Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn Hµm sè mét biÕn vµ giíi h¹n Bµi sè 1: I Hµm sè mét biÕn sè §Þnh nghÜa hµm sè Cho tËp hỵp D vµ E: D ⊆ », E ⊆ » , t−¬ng øng f : D → E cho t−¬ng øng mçi phÇn tư x ∈ D víi mét phÇn tư nhÊt y ∈ E ®−ỵc gäi lµ mét hµm sè mét biÕn sè thùc + TËp D ®−ỵc gäi lµ miỊn x¸c ®Þnh, kÝ hiƯu Df cđa hµm sè f + TËp f(X) ®−ỵc gäi lµ miỊn gi¸ trÞ, kÝ hiƯu Rf cđa hµm sè f + x∈Df : biÕn sè ®éc lËp ( hay ®èi sè) + f(x) ∈Rf: biÕn sè phơ thc ( hay hµm sè) + C¸ch viÕt: f : D → E x hc x f ( x) hc y = f ( x) y = f ( x) { } §å thÞ cđa hµm sè: G f = ( x, f ( x) x ∈ D + C¸ch nhËn biÕt ®å thÞ: Mét ®−êng cong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy lµ ®å thÞ cđa mét hµm sè nÕu vµ chØ nÕu ®−êng th¼ng cïng ph−¬ng víi Oy c¾t ®−êng cong ®ã t¹i nhiỊu nhÊt mét ®iĨm §å thÞ hµm sè Kh«ng lµ ®å thÞ hµm sè Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn II Giíi h¹n hµm sè VÝ dơ: XÐt hµm sè y = f ( x) = x − x + Ta lËp b¶ng c¸c gi¸ trÞ cđa hµm sè t¹i nh÷ng ®iĨm x gÇn x0 = + NhËn xÐt : x → x0 = th× c¸c gi¸ trÞ cđa hµm sè f ( x) → , vµ ta nãi r»ng hµm sè cã giíi h¹n b»ng x → x0 = + Chó ý: Hµm sè y = f ( x) cã thĨ kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x0 = a , nhiªn nã ph¶i x¸c ®Þnh t¹i nh÷ng ®iĨm thc l©n cËn cđa ®iĨm ®ã Ch¼ng h¹n: xÐt hµm sè y = f ( x) = x −1 , hµm sè kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x0 = , nhiªn x2 −1 theo b¶ng gi¸ trÞ d−íi ®©y ta nhËn thÊy x → th× gi¸ trÞ cđa hµm sè dÇn tíi 0,5 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn §Þnh nghÜa giíi h¹n hµm sè §Þnh nghÜa 1: Ta nãi hµm sè f(x) cã giíi h¹n L (h÷u h¹n) x →x0 vµ viÕt lim f ( x) = L nÕu víi bÊt k× d y { xn } mµ xn→ x0 th× lim f ( xn ) = L x → x0 n→∞ §Þnh nghÜa 2: Theo ng«n ng÷ δ - ε lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L < ε x → x0 Chó ý: Trong t×m giíi h¹n ta quan t©m ®Õn “ x dÇn tíi x0 ” chø kh«ng ph¶i xÐt x = x0 VÝ dơ : Cho f(x) = C, víi C lµ h»ng sè Chøng minh r»ng lim = C x → x0 ThËt vËy, cho tr−íc ε > 0, v× f(x) = C, ∀x → víi bÊt k× δ > 0: x − x0 < δ , lu«n cã VÝ dơ : Cho f(x) = x Chøng minh f ( x) − C = C − C = < ε lim f ( x) = x0 x → x0 ThËt vËy, cho tr−íc ε > 0, chän δ = ε → víi x − x0 < δ → f ( x) − x0 = x − x0 < ε (§PCM) §Þnh nghÜa a) b) c) d) lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃A > : ∀x > A ⇒ f ( x) − L < ε x →+∞ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃A > : ∀x < − A ⇒ f ( x) − L < ε x →−∞ lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x) > E x → x0 lim f ( x) = −∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x) < − E x → x0 ( víi A ®đ lín vµ E ®đ lín) =0 x →+∞ x VÝ dơ : Chøng minh r»ng lim ThËt vËy, ∀ε > , chän N > ε → lu«n cã: x > N th× f ( x) − = 1 −0 = th× x → x − > vµ x − → x → + - NhËn xÐt: Khi x → ⇔ Nh− vËy: L = lim− x →3 2x = +∞ x −3 Tõ ®ã ta nhËn thÊy r»ng: cã nh÷ng hµm sè cã giíi h¹n mét phÝa b) §Þnh nghÜa: + Ta nãi hµm sè f ( x ) cã giíi h¹n tr¸i lµ L t¹i x = a vµ chØ víi ∀ε > nhá tïy ý, ∃δ > cho víi nh÷ng ®iĨm x thc l©n cËn tr¸i cđa a th× ta ph¶i cã f ( x) − L < ε Ký hiƯu : lim− f ( x) = L x→a L©n cËn tr¸i cđa ®iĨm a + Ta nãi hµm sè f ( x ) cã giíi h¹n ph¶i lµ L t¹i x = a vµ chØ víi ∀ε > nhá tïy ý, ∃δ > cho víi nh÷ng ®iĨm x thc l©n cËn ph¶i cđa a th× ta ph¶i cã f ( x) − L < ε Ký hiƯu: lim f ( x) = L x → a+ L©n cËn ph¶i cđa ®iĨm a Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn Bài số 10 CHUỖI HÀM I CHUỖI HÀM ∞ Dạng: ∑ u ( x) , u ( x), n = 1, 2,3, hàm số biến n n x n =1 Điểm x thuộc tập xác định chuỗi hàm x ∈ ∩ Dn , n = 1, 2, Dn tập n xác định hàm số un ∞ Với x0 thuộc tập xác định ta có chuỗi số ∞ ∑ a =∑ u ( x ) , chuỗi số hội tụ n n =1 n n =1 ∞ (phân kỳ) ta nói chuỗi hàm ∑ u ( x) hội tụ (phân kỳ) n x0 Tập hợp tất điểm n=1 ∞ mà chuỗi hàm ∑ u ( x) hội tụ gọi miền hội tụ chuỗi hàm n n=1 ∞ Ví dụ 1: Chuỗi hàm ∑x =1 + x + x + + x n + n n =0 ∞ + Hội tụ với x : x < đó: ∑x n n =0 = 1− x + Phân kỳ với x : x ≥ Một chuỗi hàm có ý nghĩa miền hội tụ Tuy nhiên việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm khơng đơn giản, chương trình học quan tâm tới dạng chuỗi hàm đặc biệt: Chuỗi lũy thừa II CHUỖI LUỸ THỪA Định nghĩa Dạng: Chuỗi luỹ thừa chuỗi hàm có dạng sau: ∞ ∑a x n n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n + (1) n=0 hệ số an hệ số x biến Chú ý : + Chuỗi luỹ thừa thường đánh số từ n = đến n = ∞, biểu diễn chuỗi (1) dạng rút gọn Σanxn + Mọi chuỗi lũy thừa hội tụ điểm x = ∞ Ví dụ 2: + Chuỗi hàm , ∑ n n =0 + x (−1)n+1 : Khơng chuỗi lũy thừa ∑ 2x n =0 + n ∞ Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn + Chuỗi cấp số nhân : ∞ ∑x n =1 + x + x + + x n + chuỗi lũy thừa với an =, n = 1, 2, n =0 + Chuỗi hàm: + x + x + chuỗi lũy thừa với : n = 2k + 0, an = , k = 0,1, 2, n + 1, n = 2k ∞ ta viết : + 3x + x + = ∑ (2n + 1) x n n =0 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa a) Bổ đề Abel Nhận xét: + Rõ ràng chuỗi luỹ thừa hội tụ với x = + Có chuỗi hội tụ x = 0, ví dụ chuỗi ∑n x n n = x + 22 x + 33 x3 + 44 x Thật : Để ý với giá trị x ≠ ta có |nx| > n đủ lớn, với xo phần tử thứ n : un = (nx0 )n khơng tiến tới chuỗi khơng thể hội tụ xn x x3 = + x + + + hội tụ với giá trị x n! 2! 3! Thật : - Tại x= : Ta có chuỗi số hội tụ - Với x0 ≠ ta có chuỗi số ∑ | un ( x0 ) | (*) dương, xét tỉ số : + Xét chuỗi : ∑ un ( x ) =∑ n +1 x0 n+1 / ( n + 1)! un+1 ( x0 ) x0 x n! = = = →0 n n un ( x0 ) x0 / n! ( n +1)! x0 n +1 n suy tổng riêng S n = ∑ uk ( x0 ) tạo thành dãy giảm, từ chuỗi số (*) hội tụ, tức chuỗi k =0 hàm ∑ u ( x) hội tụ x n ≠ ∞ + Xét chuỗi cấp số nhân : ∑x n =1 + x + x + + x n + hội tụ khoảng |x| < 1, n =0 phân kỳ x nằm ngồi khoảng Bổ đề Abel: + Nếu chuỗi lũy thừa Σanxn hội tụ x0, x0 ≠ 0, hội tụ tất điểm x thoả mãn |x| < |x0|; + Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ x1 phân kỳ tất điểm x thoả mãn |x| > |x1| Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn x1 |x| > |x1|: phân kỳ x0 −x0 |x| < |x0|: hội tụ R |x| > |x1|: phân kỳ Nhận xét Cho chuỗi luỹ thừa ∑ an x n , phát biểu sau đúng: i Chuỗi hội tụ với x = ii Chuỗi hội tụ với x iii Tồn số thực R > cho chuỗi hội tụ với |x| < R phân kỳ với |x| >R Mọi chuỗi lũy thừa Σanxn có bán kính hội tụ R, ≤ R ≤ ∞, chuỗi hội tụ |x| < R phân kỳ |x| > R Nếu R = : chuỗi hội tụ x = 0, R = ∞ chuỗi hội tụ với x Khoảng hội tụ –R R Phân kỳ a Bán kính h/tụ Phân kỳ c Cơng thức tính bán kính hội tụ Cho chuỗi lũy thừa ∑a x n n , gọi R bán kính hội tụ Khi đó, R tính hai cơng thức sau: R = lim n→+∞ an an+1 hoặc: R = lim n→+∞ n an d Quy tắc tìm miềm hội tụ chuỗi lũy thừa Bước + Tìm bán kính hội tụ R, - Nếu R = : Miền hội tụ tập điểm {O} , - Nếu R = +∞ : Miền hội tụ tồn tập số thực » - Nếu < R < +∞ suy chuỗi lũy thừa hội tụ ( − R, R ) , sau chuyển xuống bước Bước Kiểm tra tính hội tụ chuỗi hai đầu mút Bước Kết luận Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn xn x2 x3 = + + + x ∑ 22 32 n =1 n +∞ Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi: Giải: + Tìm bán kính hội tụ: ta có R = lim n→+∞ an 1/ n (n + 1) = lim = lim =1 an+1 n→+∞ 1/(n + 1) n→+∞ n R = suy chuỗi lũy thừa hộ tụ ( −1,1) + Tại x = chuỗi trở thành Σ1/n2, chuỗi p-chuỗi hội tụ + Tại x = -1 chuỗi trở thành Σ(-1)n/n2, chuỗi đan dấu hội tụ tiêu chuNn Leibniz + Do khoảng hội tụ chuỗi tồn khồng [-1, 1] Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau ∑ n+2 n x = + x + x + n 3 Giải: + Tính bán kính hội tụ: Trường hợp ta có lim n →+∞ an n + 3n+1 n+2 = = R = lim n = lim an+1 n→+∞ n + n→+∞ n + R = 3, suy chuỗi hội tụ ( −3,3) + Tại x = chuỗi trở thành: + + ……….: phân kỳ + T ại x = -3 chuỗi trở thành – + - … : phân kỳ + Vậy khoảng hội tụ (-3, 3) Ví dụ i) Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau ∑ (−1) n x2n x2 x4 = − + − (2n)! 2! 4! Giải: + Ta khơng áp dụng cách trực tiếp Ví dụ nửa hệ số chuỗi y y2 + Đặt y = x chuỗi viết dạng: − + − (**) 2! 4! Ta tìm miền hội tụ (**) + Tính bán kính hội tụ: R = lim n →+∞ an 1/(2n)! (2n + 2)! = lim = lim = lim (2n + 1)(2n + 2) = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ an+1 1/(2n + 2)! (2n)! R = ∞ chuỗi (**), nên chuỗi (**) hội tụ với y ≥ + Vậy nên chuỗi ban đầu hội tụ với x, khoảng hội tụ cần tìm (-∞, ∞) ii) Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau x n +1 x x5 ∑ n = + + Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn x0 n+1 x02 n +1 x02 n +1 v i a = ; a = ∑ n n +1 n n +1 n n =1 +∞ Giải: + Với x0 ∈ » ta có chuỗi số: + Xét: lim n →∞ (***) an +1 x n +3 n = lim n +1 = x02 n →∞ ( n + 1) x an + Chuỗi (***) hội tụ −1 < x0 < , phân kỳ x0 < −1; x0 > +∞ (−1)2 n+1 phân kỳ = − ∑ ∑ n n =1 n =1 n +∞ + Tại x0 = : ta có chuỗi số ∑ phân kỳ n =1 n + Vậy miền hội tụ chuỗi cho (−1;1) +∞ + Tại x0 = −1 : ta có chuỗi số Chú ý : Nếu a số thực, chuỗi ∞ ∑ a ( x − a) n n = a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a) + (2) n =0 gọi chuỗi luỹ thừa tâm a + Chúng ta đặt z = x – a, (2) trở thành Σanzn (3) chuỗi luỹ thừa z + Nếu Σanzn có miền hội tụ chẳng hạn [-R, R) tức (3) hội tụ hội tụ với –R ≤ z < R, ta có –R ≤ x –a < R hay a - R ≤ x < a + R [a – R, a + R) khoảng hội tụ (*) R bán kính hội tụ chuỗi (*) + Do ta thường xét chủ yếu tới chuỗi luỹ thừa x Ví dụ Tìm miềm hội tụ chuỗi lũy thừa 2n 1 n ∑ 1 + ( x − 2) n n =1 +∞ 2n 1 n ∑ 1 + y n n =1 +∞ Giải : + Đặt y = ( x − 2) ta có chuỗi (4) (5) Xét chuỗi (5) : + Ta có R = , từ chuỗi (5) hội tụ ( −1,1) + Tại y = −1 , chuỗi (5) phân kỳ + Tại y = , chuỗi (5) phân kỳ + Do chuỗi (5) có miền hội tụ ( −1,1) + Vậy chuỗi (4) hội tụ miền (1,3) Đạo hàm tích phân chuỗi lũy thừa Xét chuỗi luỹ thừa Σanxn hội tụ với bán kính hội tụ dương R, với x nằm miền hội tụ định nghĩa f(x) tổng chuỗi: +∞ f ( x) = ∑ an x n =a0 + a1 x + a2 x + + an x n + n =0 Khi ta có khẳng định sau : (1) Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn (i) (ii) (iii) Hàm số f(x) định nghĩa (1) liên tục khoảng mở (-R, R) Hàm số f(x) lấy đạo hàm (-R, R), đạo hàm d d +∞ (2) f ( x) = ∑ an x n = a1 + 2a2 x + 3a3 x + + nan x n−1 + dx dx n=0 Nếu x thuộc (-R, R) ta có : ∫ x x ∞ 1 f (t )dt = ∫ ∑ ant n dt = a0 x + a1 x + a2 x + + an x n +1 + n + n =0 Chú ý : Như : miền miền hội tụ chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa x ∞ x d d +∞ hàm khả vi vơ hạn, f ( x) = ∑ an x n ∫ f (t )dt = ∫ ∑ ant n dt hội tụ dx dx n=0 n =0 khoảng (-R, R) Khẳng định (trong miền hội tụ) chuỗi lũy thừa, chuỗi hàm điều chưa Ví dụ : Xét chuỗi hàm ∑ ∞ n =1 (sin nx) / n : + Chuỗi hàm hội tụ với x ∈ » + Lấy đạo hàm phần tử cho ta chuỗi Σ(cos nx)/n , điều khơng thể chuỗi phân kỳ với x = Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm số ln (1 + x) d Lời giải: + Ta có ( ln( x + 1) ) = dx 1+ x + Mà với |x| < ta có = − x + x − x3 + x − + (−1)n x + 1+ x + Tiếp theo sử dụng (iii) với để ý ln (1 + x) x = 0, thu : x ∞ x x3 x n+1 xn dt = x − + − + (−1) n + == ∑ (−1) n+1 + t n + n = n ln (1 + x) = ∫ Ví dụ Tìm khai triển thành chuỗi lũy thừa tan-1 x d Lời giải: + Ta có tan −1 x ) = ( dx + x2 + Mà , x < ta có = − x + x − + ( −1) n x 2n + 1+ x + Áp dụng (iii) : x dt x tan −1 x = ∫ = (1 − t + t − t + ) dt ∫ 0 1+ t = x− ∞ x n +1 x3 x5 x7 + + + = ∑ ( −1) n , 2n + n =0 với |x| < Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm 1/(1 – x)2 1/(1 – x)3 Lời giải: +Ta nhận thấy : + Ta lại có d = dx − x (1 − x ) +∞ = ∑ x n với |x| < 1, − x n =0 + Do : d = (1 + x + x + + x n + ) = + x + x + x n−1 + (1 − x) dx = + Tương tự : (1 − x ) = ∞ ∞ n =1 n =0 ∑ nx n −1 = ∑ (n +1)x n d d = (1 + x + 3x + + nx n −1 + ) 2 dx (1 − x ) dx = + 3.2x + 4.3x2 + + n(n-1)xn-2 + + Do [ ] 1 = + 3.2x + 4.3x + + n (n − 1) x n −2 + (1 − x ) ∞ = ∞ n(n − 1) n−2 (n + 2) (n + 1) n x = x ∑ ∑ 2 n= n =0 ∞ Ví dụ 10 Tìm tổng chuỗi sau : x + x + x3 + = ∑ n x n n =1 Lời giải: + Chuỗi có bán kính hội tụ R = 1, nên chuỗi hội tụ đến hàm số f(x) với x < + Do ta viết : f ( x) = x + x + x3 + + n x n + = xg ( x ) g ( x ) =1+ 22 x + 32 x + + n x n−1 + + Mặt khác: d ( x + x + 3x3 + + nx n + ) = d x (1+ x + 3x + + nx n−1 + ) dx dx + Theo Ví dụ : + x + 3x + + nx n−1 + = (1 − x ) g ( x) = + Nên: g ( x ) = d x 1+ x = dx (1 − x )2 (1 − x )3 Vậy: f ( x) = x + x2 (1 − x )3 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn Một số khai triển cần nhớ = − x + x − x + , với -1 < x < 1; 1+ x x2 x3 ln(1 + x ) = x − + − , với -1 < x ≤ 1; 3 x x5 tan −1 x = x − + − , với -1 ≤ x ≤ 1; x2 x3 với x; + + , ex = + x + 2! 3! x x5 với x ; sin x = x − + + , 3! 5! x2 x4 với x; cos x = − + − , 2! 4! II CHUỖI TAYLOR VÀ CƠNG THỨC TAYLOR Cho hàm số f ( x) có đaoh hàm cấp x = a , chuỗi Taylor f ( x) x = a : f (a) + +∞ f '(a ) f ''(a) f ( n ) (a) f ( n ) (a) ( x − a) + ( x − a )2 + + ( x − a )n + = ∑ ( x − a )n (1) 1! 2! n! n! n =0 Khi a = ta có chuỗi Maclaurint : f (0) + +∞ f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n x+ x + + x + = ∑ x 1! 2! n! n! n =0 (2) Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ với bán kính hội tụ R > miền hội tụ, chuỗi lũy thừa hội tụ tới hàm f ( x) , ta có : f ( x) = f (a) + +∞ f '( a) f ''( a) f ( n ) (a) f ( n ) (a ) ( x − a) + ( x − a) + + ( x − a) n + = ∑ ( x − a )n 1! 2! n! n ! n=0 (3) f ( x) = f (0) + +∞ f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( n ) (0) n x+ x + + x + = ∑ x , 1! 2! n! n! n =0 (4) Và ta nói hàm số f ( x) khai triển thành chuỗi Taylor (hoặc chuỗi Maclaurint) f n (a) f n (0) (hoặc an = ) gọi hệ số Taylor f(x) khai triển n! n! (3) (2) + Phần dư Rn(x) (trong khai triển (4)) : + Số an = Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn f ( x) = f (0) + f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n x+ x + + x + Rn ( x ) 1! 2! n! + Chuỗi Taylor vế phải (4) hội tụ f(x) : lim R n (x) = n →∞ f ( n+1) (c) n +1 x , với < c < x (n + 1)! Ví dụ 11: Tìm chuỗi Taylor f(x) = ex chứng minh hội tụ tới ex với x Lời giải: + Ta có: f(0) = f(x) = ex x f’(x) = e f’(0) = x f’’(x) = e f’’(0) = 1…… + Ta nhận chuỗi Maclaurint hàm số : + Cơng thức chung tiện lợi cho Rn(x) Rn ( x) = 1+ x + ∞ xn x + + x n + = ∑ 2! n! n=0 n ! + Xét phần dư Rn(x), đặt M = max ec = e x , với x ∈ » : [0;x] n +1 x f ( n +1) (c) n +1 ec Rn ( x) = x = x n +1 ≤ M → n → ∞ (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! + Như chuỗi Maclaurint hội tụ hàm f ( x) = e x , ta có : ex = + x + ∞ xn x + + x n + = ∑ 2! n! n =0 n ! Ví dụ 12: Tìm chuỗi Taylor f(x) = sinx chứng minh hội tụ tới sinx với x Lời giải: + Ta có f(x) = sinx f(0) = f’(x) = cosx f’(0) = f’’(x) = -sinx f’’(0) = f’’’(x) = -cosx f’’’(0) = -1 + Chuỗi Taylor f ( x) = sin x : x− ∞ x3 x5 x n+1 x n+1 + − + (−1) n + = ∑ (−1)n 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n =0 + Với ∀x ta có |f(n+1)(x)|=|sinx| |f(n+1)(x)|=|cosx| nên f ( n +1) ( c ) ≤ với c n +1 x f ( n +1) (c) n +1 nên : Rn ( x) = x ≤ → n → ∞ (n + 1)! (n + 1)! Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn + Vậy sin x = x − ∞ x3 x5 x n +1 x n +1 với ∀x + − + (−1)n + = ∑ (−1)n 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n =0 Ví dụ 13: Tương tự với x ta có : f ( x) = cosx = − e− x = − x2 + ∞ x4 x6 x2n x2n − + + (−1) n + = ∑ (−1) n 2! 3! n! n! n =0 1 ∫e ∞ x2 x4 x2n x2n + − + (−1) n + = ∑ (−1) n 2! 4! (2n)! (2n)! n =0 − x2 x x5 x7 1 dx = x − + − + = − + − + 5.2! 7.3! 5.2! 7.3! 0 e−1 x Chú ý: Xét hàm f (x) = 0 x≠0 x=0 hàm liên tục có đạo hàm cấp x, đạo hàm triệt tiêu cấp x = 0, tức f(n)(0) = với n ngun dương Điều có nghĩa đồ thị f(x) trơn vơ hạn gốc Khi chuỗi Maclaurint f(x) + + + … hội tụ với x hội tụ tới f(x) x = Như vậy, hàm khả vi vơ hạn x, khơng thiết khai triển chuỗi Taylor nó, VI CÁC PHÉP TỐN CHUỖI LUỸ THỪA Phép cộng : Cho f ( x) = ∑ an x n = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + có miền hội tụ x < R1 g ( x) = ∑ bn x n = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + có miền hội tụ x < R2 Khi tổng chúng hội tụ x < { R1 ; R2 } Ví dụ 14: Khai triển f ( x) = thành chuỗi lũy thừa, sau tìm miền hội tụ x − 5x + 1 1 1 Giải : + Ta có f ( x) = = − − = − − x − 5x + − x − x 1− x 1− x 2 +∞ + Ta có: = ∑ y n , y < , nên − y n =0 n +∞ x = ∑ , x − n =0 2 x < hay x < 2 10 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn n +∞ x x = ∑ , < hay x < 3 x − n=0 3 +∞ 1 + Do f ( x) = = ∑ n +1 − n +1 x n với x < x − x + n =1 Phép nhân Giả sử có hai chuỗi khai triển luỹ thừa: f ( x) = ∑ an x n = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + g ( x) = ∑ bn x n = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + có miền hội tụ x < R Ta nhân chuỗi cách tương tự nhân hai đa thức Như được: f ( x) g ( x) = a0b0 + ( a0b1 + a1b0 ) x + ( a0b2 + a1b1 + a2b0 ) x + ∞ n = ∑ ∑ ak bn− k x n n = k =0 Ví dụ 15: Tìm chuỗi Taylor exsinx Lời giải x x3 x3 x5 + Với ∀x ta có : e x = + x + + + : s inx = x − + + 2! 3! 3! 5! + Như ∀x ta có : x x3 x3 x5 e x s inx = 1 + x + + + x − + + 2! 3! 3! 5! x x x x = x − + + x − + + − + 6 12 = x + x + x3 + Phép chia + Hai chuỗi luỹ thừa chia cho q trình tựa phép chia đa thức đại số + Đối với chuỗi luỹ thừa, số hạng xếp theo tăng dần luỹ thừa, thay cho xếp theo giảm dần luỹ thừa đa thức Ví dụ 16: Tìm chuỗi Taylor tanx cách chia chuỗi sinx cho chuỗi cosx Lời giải: + Với ∀x ta có : 11 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn ∞ x3 x x n +1 x n +1 + − + (−1)n + = ∑ (−1)n 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n=0 sin x = x − cosx = − ∞ x2 x4 x 2n x 2n + − + (−1) n + = ∑ (−1) n 2! 4! (2n)! (2n)! n=0 + Ta có : tan x = x + x3 + x5 + 15 khoảng x < π Phép Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ với x < R ∞ f ( x) = ∑ an x n = a0 + a1 x + a2 x + … n=0 g(x) < R , ta tìm f[g(x) ] cách thay g(x) cho x = + x + x + x3 + , với −1 < x < 1− x Thay x −2x , ta 1− x Ví dụ17 : + Ta biết 1 = = + (−2 x ) + (−2 x ) + 2 + x − (−2 x ) với x < = − x + x − ¸ + Tương tự : ex = + x4 + x8 x12 + + 2! 3! ¸ ∀x (3 x) (3x) + − 3! 5! 27 243 = 3x − x + x − ∀x 3! 5! Giả sử hàm g(x) cho chuỗi luỹ thừa sin x = x − g ( x) = b0 + b1 x + b2 x + thay tồn chuỗi cho x nhận : f g ( x ) = a0 + a1 g ( x) + a2 g ( x) + = a0 + a1 b0 + b1 x + b2 x + + a2 b0 + b1 x + b2 x + + Điều hồn tồn g(x) < R Ví dụ 18: Áp dụng phương pháp để tìm chuỗi Taylor esinx tới số hạng chứa x4 Lời giải: + Với ∀x ta có: 12 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn x x3 + + 2! 3! + Thể x sin x ta nhện được: ex = + x + e sin x 1 = + x + x − x + theo lũy thừa ( x -1) x+5 Giải : Cách : Áp dụng cơng thức khai triển Taylor x = Ví dụ 19: Khai triển hàm f ( x) = Cách : + Ta có 1 1 1 x3 x3 x3 x3 = + x − + + x − + + x − + + x − + + 6 6 2! 3! 4! 1 x 1 = + x − + + x − x + + ( x + ) + ( x + ) + 24 2 = − x + x − x + , với −1 < x < 1+ x + Biến đổi : f ( x) = = , sau áp dụng cơng thức ta nhận : x − x+5 +1 f ( x) = +∞ (−1)n = ∑ n ( x − 1) n với −5 < x < x + n=0 + Tại x = −5 : chuỗi phân kỳ, x = chuỗi hội tụ + Vậy miền hội tụ chuỗi vừa tìm : ( −5; ] Bài tập nhà: Các Tr 445, 451, 455, 462 Chu n bị đề cương Ơn thi học kỳ I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN MƠN TỐN I Hàm số biến Giới hạn + Giới hạn khử dạng vơ định + Hàm liên tục, gián đoạn, hàm ngược II Đạo hàm ứng dụng + Đạo hàm vi phân cấp 1,2, 3, cấp n + Đạo hàm hàm Nn, hàm hợp + Ứng dụng đạo hàm để khảo sát cực trị hàm biến 13 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn III Ngun hàm tích phân Ứng dụng hình học tích phân + Tính ngun hàm tích phân + Ứng dụng tích phân lớp tính diện tích hình phẳng (trong tọa độ vng góc, tọa độ cực), độ dài dây cung phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay + Tính tích phân suy rộng định nghĩa IV Chuỗi số + Tính tổng chuỗi số + Khảo sát hội tụ chuỗi số (chuỗi dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ) V Chuỗi hàm + Tìm miền hội tụ chuỗi hàm (chuỗi luỹ thừa, chuỗi đưa chuỗi luỹ thừa) + Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa tìm miền hội tụ MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP MƠN TỐN Đề số π x Câu Tìm gới hạn sau: A = lim x( − ar tan ) x →+∞ x +1 Câu Một máng nước làm từ ván, ván rộng 12 m Mặt cắt vng góc hình thang cân có cạnh đáy nhỏ chiều rộng ván, hỏi mặt cắt có đáy lớn để khả truyền tải máng đạt giá trị lớn Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay miền phẳng D giới hạn đường: y = sin ( x ) ; Ox; Oy; ≤ x ≤ π quay vòng xung quanh trục Oy +∞ Câu Xét hội tụ chuỗi số: ∑ (−1) n=2 n +1 n2 −1 +∞ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: ∑ 2011 ( x + 1) n n=0 14 n +1 Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Bài giảng Mơn Tốn Đề số x2 + Câu Tìm gới hạn sau: A = lim x →+∞ x + x2 +3 Câu Cho hình nón có chiều cao h bán kính đáy R cho trước Một khối trụ nội tiếp hình nón (có trục trùng với trục nón, đáy nằm đáy nón) Tìm thể tích lớn khối trụ Câu Tính diện tích miền phẳng D nằm phía hình đường tròn r = 2sin θ nằm phía ngồi đường hình tim r = (1 − sin θ ) +∞ arc cot n 2010 + 2011 ∑ 12.n Câu Xét hội tụ chuỗi số: n =1 +∞ ∑ n ( n + 1) ( x − 1) Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: n n =1 Đề số n x cos Câu Cho hàm f ( x) = x a x ≠ , n = 0, ,2, x=0 Biện luận theo giá trị a n tính chất gián đoạn, liên tục hàm số Câu Tính đạo hàm cấp n (ngun, dương) hàm số: y = +∞ Câu Tính tích phân suy rộng: I = ∫ x.ln xdx +∞ Câu Tính tổng chuỗi số sau: 2 ∑ n =1 Câu Khai triển hàm số f ( x) = 2 (1 + x ) n + 1+ x ln 1− x 2010 (n + 11)(n + 12) theo lũy thừa ( x − 1) Sau xác định bán 7−x kính hội tụ chuỗi lũy thừa 15 [...]... gi l hm mt mt nu vi x1 x2 thỡ ta cú f ( x1 ) f ( x2 ) Không là hàm một một Nhận xét : + Hàm y = f ( x) là hàm một một trên một miền nào đó thì một đờng thẳng cùng phơng với trục hoành sẽ cắt đồ thị của hàm số trên miền đó nhiều nhất tại một điểm + Một hàm số đơn điệu là hàm một một b Điều kiện : Nếu y = f ( x) là hàm số một một có TXĐ là X và MGT là Y Khi đó tồn tại hàm ngợc f 1 với MXĐ là Y... f(x) lấy ít nhất một lần mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b) Nói cách khác nếu f ( x) liên tục trong đoạn [a,b] và cho N là là một số nằm giữa f(a) và f(b), ở đó f (a ) f (b) ; khi đó sẽ tồn tại c (a, b) : f (c) = N Ví dụ : Xét hàm số f(x) = sinx Ta có: f(x) = sinx liên tục trên R Xét trong 0, , có f(0) = 0, f ( ) =1 Do vậy với 0 < r < 1 thì phơng trình sinx = r có 2 2 ít nhất một nghiệm x0 ... f(c) = 0 Ví dụ : Chứng minh rằng phơng trình sau có ít nhất một nghiệm trong khoảg (0,3): x3 x 1 = 0 (1) Giải: Đặt f(x) = x3 x 1: là hàm xác định và liên tục trên (0, 3) Nhận thấy: f(1) = -1 < 0, f(2) = 5 > 0 f(1).f(2) < 0, theo Định lý x0[1,2]: f(x0) = 0 x0 chính là nghiệm của phơng trình (1) Vậy phơng trình x3 x 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0, 3) 6 Tin s: Nguyn Hu Th Bi ging Mụn Toỏn... f ( x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đờng cong trơn (không bị g y, không bị đứt đoạn) Định lý: Nếu f ( x) là hàm số liên tục tại b và lim g ( x) = b thì lim f ( g ( x)) = f (b) , nói x a ( cách khác: khi đó ta có lim f ( g ( x)) = f lim g ( x) x a xa x a ) 2 Các tính chất của hàm liên tục a Định lí về giá trị trung gian 1: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trongt khoảng I=(,... (50) = x 2 250 sin 2 x + 50.2 x.2 49 cos2 x + 1225.2.2 48 sin 2 x 1225 = 250 x 2 sin 2 x 50 x cos2 x sin 2 x 2 3 Vi phân cấp cao Vi phân cấp hai của hàm số f(x) tại một điểm nào đó ( nếu có) là vi phân của vi phân (cấp một) df Kí hiệu: d2f=d(df) Quy nạp ta có: Vi phân cấp n, kí hiệu là dnf là vi phân của vi phân cấp n-1 dnf = d(dn-1f) Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) = x2 Suy ra df = 2xdx và d2f =... x 2 x 2+ 2 2 10 4 = 3 1 a b + = + = ax bx 3 lim 2 x a b f (3) ( ) ( ) xlim b= 3 x 3 + 2 Nh vậy, hàm số đ cho liên tục trên ằ nếu a = b = 1 2 Định nghĩa 3: Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể không xác định tại x0) Ta nói rằng f(x) gián đoạn tại x0 nếu hàm số f(x) không liên tục tại điểm đó và khi đó x0 đợc gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) Từ Định nghĩa 3 suy... tại x = 2 nếu a = 3 , hàm số không liên tục tại x = 2 nếu a 3 Ví dụ: Xét hàm số x2 4 , x ... Khi giới hạn có dạng vô định tìm đợc giá trị giới hạn theo cách nào? GiảI quyết: Ta tìm cách biến đổi để khử dạng vô định Một số ví dụ khử dạng vô định Ví dụ : Tính lim x xn xm (Dạng ) x n... 1) = ln a x x Bài tập nhà: 1-18 (tr.84), 18-61 (tr.87-88), 1-43 (tr.348-349) Chuẩn bị cho Bài số 2: Giới hạn phía Hàm liên tục Hàm số ngợc Tin s: Nguyn Hu Th Bi ging Mụn Toỏn Bài số Giới hạn... số x2 , x