Bài giảng giải tích nhiều biến

GII TCH NHIU BIN S Bi PGS TS NGUYN XUN THO Đ 18.7 H TO TR, H TO CU Cỏc dng toỏn c bn H to tr H to cu Ngoi h to vuụng gúc quen thuc, chỳng ta s lm quen vi hai h to khỏc khụng gian ba chiu giỳp ớch cho vic gii quyt cỏc bi toỏn c bit l: H to tr v h to cu H to tr P(x, y, z) to vuụng gúc x = rcos, y = rsin, z = z, ; = (OP, Ox) y Cú r2 = x2 + y2, tan = , z = z x Hỡnh 18.39 (r ; ; z) Vớ d Tỡm to tr ca cỏc im P2 bit to vuụng gúc tng ng ca chỳng l (2 ; ; 5) i vi P2 cú r = 12 + = tan = = z=5 ; To tr l ; Vớ d Mụ t cỏc mt cong a) r(2cos + 5sin) + 3z = b) r + z = a) Cú x = rcos, y = rsin 2x + 5y + 3z = l phng trỡnh mt phng b) Giao ca mt phng r + z = vi mt phng x = l ng thng y + z = Giao ca mt phng r + z = vi mt phng y = l ng thng x + z = Phng trỡnh khuyt nờn mt cong i xng vi trc Oz Mt cong l mt nún c to thnh quay ng thng y + z = quanh trc Oz Vớ d Tỡm phng trỡnh h to tr cho: a) Mt cu x2 + y2 + 2z2 = b) Hyperbol paraboloid z = x2 y2 a) x = rcos, y = rsin, ; z = z r2 cos2 + y2sin2 + 2z2 = r2 + 2z2 = b) z = (rcos)2 (rsin)2 z = r2cos2 Chỳ ý Trong vt lý, h to tr c bit thun li cỏc bi toỏn cú trc i xng Cú hai lp bi toỏn quan trng: Mt liờn quan ti dũng nhit tr rn, mt l dao ng ca mng trũn nh mng trng H to cu P(x, y, z) x = sin cos , y = sin sin, z = cos, , 2, = (OP, Oz), = (OP', Ox) x2 + y2 + z2 = 2sin2 cos2 + 2sin2 sin2 + cos2 = 2sin2 + 2cos2 = x2 + y sin sin tan = = = cos cos z y tan = x (, , ) Vớ d Tỡm phng trỡnh h to cu ca hỡnh cu x2 + y2 + z2 2az = 0, a > x=sin cos, y = sin sin, z = cos 2a cos = ( 2a cos) = = hoc = 2acos = 2acos l phng trỡnh mt cu bỏn kớnh a v tip xỳc vi mt phng Oxy ti gc to x + y + ( z a)2 = a2 Vớ d a) Tỡm to cu cho im P ; ; ( ) b) Tỡm to vuụng gúc ca im cú to cu sau ; ; a) = 2 ( ) ( ) ( + + ) = 16 =4 ( ) ( ) tan = = 2 = tan = = + y =1 x P ; ; Hỡnh 18.41 b) x = 6sin y = 6sin z = 6cos cos = sin = =0 P( ; ; 0) Vớ d Mụ t mt cong sau bit phng trỡnh to cu ca nú l = 2a sin Ta bit mt cong trũn xoay quanh trc Oz (vỡ khuyt ) Trong mt phng yOz, phng trỡnh = 2a sin biu din ng trũn bỏn kớnh a vỡ = 2a sin 2cos2 + 2sin2 = 2a sin z2 + y2 = 2ay z2 + (y a)2 = a2 Quay ng trũn núi trờn quanh trc Oz, c mt Hỡnh 18.42 xuyn Cỏc dng toỏn c bn Tỡm to tr ca im cú to vuụng gúc 1(tr 55) c) ( ; ; ) +) z = 2, x = 3, y = +) r = x + y = y +) tan = = = x +) ; ; Tỡm to cu ca im cú to vuụng gúc sau 3(tr 55) a) (1; 1; ) +) x = 1, y = 1, z = +) r = x + y + z = 2 y +) tan = = = x x2 + y 2 +) tan = = = = z 6 +) 2 ; ; Tỡm phng trỡnh to tr ca cỏc mt cong cú phng trỡnh to vuụng gúc cho trc 5(tr 56) x2 + y2 + z2 = 16 (mt cu) +) x = cos, y = sin, z = z +) + z2 = 16 7(tr 56) x2 + y2 = z2 (mt nún) +) x = cos, y = sin, z = z +) = z2 9(tr 56) x2 + y2 2y = (mt tr) +) x = cos, y = sin, z = z +) sin = = 2sin Tỡm phng trỡnh to cu cho cỏc mt cong cú phng trỡnh to vuụng gúc cho trc 13(tr 56) x2 + y2 + z2 = 16 (hỡnh cu) +) x = sin cos , y = sin sin, z = cos +) sin2 cos2 + sin2 sin2 + cos2 = 16 +) = 16 +) = 15(tr 56) x2 + y2 + z2 6z = (mt cu) +) x = sin cos , y = sin sin, z = cos +) cos = +) = 6cos 17(tr 56) z = x2 y2 +) x = sin cos , y = sin sin, z = cos +) cos = 2sin2 +) cos + 2sin2 = Đ 19.1 Hm nhiu bin, o hm riờng, vi phõn Hm nhiu bin s Cỏc dng toỏn c bn Liờn tc I Hm nhiu bin s nh ngha Hm hai bin s z = f(x, y) l ỏnh x: f : D ằìằ ằ ( x, y ) z = f ( x, y ) Ngha l, mi (x, y) D cú tng ng nht vi mt s thc z ằ Vớ d z = x2 + y2 l hm hai bin s Vớ d z2 = a2 x2 y2, a > khụng phi l hm hai bin s vỡ x = y = a nh ngha Hm ba bin s u = f(x, y, z) l ỏnh x tr tng ng l z = a cú hai giỏ f: D ằìằìằ ằ ( x ;y ;z) u = f ( x, y , z ) Vic biu din hm ba bin gp khú khn vỡ ú phi cn n khụng gian chiu nh ngha Min xỏc nh ca hm z = f(x, y) l {(x, y) ằìằ: z = f(x, y)} Min giỏ tr ca hm z = f(x, y) l {zằ: z = f(x, y), (x, y) MX} Vớ d z = x2 + 4y2 MX: ằ2 MGT: z Vớ d z = x y MX: x2 + y2 MGT: z Vớ d z = ln(x2 + y2 4) MX: x2 + y2 > MGT: ằ Vớ d z = y2 ln x y2 y2 y2 2 MX: x > v x x + < b i im (0 ; 0) 2 MGT: z Liờn tc nh ngha Hm s z = f(x, y) c gi l liờn tc ti (x0 ; y0) thuc MX > tu ý, () > 0: (x ; y) MX cho ( x x0 )2 + ( y y )2 < ( ) thỡ cú |f(x, y) f(x0, y0)| < Hm s c gi l liờn tc nu nh liờn tc ti mi im thuc MX Vớ d z = xy MX: ằ ( x0 ; y ) ằ cú |xy x0y0| = |xy xy0 + xy0 x0y0| =|x(y y0) + y0(x x0)| |x||y y0| + |y0||x x0| |c||y y0| + |y0||x x0|, |x| < c Chn () = ; y 2c xy x0 y < c 2c + y0 y0 = + Chỳ ý f(x, y) liờn tc ti (x0, y0) = lim ( x , y ) ( x0 , y ) f ( x, y ) = f ( x0 , y ) xy Vớ d f ( x, y ) = x + y Xột tớnh liờn tc ti im (0 ; 0) (0 ; 0) thuc MX ( x ; y ) (0 ; 0) ( x ; y ) = (0 ; 0) x2 Chn x = y cú lim f ( x, y ) = lim = x = y x x f(0, 0) = f(0, 0) lim f ( x, y ) x = y khụng liờn tc ti (0 ; 0) Hm n bin s (n 3) a) Hm ba bin w = f(x, y, z) th cú dng nh mt cong ba chiu khụng gian bn chiu Min xỏc nh D nm mt phng to ba chiu cha tt c cỏc im cú dng (x, y, z, 0) b) Hm n bin w = f(x1, x2, , xn), n th cú dng nh mt cong n chiu khụng gian (n + 1) chiu Cỏc dng toỏn c bn Tỡm MX ca cỏc hm s sau 3(tr 61) f = xy +) x 0, y hoc x 0, y +) Gúc phn t th v th 5(tr 62) f = ln(y 3x) +) y > 3x +) Phớa trờn ng thng y = 3x 9(tr 62) f = 16 x y z +) x2 + y2 + z2 16 +) Hỡnh cu tõm (0 ; ; 0) bỏn kớnh R = xy , ( x, y ) ( 0, ) 2 13(tr 62) CMR f ( x, y ) = x + y ( x, y ) = ( 0, ) liờn tc ti gc to +) x = r cos, y = r sin r cos sin , r +) f ( r , ) = r =0 l hm liờn tc Đ 19.2 Hm nhiu bin, o hm riờng, vi phõn f ( x +x ) f ( x ) x x Cú cỏch no dng k thut trờn nghiờn cu hm hai bin s? Cho hm hai bin z = f(x, y), ta xột f(x, y0) vi y0 c nh v xột f ( x0 + x,y ) f ( x0 , y ) x f ( x0 + x, y ) f ( x0 , y ) d Ta cú lim = f ( x, y ) x x dx x = x0 o hm riờng cp z f ( x0 + x, y ) f ( x0 , y ) a) nh ngha zx ( x0 , y ) ( x0 , y ) = lim x0 x x 3 Vớ d z(x, y) = x 3x y + y , tớnh zx ( x0 , y ) d d = = (3 x xy 03 ) x =x0 = x02 x0 y 03 zx ( x0 , y ) = z( x, y ) ( x x y 03 + y 02 ) dx dx x = x0 x = x0 Ta ó bit i vi hm mt bin y = f(x) cú nh ngha y ( x ) = lim Vớ d z( x, y ) = xe xy Tớnh zx (2,3) d zx (2,3) = ( xe9 x ) = (e9 x + xe9 x ) x=2 =e18 + 18e18 = 19e18 dx x =2 f ( x0 , y + y ) f ( x0 , y ) d Tng t ta cú lim = f ( x0 , y ) y y dy y =y z f ( x0 , y + y ) f ( x0 , y ) ( x0 , y ) = lim y y y Vớ d z(x, y) = 3x 6xy , tớnh zy (3,2) d d zy (3,2) = z(3, y ) = (27 18 y ) = 54 y y =2 = 216 dy dy y =2 y =2 nh ngha zy ( x0 , y ) Vớ d z( x,y ) = xe xy , tớnh zy ( x0 ,y ) d d = ( x0e x0 y ) = x0 (2yx0 )e x0 y y =y0 = x02 y 0e x0 y zy ( x0 ,y ) = z( x0 ,y ) dy dy y =y y =y Vớ d z(x, y) = xy, tớnh zx (2,3) v zy (2,3) d d +) zx (2,3) = z( x,3) = ( x ) =3x2|x = = 12 dx dx x =2 x =2 d d y = +) zy (2,3) = z(2, y ) = 2y ln2 y =3 = 8ln2 dy dy y =3 y =3 Cú th m rng kt qu nh trờn cho hm s vi s lng bin bt k Vớ d w(x, y, z, u, v) = xy2 + 2x3 + xyz + zu + tan(uv) Tớnh cỏc o hm riờng w w w w w = y + x + yz ; = xy + xz ; = xy + u ; = z + v sec (uv ) ; = u sec (uv ) y x z u v Chỳ ý dy i vi hm mt bin s y = y(x) chỳng ta cú th hp phỏp hoỏ l phõn s dx Khụng th dng chỳ ý trờn cho hm nhiu bin, tc l khụng th hp phỏp z l phõn s hoỏ x Vớ d nh lut khớ lớ tng núi rng s lng khớ ó cú, ỏp sut P, th tớch V, nhit tuyt i T c liờn h vi bi phng trỡnh PV = nRT, ú n l s lng phõn t gam khớ iu kin lớ tng, R l hng s nRT P nRT P= ; = V V V nRT V nR V= ; = P T P PV T V T= ; = nR P nR P V T nRT nR V nRT = = = V T P V P nR PV Trong nu dng kt qu tng t nh i vi hm mt bin s thỡ s cú P V T =1 V T P z ( x0 ,y ) = tan , l gúc to bi tip tuyn ca ng x cong z(x, y0) ti x = x0 vi chiu dng trc Ox z Tng t cú ( x0 ,y ) = tan , l gúc to bi tip y tuyn ca ng cong z(x0, y) ti y = y0 vi chiu dng trc Oy Hỡnh 19.5 b) Tớnh cht Tuyn tớnh: ( u( x, y ) + u( x, y )) = u( x, y ) + v ( x, y ) x x x u ( x, y ).v ( x, y )) = v ( x, y ) u ( x, y ) + u ( x, y ) v ( x, y ) ( x x x v x , y u x , y u x , y v ( x, y ) ( ) ( ) ( ) u ( x, y ) x x = x v ( x, y ) v ( x, y ) Cỏc dng toỏn c bn Tớnh cỏc o hm riờng z z , x y 2y 3(tr 68) z = 3x + z +) = 2y x ( x + 1)2 z 4y = +) y x + 5(tr 68) z = x2siny z = x sin y +) x z +) = x cos y y 7(tr 68) z = x tan2y + y tan3x z +) = tan 2y + y sec x x z +) = x.2sec 2y + tan3 x y 9(tr 68) z = cos(3x y) z +) = sin ( x y ) x z +) = sin ( x y ) y 11(tr 68) z = ex siny z +) = e x sin y x z +) = e x cos y y 13(tr 68) z = ey lnx2 z 2x = ey = ey +) x x x z +) = e y ln x y GII TCH NHIU BIN S Bi PGS TS NGUYN XUN THO Đ Hm nhiu bin, o hm riờng, vi phõn (19.2) (tip theo) o hm riờng cp cao a) o hm riờng cp hai z = z(x, y) nh ngha 2z 2z z z z 2z z zxx = z ; zyy = ; zyx = = ; zxy y x y x x x x y y y xy x y Th t cỏc o hm riờng khụng phi luụn luụn to nờn s khỏc bit, chng hn xột vớ d sau: z(x, y) = x3e5y + ysin2x zx = x 2e5 y + 2y cos2 x zy = x 3e5 y + sin2 x zxy =15 x 2e5 y + 2cos2 x zyx =15 x 2e5 y + 2cos2 x Nhn thy zxy = zyx nh lý Cho z = f(x, y) cú fxy , fyx xỏc nh lõn cn (x0, y0) v liờn tc ti (x0, y0), ú ta cú fxy ( x0 ,y ) = fyx ( x0 ,y ) Chng minh (xem trang 380) b) Cỏc o hm riờng cp ln hn Cho hm w = f(x, y, z), tng t ta cú nh ngha 3f 2f f = = = fzyx xy z x y z x y z 4f 3f 2f = = = fxxyz zy x z y x z y x Nu cỏc o hm riờng ny liờn tc thỡ luụn i c th t m khụng thay i kt qu IV S gia v vi phõn B c bn y a) Cho hm s f(x) kh vi ti x0, ta cú f ( x0 ) = lim vi y = f(x0 + x) f(x0) x x y = f ( x0 ) + vi lim = x x Ta cú y = f(x0)x + x Cú th phỏt trin tng t kt qu trờn cho hm hai bin? b) Cho hm hai bin s z = f(x, y) cú fx ( x0 , y ) , fy ( x0 , y ) , cú hay khụng biu din sau? z = f(x0 + x, y0 + y) f(x0, y0) = fx ( x0 , y ) x + fy ( x0 , y ) y + x + 2y ú v x v y { - x BC ) E I - L 67 C 'G) " I - s % $%- C" 6#, ?< FGH) _ !h ! "9 Z G "! I ! I "9 Z I ( _ r / " # $3 -S \ s E "S h v - 6+ +1 / " # $3 ,5 = ( ) % - E ( 6-HC 0) $%- U-S $%.! 06 # 6J! "-S n 6+ % / $0 % / E) ! BC) U0 ) G`7 $0- L CL / )MC 6K [ h !I < - h G F + ,-O + U-S # ! I "S G 0) 'E 'R ( ) -( I - 6+ < A "S U-S C / - G IH C : Um ? < Z 6+ A "S h R D \ C7 $0! U-S !0< V: > < T! 6+ ( =Y ( [...]... 10 GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Bài 5 PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § 19.7 Bài toán giá trị cực đại và cực tiểu • Dạng toán cơ bản • Cực trị • Cách tìm Đặt vấn đề • Đối với hàm một biến số, ta đã biết một trong những ứng dụng cơ bản của đạo hàm là nghiên cứu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu • Bài toán giá trị cực đại, cực tiểu của hàm nhiều biến số phức tạp hơn nhiều Ta giới hạn nghiên cứu đối với hàm hai biến. .. trong thực hành có ưu điểm sau: • Không phải băn khoăn về tính đối xứng trong bài toán vì có thể lựa chọn một biến độc lập bất kì • Việc đưa thêm vào λ như một biến khác sẽ khử đi một ràng buộc • Dễ dàng mở rộng cho trường hợp nhiều biến hơn và nhiều ràng buộc hơn 2 Một số ví dụ Ví dụ 1 Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính a Gọi các kích thước... nâng cao 1 Phương pháp nhân tử Lagrange a) Hàm hai biến với một điều kiện ràng buộc Tìm giá trị cực đại của hàm số z = f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = 0 Đặt L(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y) ∂L ∂L ∂L Ta có = 0, = 0, = 0 , ở đó biến λ được gọi là biến Lagrange ∂x ∂y ∂λ Như vậy bài toán tìm cực trị z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)=0 được chuyển về bài toán cực trị của hàm L(x, y, λ) Đây là phương... , − 0 , − 1 ∂y z0  ∂x   z0  +) Vectơ bán kính: OP0 = ( x0 , y 0, z0 ) +) m và OP0 cùng phương ⇒ tiếp diện vuông góc với vectơ bán kính Ghi nhớ Tuần sau học các mục 19.5, 19.6 và C 16 GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Bài 4 PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § 6 Trường vô hướng, đạo hàm theo hướng, gradient • Trường vô hướng • Gradient • Đạo hàm theo hướng (mục 19.5) • Dạng toán cơ bản 1 Trường vô hướng Cho một trường... độ biến thiên của hàm f(x, y, z) khi P di chuyển theo hướng ∂f ∂f ∂f dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là , , ∂x ∂y ∂z Khi P biến thiên không theo hướng các trục toạ độ thì tốc độ biến thiên của hàm f(x, y, z) sẽ như thế nào? Cho P(x, y, z), R = xi + yj + zk là véc tơ chỉ vị trí của P(x, y, z), hướng đang xét được xác định bởi véc tơ đơn vị u Hình 19.10 ∆f Đặt ∆s = |∆R|, khi đó là tốc độ biến. .. ∂x P  ∂y P  ∂z P  3 3 3   2 2 1  4 20 5 11 = (2i +10 j + 5k ) i − j + k  = − + = − 3 3 3 3  3 3 3 Chú ý • Đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến không chỉ phụ thuộc vào điểm P mà còn phụ thuộc vào hướng u • Đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến là một số Định lý Hàm u(x, y, z) khả vi tại P0(x0, y0, z0) thì tại đó nó có đạo hàm theo mọi hướng tại P0 3 Gradient a) Định nghĩa Cho hàm w =... + cz0z = d § 7 Quy tắc dây chuyền Đạo hàm dưới dấu tích phân • Quy tắc dây chuyền (mục 19.6) • Đạo hàm dưới dấu tích phân (mục C 16) • Dạng toán cơ bản 1 Quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng Quy tắc dây chuyền đối với hàm dw df dx một biến số chính là đạo hàm của hàm hợp: w = f(x), x = g(t) khi đó = dt dx dt a) Quy tắc dây chuyền của hàm hai biến w = f(x, y), x = g(t), y = h(t), w có các đạo hàm... LAGRANGE • Cực trị có điều kiện (mục 19.8) • Các dạng toán cơ bản • Phương pháp nhân tử Lagrange Đặt vấn đề • Ta thường gặp bài toán tìm cực trị của biểu thức với điều kiện ràng buộc nào đó đối với các biến • Tuy nhiên việc thay các điều kiện ràng buộc vào hàm ban đầu để đưa về bài toán đã biết không phải luôn thuận lợi Ta cần khắc phục như thế nào? 5 • Xuất phát từ ý nghĩa hình học của gradient, phương...  a các kích thước cần tìm là 2 x = a 2 , y = 2 b) Hàm ba biến với một điều kiện ràng buộc: Tìm cực trị của hàm w = f(x, y, z), với điều kiện g(x, y, z) = 0 Đặt L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) ∂L ∂L ∂L ∂L = 0, = 0, = 0, =0 Có ∂x ∂y ∂z ∂λ Như vậy bài toán tìm cực trị của hàm w = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0 được chuyển về bài toán tìm cực trị của hàm: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) −... độ T tại điểm P(x, y, z) được xác định bởi T = 2x2 − y2 + 4z2 Tìm tốc độ biến thiên của T tại (1 ; −2 ; 1) theo hướng của vectơ 4i − j + 2k Theo hướng nào T tăng nhanh nhất tại điểm này? Tốc độ tăng lớn nhất là bao nhiêu? +) gradT = 4x.i − 2y.j + 8z.k +) (gradT)(P) = 4i + 4j + 8k 4i − j + 2k +) vectơ đơn vị: u = 21 +) Tốc độ biến thiên của T tại P theo hướng 4i − j + 2k là df ( ) 16 − 4 + 16 28 P = ... ρ2sin2φ +) ρ cosθ + ρ2sin2φ = § 19.1 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân Hàm nhiều biến số Các dạng toán Liên tục I Hàm nhiều biến số Định nghĩa Hàm hai biến số z = f(x, y) ánh xạ: f : D ⊂ »×»... 68) z = ey lnx2 ∂z 2x = ey = ey +) ∂x x x ∂z +) = e y ln x ∂y GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Bài PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân (19.2) (tiếp theo) Đạo hàm riêng cấp... ∂v  ∂u   ∂u  10 GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ Bài PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § 19.7 Bài toán giá trị cực đại cực tiểu • Dạng toán • Cực trị • Cách tìm Đặt vấn đề • Đối với hàm biến số, ta biết ứng