Bài giảng Giải tích 3 TS. Bùi Xuân Diệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH III (lưu hành nội bộ) CHUỖI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ L APLACE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội - 2017 (bản cập nhật Ngày 28 tháng năm 2017) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Hà Nội, Ngày 28 tháng năm 2017 MỤC Mục lục LỤC Chương Chuỗi (11LT+11BT) 5 Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn tích phân 2.2 Các tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert 2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 2.5 Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy 2.6 Bài tập ôn tập Chuỗi số với số hạng có dấu 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 3.2 Chuỗi đan dấu 3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ 3.4 Phép nhân chuỗi 3.5 Khi dùng tiêu chuẩn nào? 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ khơng phải chuỗi đan dấu 3.7 Bài tập ôn tập Chuỗi hàm số 4.1 Chuỗi hàm số hội tụ 4.2 Chuỗi hàm số hội tụ 4.3 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ 4.4 Một số ý chuỗi hàm 4.5 Bài tập ôn tập Chuỗi lũy thừa 5.1 Các tính chất chuỗi lũy thừa 5.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 9 11 17 19 21 23 26 26 28 29 31 33 35 37 43 43 44 46 51 51 53 56 58 MỤC LỤC 5.3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp 5.4 Ứng dụng chuỗi lũy thừa 5.5 Bài tập ôn tập Chuỗi Fourier 6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier 6.2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 6.3 Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ 6.4 Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ 6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] 6.6 Bài tập ơn tập Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) 60 65 65 70 70 71 75 78 80 82 85 Các khái niệm mở đầu Phương trình vi phân cấp 2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 2.2 Các phương trình khuyết 2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly 2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 2.5 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính 2.7 Phương trình Bernoulli 2.8 Phương trình vi phân tồn phần 2.9 Thừa số tích phân 2.10 Bài tập ôn tập Phương trình vi phân cấp hai 3.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 3.2 Các phương trình khuyết 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 3.5 PTVP tuyến tính đưa PTVP tuyến tính với hệ số 3.6 Phương trình Euler 3.7 Phương trình Chebysev 3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ số 3.9 Bài tập ôn tập Đại cương hệ phương trình vi phân cấp 4.1 Các loại nghiệm hệ PTVP 4.2 Mối liên hệ PTVP cấp n hệ n PTVP cấp Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 87 88 88 89 90 91 91 92 94 95 96 98 99 99 99 101 108 112 113 114 114 115 117 117 119 120 MỤC LỤC 5.1 Hệ PTVP TT cấp 5.2 Hệ PTVP TT cấp không 5.3 PP biến thiên số giải hệ PTVP TT cấp Hệ PTVP TT với hệ số số 6.1 Phương pháp đặc trưng 6.2 Phương pháp khử 6.3 Bài tập ôn tập Chương Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + BT) 120 122 123 125 125 127 129 131 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo Phép biến đổi toán với giá trị ban đầu 2.1 Phép biến đổi đạo hàm, nghiệm toán giá trị ban đầu 2.2 Phép biến đổi Laplace hàm số f (t) có dạng f (t) = tg(t) 2.3 Phép biến đổi Laplace tích phân Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 3.1 Phép tịnh tiến 3.2 Phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 4.1 Tích chập - Phép biến đổi Laplace tích chập 4.2 Vi phân phép biến đổi 4.3 Tích phân phép biến đổi 4.4 Phép biến đổi Laplace hàm Heaviside tịnh tiến trục 4.5 Bài toán giá trị ban đầu PTVP có hệ số hàm số 131 132 135 137 137 139 140 141 141 142 146 146 148 149 150 152 Phụ lục 155 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 155 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 163 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy 167 lim an+1 n→+∞ an lim n→+∞ √ n = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn d’Alembert 167 an = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn Cauchy 170 MỤC LỤC CHƯƠNG CHUỖI (11LT+11BT) §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ Định nghĩa 1.1 Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn a + a2 + · · · + an + · · · gọi chuỗi số kí hiệu ∞ an , an gọi số hạng tổng quát n=1 Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n i) Nếu dãy số {Sn } hội tụ lim Sn = S tồn tại, ta nói chuỗi số n→∞ có tổng S viết ∞ ∞ an hội tụ n=1 an = S n=1 ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số ∞ an phân kỳ n=1 Ví dụ 1.1 Hãy xét ví dụ trực quan chuỗi số sau Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Chia đơi khoảng ta hai khoảng [0, 1/2] (1/2, 1], khoảng có độ dài 1/2 Sau ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], ta hai khoảng, khoảng có độ dài 1/4 Tiếp tục kéo dài trình ta chuỗi số sau: 1 1 = + + ··· + n + ··· Ví dụ 1.2 Xét chuỗi số sau: + + ··· + n + ··· Chương Chuỗi (11LT+11BT) Chuỗi số có tổng riêng thứ n n(n + 1)/2 nên tiến vô n tiến vơ Nói cách khác, chuỗi số phân kỳ Ví dụ 1.3 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi cấp số nhân ∞ aq n = a + aq + n=0 aq + · · · Ta có    S Do Sn = a 1−q 1−q (q = 1) n n   qSn = a + aq + · · · + aq n−1 = aq + aq + · · · + aq n lim Sn = n→∞     |q| < a 1−q   ∞ |q| > • Trường hợp q = dễ thấy chuỗi số cho phân kỳ có tổng riêng thứ n an    0, n chẵn, nên không tồn lim Sn • Trường hợp q = −1 ta có Sn = n→+∞   a, n lẻ Kết luận: chuỗi cấp số nhân cho hội tụ có tổng |q| ≥ a 1−q |q| < phân kỳ Ví dụ 1.4 Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 dạng phân số 2.317 = 2.3 + 17 17 17 + + + ··· 10 10 10 Sau số hạng chuỗi cho cấp số nhân với a = 2.317 = 17 103 1− 102 = = n − n+1 ∞ n=1 Ta có n(n+1) 1 + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 − − − + + ··· = 2 n n+1 =1− n+1 Sn = Do lim Sn = n→+∞ q = 102 Do 1147 495 Ví dụ 1.5 Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính n(n+1) 17 103 Trước hết ta phân tích Đại cương chuỗi số Định lý 1.1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ Nếu chuỗi số an hội tụ, lim an = n→+∞ n=1 Chứng minh Đặt Sn = a1 + a2 + · · · + an , ta có an = Sn − Sn−1 Vì ∞ an hội tụ nên dãy số n=1 {Sn }∞ n=1 hội tụ Đặt lim Sn = S Vì n − → ∞ n → ∞ nên lim Sn−1 = S Do n→+∞ n→+∞ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ Chú ý 1.1 Mệnh đề đảo Định lý 1.1 khơng Chẳng hạn chuỗi điều hịa sau ∞ n=1 n có lim n→+∞ n đây) → n → ∞, chuỗi phân kỳ (Xem Ví dụ 2.1 Định lý 1.1 cho điều kiện đủ để kiểm tra chuỗi phân kỳ Cụ thể, lim an khơng tồn lim an = chuỗi cho phân kỳ Chẳng n→+∞ hạn chuỗi số sau n→+∞ ∞ n=1 n 2n+1 có lim n n→+∞ 2n+1 = nên chuỗi cho phân kỳ Tuy nhiên lưu ý lim an = chưa có kết luận tính hội tụ chuỗi ∞ n→+∞ an n=1 Thay đổi số số hạng chuỗi khơng làm ảnh hưởng đến tính hội tụ hay phân kì chuỗi số Chẳng hạn hai chuỗi số +∞ n ln + n=1 an n=1 có tính chất hội tụ phân kỳ Ví dụ 1.1 Chuỗi ∞ ∞ an n=2016 phân kì n → ∞ n un = n ln + →1 n Ví dụ 1.2 (Giữa kì, K61) Xét hội tụ chuỗi số a) ∞ (−1)n−1 cos n1 b) n=1 ∞ (−1)n−1 cos n2 n=1 Định lý 1.2 (Các phép toán chuỗi số hội tụ) Nếu hội tụ, chuỗi số ∞ ∞ an n=1 (αan + βbn ) chuỗi số hội tụ n=1 ∞ (αan + βbn ) = α ∞ n=1 n=1 an + β ∞ n=1 bn ∞ n=1 bn chuỗi số Chương Chuỗi (11LT+11BT) Bài tập 1.1 Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính ∞ n=1 2016 n(n+1) + 2017 2n Bài tập 1.2 Xác định xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ, tính tổng chúng (a) (b) ∞ n=2 n2 −1 (c) n ln n+1 (d) ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ (e) en n3 ∞ n=1 (f) n2 +1 2n2 +3 ln n=1 ∞ n=2 n 1+( 32 ) n3 −n [Gợi ý] (a) Tách n2 −1 = n−1 − n+1 n (b) Tách ln n+1 = ln n − ln(n + 1) (c) Chứng minh lim en n→∞ n = ∞ (bằng cách chuyển qua giới hạn hàm số lim ex n→∞ x Chuỗi cho phân kì = ∞) (d) Chứng minh lim an = ln 21 Chuỗi cho phân kì n→∞ (e) Chứng minh lim an = Chuỗi cho phân kì n→∞ (f) Tách n3 −n = (n−1)n(n+1) = (n−1)n − n(n+1) Bài tập 1.3 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi sau (a) (b) 1.2.3 + (c) 225 + + + 2.3.4 22 + 32 + ··· + 2n + 3n + ··· + ··· + ··· + n (2n−1)2 (2n+1)2 + ··· [Gợi ý] (a) Viết chuỗi số cho thành tổng hai chuỗi cấp số nhân (hội tụ) ∞ n=1 (b) Tách n(n+1)(n+2) (c) Tách n (2n−1)2 (2n+1)2 = = n(n+1) − (2n−1)2 (n+1)(n+2) (2n+1)2 − 2n + ∞ n=1 3n Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 157 Ví dụ 0.1 Quay trở lại ví dụ nêu trên, muốn sử dụng tiêu chuẩn so sánh hai chuỗi ∞ ∞ n √ √ (−1)n (−1)n + n5 + n3 n + n n=1 n=1 cần phải chứng minh thêm √ √ n 1 1 + n3 + n5 + n3 √ √ = + f (n) := : + = + n + n + n + n3 n3 n3 n n2 dãy số đơn điệu Chứng minh điều khơng khó, dãy số đơn điệu giảm n3 , n2 , 1 n2 Một cách tổng quát ta có kết sau Ví dụ 0.2 (Xem [3]) Chứng minh chuỗi số ∞ n=1 (−1)n f (n) nα i) bán hội tụ < α ≤ 1, ii) hội tụ tuyệt đối α > với f (x) = P (x) Q(x) hàm phân thức hữu tỉ cho lim f (x) = c = x→∞ Chứng minh Ta có f ′ (x) = P ′ (x)Q(x) − P (x)Q′ (x) Q2 (x) Do P ′ (x)Q(x) − P (x)Q′ (x) đa thức có bậc hữu hạn, nên có hữu hạn nghiệm Điều có nghĩa với x đủ lớn f ′ (x) khơng đổi dấu Hệ {f (n)}+∞ n=n0 dãy số đơn điệu với n0 ≥ Áp dụng tiêu chuẩn so sánh mở rộng với hai chuỗi số ∞ n=1 (−1)n f (n) nα ∞ n=1 (−1)n nα ta có điều phải chứng minh Bài tập 0.1 Chứng minh chuỗi số ∞ (−1)n sin n=1 bán hội tụ với f (x) = P (x) Q(x) nα f (n), 0 1, bất đẳng thức (1.1) ln thỏa mãn với n ≥ n0 đó, lim [(n + 1)γ − nγ ] = +∞ n→+∞ Như vậy, γ > theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi cho hội tụ Thậm chí, cịn hội tụ tuyệt đối Thật vậy, từ bất đẳng thức | ln(1 + x)| ≤ 2|x| với x đủ nhỏ ta có < ln + (−1)n nγ Theo tiêu chuẩn so sánh thông thường, chuỗi < ∞ nγ bn hội tụ tuyệt đối n=1 • Nếu γ = bất đẳng thức (1.1) trở thành n ≤ n + + (−1)n+1 ⇔ −1 ≤ (−1)n+1 ln với n Theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi ∞ bn hội tụ n=1 • Nếu < γ < 1, bất đẳng thức (1.1) khơng cịn n chẵn đủ lớn, trở thành nγ ≤ (n + 1)γ − ⇔ ≤ (n + 1)γ − nγ Tuy nhiên, lim [(n + 1)γ − nγ ] = lim nγ n→+∞ n→+∞ 1+ n γ − = lim nγ n→+∞ γ = lim 1−γ = n n→+∞ n Tóm lại, sử dụng tiêu chuẩn Leibniz để xét hội tụ chuỗi đan dấu ∞ n=1 bn trường hợp < γ < Vậy phải xử lý trường hợp này? Từ khai triển Maclaurin hàm số ln(1 + x) ta có x− 3x2 x2 ≤ ln(1 + x) ≤ x − 4 với x lân cận đủ nhỏ Vì vậy, với x = (−1)n (−1)n − ≤ ln + nγ 4n2γ nγ an bn (−1)n nγ ≤ ta có (−1)n − 2γ γ n 4n cn với n đủ lớn • Nếu < γ < chuỗi ∞ n=1 an ∞ n=1 cn hội tụ nên chuỗi ∞ n=1 bn hội tụ 160 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số • Nếu < γ ≤ ∞ chuỗi phân kì có tổng ∞ n=1 cn phân kì có tổng n=1 ∞ n=1 cn = −∞ nên chuỗi ∞ bn n=1 bn = −∞ Định lý 0.4 (Xem [4, p.207]) Cho ∞ an chuỗi số hội tụ f (x) hàm số nhận n=1 giá trị thực cho lân cận 0, f (x) = αx + βx2k + o(x2k ), ∞ Khi chuỗi f (an ) hội tụ n=1 ∞ β = 0, k ∈ N (an )2k hội tụ n=1 Chú ý 1.1 Trường hợp khai triển Maclaurin hàm số f (x) kết thúc với lũy thừa lẻ x, nghĩa là, f (x) = αx + βx2k+1 + o(x2k+1 ), β = 0, k ∈ N, kết định lý khơng cịn Cụ thể, i) ∞ ∞ (an )2k+1 hội tụ ⇒ n=1 ii) ∞ n=1 iii) ∞ n=1 ∞ f (an ) hội tụ ⇒ f (an ) hội tụ n=1 (an )2k+1 hội tụ n=1 ∞ f (an ) hội tụ ⇒ |an |2k+1 hội tụ n=1 Ví dụ 0.1 (Phản ví dụ cho Chú ý 1.1 phần i), Xem [4, Example 4, p.209]) Xét chuỗi số ∞ an , an = n=1 • chuỗi ∞ (an )2k+1 = n=1 n=1 • Chuỗi ∞ ∞ ∞ f (an ) = n=1 n=1 (−1)n √ 4n (−1)n √ n (−1)n √ 4n f (x) = x + x3 + x4 Khi đó, k = hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz, + (−1)n √ n + (−1)n n phân kì Ví dụ 0.2 (Phản ví dụ cho Chú ý 1.1 phần ii), Xem [4, Example 5, p.209]) Xét chuỗi số ∞ an , n=1 (−1)k + √ , a2k = √ 2k 2k hàm số f (x) = x + x3 − x4 Khi đó, phân kì ∞ n=1 an a2k+1 = − √ , 2k ∞ n=1 f (an ) hội tụ, ∞ n=1 a3n ∞ n=1 a4n Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 161 Ví dụ 0.3 (Phản ví dụ cho Chú ý 1.1 phần iii), Xem [4, Example 6, p.210]) ∞ Xét chuỗi số an , an = n=1 (−1)n ln n hàm số f (x) = sin x = x − Khi kì ∞ (−1)n ln n sin n=1 x3 + o(x3 ) hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz, ∞ n=1 (−1)n ln n = ∞ n=1 ln3 n phân Tuy Định lý 0.4 mở rộng cho trường hợp hàm f (x) có khai triển Maclaurin kết thúc với lũy thừa lẻ x, ta có kết sau Định lý 0.5 (Xem [4, p.208]) Cho f (x) hàm số nhận giá trị thực cho lân cận 0, f (x) = αx + βx2k+1 + o(x2k+1 ), ∞ Khi đó, n=1 |an |2k+1 hội tụ ∞ β = 0, k ∈ N f (an ) hội tụ n=1 Như vậy, Định lý 0.4 Định lý 0.5 cho điều kiện đủ để kiểm tra hội tụ chuỗi ∞ f (an ) dựa vào khai triển Maclaurin hàm số f (x) n=1 Ví dụ 0.1 (Xem [4, p.208]) Xét hội tụ chuỗi ∞ n=1 √ arctan (−1) 4n n Trong tình này, • khai triển Maclaurin hàm f (x) = arctan x đến bậc ba, arctan x = x − chuỗi số ∞ n=1 |an |2k+1 = hội tụ chuỗi số ∞ ∞ n=1 √ n arctan n=1 x3 + o(x3 ), phân kì, khơng thể kết luận (−1)n √ 4n • khai triển Maclaurin hàm số f (X) = arctan x đến bậc năm, arctan x = x − chuỗi số tụ ∞ n=1 |an |2k+1 = ∞ n=1 √ n x x5 − + o(x5 ), hội tụ, nên chuỗi số ∞ n=1 arctan (−1)n √ 4n hội 162 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số Ví dụ 0.2 Xét hội tụ chuỗi số ∞ bn , n=1 bn = e sin αn nγ − 1, γ > Nếu α = kπ với k ∈ Z chuỗi cho có tổng Nếu α = kπ với k ∈ Z xét khai triển Maclaurin ex − 1: ex − = x + x2 + o(x2 ) Ta có • Chuỗi • Chuỗi ∞ n=1 ∞ n=1 sin αn nγ a2n = hội tụ với α, γ ∈ R, γ > theo tiêu chuẩn Dirichlet ∞ n=1 sin2 αn n2γ hội tụ γ > 21 Do đó, theo Định lý 0.1 Định lý 0.4 ta có • chuỗi ∞ n=1 • Chuỗi bn hội tụ γ > 21 , ∞ n=1 bn phân kì có tổng ∞ n=1 bn = +∞ < γ ≤ 21 PHỤ LỤC MỘT - SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ HAY - ∞ a) Nếu chuỗi an+1 an ≤ bn+1 , ∀n bn n=1 ∞ b) Nếu chuỗi ∞ ∞ an bn chuỗi n=1 an hội tụ n=1 an phân kì chuỗi n=1 ∞ bn phân kì n=1 a) Từ bất đẳng thức Chứng minh ∞ n=1 ≥ K Khi bn hội tụ chuỗi ĐỘC ĐÁO DỄ CHỨNG MINH Định lý 0.1 (Tiêu chuẩn so sánh kết hợp d’Alambert) Cho số dương thỏa mãn B an+1 an ≤ bn+1 bn lấy logarit số e hai vế: ln an+1 − ln an ≤ ln bn+1 − ln bn , ∀n ≥ K Lấy tổng n chạy từ K đến N ta N n=K N (ln an+1 − ln an ) ≤ n=K (ln bn+1 − ln bn ) , hay ln aN +1 − ln aK ≤ ln bN +1 − ln bK ⇔ ln aN +1 ≤ ln ⇔aN +1 ≤ Vì chuỗi ∞ aK bN +1 bK (2.1) aK bN +1 , ∀N ≥ K bK bn hội tụ , theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi số ∞ n=1 n=1 163 an hội tụ 164 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh b) Chứng minh tương tự ∞ Định lý 0.2 Cho chuỗi số dương an giả thiết lim n ln n→+∞ n=1 minh an an+1 = K Chứng a) Nếu K > chuỗi hội tụ b) Nếu K < chuỗi phân kì Chứng minh a) Định lý chứng minh cách đơn giản dựa vào an = K nghĩa với ǫ > định nghĩa giới hạn Hình dung lim n ln an+1 n→+∞ từ lúc tồn số hạng dãy n ln (K − ǫ, K + ǫ) an an+1 n ln chui vào khoảng an an+1 , ∀n ≥ N α K −ǫ K +ǫ Hình 0.2 Nếu K > ta chọn số α = K − ǫ (ǫ > 0) nằm K Do lim n ln n→+∞ tồn số N cho n ln Suy Vì + an an+1 an an+1 > α, ∀n ≥ N α an+1 ≤ e− n , ∀n ≥ N an n n < e, ∀n nên α an+1 ≤ e− n ≤ an 1+ n −α = (n+1)α nα Áp dụng tiêu chuẩn so sánh kết hợp d’Alambert (Định lý 0.1) với hai chuỗi ∞ n=1 = K, bn với bn = nα ta có chuỗi ∞ bn hội tụ (α > 1) nên n→+∞ an an+1 n ln n=1 an hội tụ n=1 n=1 b) Trường hợp K = lim n ln ∞ < ta có an an+1 ∞ < 1, ∀n ≥ N an Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 165 Suy n−1 an+1 ≥ e− n > , ∀n ≥ N an n e < 1+ n−1 n Vậy {nan+1 } dãy số tăng kể từ n = N trở đi, nghĩa nan+1 ≥ N aN , ∀n ≥ N Suy an+1 ≥ N aN , ∀n ≥ N n Theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi ∞ an phân kì n=1 Định lý 0.3 Chứng minh a) Nếu ∞ n=1 a2n ∞ n=1 b2n chuỗi số hội tụ chuỗi b) Áp dụng câu a), chứng minh ∞ n=1 a) Dựa vào bất đẳng thức ≤ |an bn | ≤ 21 (a2n + b2n ) n2 an bn hội tụ tuyệt đối n=1 a2n hội tụ [Gợi ý] b) Áp dụng câu a) với bn = ∞ ∞ n=1 an n hội tụ tuyệt đối 166 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh PHỤ LỤC MỘT SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ MẠNH HƠN D ’A LEMBERT VÀ an+1 n→+∞ an §1 lim C CAUCHY VÀ CÁC TIÊU CHUẨN MẠNH HƠN TIÊU =1 CHUẨN D ’A LEMBERT Tiêu chuẩn Kummer sau ông chứng minh vào năm 1835 Đây tiêu chuẩn mạnh để kiểm tra hội tụ chuỗi số dương Định lý 1.1 (Định lý Kummer) Cho ∞ an chuỗi số dương n=1 n=1 số dương phân kì Giả thiết lim n→+∞ ∞ 1 an − dn an+1 dn+1 = K Khi a) Nếu K > chuỗi ∞ an hội tụ n=1 b) Nếu K < chuỗi ∞ an phân kì n=1 Chọn dn = với n ta có ∞ dn chuỗi số dương phân kì Khi n=1 lim n→+∞ 1 an − dn an+1 dn+1 = lim n→+∞ an −1 an+1 an+1 = n→+∞ an K +1 lim 167 = K, dn chuỗi 168 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy Định lý Kummer trở thành Định lý 1.2 (Tiêu chuẩn d’Alambert) a) Nếu lim an+1 n→+∞ an b) Nếu lim an+1 n→+∞ an Chọn dn = n = = K+1 < (tức K > 0) chuỗi K+1 > (tức K < 0) chuỗi ∞ ta có ∞ an hội tụ n=1 ∞ an phân kì n=1 dn chuỗi số dương phân kì Khi n=1 lim n→+∞ 1 an − dn an+1 dn+1 Do lim n n→+∞ = lim n→+∞ an −1 an+1 n an − (n + 1) an+1 = K = K + Tiêu chuẩn Kummer trở thành Định lý 1.3 (Tiêu chuẩn Raabe) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết lim n n→+∞ n=1 R Khi an an+1 −1 = a) Nếu R > (tức K > 0) chuỗi số hội tụ b) Nếu R < (tức K < 0) chuỗi số phân kì Chọn dn = n ln n ∞ dn chuỗi số dương phân kì Thay vào tiêu chuẩn Kummer ta n=1 có tiêu chuẩn Bertrand sau Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Bertrand) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết n=1 lim ln n n n→+∞ an − − = B an+1 Khi a) Nếu B > chuỗi số hội tụ b) Nếu B < chuỗi số phân kì Chú ý 3.1 Tiêu chuẩn Raabe mạnh tiêu chuẩn d’Alambert, người ta thường sử dụng tiêu chuẩn Raabe tiêu chuẩn d’Alambert khơng có hiệu Tiêu chuẩn Bertrand mạnh tiêu chuẩn Raabe, người ta thường sử dụng tiêu chuẩn Bertrand tiêu chuẩn Raabe khơng có hiệu Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy Ví dụ 1.1 [Dùng tiêu chuẩn Raabe] Xét hội tụ chuỗi số ∞ n=1 n! 169 n n e [Lời giải] Ta thấy lim n n→+∞ an −1 an+1 = lim n n→+∞ e + n1 n −1 = , theo quy tắc L’Hospital e 1 = − x→0 x (1 + x) x lim Theo tiêu chuẩn Raabe, chuỗi cho phân kì Chú ý trường hợp không dùng tiêu chuẩn d’Alambert Cauchy √ an+1 = lim n an = n→+∞ an n→+∞ lim Ví dụ 1.2 (Dùng tiêu chuẩn Bertrand) Xét hội tụ chuỗi số ∞ n=2 √1 (n− n) ln2 n Ta có lim ln n n n→+∞ ln n an − − = − lim √ √ = > n→+∞ n + + n an+1 Theo tiêu chuẩn Bertrand, chuỗi số cho hội tụ Chú ý trường hợp không dùng tiêu chuẩn Raabe lim n n→+∞ an −1 an+1 = − lim √ n→+∞ √ = n+ n+1 Ví dụ 1.3 Chứng minh dùng tiêu chuẩn Bertrand với chuỗi số ∞ e−(1+ +···+ n−1 ) 1 n=2 tính lim ln n n n→+∞ an −1 −1 =0 an+1 nên chuỗi cho phân kì Tuy nhiên khơng sử dụng tiêu chuẩn Raabe trường hợp an lim n − = lim n e n − = n→+∞ n→+∞ an+1 170 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy §2 lim n→+∞ √ n an = VÀ CÁC TIÊU CHUẨN MẠNH HƠN TIÊU CHUẨN CAUCHY Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn A) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết n=1 √ n (1 − n an ) = A n→+∞ ln n lim Khi đó, Nếu A > chuỗi hội tụ Nếu A < chuỗi phân kì Định lý 2.2 (Tiêu chuẩn B) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết n=1 lim n→+∞ √ n ln n (1 − n an ) − = B ln(ln n) ln n Khi đó, Nếu B > chuỗi hội tụ Nếu B < chuỗi phân kì 170 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.M.Ash, The Limit Comparison Test Needs Positivity, Math Mag., 85 (2012), 374– 375 [2] G H Hardy, A Course of Pure Mathematics, 10th ed., Cambridge Univ Press, London, 1960 [3] Nguyen S.Hoang, A Limit Comparison Test for General Series, The American Mathematical Monthly, 122, No (2015), 893–896 [4] M Longo and V Valori, The Comparison Test-Not Just for Nonnegative Series, Mathematics Magazine, 79, No (2006), 205–210 [5] James Stewart, Calculus, Early Transcendentals, 7th ed Brooks Cole Cengage Learning, 2012 171 ... 9 11 17 19 21 23 26 26 28 29 31 33 35 37 43 43 44 46 51 51 53 56 58 MỤC LỤC 5 .3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp 5.4 Ứng dụng chuỗi lũy thừa 5.5 Bài tập ôn tập ... số sin x: sin x = x − x3 + o(x3 ), 3! o(x3 ) kí hiệu VCB bậc cao x3 , ta có x − sin x = Khi n → ∞ n x3 x3 + o(x3 ) ∼ x → 3! → 0, 1 − sin ∼ n → ∞ n n 6n Mà chuỗi ∞ n=1 n3 hội tụ, nên theo tiêu... 2 .31 7 = 2 .31 71717 dạng phân số 2 .31 7 = 2 .3 + 17 17 17 + + + ··· 10 10 10 Sau số hạng chuỗi cho cấp số nhân với a = 2 .31 7 = 17 1 03 1− 102 = = n − n+1 ∞ n=1 Ta có n(n+1) 1 + + ··· + 1·2 2·3