bài giảng giải tích một biến phần 2

Chương 3 TÍCH PHÂN 3.1. Tích phân bất định Định nghĩa 3.1 Nguyên hàm. Hàm F (x) gọi là một nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) nếu F  (x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). Ví dụ 3.1 Hàm sin x là một nguyên hàm của cos x trên toàn trục số. Định nghĩa 3.2 Tích phân bất định. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b) được gọi là tích phân bất định của hàm số f(x) và kí hiệu là  f(x)dx = F (x) + C trong đó f(x) là hàm dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x là biến tích phân. Chú ý 3.1 Ta có 1.   f(x)dx   = f(x) 2. d   f(x)dx  = f(x)dx 3.  F  (x)dx =  d(F (x)) = F (x) + C Bảng tích phân cơ bản. 1.  x α dx = x α+1 α+1 + C, (α = 1) 2.  dx x = ln |x| + C 3.  a x dx = a x ln a + C 4.  sin xdx = −cos x + C 5.  cos xdx = sin x + C 6.  dx cos 2 x = tan x + C 7.  dx sin 2 x = −cot x + C 8.  dx √ 1−x 2 = arcsin x + C = −arccos x + C TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 55 9.  dx 1+x 2 = arctan x + C = −arccotx + C Định lý 3.1 Nếu hàm f(x) liên tục trên (a, b) thì  f(x)dx tồn tại trên khoảng (a, b). Các tính chất của tích phân bất định. • Tính chất tuyến tính  [λf(x) + µg(x)] dx = λ  f(x)dx + µ  g(x)dx. • Nếu  f(x)dx = F (x) + C thì  f(u)du = F (u) + C. 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân. Biến đổi đại số, biến đổi lượng giác, biến đổi vi phân. Ví dụ 3.2  dx √ x + √ x + 1 =   √ x + 1 − √ x  dx =  (x + 1) 1/2 d(x + 1) −  x 1/2 dx = 2 3 (x + 1) 3/2 − 2 3 x 3/2 + C Ví dụ 3.3  dx sin 2 x cos 2 x =  sin 2 x + cos 2 x sin 2 x cos 2 x dx =  dx cos 2 x +  dx sin 2 x = tan x − cot x + C Ví dụ 3.4  sin(ax)dx = 1 a  sin(ax)d(ax) = − 1 a cos(ax) + C Ví dụ 3.5  cos(ax)dx = 1 a sin(ax) + C Ví dụ 3.6  dx √ a 2 − x 2 =  d( x a )  1 −  x a  2 = arcsin x a + C TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 56 Ví dụ 3.7  dx a 2 + x 2 = 1 a  d  x a  1 +  x a  2 = 1 a arctan x a + C Ví dụ 3.8  x 3 dx 1 + x 4 = 1 4  d(1 + x 4 ) 1 + x 4 = 1 4 ln |1 + x 4 | + C Ví dụ 3.9  dx x(1 + x) =   1 x − 1 x + 1  dx = ln |x|−ln |x+1|+C = ln     x x + 1     +C Ví dụ 3.10  sin(3x) cos xdx = 1 2  (sin(4x) + sin(2x))dx = − 1 2  cos(4x) 4 + cos(2x) 2  + C = 1 4  cos 4x 2 + cos 2x  + C Ví dụ 3.11  ln xdx x =  ln xd(ln x) = 1 2 ln 2 x + C Phương pháp tích phân từng phần. Từ công thức đạo hàm (uv)  = u  v + uv  ta có công thức tích phân từng phần  udv = uv −  vdu Ví dụ 3.12  ln xdx = x ln x −  xd(ln x) = x ln x −  dx = x ln x − x + C = x(ln x −1) + C Ví dụ 3.13  xe x dx =  xd(e x ) = xe x −  e x dx = xe x − e x + C = e x (x − 1) + C Ví dụ 3.14  x ln(x + √ 1 + x 2 ) √ 1 + x 2 dx =  ln(x +  1 + x 2 )d(  1 + x 2 ) =  1 + x 2 ln(x +  1 + x 2 ) −   1 + x 2 1 + x √ 1+x 2 x + √ 1 + x 2 dx =  1 + x 2 ln(x +  1 + x 2 ) −  dx =  1 + x 2 ln(x +  1 + x 2 ) − x + C TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 57 Chú ý 3.2 Khi gặp các dạng sau thì ta dùng tích phân từng phần 1. Dạng  P n (x)    ln x arctan x arcsin x    dx thì ta đưa đa thức P n (x) vào dấu vi phân rồi tích phân từng phần. 2. Dạng  P n (x)    e x sin x cos x    dx thì ta đưa hàm siêu việt vào dấu vi phân rồi tích phân từng phần n lần. 3. Dạng  e αx  sin βx cos βx  dx thì ta đưa một trong hai thừa số vào dấu vi phân rồi tích phân từng phần hai lần làm xuất hiện tích phân cần tìm với hệ số khác 1 rồi chuyển vế suy ra kết quả. Ví dụ 3.15  (x 2 + x −1) ln xdx =  ln xd( x 3 3 + x 2 2 − x) = ( x 3 3 + x 2 2 − x) ln x −  ( x 3 3 + x 2 2 − x) 1 x dx = ( x 3 3 + x 2 2 − x) ln x − x 3 9 − x 2 4 + x + C Ví dụ 3.16  (x 2 − x + 2) cos xdx =  (x 2 − x + 2)d(sin x) = (x 2 − x + 2) sin x −  (sin x)(2x − 1)dx = (x 2 − x + 2) sin x + (2x − 1) cos x −2  cos xdx = (x 2 − x + 2) sin x + (2x − 1) cos x −2 sin x + C = (x 2 − x) sin x + (2x −1) cos x + C TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 58 Ví dụ 3.17  e x sin xdx =  sin xde x = e x sin x −  e x cos xdx = e x sin x −  cos xd(e x ) = e x sin x − e x cos x +  e x (−sin x)dx Vậy 2  e x sin xdx = e x (sin x − cos x) + C  ⇒  e x sin xdx = e x (sin x − cos x) 2 + C Đổi biến số tích phân. Có hai cách đổi biến x = ϕ(t) hoặc t = ψ(x). Chú ý sau khi đổi biến thì ta viết biểu thức dưới dấu tích phân về biến t. Khi tính được tích phân theo biến t rồi thì ta phải viết kết quả trở lại biến x. Ví dụ 3.18 Tính tích phân bất định I =  √ a 2 − x 2 dx, a > 0. Giải. Đặt x = a sin t, − π 2 ≤ t ≤ π 2 thì dx = a cos tdt, √ a 2 − x 2 =  a 2 − a 2 sin 2 t = a √ cos 2 t = a cos t. Do đó I =  a cos t.a cos tdt = a 2  cos 2 tdt = a 2  1 + cos 2t 2 dt = a 2 2 (t + sin 2t 2 ) + C Vì x = a sin t, − π 2 ≤ t ≤ π 2 nên t = arcsin x a . Ta có sin 2t = 2 sin t cos t = 2 x a  1 −  x a  2 = 2x √ a 2 − x 2 a 2 Vậy   a 2 − x 2 dx = a 2 2 arcsin x a + x 2  a 2 − x 2 + C Ví dụ 3.19 Tính tích phân bất định I =  dx √ x 2 ± a 2 TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 59 Giải. Đặt t = √ x 2 ± a 2 thì dt = xdx √ x 2 ±a 2 hay là dx √ x 2 ± a 2 = dx t = dt x = dx + dt x + t = d(x + t) x + t Vậy I =  dx √ x 2 ± a 2 =  d(x + t) x + t = ln |x + t|+ C Trở lại biến x  dx √ x 2 ± a 2 = ln |x +  x 2 ± a 2 | + C Ví dụ 3.20 Tính tích phân bất định  √ x 2 ± a 2 dx. Giải.   x 2 ± a 2 dx = x  x 2 ± a 2 −  x 2 dx √ x 2 ± a 2 = x  x 2 ± a 2 −  x 2 ± a 2 ∓ a 2 √ x 2 ± a 2 dx = x  x 2 ± a 2 −    x 2 ± a 2 dx ∓ a 2  dx √ x 2 ± a 2  = x  x 2 ± a 2 − I ± a 2 ln |x +  x 2 ± a 2 | + C 1 Vậy   x 2 ± a 2 dx = x 2  x 2 ± a 2 ± a 2 2 ln |x +  x 2 ± a 2 | + C Ví dụ 3.21 Tính tích phân bất định  dx 2(1 + √ x) Giải. Đặt x = t 2 thì dx = 2dt. Vậy  dx 2(1 + √ x) =  2tdt 2(1 + t) =  dt −  dt t + 1 = t − ln |t + 1|+ C cuối cùng  dx 2(1 + √ x) = √ x − ln( √ x + 1) + C TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 60 Ví dụ 3.22 Tính tích phân bất định I =  dx (1 + x 2 ) 2 Giải. Đặt x = tan t thì dx = dt cos 2 t và 1 + x 2 = 1 cos 2 t Vậy I =  cos 2 tdt = 1 2  (1 + cos 2t)dt = 1 2 (t + sin 2t 2 ) + C Quay trở về biến x  dx (1 + x 2 ) 2 = 1 2  arctan x + 1 2 2x 1 + x 2  + C hay là  dx (1 + x 2 ) 2 = 1 2  arctan x + x 1 + x 2  + C Chú ý 3.3 Tổng quát đối với tích phân I n =  dx (a 2 + x 2 ) n thì ta dùng phép đổi biến x = a tan t. Hơn nữa ta có công thức truy hồi  I n+1 = 1 2na 2  x (x 2 +a 2 ) n + (2n −1)I n  I 1 = 1 a arctan x a + C Thật vậy I n =  dx (x 2 + a 2 ) n = x (x 2 + a 2 ) n −  xd  1 (x 2 + a 2 ) n  = x (x 2 + a 2 ) n +  2nx 2 (x 2 + a 2 ) n+1 dx = x (x 2 + a 2 ) n + 2n   dx (x 2 + a 2 ) n − a 2  dx (x 2 + a 2 ) n+1  = x (x 2 + a 2 ) n + 2n  I n − a 2 I n+1  Từ đó suy ra I n+1 = 1 2na 2  x (x 2 + a 2 ) n + (2n −1)I n  TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 61 Ví dụ 3.23 Tính tích phân bất định  e 2x 1 + e x dx Giải. Đặt e x = t thì x = ln t nên dx = (dt)/t. Vậy  e 2x 1 + e x dx =  t 2 1 + t dt t =  t t + 1 dt =   1 − 1 t + 1  dt = t −ln |1 + t| + C Cuối cùng  e 2x 1 + e x dx = e x − ln(1 + e x ) + C Chú ý 3.4 Nói chung dạng  R(e x )dx trong đó R(t) là hàm hữu tỉ thì đặt e x = t. Bảng tích phân mở rộng. 1.  x α dx = x α+1 α + 1 + C, α = 1 2.  dx x = ln |x| + C 3.  a x dx = a x ln a + C 4.  sin xdx = −cos x + C 5.  cos xdx = sin x + C 6.  dx cos 2 x = tan x + C 7.  dx sin 2 x = −cot x + C 8.  dx √ a 2 − x 2 = arcsin x a + C = −arccos x a + C, a > 0 9.  dx a 2 + x 2 = 1 a arctan x a + C = − 1 a arccot x a + C 10.  dx a 2 − x 2 = 1 2a ln     a + x a − x     + C, a = 0 11.  dx √ x 2 ± a 2 = ln |x +  x 2 ± a 2 | + C, a > 0 TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 62 12.   a 2 − x 2 dx = x 2  a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C, a > 0 13.   x 2 ± a 2 dx = x 2  x 2 ± a 2 ± a 2 2 ln |x +  x 2 ± a 2 | + C 3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm Định nghĩa 3.3 Hàm hữu tỉ đơn giản. Hàm hữu tỉ đơn giản hay phân số hữu tỉ đơn giản có dạng: 1. A (x − a) k , k ∈ N ∗ 2. Mx + N (x 2 + px + q) k , p 2 − 4q < 0 (đk đó là đk để mẫu vô nghiệm) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản. 1. A (x − a) k , k ∈ N ∗ • Khi k = 1 thì ta có  A x − a dx = A ln |x − a| + C • Khi k ≥ 2 thì ta có  A (x − a) k dx = A 1 − k 1 (x − a) k−1 + C 2. Mx + N (x 2 + px + q) k , p 2 − 4q < 0 Ta có x 2 +px+q = (x+ p 2 ) 2 +(q − p 2 4 ) = t 2 +a 2 trong đó t = x + p 2 , a 2 = q − p 2 4 .  Mx + N (x 2 + px + q) k dx =  M(t − p 2 ) + N (t 2 + a 2 ) k dt = M  tdt (t 2 + a 2 ) k + (N − Mp 2 )  dt (t 2 + a 2 ) k = M 2 1 1 − k 1 (t 2 + a 2 ) k−1 + (N − Mp 2 )I k Ví dụ 3.24 Tính tích phân I =  3x + 2 (x 2 + x + 1) 2 dx TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 63 Giải.  3x + 2 (x 2 + x + 1) 2 dx = 3 2  2x + 1 (x 2 + x + 1) 2 dx + 1 2  d  x + 1 2    x + 1 2  2 +  √ 3 2  2  2 = − 3 2 1 x 2 + x + 1 + 1 2  dt (t 2 + α 2 ) 2 trong đó t = x + 1 2 và α = √ 3 2 . Ta tính I 1 =  dt (t 2 + α 2 ) 2 Đặt t = α tan u thì dt = αdu cos 2 u và 1 (t 2 +α 2 ) 2 = cos 4 u α 4 . Từ đó ta có I 1 = 1 α 3  cos 2 udu = 1 α 3  1 + cos 2u 2 du = 1 2α 3  u + sin 2u 2  + C = 1 2α 3  u + tan u 1 + tan 2 u  = 1 2α 3  arctan t α + t α 1 +  t α  2  = 1 2α 3  arctan t α + αt α 2 + t 2  = 1 2  √ 3 2  3  arctan x + 1 2 √ 3 2 + √ 3 2 (x + 1 2 ) 3 4 + (x + 1 2 )  + C = 4 3 √ 3  arctan 2x + 1 √ 3 + √ 3 4 2x + 1 x 2 + x + 1  + C Cuối cùng I = − 3 2 1 x 2 + x + 1 + 2x + 1 6(x 2 + x + 1) + 2 3 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C = x − 4 3(x 2 + x + 1) + 2 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C Định nghĩa 3.4 Hàm hữu tỉ. Hàm hữu tỉ là hàm có dạng f(x) = P n (x) Q m (x) trong đó P n (x), Q m (x) là các đa thức tương ứng có bậc m, n và không có nghiệm chung. • Nếu n < m thì f(x) gọi là hàm hữu tỉ thực sự. TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com [...]... dt, (2t 1 )2 x+ x2 x + 1 = t Thay vo tớch phõn ban u ta c 2t2 2t + 2 dt t(2t 1 )2 2 3 3 = + dt t 2t 1 (2t 1 )2 3 1 3 = + 2 ln |t| ln |2t 1| + C 2 2t 1 2 3 1 3 = ln |2x + 2 2 2x + 2 x2 x + 1 1 2 I= x2 x + 1 1| + 2 ln |x + Chỳ ý 3.6 Vi tớch phõn trờn vỡ c = 1 > 0 nờn ta cú th t Khi ú x= 2t 1 , t2 1 dx = 2 t2 t + 1 dt, (t2 1 )2 x2 x + 1 = x2 x + 1| x2 x + 1 = tx 1 t2 t + 1 t2 1... hm Dng ax2 + bx + cdx a v cỏc tớch phõn cỏch tớnh t2 2 dt õy l cỏc tớch phõn ta ó bit 2 t2 dt hay Vớ d 3 .29 2x2 = x 3dx = 1 4 x 2 2 2 x 1 x 4 2 1 2 4 5 2 4 2 = x 1 4 x2 2 ( 5 )2 4 2 5 4 2 d x 1 4 1 ln |(x + ) + 4 x 3 25 1 ln x + 2 2 16 4 x 1 4 x 3 2 2 x2 2 5 4 2 | + C +C Vớ d 3.30 1 2x x2 dx = 2 (x 1 )2 d(x 1) (x 1) 1 + 2x x2 x1 = + arcsin + C 2 2 Dng mx + n dx ax2 + bx... Vớ d 3 .26 Tỡm tớch phõn bt nh x2 + 2x 1 2x3 + 3x2 2x Gii Ta cú 2x3 + 3x2 2x = x(2x 1)(x + 2) Xột dng phõn tớch x2 + 2x 1 A B C = + + 3 + 3x2 2x 2x x 2x 1 x + 2 Quy ng mu s ta c x2 + 2x 1 = A(2x 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x 1) 1 Cho x = 0 suy ra A = 2 1 Cho x = 2 suy ra C = 10 1 1 Cho x = 2 suy ra B = 5 Vy x2 + 2x 1 = 2x3 + 3x2 2x 11 1 1 1 1 + dx 2 x 5 2x 1 10 x + 2 1 1 1 ln |2x 1|... t 7x 10 x2 = t(x 2) Khi ú ta cú 5 + 2t2 6tdt 3t x= , dx = , 7x 10 x2 = 2 2 )2 1+t (1 + t 1 + t2 Thay vo tớch phõn ban u ta c 5 + 2t + C t 2 7x 10 x2 2 5(x 2) = +C 9 x2 7x 10 x2 2 7x 20 = +C 9 7x 10 x2 I= 2 9 5 2 + 2 dt = 2 t 9 Chỳ ý 3.7 Ta cú th a tớch phõn do t = 7x 10 x2 x2 R x, ax2 + bx + c dx v mt trong ba dng t 2 2 1 R(u, 2 u2 )du t u = sin t, 2 R(u, 2 + u2 )du t u... 2x I= vi x > 0 Gii t x = 1 t khi ú t > 0 v dx = dt Vy t2 1 I= 1 t = 2 t2 2 t dt 2 +1 t dt = t2 2t + 2 dt (t 1 )2 + 1 t2 2t + 2| + C 1 x + 2x2 2x + 1 +C = ln x = ln |t 1 + Dng R x, ax2 + bx + c dx Dựng phộp th Euler Nu a > 0 thỡ t ax2 + bx + c = t ax Khi ú chng hn trong trng hp du tr thỡ bx + c = t2 2 atx hay t2 c x= 2 at + b suy ra at2 + bt + c a dx = 2 dt 2 (2 at + b) v ax2... 1+t2 Hn na 2 + sin2 x 2( 1 + tan2 x) + tan2 x 2 + 3t2 = = 2 2 x) 1 2x 2 cos 2t + 1 2( 1 + tan Thay vo tớch phõn ban u ta c (2 + 3t2 )dt (2t2 + 1)(1 + t2 ) 1 1 = + dt 2t2 + 1 1 + t2 1 = arctan(t 2) + arctan t + C 2 1 = arctan( 2 tan x) + x + C 2 I= Vớ d 3.39 Tớnh tớch phõn I= cos3 x dx 1 + sin x Gii Hm di du tớch phõn l hu t i vi sin x v cos x hn na nú l i vi cos x nờn t sin x = t Vy (1 sin2 x)d(sin... tớch phõn I= dx 3 (x 1)(x + 1 )2 Gii Ta cú I= 3 x + 1 dx x1x+1 t 3 x+1 = t, x1 x+1 = t3 , x1 dx = 6t2 dt , (t3 1 )2 x+1= 2t3 t3 1 Thay vo tớch phõn ban u ta c I= t t3 1 6t2 dt = 3 2t3 (t3 1 )2 = ln |t 1| + 1 2 t2 t3 dt = 1 2t + 1 3 dt +t+1 2 dt + t1 1 d(t + 2 ) (t + 1 )2 + 2 (t + 2) dt t2 + t + 1 3 2 2 1 3 1 t + 1 /2 ln(t2 + t + 1) + arctan +C 2 2 3 /2 3 /2 t2 + t + 1 2t + 1 x+1 = ln( ) + 3 arctan... 2a 2ax + b mb dx + n 2a ax2 + bx + c dx ax2 + bx + c õy l cỏc tớch phõn ta ó bit cỏch tớnh Vớ d 3.31 (2x + 3)dx = x2 2x + 2 (2x 2) dx +5 x2 2x + 2 dx (x 1 )2 + 1 = 2 x2 2x + 2 + 5 ln |x 1 + x2 2x + 1| + C Dng dx (x )k ax2 + bx + c t x = 1 t s dn n tớch phõn dng trờn TS NGUYN C HU http://nguyenduchau.wordpress.com 67 3.3 Tớch phõn bt nh ca mt vi lp hm Vớ d 3. 32 Tớnh tớch phõn dx 2 2x... ban u ta c 2t2 + 2t 2 dt t(t 1)(t + 1 )2 2 1 1 3 1 3 t 2 t 1 2 t + 1 (t + 1 )2 I= = dt 3 1 3 x2 x + 1 + 1 = + 2 ln |t| ln |t 1| ln |t + 1| + C chỳ ý t = t+1 2 2 x 3x 1 = + 2 ln | x2 x + 1 + 1| | x2 x + 1 x + 1| 2 x2 x + 1 3 ln | x2 x + 1 + x + 1| + C 2 Nu thay C = C + 3 2 thỡ hai kt qu trờn l nh nhau Vớ d 3.34 Tớnh tớch phõn I= xdx (7x 10 x2 )3 Gii Vỡ 7x 10 x2 = (x 2) (5 x) nờn... 2 x 5 2x 1 10 x + 2 1 1 1 ln |2x 1| ln |x + 2| + C = ln |x| + 2 10 10 Tớch phõn ca hm vụ t Dng dx ax2 + bx + c dt dt hay õy l cỏc tớch phõn ta ó 2 t2 2 2 t a v tớch phõn dng bit cỏch tớnh Vớ d 3 .27 dx 1 = 2x3 2 2x 1 = ln 2 d(x 1 ) 4 x x 1 4 1 2 4 + 5 2 4 x 1 4 2 5 4 2 +C Vớ d 3 .28 dx = 1 + 2x x2 d(x 1) x1 = arcsin + C 2 ( 2) 2 (x 1 )2 TS NGUYN C HU http://nguyenduchau.wordpress.com . a 2 −  x 2 ± a 2 ∓ a 2 √ x 2 ± a 2 dx = x  x 2 ± a 2 −    x 2 ± a 2 dx ∓ a 2  dx √ x 2 ± a 2  = x  x 2 ± a 2 − I ± a 2 ln |x +  x 2 ± a 2 | + C 1 Vậy   x 2 ± a 2 dx = x 2  x 2 ± a 2 ± a 2 2 ln. = dt 1+t 2 . Hơn nữa 2 + sin 2 x 2 − cos 2 x = 2( 1 + tan 2 x) + tan 2 x 2( 1 + tan 2 x) − 1 = 2 + 3t 2 2t 2 + 1 Thay vào tích phân ban đầu ta được I =  (2 + 3t 2 )dt (2t 2 + 1)(1 + t 2 ) =   1 2t 2 +. vào tích phân ban đầu ta được I =  2t 2 − 2t + 2 t(2t − 1) 2 dt =   2 t − 3 2t − 1 + 3 (2t − 1) 2  dt = − 3 2 1 2t − 1 + 2 ln |t|− 3 2 ln |2t − 1|+ C = − 3 2 1 2x + 2 √ x 2 − x + 1 −1 − 3 2 ln