Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Đạo hàm và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng, khả vi và Vi phân, đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo.
GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN • • • • • CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • • • • • • • §1: Các khái niệm – Giới hạn liên tục §2: Đạo hàm riêng §3: Khả vi Vi phân §4: Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp §5: Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn §6: Cơng thức Taylor – Maclaurint §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN miền đóng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Định nghĩa hàm biến : Cho D tập R2 Hàm biến f(x,y) ánh xạ f : D → R ( x, y ) f ( x, y ) z Miền xác định hàm tất giá trị (x,y) làm biểu thức hàm có nghĩa Miền giá trị hàm tập giá trị mà hàm nhận CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT hàm f ( x, y ) x2 ( x, y ) R : x y2 MXĐ hình trịn D MGT đoạn [0,3] MXĐ y2 f(x,y) 3 (x,y) MGT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Ví dụ: Cho hàm f ( x, y ) x y x Tính f(2,1) tìm MXĐ f Giải : a f(2,1) = b MXĐ : Ta lấy nửa mặt phẳng phía đường thẳng x+y+1 = bỏ toàn đường x = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Cho f(x, y) hàm biến với MXĐ D Đồ thị f tập tất điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x, y) Đồ thị hàm z = f(x, y) phần mặt S, khác với đồ thị hàm biến y = f(x) phần đường cong CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Hình trịn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu B(M0,r) tập B(M0 , r ) ( x, y ) M 2 R : d (M , M ) R : (x x0 ) (y r y0 ) r Hình trịn mở gọi r - lân cận điểm M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Cho tập D điểm M thuộc R2 Ta định nghĩa loại điểm sau : Điểm : M gọi điểm D tồn r>0 cho r- lân cận M B(M,r) nằm hoàn toàn D Điểm biên : M gọi điểm biên D với r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa điểm thuộc D điểm không thuộc D Điểm tụ : Điểm M gọi điểm tụ D với r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa điểm N thuộc D, khác M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Định lý : Điểm M điểm tụ tập D tồn dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến M, tức n→∞ thìd(Mn,M) →0 • Chú ý : Như điểm D chắn thuộc A, cịn điểm biên D khơng thuộc D Điểm biên chắn điểm tụ, điểm tụ khơng điểm biên CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm – Giới hạn liên tục Tập D gọi tập đóng D chứa điểm biên Tập điểm biên D gọi biên D Tập D gọi tập mở R2\D tập đóng, đó, điểm thuộc D điểm trong, D không chứa điểm biên Tập D gọi tập bị chặn chứa hình cầu đó, tức r : D B(O, r ) Như vậy, có tập chứa phần biên mà khơng chứa tồn biên nên tập khơng mở, khơng đóng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Xét điểm dừng d2f(M1) = -3(dx2+dy2+dz2) – xác định dương nên fct = f(M1) = f(1/3,-2/3,2/3) = d2f(M2) = 3(dx2+dy2+dz2) – xác định âm nên fcđ = f(M2) = f(-1/3,2/3,-2/3) = -3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2+2y2+12xy với điều kiện 4x2+y2 = 25 Giải: L(x,y) = x2+2y2+12xy+λ(4x2+y2 - 25) Tìm điểm dừng : Lx x 12y x Ly 4x 4y 12 x (1) y (2) Từ (1) (2) ta tính λ theo x y, cho để tìm mối liên hệ x y y 25 (3) x 6y x 2y 24 x 4x y xy 6y (4) Pt (4) pt đẳng cấp x, y; ta giải cách đặt y = tx để phương trình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện t 2 24x +7x.tx-6(tx) = -6t +7t+24 = y Suy y x Ta thay vào pt (3), x tính λ tương ứng để điểm dừng t M1(2,-3) M2(-2,3) với λ = 2, M3(3/2,4) M4(-3/2,-4) với λ = -17/4 Tính d2L = L”xxdx2+L”yydy2 +2L”xydxdy d2L = (2+8λ)dx2+(4+2λ)dy2+24dxdy Ta xét điểm dừng lần chung λ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Tại M1 M2 : d2L=18dx2+24dxdy+8dy2 = 2(3dx+2dy)2 Đến đây, ta chưa thể kết luận dấu d2f nên ta sử dụng điều kiện φ(x,y) = cách lấy vi phân vế: φ’xdx+φ’ydy=0 thay giá trị x, y điểm dừng xét để tìm thêm mối liên hệ dx dy Từ : 4x2+y2 = 25 8xdx+2ydy = Thay x=2 y=-3 (điểm M1) x=-2 y=3 (điểm M2) vào ta : 8dx = 3dy Suy ra: d2L(M1) = d2L(M2) = 225/4dx2 - xác định dương Tương tự xét dấu d2L M3 M4 Vậy : fcd = f(2,-3) = f(-2,3) = -26, fct = f(3/2,4) = f(-3/2,4) = -151/4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Ví dụ : Dùng cực trị để tìm khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng giao tuyến mặt phẳng : x+y = 6, y+z = 12 Giải Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm M(x,y,z) d (O, M ) x y z2 Tức ta có tốn: Tìm cực trị hàm f(x,y,z)=x2+y2+z2 với điều kiện x+y = y+z = 12 Ta có làm cách : Cách 1: Thay x = 6-y, z = 12-y vào hàm f để hàm biến y tìm cực trị CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Cách 2: Dùng hàm Lagrange với điều kiện L(x,y,z) = f(x,y,z) + λφ(x,y,z) + μψ(x,y,z) L(x,y,z) = x2+y2+z2+λ(x+y-6)+μ(y+z-12) Tìm điểm dừng cách giải hpt Lx Lx x Ta điểm Ly Ly 2y dừng Lz Lz 2z M(0,6,6) ( x, y , z ) x y với λ = 0, μ = -12 ( x, y , z ) y z 12 Tính d2L=2(dx2+dy2+dz2) xác định dương điểm nên ta fct = f(0,6,6) = 72 Vậy khoảng cách nhỏ cần tìm 6√2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định miền D đóng bị chặn Hàm f gọi đạt giá trị lớn (GTLN) điểm M0 ( x0 , y ) D f ( x, y ) f ( x0, y ), ( x, y ) D fmax = f(x0,y0) Thay dấu ≤ dấu ≥ định nghĩa ta có khái niệm giá trị nhỏ (GTNN) hàm miền đóng D Định lý Weierstrass : Nếu hàm f(x,y) liên tục tập đóng bị chặn D f đạt GTLN, GTNN D Nhắc lại rằng: Tập D đóng tức D chứa biên nó, D bị chặn tức tồn hình cầu mở B(M0,r) cho D B(M0 , r ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Như vậy, để tìm GTLN, GTNN hàm f(x,y) miền đóng D ta làm sau : Tìm điểm điểm dừng M1, M2, … điểm D Tính giá trị hàm điểm dừng Tìm điểm dừng biên D tức điểm dừng hàm f thỏa điều kiện phương trình biên D Tính giá trị hàm f điểm dừng So sánh giá trị hàm f điểm dừng biên D để tìm GTLN, GTNN hàm f miền D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Vídụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f(x,y) = (x-6)2+(y+8)2 thỏa điều kiện x2+y2 ≤ 25 Giải: Miền D hình trịn, bao gồm đường trịn tâm O(0,0) bán kính r = Tìm điểm dừng hình trịn tức giải hpt fx 2( x 6) fy 2( y 8) 2 x y 25 pt cho ta nghiệm x = 3, y = -4, không thỏa bất đẳng thức tức D điểm dừng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Tìm điểm dừng biên D tức tìm điểm dừng có điều kiện cách lập hàm Lagrange (-3,4) L(x,y) = f(x,y) + λ(x2+y2-25) (3,-4) giải hpt Lx 2( x 6) 2 x Ta điểm dừng Ly 2( y 8) 2 y biên M1(-3,4), M2(3,-4) 2 x y 25 Ta tính giá trị f điểm dừng so sánh ta fmax = f(-3,4) = 225, fmin=f(3,-4) = 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Ví dụ: Tìm GTLN GTNN hàm f(x,y) = x2+y2-xy miền |x| + |y| ≤ Giải: B(0,1) Trước hết, ta xác định miền D hình vng ABCD hình vẽ A(1,0) Tìm điểm dừng hình C(-1,0) vuông cách giải hpt fx x y D(0-1) fy 2y x Ta điểm dừng M1(0,0) Tìm điểm dừng biên tức cạnh AB, BC, CD, DA hình vng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Trên cạnh AB với phương trình x+y = ↔ y = 1-x Thay vào hàm f ta f = x2+(1-x)2-x(1-x) = x2-x+1 f’=2x-1=0↔x=1/2 ta điểm dừng M2(1/2,1/2) B(0,1) M2 ( / , / ) A(1,0) C(-1,0) D(0-1) Tương tự cạnh lại ta điểm dừng M3(-1/2,1/2), M4(-1/2,-1/2), M5(1/2,-1/2) Cuối cùng, ta tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm: f(M1)=0, f(M2) = f(M4) = 1/4, f(M3) = f(M5) = 3/4 Và điểm đặc biệt: f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = Vậy: fmax = f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1, fmin = f(M1) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN hàm f(x,y) = x2+y2 miền ( x 1)2 ( y 2)2 D: 2 x y Giải: Trước tiên, ta xác định miền D phần hình trịn nằm đường thẳng Tìm điểm dừng miền D : f x x x y 0 fx 2y B(0,4) I(1,2) A(2,0) Ta không nhận điểm nằm ngồi miền D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Tìm điểm dừng biên D gồm đường : đoạn thẳng AB nửa đường tròn ACB Trên đoạn thẳng, ta có điều kiện: 2x+y = ↔ y = -2x+4 B(0,4) , 0≤x≤2 thay vào hàm f ta f = x2+(2x-4)2 = 5x2-16x+16 I(1,2) Cho ta điểm dừng M1 M1(8/5,4/5) A(2,0) Trên nửa đường tròn, ta lập hàm Lagrange L(x,y) = x2+y2+λ((x-1)2+(y-2)2-5) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Tìm điểm dừng: L 2x 2 ( x 1) x x y 0, Lx 2y 2 ( y 2) x 2, y 4, 2 2 ( x 1) ( y 2) Cuối cùng, ta tính giá trị f điểm đặc biệt điểm dừng f(M1) = 80/25, f(M2) = 20, f(A) = 4, f(B) = 16 so sánh để Ta loại điểm (0,0) nằm đường thẳng nhận điểm M2(2,4) M2 B(0,4) I(1,2) M1 fmax=f(2,4)=20, fmin = f(8/5,4/5) = 80/25 CuuDuongThanCong.com A(2,0) https://fb.com/tailieudientucntt ...CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • • • • • • • ? ?1: Các khái niệm – Giới hạn liên tục §2: Đạo hàm riêng §3: Khả vi Vi phân §4: Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp §5: Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn... §2 : Đạo hàm riêng Tương tự, ta có đạo hàm riêng cấp (n+1) đạo hàm đạo hàm cấp n Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hàm: f(x,y) = x2y – 3ex+y Giải: đạo hàm riêng cấp : fx 2xy 3e x y , fy đạo hàm riêng... hàm riêng Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp số lần lấy đạo hàm theo biến (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo biến) Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đạo hàm riêng cấp đạo hàm