Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ

Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ Môn học giải tích hàm một biến số, dành cho sinh viên các trường cao đẳng đại học, tham khảo, nghiên cứu, cũng như tìm hiểu trong quá trình học của mình về môn học giải tích cũng nhu tham khảo trong quá trình làm bài tập

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

Chương 1 Số và giới hạn dãy số 7

1.1 Số 8

1.1.1 Mở đầu 8

1.1.2 tính tập số 9

1.2 Số 1

1.2.1 Mở đầu 1

1.2.2 Định nghĩa và php toán 1

1.2.3 Tính 12

1.2.4 Biểu diễn hình 14

1.2.5 Công Moive 16

1.2.6 Căn n số 18

1.2.7 Công Euler 19

1.3 Dãy số 22

1.3.1 khái niệm bản 22

1.3.2 Tính 23

1.3.3 php toán về giới hạn 28

1.3.4 Dãy đơn điệu 29

1.3.5 Hai dãy kề nhau 33

1.3.6 Dãy 34

1.3.7 Dãy 37

Bài tập 1 40

Chương 2 Php tính vi phân hàm một biến số 44 2.1 khái niệm bản 44

2.1.1 Hàm một biến 44

2.1.2 Hàm số lẻ 44

2.1.3 Hàm số tuần hoàn 44

2.1.4 Hàm số đơn điệu 44

2

PTIT

2.1.6 Cận trên đúng và dưới đúng 45

2.1.7 Hàm số 47

2.1.8 Hàm số 48

2.2 Giới hạn hàm một biến số 49

2.2.1 Định nghĩa 50

2.2.2 Quan hệ giữa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số 52

2.2.3 Tính 52

2.2.4 php toán về giới hạn 55

2.2.5 Giới hạn hàm đơn điệu 55

2.3 Đại lượng vô b và vô lớn 56

2.3.1 Định nghĩa 56

2.3.2 Tính 57

2.4 Hàm số liên 57

2.4.1 Định nghĩa 57

2.4.2 Tính đại số 58

2.4.3 trị hàm liên 59

2.4.3 Tính bị 61

2.5 Hàm liên đều 62

2.5.1 Định nghĩa 62

2.5.2 Quan hệ giữa tính liên và liên đều 62

2.6 Đạo hàm 65

2.6.1 Định nghĩa 65

2.6.2 đạo hàm 66

2.6.3 Đạo hàm một số hàm thông dng 66

2.6.4 Đạo hàm hàm 66

2.7 Vi phân hàm số 68

2.8 Đạo hàm và vi phân 68

2.8.1 Định nghĩa 68

2.8.2 Tính 69

3

PTIT

2.9 Công Taylor 76

2.9.1 Đa Taylor 76

2.9.2 Phần dư Taylor 77

2.9.3 Công khai triển Taylor 78

2.10 Quy L'Hospital 80

2.11 Hàm lồi 82

Bài tập 2 82

Chương 4 Php tính phân 96 4.1 phân định 96

4.1.1 Định nghĩa 96

4.1.2 Y nghĩa hình 97

4.1.3 Tổng Darboux trên và dưới 97

4.1.4 điều kiện khả 99

4.2 Tính 102

4.3 Mối quan hệ giữa nguyên hàm và phân định 104

4.3.1 Nguyên hàm 104

4.3.2 Hàm theo trên 105

4.3.3 Công Newton-Leibnitz 106

4.4 phương pháp tính phân 107

4.4.1 Phương pháp đổi biến 107

4.4.2 Phương pháp phân từng phần 110

4.5 phân hàm phân hữu tỷ 1 1 4.5.1 dạng bản 1 1 4.5.2 Phương pháp đồng nhất hệ số 113

4.6 phân hàm lượng 114

4.7 Một vài ứng dng phân 117

4.7.1 Tính diện 117

4.7.2 Tính độ dài đường 121

4.7.3 Tính thể vật thể 123

4

PTIT

4.8 phân suy rộng với vô hạn 127

4.8.1 Định nghĩa 127

4.8.2 điều kiện hội t phân suy rộng với vô hạn 129

4.8.3 Hội t tuyệt đối và bán hội t 132

4.9 phân suy rộng với hữu hạn 133

4.9.1 Định nghĩa 133

4.9.2 Quan hệ giữa hai loại phân suy rộng 135

4.9.3 định lý hội t 135

Bài tập 4 138

Chương 4 Chuỗi số và hàm 146 4.1 Chuỗi số 146

4.1.1 Định nghĩa 146

4.1.2 điều kiện hội t 147

4.1.3 tính 148

4.2 Chuỗi số dương 149

4.2.1 Định nghĩa 149

4.2.2 tiêu hội t 149

4.3 Chuỗi đan dấu 154

4.3.1 Định nghĩa 154

4.3.2 Dấu hiệu hội t 155

4.4 Chuỗi hàm 156

4.4.1 Định nghĩa 156

4.4.2 điều kiện hội t đều 157

4.4.3 Tính hàm hội t đều 161

4.5 Chuỗi lũy thừa 164

4.5.1 Định nghĩa 164

4.5.2 Tính 165

4.5.3 Quy tìm bán kính hội t 165

4.5.4 Tính hội t đều lũy thừa 167

5

PTIT

4.6 Chuỗi Fourier 171

4.6.1 Chuỗi lượng 171

4.6.2 Khai triển Fourier hàm số kỳ 2π 173

4.6.3 Khai triển Fourier hàm số kỳ 2T 175

4.6.4 Khai triển Fourier hàm số định trên đoạn, khoảng 177

Bài tập 4 182

Tài liệu tham khảo 190

6

PTIT

Giải hàm một biến số là một môn đang giữ một vị trí quan trọng trong lĩnh ứng dng và trong hệ thống môn viện Công nghệ Bưu Viễn thông kiến và phương pháp giải hàm một biến số đã hỗ trợ hiệu quả kiến nền tảng môn giải hàm nhiều biến, vật lý, suất thống kê, toán kỹ thuật, toán rời và môn

ngành

Bài giảng "Giải hàm một biến số" biên soạn lại theo trình qui định viện hệ đại ngành Điện tử-Viễn thông-Công nghệ thông tin với hình đào tạo theo tín Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ bản nhau, tôi đã gắng tìm tiếp đơn giản và hợp lý để trình bày nội dung theo phương pháp dễ hiểu hơn, nhằm giúp sinh viên nắm kiến bản nhất.

Giáo trình thành 4 Chương 1 dành phần số và giới hạn dãy số Chương 2 và 3 bao gồm nội dung về hàm liên php tính vi phân và php tính vi phân hàm một biến Chương 4 trình bày về

số, hàm, lũy thừa và Fourier khái niệm và

trình bày tương đối đơn giản và minh họa bằng nhiều ví d với hình

vẽ sinh động minh khó bớt để giúp giáo trình không quá kềnh nhưng vẫn đảm bảo để tiện sinh viên tập sâu và tra v quá trình tập môn Cuối mỗi

đều bài tập để sinh viên tự giải nhằm giúp em hiểu sâu hơn về lý thuyết và rèn luyện kỹ năng hành.

giả hy vọng rằng giáo trình này em sinh viên và bạn

đồng nghiệp trong quá trình tập và giảng dạy về môn giải hàm một biến số giả ơn mọi ý kiến góp ý để giáo trình bài giảng này hoàn thiện hơn nhằm nâng lượng dạy và môn này.

2/9/2013, giả: PGS TS Phạm Anh

PTIT

Trong tập số hữu tỷ Q thể hiện php toán trừ, nhân và

số 0 Trong Q quan hệ thứ tự ≤, ≥, = Theo ngôn ngữ đại

số, Q với php toán và quan hệ thứ tự đã là một trường sắp thứ tự.

Tuy nhiên, từ lâu người ta đã thấy tập Q đầy đủ Chẳng hạn, không

số hữu tỷ nào biểu diễn độ dài đường một hình vuông bằng 1

đơn vị, biểu diễn số π là tỷ số giữa độ dài một đường tròn và đường kính nó.

Một số hữu tỷ x, bằng viết x = pq với p, q ∈ Z, q 6= 0 và hiện php

p q, ta thể đồng nhất với dãy mà sau đây sẽ gọi là số thập phân:

x = x0, x1x2

trong đó x0 ∈ Z và x1, x2, ∈ {0, 1, 2, , 9} Số thập phân này hữu hạn,

là tồn tại số k sao xn = 0 ∀n > k hay

Mét tæng qu¸t, ta mäi sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn lµ mét

sè míi vµ gäi lµ sè v« tû TËp sè h÷u tû vµ v« tû gäi lµ tËp sè ký hiÖu lµ R Mçi phÇn tû R gäi lµ mét sè

Ta viÕt x < y nÕu x0 < y0 tån t¹i k sao x0 = y0, , xk = yk vµ

xk+1 < yk+1 Hai sè b»ng nhau x = y nÕu xi = yi ∀i = 0, 1,

1.1.2 tÝnh tËp sè

+ TÝnh s¾p thø tù

PTIT

Cho hai số a, b Khi đó, a vàb so sánh với nhau, là a ≤ b

a > b Thật vậy, giả sử a = a0, a1a2 , b = b0, b1b2 Nếu a 6= b khi đó tồn tại

đúng).

PTIT

Chú ý rằng tập số hữu tỷ Q không tính đầy đủ Ví d trong Q tập

thỏa mãn i2 = −1, số i không phải là số và gọi là đơn vị ảo.

1.2.2 Định nghĩa và php toán

• Tập số là một tập hợp định bởi

C := {z = a + bi : a, b ∈ IR, i2 = −1}

PTIT

• Cho số z := a + bi với a, b ∈ R gọi là dạng z), khi đó

a gọi là phần z, ký hiệu tắt bởi Rez (Real of z).

b gọi là phần ảo z, ký hiệu tắt bởi Imz (Image of z).

√

a2 + b2

gọi là môđun gọi là độ dài) z, ký hiệu tắt bởi|z|.

Số a − bi gọi là số liên hợp số z, ký hiệu tắt bởi z¯.

• Cho 2 số dưới dạng x = x1 + x2i, y = y1 + y2i php toán trên tập số C định bởi quy sau:

Chứng minh Biểu diễn số dưới dạng và dùng định nghĩa 1.2.

Ví d 1.2 Giải và biện luận phương trình sau trên tập số C

ax2 + bx + c = 0 với a 6= 0

PTIT

lý thuyết đàn hồi.

2

25.1.1843-30.11.1921, nhà Toán người Hermann Toán và Hóa ở viện nghiệp Berlin, ở đấy ông là trò Weierstrass trình ông liên quan đến hàm giải ánh xạ bảo phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết thế và mặt.

PTIT

Nếu b = 0 thì b1 = b2 = = bn , thì bất đẳng luôn đúng.

Nếu b > 0, thì theo tính 1.3.e) và g), ta

Ánh xạ f là một sự tương ứng 1 − 1 gọi là một song ánh) giữa tập số

C và tập điểm trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) Khi đó, mặt phẳng (Oxy)

gọi là mặt phẳng

|z|

b

a M

Ví d 1.5 Choz ∈ C thỏa mãn

z z+i ∈ iR Hãy biểu diễn hình z trên mặt phẳng (Oxy).

z+i ∈ iR, điều đó nghĩa rằng Rez+iz2  = 0 hay

Re(x+yi)2(x−yi−i)= 0 ↔ x(x2−y2+2xy(y+1) = 0 ↔ x(x2+y2+2y) = 0

Hay x = 0 x2+ (y + 1)2 = 1 Khi đó, điểm M(x, y)nằm trên Oy

ϕ gọi là z và ký hiệu bởi Arg(z) Như vậy với mọi z ∈ C

z = |z|.[cos Arg(z) + i sin Arg(z)]

biểu này gọi là dạng lượng z.

Arg(z) một vài tính sau:

Do vậy Arg(¯z) = −ϕ = −Arg(z). 2

3) Arg(z1.z2) = Arg(z1) + Arg(z2) ∀z1, z2 ∈ C.

Dùng quy nạp toán ta tổng quát như sau:

Arg(zn) = n.Arg(z) ∀z ∈ C

Chứng minh Giả sửz1 = |z1|.(cos ϕ1+ i sin ϕ1), z2 = |z2|.(cos ϕ2+ i sin ϕ2) Khi

đó

z1.z2 = |z1|.|z2|.(cos ϕ1 + i sin ϕ1).(cos ϕ2 + i sin ϕ2)

= |z1|.|z2|.[cos ϕ1cos ϕ2 − sin ϕ1sin ϕ2 + i(sin ϕ1cos ϕ2 + cos ϕ1sin ϕ2)]

= |z1|.|z2|.[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)],

Bằng minh tương tự như tính 3), ta tính sau: 4) Arg(1z¯) = −Arg(z) ∀z ∈ C.

=  b − c

a − c

ab

1.2.5 Công Moivre

PTIT

Cho số z biểu diễn dưới dạng lượng z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), ta

-Giả sử (1.2) đúng với n = k, zk = |z|k(cos kϕ + i sin kϕ) Khi đó,

zk+1 = zk.z = |z|k(cos kϕ + i sin kϕ).|z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|k+1[cos kϕ cos ϕ −sin kϕ sin ϕ+i(sin kϕ cos ϕ+cos kϕ sin ϕ)] = |z|k+1[cos(k +1)ϕ+i sin(k +1)ϕ].

Điều này nghĩa rằng (1.2) đúng với n = k + 1 Theo quy nạp T oán (1.2)

Ví d 1.7 Hãy biểu diễn sin 10x và cos 10x theo hàm sin x, cos x.

Giải

Áp dng Moivre với n = 10, |z| = 1, ta đạt

(cos x + i sin x)10 = cos 10x + i sin 10x (1.3)

Mặt theo khai triển Newton

(cos x + i sin x)10 =C100 cos10x + iC101 cos9x sin x + + i10C1010sin10x

=C100 cos10x − C102 cos8x sin2x + − C1010sin10x+ iC101 cos9x sin x − + C109 cos x sin9x (1.4)

Kết hợp (1.3), (1.4) với nhận xt i2n = (−1)n, ta nhận

sin 10x = C100 cos10x − C102 cos8x sin2x + − C1010sin10x

3

Abraham Moivre là một nhà Toán người Anh, sinh ngày 26.5.1667 tại Pháp trình nghiên

ông yếu liên quan đến lý thuyết suất Ông thể xem như là người đi tiên phong trong lĩnh Toán tài và Toán ứng dng vào nghiên dân số Ông mất ngày 27.11.1754.

PTIT

cos 10x = C101 cos9x sin x − C103 cos7x sin3x + + C109 cos x sin9x.

2 − 12i

PTIT

1.2.7 Công Euler

4 (Ơle)

eαi = cos α + i sin α ∀α ∈ R

nb

2 ).

sinnb2sin2b .

Vì vậy,

An = cos(a + b + nb

2 ).

sinnb2sin2b , Bn = sin(a + b +

nb

2 ).

sinnb2sin2b .

Nhận xt Giả thiết b /∈ 2πZ nênsin b2 6= 0 Bài toán trên thể giải bằng nhân An Bn với sin2b, sau đó phân → tổng".

Ví d 1.10 Tìm ánh xạ f : C → C thỏa mãn

f (z) + zf (−z) = 1 + z với mọi z ∈ C (1.6) 4

Nhà Toán Thy Sĩ Leonhard Euler sinh ngày 15.4.1707 và mất ngày 18.9.1783, ông nghiên đến tất lĩnh Toán Ông làm giải bay bổng nhờ những mới php tính vi phân và phân, ông phát triển hình vi phân và những trình hàng đầu về lý thuyết số Ông là người sáng lập ra lý thuyết liên phân số, trình bố vào năm 1737.

PTIT

Thay z bởi −z vào (1.6), ta

Khử f (−z)từ (1.7) vào (1.6), ta nhận

(1 + z2)f (z) = 1 + z2

-Nếu z = i, thì thay z = i vào phương trình trình (1.6), ta thấy đúng với mọi

f (z) Không mất tính tổng quát, ta đặt f (i) = α + iβ với α, β ∈ R.

-Nếu z = −i, thì thay z = −i vào (1.6), ta nhận

f (i) + if (−i) = 1 + i ⇔ if(−i) = 1 + i − α − βi ⇔ f(−i) = 1 − β + (α − 1)i

1 − β + (α − 1)i nếu z = −i

Ví d 1.11 Chứng minh rằng: Với mọi số z 6= 1, |z| = 1đều tồn tại x ∈ R

sao z biểu diễn dưới dạng

-1

0 0

-1 0

ta z = a + bi với giả thiết a2 + b2 = 1, luôn tồn tại x ∈ R sao

Ta z + 1z = 2 cos ϕ ⇔ z2 − 2z cos ϕ + 1 = 0 ⇔ z = cos ϕ+i sin ϕ

Trường hợp 1. z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ |z| = 1 ⇒ z¯z = 1 ⇒ 1z = ¯z = cos ϕ −

i sin ϕ ⇒ z1n = (¯z)n = cos nϕ − i sin nϕ Mặt zn = cos nϕ + i sin nϕ Do vậy, (1.8) đúng.

Trường hợp 2. z = cos ϕ − i sin ϕ, tương tự như trường hợp 1. 2

n

= cos nα + i sin nαcos nα − i sin nα =

Do ix là nghiệm, nên thay ix vào phương trình, ta nhận

−ix3− (1 − 2i)x2+ (1 − i)ix − 2i = 0 ⇔ (−x2+ x) + (−x3+ 2x2+ x − 2)i = 0

-Dãy số (xn) gọi là bị dưới, nếu tồn tại m ∈ R sao m ≤ xn ∀n.

-Dãy số (xn) gọi là bị trên, nếu tồn tại M ∈ R sao xn ≤ M ∀n.

-Dãy số (xn) gọi là bị nếu dãy (xn) bị trên và bị dưới.

-Ta nói dãy số (xn) tiến tới −∞, ký hiệu lim

n →∞xn = −∞ khi và khi

∀M < 0 (nhỏ tùy ý), ∃n0 ∈ N sao ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ M

PTIT

-Ta nói dãy số (xn) tiến tới +∞, ký hiệu lim

n →∞xn = +∞ khi và khi

∀M > 0 (lớn tùy ý), ∃n0 ∈ N sao ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≥ M

-Số A gọi là giới hạn dãy số (xn) khi n dần ra vô hay ta nói

dãy số (xn) hội t đến A, ký hiệu lim

1.3.2 Tính

1) Tính duy nhất

Định lý 1.16 Nếu dãy số (xn) hội t đến A, thì A là duy nhất.

Chứng minh Giả sử (xn) hội t đến A1 và hội t đến A2 và A1 6= A2 Đặt

suy ra|A1−A2| = |A1−xn+xn−A2| ≤ |xn−A1|+|xn−A2| < 2ǫ = 2.12|A1−A2|,

2) TÝnh bÞ

§Þnh lý 1.17 + NÕu lim

n →∞xn = A 6= ∞, th× (xn) bÞ + NÕu lim

b) NÕu a ∈ R, A > a, th× ∃n0 sao xn > a ∀n ≥ n0

NÕu a, b ∈ R, A ∈ (a, b), th× ∃n0 sao xn ∈ (a, b) ∀n ≥ n0

d) NÕu tån t¹i n1 sao xn ≤ yn ∀n ≥ n1 , th× A ≤ B.

Chøng minh a) Gi¶ sö a ∈ R, A = limn

d) Dùng phản giả sử A > B Đặt ǫ = A−B2 , theo định nghĩa, tồn tại n2, n3

Ông phát minh ra bản ánh sáng trắng Ông thiết lập luật vạn vật hấp dẫn Luật này trở thành sở Vật

lý tới năm 1905, năm mà Einstein bố lý thuyết tương đối hẹp.

PTIT

Chứng minh -Nếu q > 1, đặt q = 1 + h ⇒ h > 0 Theo khai triển Newton,

2

PTIT

Ví d 1.25 Cho a, b > 0, hãy tìm giới hạn

n →∞xn = 0 ⇔ lim

n →∞|xn| = 0 b) lim

n →∞xn = 0, thử lại định nghĩa, ta lim

Theo định nghĩa, với mọi ǫ > 0 ⇔ ǫ2 > 0 tồn tại n1, n2 sao

a) Định nghĩa -Dãy số (xn) gọi là dãy tăng, nếu xn ≤ xn+1 ∀n.

-Dãy (xn) gọi là dãy giảm, nếu xn ≥ xn+1 ∀n.

b) Tính

Định lý 1.27 -Nếu dãy số (xn) tăng và bị trên thì tồn tại giới hạn hữu hạn

lim

n →∞xn (hay dãy (xn) hội t).

-Nếu dãy số (xn) giảm và bị dưới thì dãy (xn) hội t.

PTIT

n)(1 − 2

n) + +

1n!(1 − 1

n) (1 − n − 1

n ).

(1.9)

PTIT

n)(1 − 2

n) + +

1n!(1 − 1

1n!.

≤ 2 + 1

1.2 +

12.3 + +

1(n − 1)n.

PTIT

en ≤ xn ∀n (1.11) vµ

em = 1 + 1 + 1

2!(1 − 1

m) + +

1m!(1 − 1

1.3.5 Hai dãy kề nhau

a) Định nghĩa Hai dãy (xn) và (yn)gọi là kề nhau khi và khi (xn) tăng, (yn)

Chứng minh Giả sử hai dãy(xn)và(yn)kề nhau, theo định nghĩa, dãyzn = yn−xn

giảm và hội t về 0 Do vậy zn ≥ 0 ∀n ⇔ xn ≤ yn Kết hợp điều này với (yn)

giảm, ta (xn) tăng và bị trên, dãy (yn) giảm và bị dưới Theo tính

dãy đơn diệu, hai dãy (xn) và (yn) hội t Vì lim







[xn+1, yn+1] ⊆ [xn, yn] ∀nlim

3.3.1845-6.1.1918, nhà Toán người Georg Cantor nguồn Do Thái hai phía nội ngoại.

trình nghiên ông yếu liên quan đến lý thuyết số, lý thuyết tập hợp và tôpô đại số Nhân một du tới Interlaken ở Thy Sĩ năm 1872, ông gặp Dedekind Từ những trao đổi giữa hai ông và thư từ qua lại sau đó, lý thuyết tập hợp ra đời.

PTIT

VÝ d 1.32 Chøng minh r»ng (xn) vµ (yn) kÒ nhau, víi

Chøng minh Tõ gi¶ thiÕt xn =

n

P

k=3

1 1+k 2 , ta

yn+1− yn = (xn+1− xn) + 1

n + 1 − n1 − 2(n + 1)1 2 + 1

2n2

= −(n − 1)2 + 32n2(n + 1)2(n2 + 2n + 2)

≤ 0 ∀n ≥ 3,

vËy d·y (yn) lµ d·y gi¶m.

Theo gi¶ thiÕt yn = xn+ 1

n − 12n2 n ≥ 3, ta

Chọn k0 thỏa mãn nk 0 ≥ n0 , ta nk ≥ n0 ∀k ≥ k0 Vậy

∀ǫ > 0 ∃k0 sao |xn k − x∗| < ǫ ∀k ≥ k0

Điều đó nghĩa là lim

+ Tính 2 Dãy (xn) hội t tới x∗ khi và khi hai dãy (x2n) và (x2n+1)

đều hội t tới x∗.

Chứng minh (⇒) Hiển nhiên theo tính 1.

(⇐) Giả thiết lim

Từ mọi dãy bị ta đều thể rút ra một dãy hội t.

8

31.10.1815-19.2.1897, nhà Toán Karl Weierstrass đôi khi tôn vinh là đẻ giải hiện đại.

Ông là người đầu tiên đưa ra định nghĩa tính liên bằng ngôn ngữ ǫ, δ

PTIT

b) D·y (xn) héi t khi vµ khi (xn) lµ d·y

Chøng minh (⇒) Gi¶ thiÕt lim

(⇐) Giả sử (xn) là dãy , hay với mọi ǫ > 0 ⇔ 2ǫ > 0 tồn tại

Vậy (xn) bị Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn tại một dãy (xn k)

hội t tới x∗ Hay

Giải Giả sử lim

n →∞xn = x∗ Từ xn > 0 ∀n (theo qui nạp) suy ra

-Dãy (x2n), từ x0 = 1 và (1.17), suy ra x2n < 3 ∀n vàx2n+2 > x2n ∀n Vậy

(x2n) tăng và bị trên bởi 3 Khi đó, lim

n →∞x2n = x∗ = 3 -Dãy (x2n+1), từx1 = 5và (1.17), suy rax2n+1 > 3 ∀nvàx2n+1 < x2n−1 ∀n Vậy (x2n+1) giảm và bị dưới bởi 3 Khi đó, lim

n →∞x2n+1 = x∗ = 3 Như vậy lim

2

PTIT

Nhận xt 1.37 Cho hai dãy số (xn) và (yn) Khi đó, với zn = xn + iyn , dãy số (zn) gọi là dãy số Số z0 = a + bi gọi là giới hạn

dãy số zn = xn+ iyn , nếu lim

√ 3) 15

(i−1) 20 + (1+i

√ 3) 15

Đs: Re(z) = 2n2 cosnπ4 , Im(z) = −2n2 sinnπ4

Bài tập 1.3 Giải phương trình sau, với nghiệm

1)z2 − 2z cos ϕ + 1 = 0 với ϕ ∈ R, ϕ 6= 0, ϕ 6= 1 Đs : eiϕ, e−iϕ

2)z4 + 4iz2 + 12(1 + i)z − 45 = 0,một nghiệm:z0 = 3i Đs : z0, −3, 2 − i, 1 − 2i.3)(z + i)4 + (z2 + 1)2 + (z − i)4 = 0 Đs : −√3,√

3,√1

3, −√1

3.4)(z2 − 4z + 5)2+ (z + 1)2 = 0