Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 142 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
142
Dung lượng
1,79 MB
Nội dung
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS.TS Tô Văn Ban (Chủ biên), TS Tạ Ngọc Ánh, TS Hy Đức Mạnh, ThS Nguyễn Thị Thanh Hà, ThS Bùi Quốc Hưng ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH II (Dùng cho hệ Đại học) Hà Nội, 8-2015 BỘ MƠN DUYỆT Chủ nhiệm Bộ mơn 1// Tạ Ngọc Ánh BÀI GIẢNG CHI TIẾT (Dùng cho 75 tiết giảng) Học phần: GIẢI TÍCH II Nhóm mơn học: Giải tích Bộ mơn: Tốn Khoa: Cơng nghệ Thơng tin Thay mặt nhóm mơn học 4// Tơ Văn Ban Thơng tin giáo viên STT 10 Họ tên giáo viên Học hàm Tô Văn Ban Tạ Ngọc Ánh Hy Đức Mạnh Đào Trọng Quyết Nguyễn Thị Thanh Hà Nguyễn Văn Hồng Bùi Quốc Hưng Nguyễn Hồng Nam Bùi Văn Định Nguyễn Thu Hương PGS GVC GVC GVC GVC GVC GV GV GV GVC Học vị TS TS TS TS ThS ThS ThS ThS TS TS Địa điểm làm việc: Bộ Mơn Tốn, P1906, Nhà S1 (Gần đường HQ Việt) Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com Bài giảng 1: Hàm số nhiều biến số Chương, mục: Tiết thứ: 1- Mục đích, yêu cầu: Tuần thứ: Nắm sơ lược Học phần, quy định chung, sách giáo viên, địa thông tin cần thiết, bầu lớp trưởng Học phần Nắm khái niệm loại tập mở, đóng, miền n Một số kết giới hạn, liên tục hàm nhều biến, tương đồng với khái niệm hàm biến Nắm khái niệm thục tính đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường P2 phân cơng - Nội dung chính: Giới thiệu môn học quy định Chương 1: Hàm số nhiều biến số §1.1 Giới hạn – Liên tục §1.2 Đạo hàm – Vi phân Giới thiệu học phần GIẢI TÍCH II (15 phút) Để thấy chất tượng mở rộng khả vào sống toán học cần nghiên cứu giải tích phạm vi nhiều biến Với hàm nhiều biến, nhiều khái niệm kết với hàm biến khơng cịn bảo tồn mà có biến thể tinh vi, uyển chuyển hứa hẹn ứng dụng vô rộng lớn GTII - tiếp tục Giải tích I - hướng chủ yếu vào phép tính vi phân, phép tính tích phân hàm nhiều biến Chúng ta thấy nhiều ví dụ, tập liên quan đến thực tiễn cho thấy mảng ứng dụng vơ tiền khống hậu lý thuyết, đảm bảo trường tồn toán học Các khái niệm, định lý, tính chất thường phát biểu lời kết hợp với công thức Chính sách riêng Mỗi lần lên bảng chữa tập ghi nhận, cộng vào điểm trình 0.5 điểm Chữa tập sai khơng bị trừ điểm Sự diện lớp: Không học Tài liệu tham khảo Tác giả TT Tên tài liệu Giáo trình Giải Tơ Văn Ban tích II Giải tích II & III Trần Bình Tốn học cao cấp Nguyễn Đình (T3-2) Trí … Bài tập Giải sẵn Trần Bình giải tích 2, Calculus: A R Adams buổi không thi Nxb Nxb Giáo dục Năm xb 2012 KH KT Giáo dục 2007 2007 KH KT 2007 Addison Wesley 1991 Complete Course Calculus (Early Jon Rogawski W.H.Freeman and Co Transcendentals), 2007 Đề Bài tập nhà GTII (trong tài liệu [1]) Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa lớp CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 12(b); 15; 18(b); 21(b); 22; 23(a); 24(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e) Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 24(c); 26(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 1.17; VD 1.26A; VD 1.27; VD 1.28; VD 1.29 (i, ii); VD 1.30; VD 1.37; VD 1.39 CHƯƠNG II Bổ trợ: 1(b, d); 2(b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; 19(b); 20(a, c); 24; 27(a) Chính: 1(e); 5(f); 6(a); 7(e, f); 8(b, d); 9(g); 10(f, g, h); 14(c, d); 19(c); 20(f); 21(c, d); 22(b, c, e); 23(a, b) VD 2.11; VD 2.13; VD2.25 ; VD 2.26; VD 2.27; VD 2.33; VD 2.34; VD2.37 ; VD 2.40 CHƯƠNG III Bổ trợ: 1(d,e), 2, 5(a) , 11, 14(a), 15(a, c), 17(a), 18(d), 19(a, d), 22(a, e), 26(c), 27(a); 29(a, b), 30 Chính: 7; 8; 14(c); 16(c, d); 22(d); 24(c, d, e, f, h); 25 VD3.16 ; VD3.23 ; VD3.23 ; VD3.25 ; VD3 26 ; VD3.27 ; VD3.28 ; VD3 29 ; VD3.31 ; VD3.32 ; VD 3.33; VD3.34 CHƯƠNG IV Bổ trợ: 2(a); 3(a) 8; 10(e); 12(b); 15(b,c); 18(b); 20(a); 21(d); 23(a); 24(b, e); 26(a, b, d); 28(a, b); 31(c) Chính: 3(b); 10(b, c, d, e); 12(e, f, g); 13(b); 15(f, g); 18(c, d); 19(a, b, c, d, e); 24(e); 26(f, h, i, j); 27(c, d,e); 28(d, e, f, g); 30(d, e, f); 31(b); 32; 33(a, b, c) VD 34; VD 4.35 ; VD 4.36; VD 4.48; VD 4.49; VD 4.50; VD 4.51 ; VD 4.52; VD 4.53; VD 4.54((i), (ii)) CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Lý thuyết Chương 1: Hàm số nhiều biến số Chương 2: Tích phân bội Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt Chương 4: phương trinh vi phân Điểm thi Số điểm 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 10đ Điểm trình Điểm chuyên cần Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% + điểm trình x 20% + điểm thi x 70% Hình thức thi: Thi viết Bầu lớp trưởng lớp học phần Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít cột kiểm tra sĩ số) 10đ 10đ 10đ Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ § 1.1 GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 1.1.1 Tập hợp n a Không gian n Xét V tập hợp n số thực có thứ tự x (x1, , x n ), x i (Hiện thời ta viết đậm phần tử V) Trong V đưa vào phép cộng và phép nhân với vô hướng: x (x1 , , x n ), y (y1, , y n ), x i , y i , x y (x1 y1, , x n y n ) , x (x1 , , x n ), Khi V trở thành khơng gian véc tơ ; phần tử V gọi véc tơ, đơi gọi điểm * Tích vơ hướng Tích vơ hướng hai véc tơ x y số thực, ký hiệu x.y , (có tài liệu viết x, y ) xác định bởi: x y x1y1 x n y n * Không gian Euclide n Khơng gian véc tơ V có trang bị tích vơ hướng vừa nêu gọi khơng gian Euclide n chiều, ký hiệu n Tích vơ hướng nêu có tính chất thơng thường biết ơt phổ thông Khi x y ta nói hai véc tơ x y trực giao với nhau, viết x y * Khoảng cách Khoảng cách x (x1, , x n ) y (y1, , y n ) ký hiệu d(x, y), xác định theo công thức d( x , y ) ( x y ) (x y ) d( x , y ) (y1 x1)2 (y n x n ) (1.1) Khoảng cách gọi khoảng cách Euclide, có tính chất sau đây: : tính đối xứng d( x , y ) d( y , x) d( x , y ) 0; d(x , y ) x y : tính xác định dương d( x,y ) d(y,z ) d(x, z) bất đẳng thức tam giác : Trong , điểm hay ký hiệu (x,y), (x,y,z) Đồng điểm M với số (x, y, z) toạ độ hệ toạ độ trức chuẩn; thay cho điểm M, ta viết (x, y, z) hay đầy đủ M(x, y, z) Khoảng cách (1.1) khoảng cách thơng thường Trong : Điểm M đồng với toạ độ (x, y) nó; thay cho điểm M ta viết (x, y), hay đầy đủ M(x, y) Trong phần lại chương kết trình bày chủ yếu Nhiều kết tương tự cho n b Phân loại tập hợp n Lân cận Cho a ; lân cận điểm a (còn gọi hình cầu mở tâm a, bán kính ), kí hiệu U (a) , tập hợp xác định bởi: U (a) {x : d(x, a ) } Điểm a gọi điểm tập hợp E E chứa hình cầu mở tâm a: U (x) E, ( 0) Đồng thời, tập E gọi lân cận điểm a Tập mở Tập hợp E gọi tập mở điểm E điểm Dễ nhận thấy rằng, tập hợp U (a ) tập mở Điểm biên Điểm x gọi điểm biên E -lân cận x chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập điểm biên E kí hiệu (E) , gọi biên E Rõ ràng, điểm E nằm E; điểm biên E thuộc E, khơng thuộc E Tập đóng E gọi tập đóng chứa điểm biên nó: E đóng E E E (a) (b) (c) (d) Hình 1.1 (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mặt cầu (tập đóng) Chẳng hạn, tập sau đóng (xem Hình 1.1): + Hình cầu đóng tâm a, bán kính + Mặt cầu đóng tâm a, bán kính Tập bị chặn Tập E gọi bị chặn tồn hình cầu mở chứa hình cầu đóng chứa hình cầu đóng tâm O chứa Tập compắc Tập đóng bị chặn gọi tập compact Miền Mỗi tập mở miền mở Miền mở với biên gọi miền đóng Miền mở, miền đóng gọi chung miền Miền mà từ điểm nối với đường gẫy khúc nằm hoàn toàn miền gọi miền liên thông Sau đây, quen, ta khơng cịn phải viết chữ đậm cho phần tử n Ví dụ 1.1 Cho tập hợp sau (xem Hình 1.2): D1 {(x, y) : a x b, c y d} : tập hợp mở (Không chứa biên) D {(x, y) : a x b, c y d} : Không mở, khơng đóng D {(x, y) : a x b, c y d} : tập hợp đóng (chứa biên) Người ta cịn dùng ký hiệu tích Descartes để hình chữ nhật đó: D1 # ký hiệu (a, b) (c, d) , , D3 [a, b] [c, d] y y A B y A d B A d d D2 D1 c D3 c D C a c D b x B C a b D x C a b x Hình 1.2 Hình chữ nhật 1.1.2 Hàm nhiều biến số a Định nghĩa Cho D n Ánh xạ f :D x (x1 , , x n ) f (x) f (x1, , x n ) gọi hàm số D D: tập xác định, f: hàm số; x: biến số (hay đối số) Lưu ý biến số có n thành phần, thành phần xem biến độc lập (cho nên hàm số n hay gọi hàm nhiều biến) b Các phương pháp biểu diễn hàm số (☼) Biểu diễn biểu thức giải tích Biểu diễn đồ thị Sử dụng đường (đồng) mức Bảng liệu 1.1.3 Giới hạn hàm nhiều biến a Giới hạn dãy điểm Ta nói dãy điểm {u n } {(x n , y n )} hội tụ đến u (x , y ) lim d(u n , u ) (1.2) n Khi ta viết lim (x n , y n ) (x , y ) , hay đơn giản lim u n u n n u n u (khi n ) Giới hạn dãy điểm tương đương với giới hạn tọa độ: lim (x n , y n ) (x , y ) lim x n x ; lim y n y (1.3) n n n * Điểm giới hạn (điểm tụ) Điểm a gọi điểm giới hạn tập D n có dãy {u n } phần tử khác a D hội tụ đến a b Giới hạn hàm số Định nghĩa Cho hàm số f(u) xác định D a (x , y0 ) điểm giới hạn D Ta nói hàm f(u) có giới hạn u dần đến a nếu: (1.4) 0, , cho u D , d(u, u ) f (u) Khi ta viết lim f (u) hay f (u) u a u a Để đầy đủ, ta viết lim f (x, y) ( hay f (x, y) (x, y) (x , y )) (1.5) (x,y)(x ,y ) Định lý 1.1 Hàm f(u) có giới hạn u dần đến a {u n } D; u n a; lim u n a lim f (u n ) (1.6) n n Hệ Nếu lim f (u) với u (x, y) dần đến a (x , y0 ) theo u a đường cong tuỳ ý D, f(u) dần đến Hình 1.5 Điểm dần đến (x , y0 ) theo đường khác Lưu ý Các kết thông thường giới hạn hàm biến giới hạn tổng, hiệu, định lý kẹp… cịn cho giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ 1.4 Tìm giới hạn 1 lim (x y2 )sin lim (x y2 )sin ; ii) i) (x, y)(1, 0) (x, y)(0, 0) x y x y2 Giải i) sin1 lim (x y )sin x,y 1,0 x y2 ii) Hàm số xác định /{(0,0)} Ta có f (x, y) x y (khi (x, y) (0, 0) Theo định lí kẹp, lim (x, y)(0,0) f (x, y) lim (x, y)(0, 0) f (x, y) Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự với hàm biến y Chẳng hạn (x, y) (0,3) ; x ex y2 z (x, y,z) (0,0,0) # 1.1.4 Sự liên tục hàm số Cho hàm số f (x, y), (x, y) D , D tập tuỳ ý (x , y0 ) D điểm giới hạn D Ta nói f(x, y) liên tục (x , y0 ) lim (x, y) (x , y0 ) f (x, y) f (x , y ) Giả sử a (x , y ) D, u (x, y) (x x, y y) D Đặt f f (x x, y y) f (x , y ) (1.7) Khi hàm số f(u) liên tục (x , y0 ) lim ( x,y)(0,0) f (1.8) * Hàm f(x,y) gọi liên tục miền D liên tục điểm (x , y ) D Lưu ý Các định lí tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp tính liên tục chúng, khái niệm kết liên tục hàm biến gần cịn bảo tồn cho trường hợp hàm nhiều biến Chẳng hạn Định lý 1.2 Hàm f(x,y) liên tục tập đóng, giới nội D bị chặn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (x1, y1 ), (x , y2 ) D để f (x1, y1 ) m Min f (x, y); f (x , y ) M Max f (x, y) (x,y)D (x,y)D Định lý 1.3 Hàm f(x,y) liên tục tập đóng, giới nội liên tục đó, tức với , tìm số cho với (x, y), (x, y) D mà d((x, y), (x , y)) f (x, y) f (x , y) xy Ví dụ 1.5 Cho hàm số u f x, y x y2 0 (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) Rõ ràng hàm liên tục điểm (x , y0 ) (0, 0) (vì thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0) Tại (x , y0 ) (0, 0) , theo bất đẳng thức Cauchy xy x y2 (x y ) (x y )1 xy x y 2 (x y ) 2 Trường hợp 1: lim (x,y)(0,0) f (x, y) lim u 0 2 d(u, 0) ( 1)/2 f (0, 0) Vậy f(x,y) liên tục (0,0) Trường hợp 2: Xét (x, y) (0,0) theo đường y = x f x, y f x, x liên tục (0,0) x 2 2x 2x 21 x Vậy f(x,y) khơng # § 1.2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN 1.2.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa Cho hàm số z f (x, y) xác định tập mở D , lấy điểm M0 (x , y0 ) D Cố định y y0 f (x, y0 ) hàm biến x Nếu hàm có đạo hàm x x đạo hàm gọi đạo hàm riêng hàm Chỉ cần tìm hai NR độc lập tuyến tính Ta tìm NR dạng y ekx , k số Đạo hàm hai lần ta y k e kx ; y k e kx Thay vào PT cho k 2e kx p k e kx q e kx e kx (k pk q) k pk q PTĐT (4.35) Hai nghiệm k1 , k thực, phân biệt Rõ ràng, y1 e k1x ; y e k 2x hai nghiệm (thực) Chúng đltt y1 e (k k1)x const NTQ (4.34) y C1e k1x C 2e k 2x y2 Hai nghiệm thực trùng nhau: k1 k y1 e k1x NR Dễ thấy nghiệm riêng thứ hai y x e k1x ; rõ ràng hai nghiệm riêng đltt Vậy NTQ (4.34) y ek1x (C1 C x) Hai nghiệm phức liên hợp k12 i Khi xét tập số phức, e (i)x e( i)x hai nghiệm Từ đó, Y1 e(i)x e(i)x ex cos x Y2 e(i)x e(i)x ex sin x hai nghiệm Tuy nhiên, hai nghiệm thực đltt Vậy nghiệm tổng quát PTTN y ex (C1cos x C sin x) Bảng 4.1 Giải PT hệ số số y py y PTĐT k2 + pk + q = Nghiệm tổng quát Có nghiệm thực k1 k C1e k1x C 2e k 2x Có nghiệm kép k1 k e k1x (C1 C x) Có nghiệm phức liên hợp i ex (C1 cos x C2 sin x) Ví dụ 4.18 Tìm nghiệm tổng quát PT i) y 2y 3y 0; ii) y 6y 9y Giải i) PTĐT: k 2k k1 1, k 3 NTQ : y C1e x C 2e 3x ii) PTĐT: k 6k k1 k NTQ : y (C1 C x)e3x Ví dụ 4.19 Tìm nghiệm PT y 2y 5y thỏa mãn 127 # i) Điều kiện ban đầu y(0) 1, y(0) ; ii) Điều kiện biên y(0) 0, y() Giải PTĐT k 2k k12 2i NTQ: y e x (C1cos 2x C sin 2x) i) Từ điều kiện suy y e x (cos 2x sin 2x) ii) Từ điều kiện C1 e C1 : vơ lý; tốn vơ nghiệm # b Phương trình với vế phải đặc biệt y py qy f (x) (4.36) p, q hai số cho trước, f(x) hàm liên tục PT k pk q : PT đặc trưng (4.36) Ở phần a) biết cách tìm nghiệm tổng quát PTTN Ta cần tìm NR; cộng hai nghiệm lại ta NTQ PT (4.36) Chúng ta tìm NR PT khơng TN (4.36) vế phải f(x) có dạng đặc biệt Bảng 4.2 Tìm nghiệm riêng PT hệ số số y’’ + py’ + q = f(x) Vế phải f(x) e x Pn (x) So sánh với nghiệm PTĐT k pk q Dạng nghiệm riêng không nghiệm ex Qn (x) nghiệm đơn x ex Q n (x) nghiệm kép x ex Q n (x) i ex [Pm (x)cosx Q n (x)sin x] không nghiệm ex Hs (x)cosx K s (x)sin x i xex Hs (x)cos x K s (x)sin x nghiệm ( s Max (m, n) ) Công thức đạo hàm sau có ích (eax f (x)) eax (f (x) af (x)) Ví dụ 4.20 Giải PT y 2y y x PTĐT: k 2k k1 k NTQ PTTN y e x (C1 C x) Thấy x e0x P(x) khơng nghiệm PTĐT Tìm NR dạng y y e 0x (A Bx) A Bx 128 Thay vào PT, đồng hệ số hai vế ta A 3, B NR y x NTQ y e x (C1 C x) x # Ví dụ 4.21 Giải PT y 3y 2y e x (3 4x) PTĐT: k 3k k1 1, k NTQ PTTN y C1e x C 2e 2x * f (x) e x (3 4x) e1x P1 (x) nghiệm PTĐT, tìm NR dạng y y x e x (A Bx) e x (Ax Bx ) y e x [A (A 2B)x Bx ], y e x [2A (A 4B)x Bx ] Thay vào PT cho, đồng hệ số vế ta A 1, B NR : y xe x (1 2x) NTQ : y C1e x C 2e 2x xe x (1 2x) # Ví dụ 4.22 Giải PT y 4y 4y 4e 2x PTĐT: k 4k k1 k NTQ PTTN: y (C1 C x)e 2x f (x) 4e 2x e 2x P0 (x) nghiệm kép PTĐT NR dạng y y x 2e2x A A e 2x x y 2Ae 2x (x x ); y 2Ae2x (1 4x x ) Thay vào PT cho, đồng hệ số vế ta A NR : y 2e 2x x NTQ : y (C1 C x 2x )e 2x # Ví dụ 4.23 Giải PT y y xe x 2e x PTĐT: k k i i NTQ PTTN y e0x (C1cos1x C sin1x) C1cos x C sin x Thấy f (x) f1 (x) f (x), f1 (x) xe x , f (x) 2e x * Xét PT y y f1 (x) xe x f1 (x) xe x e1x P1 (x) khơng nghiệm PTĐT, tìm nghiệm riêng y y1 e x (A Bx); y e x (A B Bx); y e x (A 2B Bx) Thay vào PT ta A 1/ 2; B 1/ NR : y1 e x (1 x) / * Bây xét PT y y f (x) 2e x 1 khơng khơng nghiệm PTĐT, tìm nghiệm riêng dạng 129 y y e x C y e x C, y e x C Thay vào PT C NR : y e x # NTQ : y C1cos x C2 sin x e x (x 1) / e x Một số ứng dụng thực tế PTVP cấp II b) Thảo luận Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: định nghĩa, PT c) Tự học tương ứng, phát biểu định lý nói lên cấu trúc nghiệm PTVPTT cấp hai - Đưa PT cấp II cấp I: Đặt p p(x) y y p (vắng y) hay p p(y) y y p.p (vắng x) Bảng 4.2 Đọc Ví dụ: VD 4.51; VD 4.52; VD 4.53; D 4.54((i), (ii)) d) Bài tập Tài liệu [1], tr Tài liệu Bài giảng 13: Phương trình vi phân (tiếp) Chương, mục: Tiết thứ: 61-65 Mục đích, yêu cầu: Tuần thứ: 14 Nắm khái niệm hệ PTVP, tương ứng hệ PTVP cấp I PTVP cấp cao PP đưa hệ PTVP cấp cao, áp dụng với hệ nhất, hệ số số - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường P2 phân cơng - Nội dung chính: Chữa tập phương trình vi phân cấp §4.2 Phương trình vi phân cấp hai (tiếp) §4.3 Hệ phương trình vi phân Ơn tập chương § 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI (tiếp – tiết) 4.2.5 PT TT với hệ số số vế phải đặc biệt Ví dụ 4.24 Giải PT y 9y 4x sin x PTĐT: k k 3i NTQ PTTN y C1cos 3x C2 sin 3x 130 Ta thấy f (x) 4x sin x e0x (0.cos x 4x sin x) i i không nghiệm PTĐT, s Max(0, 1) Vậy ta tìm nghiệm riêng dạng y y e0x [(A Bx)cos x (A Bx)cos x (C Dx)sin x] (C Dx)sin x, y B cos x ( A Bx) sin x (C Dx) cos x D sin x (B C Dx) cos x (A D Bx) sin x, y D cos x ( B C Dx) sin x ( A D Bx) cos x Bsin x (A 2D Bx) cos x ( 2B C Dx) sin x Thay vào PT, đẳng hai vế ta được: (8A 2D 8Bx)cos x (2B Cc 8Dx)sin x 4x sin x 2D 8A A 1 / B 8B 0 8A 2D 8Bx 2B 8C 8Dx 4x 2B 8C C D / 8D 1 NR y cos x x sin x 1 NTQ y cos x x sin x C1cos3x C sin 3x # Nhận xét Nếu vế phải chứa hàm cosin, sin tốn dạng khó Khi đạo hàm, ta nên viết cos cos, sin sin, viết số hạng đa thức theo thứ tự luỹ thừa tăng dần, hệ số theo thứ tự A, B, C Điều quan trọng phải tập trung cao độ ta hy vọng nhận đáp số Ví dụ 4.25 y y 2cos2 x ĐS y C1 C2e x x cos 2x sin 2x # 10 10 c Phương trình tuyến tính cấp cao với hệ số số Dạng: y(n) p1y (n 1) p n 1y p n y f (x) (4.37) p1 , p2 , , pn - số, f(x):hàm liên tục (a, b) Bảng 4.3 Giải PT hệ số số PTĐT k n p1k n 1 p n Nghiệm riêng ĐLTT tương ứng k nghiệm đơn e kx k nghiệm kép bội m e kx , xe kx , , x m 1e kx i nghiệm phức liên hợp ex cosx, xex cos x, , x m1ex cos x bội m ex sin x, xex sin x, , x m1ex sin x 131 Tìm nghiệm riêng PT khơng tương ứng phương pháp biến thiên số Lagrange với PT cấp cao giống trường hợp PT cấp II Ví dụ 4.27 Giải PT i) y 3y y 3y 3e 2x ; ii) y(4) 8y 48 x e 2x ; iii) y (4) y 4sin x : Tự đọc Giải i) PTĐT k 3k k (k 1)(k 3) k 1, 1, NTQ PTTN y C1e x C 2e x C3e3x Để tìm nghiệm riêng, ta thấy f (x) 3e 2x : không nghiệm PTĐT Ta tìm nghiệm riêng dạng y y Ae 2x Thay vào PT cho, đẳng hệ số vế ta A y e 2x Vậy, NTQ phương trình cho y C1e x C 2e x C3e3x e 2x ii) PTĐT k 8k k(k 2)(k 2k 4) k1 0; k 2; k 34 1 i NTQ PTTN: y C1 C 2e 2x C3e x cos x C 4e x sin x * Nghiệm riêng f (x) 16xe 2x : nghiệm đơn PTĐT Tìm nghiệm riêng dạng y y xe 2x (A Bx) e 2x (Ax Bx ) y e 2x A (2A 2B)x 2Bx y e 2x 4A 2B (4A 8B)x 4Bx y e2x 12A 12B (8A 24B)x 8Bx y(4) e2x 32A 48B (16A 64B)x 16Bx Thay vào PT cho ta y(4) 8y e2x 24A 48B 48Bx f (x) e 2x (48x) B 1; A y e2x (2x x ) Vậy nghiệm tổng quát PT cho y C1 C 2e 2x C3e x cos x C 4e x sin xe 2x (2 x) iii) ĐS: NTQ y C1 e x C e x C cos x C sin x x cos x § 4.3 SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (1 tiết) 4.3.1 Định nghĩa - Bài toán Cauchy – Các loại nghiệm a Định nghĩa 132 # dy1 dx f1 (x, y1, , y n ) Dạng: dy n f n (x, y1, , y n ) dx x: biến độc lập, y1, y , , yn : ẩn hàm phải tìm (4.40) * Họ hàm số y1 y1 (x), , yn yn (x), x (a, b) gọi nghiệm hệ (4.40) khoảng (a; b) thay vào hệ, đồng thức b Bài toán Cauchy Định lý 4.8 (Định lý tồn nghiệm hệ PTVP cấp I) c Nghiệm riêng, nghiệm tổng quát 4.3.2 Giải hệ phương trình vi phân (xem tài liệu [1] tr ) a Phương pháp khử - Từ PT hệ, đạo hàm hai vế liên biến x - Dùng PT khác hệ, dẫn đến PT cấp cao ẩn hàm - Giải PT cấp cao này, từ nhận ẩn hàm khác y2 y z Ví dụ 4.28 Giải hệ phương trình z y Giải Lưu ý biến độc lập x Đạo hàm PT thứ hai z y Dùng PT đầu, PT sau, dẫn đến y (2z)2 z z 2z2 : PT bậc hai với z, vắng x z z Đặt z p p(z), z p.p , z z p p 2p * Rõ ràng p nghiệm, ứng với z C 0, y * p 0, p dp dz Giải ta p z dz Cz z dx Cx D Từ PT sau, y 2z 2p 2Cz y ĐS ; z C b Phương pháp tổ hợp y 2C (Cx D) 2C (Cx D) 133 ,z Cx D # o Từ số PT hệ tìm số biểu thức ràng buộc biến độc lập x với ẩn hàm y1, , y n ): i (x, y1, , y n ) 0, i 1, , k : Các tích phân đầu (4.42) o Suy nghiệm x () x t 3x 5y Ví dụ 4.29 Gải hệ y y () t 3x 5y Giải Chia PT (**) cho PT (*); lấy PT (*) nhân với 3, PT(**) nhân với cộng lại ta nhận hệ tD dy y x dx x y Cx 5C # d(3x 5y) 3x 5y t D y C(t D) dt 5C c Phương pháp đồ thị Đọc tài liệu [1] d Mối quan hệ hệ PTVP PTVP cấp cao Đọc tài liệu [1] Ví dụ 4.31 Xét PTVP cấp hai y xy y x (ẩn hàm y y(x) ) Cần tìm nghiệm (a; b) Đặt z y z y xy y x xz y x , ta đưa hệ y z z y xz x (ẩn y, z) Việc giảm cấp PTVP phải trả giá việc tăng số PT hệ 4.3.3 Hệ PTVP hệ số số a Khái niệm Trường hợp đơn giản (4.40) hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp y1 a11 (x) y1 a1n (x) y n b1(x) (4.44) y a (x) y a (x) y b (x) n1 nn n n n x: biến độc lập,1 y1, , y n : ẩn hàm, a ij (x), bi (x) : liên tục (a, b) Cũng xét: toán Cauchy, nghiệm riêng, nghiệm tổng quát, cấu trúc nhiệm cách giải hệ nhất, hệ không trường hợp đặc biệt phương pháp biến thiên số trường hợp tổng quát… Tuy nhiên, xem xét trường hợp đặc biệt đơn giản (4.44), hệ với hệ số số (còn gọi hệ vi phân ơtơnơm tuyến tính) y1 a11y1 a1n y n ( a ij - const) (4.45) y a y a y n n1 nn n 134 b Phương pháp khử Chúng ta dùng phương pháp khử nêu để đưa PT vi phân cấp n, sau tìm nghiệm tổng qt Điều đặc biệt thuận lợi n nhỏ (chẳng hạn, n = 2, 3) () x x 2y Ví dụ 4.32 Giải hệ t () yt x y Giải Đạo hàm vế PT (*), x x 2y Ta cần đưa PT biến x Sử dụng PT (**) sau (*) ta x x 2(x y) x 2x 2y x 2x (x x) x x Giải PT cấp hai ta nghiệm tổng quát x Ce t De t Từ đó, y (x x) / De t Tóm lại, nghiệm hệ x Ce t De t , y De t # c Phương pháp Euler (☼) Ví dụ 4.33 Giải hệ PTVP sau dy dx y z i) dz y 3z dx x y z ii) y z z x z y ( C D Dx)e 2x Giải i) NTQ 2x z (C Dx)e x (C C3 ) cos t (C C3 )sin t ii) NTQ y C1e t C2cos t C3 sin t t z C1e C sin t C3cos t § 4.4 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TỐN TỔNG HỢP ( tiết) Ví dụ 4.34 Giải PT (x y 1) dx (2x 2y 1) dy x y Giải Xét hệ 2x 2y 1 Vì D , nên ta đặt z x y , dz dx dy dy dz dx 2 2z dz dx dz dx hay z2 z2 2z 3ln z x C x 2y 3ln x y C # Ví dụ 4.35 Giải PT xy x x y y (x 0) cách đặt y zx Giải Xét x , đặt y z.x (z z(x)) z 135 y , y z.x z x Thay vào PT x z xz x z zx z z dz z2 dx ln z z x C y x y2 Dxe x Lưu ý PT cho không nhất; nhiên ta giải thành cơng đặt y zx ! # Ví dụ 4.37 (Bài toán nồng độ dung dịch) Một bể 1000 l nước có hịa tan 50 kg muối Bơm nước biển với nồng độ muối 10 g/l vào bể với vận tốc 10l/phút, giữ thể tích nước bể cố định cách rút nước khỏi bể với vận tốc 10 l/phút i) Lập phương trình vi phân mơ tả lượng muối bể theo thời gian ii) Sau 40 phút, lượng muối lại bể bao nhiêu? ĐS: 36,8 kg Ví dụ 4.46 Số lượng ban đầu mẻ vi khuẩn buồng cấy 1000 vận tốc sinh trưởng tỷ lệ với số lượng vi khuẩn có mặt buồng cấy Sau giờ, quần thể có 000 (a) Tìm biểu thức số lượng vi khuẩn sau t (b) Tìm số vi khuẩn sau (c) Tìm vận tốc sinh sau (d) Sau số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đơi Ví dụ 4.47 (Bài tốn xác định niên đại hóa thạch) Người ta cho rằng, lượng phóng xạ mà trái đất nhận từ vũ trụ cân với lượng phóng xạ mà chất phóng xạ q trình phân rã Vì thế, coi lượng carbon14 thể sống thời đại Tuy nhiên, thể sống chết tốc độ thay đổi carbon-14 tỷ lệ thuận với khối lượng có thể Gọi y(t) lượng carbon-14 hóa thạch thời điểm t tốc độ thay đổi carbon-14 hóa thạch thời điểm y(t) ky(t) , k - số âm Biết chu kỳ bán phân rã carbon-14 5730 năm, tính hệ số phân rã k Hóa thạch thể người chứa 54% lượng carbon-14 ban đầu, người sống cách lâu? HD Với T 5730 , y(T) 0,54y y 0e kt t y y 0e kT k 0,00012 ln 0,54 5134 (trên năm ngàn năm) k # Ví dụ 4.48 Giải PT (sin y x ) dx x sin 2y dy Q P Q P x y sin 2y, sin 2y (x) e x y Q x 136 dx x x2 PT (sin y x ) dx x sin 2y dy , PTVP toàn phần x x2 Trên miền {(x, y) : x > 0} , với (x , y ) (1,0) , tích phân tổng quát là: x y 1 x sin 1 dx x sin 2ydy C hay x sin y C x # Ví dụ 4.49 Giải phương trình y 2dx (2xy 3)dy Giải Rõ ràng y = nghiệm Với y , PT x x , nghiệm tổng quát là: y y 2 y dy y dy xe e dy C Cy hay xy Cy3 y y (Đây tích phân tổng quát PT cho) Ví dụ 4.50 Giải phương trình: (x y 2)dx (x y 4)dy # x y x 1 Xét hệ x y y u x x u Đặt , dx du, dy dv Nhận PT v y y v (u v)du (u v)dv Đây PT với u biến độc lập, v ẩn hàm, PT đẳng cấp Đặt v tu dv u dt t du dần đến u(1 2t t )du u (1 t)dt d u (1 2t t ) u (1 2t t ) C u 2uv v C Trở biến cũ, x 2xy y2 4x 8y C Cách II Thật may, PTVP toàn phần! # Ví dụ 4.51 Giải PT x y xy y cos(ln x) phép đổi biến x e t Giải Đặt x e t 0, x t e t t ln x, t x / x e t dy dy dt yt e t , dx dt dx yxx (yt e t )t t x (y2 e t yt e t ).e t (ytt yt ).e 2t yx t Thay vào y 2y y cos t, (y y(t)) PTĐT: k 2k k1 k NTQ PTTN ứng với (*) y (C1 C t) e t 137 (*) NR PT (*) có dạng: y y1 A cos t Bsin t 1 Tìm A 0, B y (C1 C t)e t sin t 2 NTQ PT cho y C1x C2 x ln x sin (ln x) Nhận xét PT ax y bxy cy f (x) gọi PT Euler Nó ln giải phép đổi biến x e t miền {x 0} (trong miền {x 0} đặt x e t ) Các bạn phải thục tính yt , ytt mong giải đúng! # Ví dụ 4.52 Giải phương trình xy 2y xy e x phép đổi hàm z = yx Giải Đặt z yx z yx y, z 2y y.x Thay vào phương trình nhận z z e x (*) PTĐT PT (*) k k1 1, k 1 NTQ PT TN tương ứng z C1e x C2e x Vế phải f (x) e x , nghiệm đơn, tìm nghiệm riêng (*) dạng z A.xe x z Ae x Axe x , z 2Ae x Axe x Thay vào PT (*) tới 2A A / z xe x / NTQ PT cho là: z 1 y C1e x C2e x xe x x x Ví dụ 4.53 Giải phương trình e 2x i) y 4y 5y , ii) y - 2y y e x / (1 x ) cosx # Giải i) Phương trình đặc trưng: k 4k k1,2 i NTQ PTTN tương ứng: y e 2x (C1 cos x C sin x) NTQ phương trình khơng TN dạng y C1 (x) e 2x cosx C (x) e 2x sin x C e2x cos x C2 e2x sin x C1 , C2 : 2x 2x 2x C1 e (2cos x sin x) C2 e (2sin x cos x) e / cos x C1 (x) sin x / cos x C1 (x) ln cosx A C2 (x) x B C2 (x) NTQ PT cho y ln cosx A e 2x cosx (x B)e 2x sinx ii) NTQ PT y1 (C1 C x)e x 138 NTQ PT ban đầu dạng: y C1 (x)e x C (x) xe x với C1 e x C2 xe x x , C C1 x x x x 1 x2 1 x2 C1 e C2 (e xe ) e / (1 x ) C ln x K C arctan x K NTQ PT cho: y ex K1 K x x arctan x ln x # x 2x 5y x 2x 2y Ví dụ 4.54 i) ; iii) y 3x 4y y 8x 2y Giải i) Đạo hàm PT đầu, sử dụng PT thứ hai PT đầu ta x 2x 5y 2x 5(3x 4y) 2x 15x 20(x 2x) / x 6x 7x PTĐT: k 6k k 1, k NTQ : x Ce t De 7t y (x 2x) / (3 / 5)Ce t De7t x 5C1e t C2 e7t Đặt C 5C1 , D C , nhận 7t t y 3C1e C2 e iii) Đạo hàm PT thứ nhất, dùng PT đầu PT thứ hệ ta x 2x 2y 2x 2(8x 2y) 2x 16x 4(2x x) / (*) x 4x 20x PTĐT: k 4k 20 k 4i NTQ PT (*): x e 2t (Ccos 4t Dsin 4t) y (2x x) / e 2t (2D cos 4t 2Csin 4t) x (Ccos 4t D sin 4t)e 2t NTQ hệ cho 2t y ( 2Dcos 4t 2Csin 4t)e *CÔNG BỐ KẾT QUẢ điểm Quá trình, điểm thường xuyên Học viên thắc mắc – Giáo viên trả lời điểm Quá trình – Thường xuyên Để giải PTVP cấp cao ta dùng PP nào? b) Thảo luận - Phương pháp khử để giải hệ PTVP c) Tự học 24(e); 26(h, i, j); 27(c); 30(d, e, f); 31(b); 32; 33(a, b, c) d) Bài tập (2t) Tài liệu [1], tr Tài liệu 139 PT phân ly PT Nhất PT tuyến tính TĨM TẮT CHƯƠNG Dạng: f (x)dx g(y)dy f (x)dx g(y) dy C y Dạng: y f x Đặt y u(x).x y ux u , đưa PT phân ly Dạng: y p(x)y q(x) p(x) dx p(x) dx dx NTQ: y e C q(x)e Dạng: y p(x)y q(x)y ( ) PT PTVP Bernoulli cấp Chia hai vế cho y , đặt z y1 đưa PTTT Q P Dạng: P(x, y) dx Q(x, y) dy PT VP x y Toàn y x phần TPTQ: u(x, y) P(x, y )dx Q(x, y) dy C x0 PTVP cấp hai Q P (x) dx Thừa số x y Q (x) : Chọn (x) e tích P Q (y) dy phân (y) : Chọn (y) e y x P F(x, y, y) (vắng y): Đặt y p p(x) , y p Giảm cấp F(y, y, y) (vắng x) : Đặt y p(y) , y p.p Dạng: y p(x)y q(x)y f (x) PT Thuần nhất: y p(x)y q(x)y tuyến tính Cấu trúc nghiệm: y C1y1 (x) C y (x) y Tìm nghiệm ĐLTT PT y1 (x) y2 (x) PP Tìm nghiệm riêng y C1 (x) y1 (x) C (x) y (x) : biến thiên C1 y1 C2 y số C1 y1 C2 y2 f (x) Thuần nhất: Bảng 4.1 Vế phải đặc biệt: Bảng 4.2 Cấp cao, vế phải đặc biệt: Bảng 4.3 PP khử Đưa PT cấp cao PP Tìm số tích phân đầu Tổ hợp Hệ số Dùng PP khử để đưa PT cấp cao Dùng PP Euler Hệ số Hệ PTVP y0 140 Bài giảng 14-15: Ôn tập Chương, mục: Tiết thứ: 65-75 Mục đích, yêu cầu: Tuần thứ: 14- 15 Củng cố kiến thức môn học Sẵn sàng để thi hết mơn - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường P2 phân công - Nội dung chính: Ơn tập hết mơn Chữa chưa có điều kiện chữa Làm lại ví dụ chưa kịp giới thiệu (Bài 15- tuần cuối: Giáo viên làm chính) Nhắc lại câu hỏi lý thuyết, cách học chúng Hướng dẫn thi hết môn Một số kinh nghiệm thi Nhắc lại tinh thần nghiêm túc thi cử Nhắc số quy đinh kỳ thi 141