2 x y2 D x y y x 0, y x2 y2 d) | x y | dxdy , D : D 1 xy e) (4 x y )dxdy , D : x y x D 2 Tích phân bội Tính tích phân bội ba sau zdxdydz , miền V xác định bởi: x V , x y 2x , z x2 y ( x y )dxdydz , V xác định bởi: x2 y z 1, V x y2 z2 ( x y ) zdxdydz , V xác định bởi: x y , z V z x y dxdydz , V a) V miền giới hạn mặt trụ: x y x mặt phẳng: y , z , z a , (a 0) b) V nửa hình cầu x y z a , z , (a 0) c) V nửa khối elipxôit ydxdydz , V x2 y a2 z2 b2 , z , (a, b 0) miền giới hạn mặt nón: y x z mặt V phẳng y h , (h 0) Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội x2 a2 V y2 b2 z2 c2 Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 x2 dxdydz , V miền giới hạn a y2 b2 z2 c2 1, (a, b, c 0) ( x y z )dxdydz , V : x y z , x y z V x y dxdydz , V miền xác định x y z , z V ( x D 10 dxdydz , V : x y , | z | 2 y ( z 2) ) x y z dxdydz , V miền giới hạn x y z z V Ứng dụng tích phân bội Tính diện tích miền D giới hạn đường y x , y 2 x , y Tính diện tích miền D giới hạn đường y2 x , y 2x , x2 y , x2 y Tính diện tích miền D giới hạn y , y 4ax , x y 3a , y , (a 0) Tính diện tích miền D giới hạn 2x x y 4x , y x Tính diện tích miền D giới hạn đường tròn r ; r cos Tính diện tích miền D giới hạn đường a) ( x y )2 2a xy , (a 0) b) x3 y axy , (a 0) c) r a (1 cos ) , (a 0) Chứng minh diện tích miền D giới hạn x ( x y )2 khơng đổi Tính thể tích miền giới hạn mặt 3x y , 3x y , y , z x y Tính thể tích miền giới hạn mặt z x y , z x y 10 Tính thể tích miền giới hạn z x y , y x , y x 11 Tính thể tích miền V giới hạn mặt cầu x y z 4a mặt trụ x y 2ay , y , (a 0) Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 12 Tính thể tích miền giới hạn mặt z , z x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 , 2x , (a, b 0) a 13 Tính thể tích miền giới hạn mặt az x y , z x y , (a 0) CHƯƠNG Tích phân phụ thuộc tham số 1 Khảo sát liên tục tích phân I ( y ) yf ( x ) x2 y dx với f ( x) hàm số dương, liên tục đoạn [0,1] Tính tích phân sau a) n x ln x dx , n số nguyên dương b) ln(1 y sin x )dx , với y 1 1 y Tìm lim y 0 y dx x2 y2 y2 x2 Xét tính liên tục hàm số I ( y ) ( x y )2 dx Chứng minh tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) arctan( x y ) dx x2 hàm số liên tục, khả vi biến y Tính I '( y) suy biểu thức I ( y) Tính tích phân sau b x xa a) dx , (0 a b) ln x x c) e e x x2 x b) e dx , ( 0, 0) d) dx ( x y)n 1 e x dx , ( 0, 0) x Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội e) e ax Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 sin(bx) sin(cx ) dx , (a, b, c 0) f) x e x cos( yx)dx Biểu thị sin m x cos n xdx qua hàm B (m, n) , (m, n ; m, n 1) Tính tích phân sau a) sin c) x cos xdx 10 x x f) a e b) x dx d) 2n a x dx , (a 0) , (Gợi ý đặt x a t ) x (1 x )2 dx e) x n 1 (1 x n )2 dx , n g) x3 dx * n x n dx , (n ) CHƯƠNG Tích phân đường Tích phân đường loại Tính tích phân sau: ( x y )ds , C đường tròn x y x C x a (t sin t ) y 2ds , C đường có phương trình (0 t 2 , a 0) y a (1 cos t ) C x a (cos t t sin t ) x y ds , C đường cong (0 t 2 , a 0) y a (sin t t cos t ) C Tính phân đường loại Tính tích phân sau: ( x xy )dx (2 xy y )dy , AB cung parabol y x từ AB A(1;1) đến B (2;4) x a (t sin t ) (2 x y )dx xdy , C đường cong theo chiều y a (1 cos t ) C tăng t , (0 t 2 , a 0) Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội 2( x y )dx x(4 y 3)dy , ABCA đường gấp khúc qua Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 ABCA A(0;0) , B (1;1) , C (0;2) dx dy , ABCDA đường gấp khúc qua A(1;0) , B (0;1) , | x|| y| ABCDA C (1;0) , D (0; 1) x y dx dy , C đường cong C x t sin t theo chiều tăng y t cos t 2 t Tính tích phân sau ( xy x y)dx ( xy x y)dy C hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ cơng thức Green so sánh kết quả, với C đường: a) x y R b) x y x c) x2 a2 b2 y2 x2 y x x , (a, b 0) x y x y dy y x dx 4 4 e [(1 cos y )dx ( y sin y )dy ] , OABO đường gấp khúc OABO qua O(0;0) , A(1;1) , B (0;2) ( xy e x sin x x y )dx ( xy e y x sin y )dy x2 y x x3 10 ( xy x y cos( xy ))dx ( xy x x cos( xy ))dy , C C x a cos t đường cong (a 0) y a sin t 11 Dùng tích phân đường loại tính diện tích miền giới hạn nhịp xycloit: x a (t sin t ) ; y a (1 cos t ) trục Ox, (a 0) (3;0) 12 ( x xy )dx (6 x y y )dy ( 2;1) Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (2;2 ) 13 (1 (1; ) Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 y2 y y y y cos )dx (sin cos ) dy x x x x x2 14 Tìm số để tích phân sau không phụ thuộc vào đường miền xác định (1 y )dx (1 x )dy (1 xy ) AB 15 Tìm số a , b để biểu thức ( y axy y sin( xy))dx ( x bxy x sin( xy))dy vi phân toàn phần hàm số u ( x, y ) Hãy tìm hàm số u ( x, y ) 16 Tìm hàm số h( x) để tích phân h( x)[(1 xy)dx ( xy x )dy ] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h( x) vừa tìm được, tính tích phân từ A(0;0) đến B (1;2) 17 Tìm hàm số h( y ) để tích phân h( y )[ y(2 x y )dx x (2 x y )dy ] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h( y ) vừa tìm được, tính tích phân từ A(0;1) đến B(3;2) 18 Tìm hàm số h( xy ) để tích phân h( xy)[( y x y )dx ( x x y )dy ] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h( xy ) vừa tìm được, tính tích phân từ A(1;1) đến B (2;3) CHƯƠNG Tích phân mặt Tính tích phân mặt loại sau ( z x S ( x x y z 4y ) dS , S {( x, y, z ) : 1, x 0, y 0, z 0} y )dS , S {( x, y , z ) : z x y ,0 z 1} S Tính tích phân mặt loại sau Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội z( x Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 y )dxdy , S nửa mặt cầu: x y z , z , hướng S S phía ngồi mặt cầu ydzdx z 2dxdy , S phía ngồi mặt elipxoit: S y2 z 1, x , y , z x y zdxdy , S mặt nửa mặt cầu: x y z R , x2 S z xdydz ydzdx zdxdy , S phía ngồi mặt cầu: S x y2 z a2 3 x dydz y dzdx z dxdy , S phía ngồi mặt cầu: S x y2 z2 R2 y zdxdy xzdydz x ydzdx , S phía miền: x , S y , x y , z x2 y xdydz ydzdx zdxdy , S phía ngồi miền: S ( z 1) x y , a z 10 Gọi S phần mặt cầu x y z nằm mặt trụ x x z , y , hướng S phía ngồi mặt cầu Chứng minh rằng: ( x y )dxdy ( y z)dydz ( z x)dzdx S 10 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 CHƯƠNG Lý thuyết trường Tính đạo hàm theo hướng l hàm u x3 y 3z điểm A(2;0;1) với l AB , B (1;2; 1) Tính mơđun grad u , với u x3 y z 3xyz A(2;1;1) Khi grad u vng góc với Oz , grad u ? Tính grad u , với u r ln r , r x y z r Theo hướng biến thiên hàm số u x sin z y cos z từ gốc O (0;0;0) lớn nhất? Tính góc hai vectơ grad z hàm số z x y z x y 3xy (3;4) Trong trường sau đây, trường trường thế: 2 a) a 5( x xy )i (3x y ) j k b) a yzi xzj xyk c) a ( x y )i ( x z ) j ( z y )k Cho F xz 2i yx j zy 2k Tính thơng lượng F qua mặt cầu S : x y z , hướng Cho F x( y z )i y ( z x) j z ( x y )k , L giao tuyến mặt trụ x y y nửa mặt cầu x y z , z Chứng minh lưu số F dọc theo L 11 ... y z)dydz ( z x)dzdx S 10 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 CHƯƠNG Lý thuyết trường Tính đạo hàm theo hướng l hàm u x3 y 3z điểm A(2;0;1) ... x Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội e) e ax Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 sin(bx) sin(cx ) dx , (a, b, c 0) f) x e x cos( yx)dx Biểu thị sin m x cos n xdx qua hàm B (m,... S {( x, y , z ) : z x y ,0 z 1} S Tính tích phân mặt loại sau Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội z( x Viện Toán ứng dụng Tin học - 2014 y )dxdy , S nửa mặt cầu: x y z , z