Full bài giảng Giải tích hàm

Tóm tắt giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 21 tháng năm 2018 Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho môn Giải tích hàm TTH104 Khoa Tốn–Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Giải tích hàm mơn quan trọng cho sinh viên tốn, nơi sinh viên có hiểu biết đầu tiên, không gian vô hạn chiều Các kiến thức thiếu cho nhiều chun ngành tốn lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận tốn học trừu tượng xác bước đầu rèn luyện kiểm tra Phần đơng sinh viên học mơn vào học kì thứ tư Tóm tắt nội dung học phần: khơng gian mêtríc (nhắc lại), khơng gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lý chúng, không gian Hilbert Các chứng minh phần giảng thường chứa ý Một số mệnh đề khơng có chứng minh Đây chổ dành cho người học bổ sung chi tiết Dấu tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc Biên soạn: • Đinh Ngọc Thanh, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh • Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Người biên tập Email: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu tiếp tục sửa chữa bổ sung Bản có web địa chỉ: http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.pdf Mã nguồn (LaTeX) có http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.tar.gz This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Mục lục Khơng gian mêtríc 1.1 Mêtríc 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.3 Khơng gian mêtríc 1.4 Không gian đầy đủ không gian compắc 1.5 Bài tập Không gian định chuẩn 2.1 Không gian vectơ 2.2 Không gian định chuẩn 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 2.4 Không gian p 2.5 Không gian hàm bị chặn 2.6 Không gian L p 2.6.1 Tóm tắt độ đo tích phân 2.6.2 Khơng gian L p 2.7 Các đề tài khác 2.8 Bài tập Ánh xạ tuyến tính liên tục 3.1 Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục 3.2 Không gian L(E, F) 3.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục không gian định chuẩn hữu hạn chiều 3.4 Tính chuẩn 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 3.6 Định lý Hahn–Banach 3.7 Các đề tài khác 3.8 Bài tập Không gian Hilbert 4.1 Không gian tích 4.2 Không gian Hilbert 4.3 Phép chiếu vng góc 4.4 Phiếm hàm tuyến tính 4.5 Họ trực chuẩn 4.5.1 Không gian Hilbert tách 4.5.2 Khơng gian Hilbert 4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier 4.7 Bài tập 4 10 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 24 24 25 26 27 28 29 30 30 34 34 36 37 39 39 41 42 43 45 MỤC LỤC Giới thiệu Vào kỉ 18, 19, phát triển vượt bậc châu Âu thời đại Khai sáng Cách mạng công nghiệp thúc đẩy khảo cứu học thuật thực dụng Trong có khảo cứu Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier nhiều người khác tượng vật lí, truyền sóng truyền nhiệt Xét kim loại mà đầu chịu tác động nguồn nhiệt Gọi x vị trí điểm u nhiệt độ vị trí x vào thời điểm t, phân tích vật lí dẫn tới kết luận u phải thỏa điều kiện có dạng ∂u ∂2u − c = f (x, t) ∂t ∂x Đây phương trình mà đối tượng hàm số Nghiên cứu phương trình đưa đến việc khơng tính chất hàm, mà tính chất tập hợp hàm chiếm vị trí trung tâm Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay khơng đưa khảo sát tính chất ánh xạ tập hợp hàm, hay để xấp xỉ nghiệm cần đưa cách đo độ khác biệt hàm Một điều đáng ý tập hợp hàm thường có cấu trúc khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Ví dụ tập hợp đa thức hay tập hợp hàm liên tục có tập gồm vơ hạn phần tử độc lập tuyến tính Vào đầu kỉ 20, mơn Giải tích hàm định hình phát triển nhanh chóng, vừa phát triển nội toán học, vừa nhu cầu khoa học kĩ thuật Ngày Giải tích hàm trở thành phần toán học mà học tốn cần biết Chương Khơng gian mêtríc Khơng gian mêtríc phát triển tương tự khơng gian Euclid, tập hợp có khoảng cách Ở chương nhắc lại số tính chất khơng gian mêtríc có liên quan tới mơn giải tích hàm Phần lớn nội dung có mơn Giải tích 2, người học nên xem lại giáo trình [13] Tuy nhiên nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa mối quan hệ phần kiến thức không nhấn mạnh việc kiểm tra tính đắn logic hình thức chứng minh mệnh đề 1.1 Mêtríc Mêtríc nghĩa khoảng cách.1 Một khơng gian mêtríc tập hợp có khoảng cách 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khơng rỗng Một ánh xạ d : X×X → R (x, y) → d(x, y) gọi mêtríc (khoảng cách) X tính chất sau thỏa với x, y, z ∈ X: (a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇐⇒ x = y, (b) d(x, y) = d(y, x), (c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) x y z Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác Cặp (X, d) gọi khơng gian mêtríc hay khơng gian có khoảng cách Mỗi phần tử tập X gọi điểm Khơng gian mêtríc (X, d) hay viết vắn tắt X mêtríc d ngầm hiểu khơng cần xác định cụ thể Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa cách đo, có họ hàng với từ metre (mét) CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.1.3 Ví dụ (khơng gian Euclid Rn ) Với n ∈ Z+ , tập hợp Rn = {(x1, x2, , xn ) | x1 ∈ R, x2 ∈ R, , xn ∈ R} với mêtric Euclid d((x1, x2, , xn ), (y1, y2, , y n )) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 gọi không gian Euclid thực n-chiều Đặc biệt n = không gian mêtríc Euclid R có mêtríc thơng thường cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực, d(x, y) = |x − y|, khoảng cách hai số thực 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.2.1 Định nghĩa Cho khơng gian mêtríc (X, d), a ∈ X số thực r > Các tập B(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) < r } B (a, r) = {x ∈ X | d(x, a) ≤ r } S(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) = r } gọi cầu mở, cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r 1.2.2 Định nghĩa Cho khơng gian mêtríc (X, d) Tập A ⊂ X tập mở X điểm thuộc A có cầu X tâm điểm chứa A Bằng kí hiệu: ∀x ∈ A, ∃r > 0, B(x, r) ⊂ A Nếu X \ A tập mở, ta nói A tập đóng X 1.2.3 Ví dụ Mọi cầu mở tập mở, cầu đóng mặt cầu tập đóng Ngồi ra, khơng gian mêtríc X, tập ∅ X tập vừa đóng vừa mở X 1.2.4 Ghi Khi nói tới “mở”, “đóng” ta phải hiểu rõ nói tới khơng gian mêtríc nào, tập hợp tập khơng gian mêtríc khác nhận mêtríc khác nhau, tính mở, đóng khác Khi hiểu rõ nói tắt khơng cần nhắc tới khơng gian mêtríc chứa 1.2.5 Mệnh đề Cho khơng gian mêtríc (X, d) (Ai )i ∈I họ tập X Ta có (a) Nếu Ai tập mở (b) Nếu Ai tập đóng i ∈I Ai tập mở i ∈I Ai tập đóng (c) Nếu Ai tập mở I tập hữu hạn (d) Nếu Ai tập đóng I tập hữu hạn i ∈I i ∈I Ai tập mở Ai tập đóng 1.2.6 Định nghĩa Cho khơng gian mêtríc (X, d) A tập X Phần tử x ∈ X gọi điểm dính (contact point) A cầu tâm x có chứa phần tử A, nghĩa ∀r > 0, B(x, r) ∩ A ∅ Tập tất điểm dính A gọi bao đóng A, ký hiệu A¯ hay cl(A) Phần tử x gọi điểm A tồn cầu X tâm x chứa A, nghĩa ∃r > 0, B(x, r) ⊂ A ◦ Tập tất điểm A gọi phần A, ký hiệu A hay int(A) CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.2.7 Mệnh đề Cho A tập khơng gian mêtríc (a) A¯ tập đóng tập đóng nhỏ chứa A, ◦ (b) A tập mở tập mở lớn chứa A 1.2.8 Định nghĩa Cho (xn )n ≥1 dãy phần tử khơng gian mêtríc (X, d) Ta nói (xn )n≥1 dãy hội tụ (trong X) tồn x ∈ X cho limn→∞ d(xn, x) = 0, nghĩa ∀ > 0, ∃n0 ∈ Z+, ∀n ∈ Z+, n ≥ n0 =⇒ d(xn, x) < Điều có nghĩa phần tử dãy gần x tùy ý miễn số đủ lớn Khi đó, phần tử x, có, gọi giới hạn dãy (xn ), ký hiệu limn→∞ xn = x Ta viết xn → x n → ∞ 1.2.9 Mệnh đề Cho tập A khơng gian mêtríc X x ∈ X Ta có x điểm dính A tồn dãy (xn ) A hội tụ x Do A tập đóng ¯ A = A Ta đặc trưng tập đóng dãy sau: 1.2.10 Mệnh đề Cho A tập không gian mêtríc X Ta có A tập đóng X dãy A mà hội tụ X giới hạn phải nằm A 1.2.11 Định nghĩa Cho ánh xạ f từ khơng gian mêtríc (X, dX ) vào khơng gian mêtríc (Y, dY ) x0 ∈ X Ta nói f liên tục x0 ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X, dX (x, x0 ) < δ =⇒ dY ( f (x), f (x0 )) < Điều có nghĩa f (x) gần f (x0 ) tùy ý miễn x đủ gần x0 Ta nói f liên tục X liên tục điểm thuộc X 1.2.12 Định lý Cho ánh xạ f từ khơng gian mêtríc (X, dX ) vào khơng gian mêtríc (Y, dY ) Điều kiện cần đủ để f liên tục x với dãy (xn ) X, xn → x X f (xn ) → f (x) Y 1.2.13 Định lý Ánh xạ f từ khơng gian mêtríc (X, dX ) vào khơng gian mêtríc (Y, dY ) liên tục X ảnh ngược qua f tập mở Y tập mở X Mệnh đề thay tập mở tập đóng 1.3 Khơng gian mêtríc Cho khơng gian mêtríc (X, d) Y tập X Ánh xạ dY ≡ d|Y×Y , tức dY (x, y) = d(x, y) với x, y ∈ Y , mêtríc Y mà ta gọi mêtríc thu hẹp X xuống Y Khơng gian mêtríc (Y, dY ) gọi khơng gian mêtríc khơng gian mêtríc X 1.3.1 Ghi Như nhắc 1.2.4, ý với Y không gian X A tập Y ta cần phân biệt việc A đóng hay mở X với việc A đóng hay mở Y Tương tự, với dãy Y , ta cần phân biệt việc dãy hội tụ X với việc dãy hội tụ Y 1.3.2 Ví dụ Trên R với mêtríc Euclid, tập [0, 2) tạo thành khơng gian mêtríc Tập [0, 1) mở không gian [0, 2) không mở không gian R Dãy xn = − n1 [0, 2) không hội tụ [0, 2) hội tụ R Ta có liên hệ tính đóng mở khơng gian với tính đóng mở khơng gian sau CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.3.3 Mệnh đề Cho Y không gian không gian mêtríc X A tập Y Ta có: (a) A mở Y tồn tập V mở X cho A = V ∩Y (b) A đóng Y tồn tập F đóng X cho A = F ∩Y 1.4 Không gian đầy đủ không gian compắc 1.4.1 Định nghĩa Dãy (xn )n≥1 dãy Cauchy X ∀ > 0, ∃n0 ∈ Z+, ∀m ∈ Z+, ∀n ∈ Z+, m, n ≥ n0 =⇒ d(xm, xn ) < Điều nghĩa phần tử dãy gần tùy ý miễn số đủ lớn 1.4.2 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy 1.4.3 Định nghĩa Ta nói khơng gian mêtríc (X, d) đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X 1.4.4 Ví dụ Tập hợp R tất số thực với mêtríc Euclid đầy đủ Điều hệ tính tồn chặn nhỏ tập hợp số thực, gọi tính liên tục: tập khơng rỗng bị chặn R có chặn nhỏ Ngược lại đầy đủ R dẫn tới tính tồn chặn nhỏ (sup) Từ tính đầy đủ R ta suy được: 1.4.5 Mệnh đề Không gian Euclid Rn đầy đủ 1.4.6 Ví dụ (khơng gian Euclid Cn ) Về mặt tập hợp C = {(a, b) | a ∈ R, b ∈ R} = R2 Mỗi phần tử (a, b) ∈ C gọi số phức viết a + bi với i gọi đơn vị ảo Phép cộng C định nghĩa (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, tức (a, b) + (c, d) = (a + c, b +√d), trùng với phép cộng không gian Euclid R2 Trên C có độ lớn, cho |a + bi| = a2 + b2 , gọi môđun số phức Khoảng cách hai số phức x1 = a1 + b1i x2 = a2 + b2i cho |x1 − x2 | = |(a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i| = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 , khoảng cách (a1, b1 ) (a2, b2 ) khơng gian Euclid thực R2 Vì quan tâm tới khía cạnh khơng gian mêtríc C trùng với R2 Với n ∈ Z+ tập hợp Cn = {(x1, x2, , xn ) | x1 ∈ C, x2 ∈ C, , xn ∈ C} với mêtric d((x1, x2, , xn ), (y1, y2, , y n )) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + · · · + |xn − yn | gọi không gian Euclid phức n-chiều Nếu quan tâm tới khía cạnh khơng gian mêtríc Cn trùng với R2n Sự khác biệt Cn với R2n xuất quan tâm tới cấu trúc không gian vectơ chương sau Khác với R2 , C có phép nhân định nghĩa (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Một hệ phép nhân i = i · i = −1 Với z = a + bi z¯ = a − bi gọi số phức liên hợp số z Với phép toán + · C trường đại số Vì mặt mêtríc Cn trùng với R2n nên ta có ngay: CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.4.7 Mệnh đề Khơng gian Euclid Cn đầy đủ 1.4.8 Định nghĩa Cho không gian mêtríc (X, d) Ta nói (X, d) compắc dãy X có dãy hội tụ X.2 Tập A ⊂ X gọi bị chặn A chứa cầu X, tức ∃a ∈ X, ∃r > 0, A ⊂ B(a, r) Cho không gian mêtríc X Y tập X Khi Y trở thành khơng gian mêtríc X Ta nói Y tập đầy đủ khơng gian mêtríc Y khơng gian đầy đủ, Y tập compắc khơng gian mêtríc Y không gian compắc 1.4.9 Mệnh đề Cho Y tập khơng gian mêtríc X Nếu Y compắc bị chặn, đóng, đầy đủ 1.4.10 Mệnh đề Cho Y tập khơng gian mêtríc X Nếu Y đóng X X compắc Y compắc 1.4.11 Mệnh đề Cho Y tập không gian mêtríc X (a) Nếu Y đầy đủ Y đóng X (b) Nếu Y đóng X X đầy đủ Y đầy đủ 1.4.12 Định lý (định lý Bolzano–Weierstrass) Mọi khoảng đóng [a, b] tập compắc đường thẳng Euclid Đây đặc trưng quan trọng tập hợp số thực, suy từ tính đầy đủ thực tương đương với tính đầy đủ tập hợp số thực Người học nên xem lại giáo trình Giải tích ([2]) Từ định lý Bolzano–Weierstrass ta suy đặc trưng quan trọng sau tập compắc không gian Euclid: 1.4.13 Định lý (compắc khơng gian Euclid = đóng + bị chặn) Một tập không gian Euclid Rn hay Cn compắc đóng bị chặn 1.4.14 Định lý (ảnh liên tục không gian compắc compắc) Cho f ánh xạ liên tục hai khơng gian mêtríc X Y Nếu X compắc f (X) compắc 1.4.15 Định lý (liên tục khơng gian compắc liên tục đều) Cho f ánh xạ liên tục hai khơng gian mêtríc X Y Nếu X compắc f liên tục X, nghĩa ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X, ∀y ∈ X, dX (x, y) < δ =⇒ dY ( f (x), f (y)) < 1.4.16 Định lý Nếu f ánh xạ liên tục từ khơng gian mêtríc compắc X vào khơng gian Euclid R f đạt giá trị lớn nhỏ X, nghĩa tồn a, b ∈ X cho f (a) = max f (X) f (b) = f (X) 1.5 1.5.1 Bài tập Các mệnh đề nêu tập 1.5.2 Chứng minh giới hạn dãy có 1.5.3 Trong Chứng minh dãy Cauchy phải bị chặn (nghĩa tập giá trị dãy tập bị chặn) tiếng Anh từ compact có nghĩa chặt, gọn CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.5.4 Chứng minh dãy Cauchy có dãy hội tụ phải hội tụ 1.5.5 Hãy cho ví dụ khơng gian mêtríc không đầy đủ 1.5.6 Cho (xn )n ≥1 dãy khơng gian mêtríc X x X Chứng minh hai điều sau tương đương: (a) Có dãy xnk k ≥1 (xn ) hội tụ x X (b) Tập {n ≥ | xn ∈ B(x, r)} tập vô hạn với số thực r > 1.5.7 Cho khơng gian mêtríc (E, dE ), f ánh xạ từ E vào khơng gian mêtríc (F, dF ) Giả sử với số thực dương η có ánh xạ liên tục gη từ E vào F cho dF ( f (x), gη (x)) < η, ∀x ∈ E Chứng minh f liên tục E 1.5.8 Chứng tỏ hạn chế ánh xạ liên tục xuống khơng gian mêtríc ánh xạ liên tục 1.5.9 Cho E khơng gian mêtríc compắc f song ánh liên tục từ E vào khơng gian mêtríc F Chứng minh f −1 : F → E ánh xạ liên tục 1.5.10 (định lý ánh xạ co) Cho (E, d) khơng gian mêtríc đầy đủ, α ∈ (0, 1), f ánh xạ từ E vào E Giả sử ∀x, y ∈ E, d( f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) Ta nói f ánh xạ co với số co α E Khi đó: (a) f liên tục E (b) Với a ∈ E bất kì, dãy (xn )n ≥1 xác định x1 = a xn+1 = f (xn ), n ≥ 1, dãy Cauchy E (c) Dãy (xn )n ≥1 hội tụ x ∈ E thỏa f (x) = x Điểm x cho f (x) = x gọi điểm bất động f Tóm tắt, ta phát biểu rằng: ánh xạ co khơng gian đầy đủ có điểm bất động Đây gọi định lý điểm bất động Banach 1.5.11 (đầy đủ hóa) * Dưới kết khơng gian mêtríc có đầy đủ hóa Hình mẫu điều đầy đủ hóa Q để R Cho X không gian mêtríc Nhắc lại tập A X gọi dày đặc hay trù mật X A = X (a) Xét Y tập hợp tất dãy Cauchy X Trên Y xét quan hệ (xn ) ∼ (yn ) limn→∞ d(xn, yn ) = Đây quan hệ tương đương Y Gọi X tập hợp tất lớp tương đương Y quan hệ (b) Trên X đặt d([(xn )], [(yn )]) = limn→∞ d(xn, yn ) Đây định nghĩa tốt3 mêtríc X (c) Với mêtríc X khơng gian mêtríc đầy đủ (d) Ánh xạ x → (x, x, , x, ) từ X vào X đơn ánh ảnh dày đặc X Khơng gian mêtríc X gọi khơng gian đầy đủ hóa X Thuật ngữ “định nghĩa tốt” (tiếng Anh well-defined) ý nói định nghĩa cần dùng tới phần tử đại diện lớp tương đương, không phụ thuộc cách chọn phần tử đại diện đó, nên định nghĩa áp dụng cho lớp tương đương không cho phần tử Đây cách nói tắt truyền thống tốn học Nói chung đối tượng tốn học định nghĩa tốt nghĩa xác định Khơng có thuật ngữ “định nghĩa khơng tốt”! CHƯƠNG KHƠNG GIAN HILBERT 38 M⊥ x x − PM x O PM x M Hình 4.3.2: Chứng minh Đặt d(x, M) = inf{ x − y | y ∈ M }, khoảng cách từ x tới M Có dãy (yn )n≥1 , yn ∈ M cho limn→∞ x − yn = d(x, M) Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ x − ym x − yn , ta có ym − yn = x − ym + x − yn − 2x − (ym + yn ) = x − ym + x − yn − x − (ym + yn )/2 ≤ x − ym + x − yn − 4d(x, M)2 2 Từ ta suy (yn )n≥1 dãy Cauchy Vì M khơng gian đóng khơng gian đầy đủ H nên M đầy đủ, dãy (yn )n≥1 có giới hạn y M Suy y − x = d(x, M) Bây ta chứng minh (x − y) ⊥ M Với t ∈ R, với w ∈ M x−y ≤ x − y + tw = x − y + tw, x − y + tw (4.3.3) Trên trường thực điều dẫn tới w t + 2t(x − y) · w ≥ với t ∈ R Khảo sát hàm số bậc hai theo biến t ta thấy điều buộc (x − y) · w = Trên trường phức bất đẳng thức (4.3.3) dẫn tới phần thực Re((x − y) · w) = Ở (4.3.3) thay t it phần ảo Im((x − y) · w) = 0, (x − y) · w = Chú ý tính đóng tính đầy đủ dùng chứng minh tồn phép chiếu 4.3.4 Ví dụ Nếu y chiếu x xuống y chiếu x xuống khơng gian tuyến tính sinh y, không gian định chuẩn chiều nên đầy đủ, đóng H Dễ thấy từ trường hợp mặt phẳng: y y P y x = x, y y Thực ta kiểm tra x − x, y y y y vuông góc với y Một số tính chất phép chiếu tổng kết lại 4.3.5 Mệnh đề Cho M khơng gian vectơ đóng khơng gian Hilbert H Với x ∈ H (a) Nếu x ∈ M PM x = x (b) x − PM x = inf y ∈M x − y = d(x, M) (c) x = PM x + PM ⊥ x (d) x = PM x + PM ⊥ x , PM x ≤ x (e) PM ánh xạ tuyến tính liên tục (f) H = M + M ⊥ , M ∩ M ⊥ = {0} CHƯƠNG KHƠNG GIAN HILBERT 4.4 39 Phiếm hàm tuyến tính 4.4.1 Mệnh đề (tích liên tục theo biến) Cho khơng gian tích H trường F = R F = C (a) Ánh xạ x → x, y tuyến tính liên tục, có chuẩn y (b) Trên trường số thực ánh xạ y → x, y tuyến tính liên tục, có chuẩn x Trên trường số phức ánh xạ khơng tuyến tính liên tục Chứng minh Do bất đẳng thức BCS, | x, y | ≤ x y , hai ánh xạ liên tục 4.4.2 Định lý (định lý biễu diễn Riesz) Cho không gian Hilbert H trường F = R F = C Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f : H → F tồn y ∈ H cho f (x) = x, y với x ∈ H Nói ngắn gọn, phiếm hàm tuyến tính khơng gian Hilbert cho tích Chú ý f = y Như tương ứng H → H∗ f , f (x) = x, y y → song ánh tuyến tính bảo tồn chuẩn, tức đẳng cấu khơng gian định chuẩn Nói ngắn gọn, khơng gian Hilbert đẳng cấu với khơng gian đối ngẫu Chứng minh Nếu f = y = Giả sử f Ta nhận thấy y tồn y ⊥ ker f Từ ta có cách xây dựng sau Vì ker f tập đóng, khơng H, nên khơng gian trực giao (ker f )⊥ khác {0} Vì f (ker f )⊥ nên lấy z ∈ (ker f )⊥ cho f (z) = Với x ∈ H f (x − f (x)z) = 0, nên x − f (x)z ∈ ker f , x − f (x)z, z x, z = 0, = f (x) = Vậy ta lấy y = z z f (x) z , z x, z 4.4.3 Ví dụ Mọi phiếm hàm tuyến tính khơng gian Euclid Rn có dạng x → a, x = n n i=1 xi với a ∈ R , xem 3.3.2 4.4.4 Ví dụ Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f : → R có dạng x → a, x = với a ∈ Hơn f = a (Xem lại tập 3.8.8.) 4.5 ∞ i=1 xi Họ trực chuẩn Một họ E phần tử không gian Hilbert gọi họ trực giao u, v = với u, v ∈ E, u v Hơn u = với u ∈ E họ E gọi họ trực chuẩn Nói khác đi, E trực chuẩn u, v = u = v, u v CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT 40 4.5.1 Mệnh đề (trực chuẩn hóa Gram-Schmidt) Mỗi khơng gian tích hữu hạn chiều có sở tuyến tính trực chuẩn Chứng minh Ý tưởng cách xây dựng phân tích trực giao, xem Hình 4.3.2 Lấy vectơ v1, , sở tuyến tính Đặt w1 = v1, w2 = v2 − P wi = vi − P v1 v2, {v1,v2, ,vi−1 } vi, Bằng qui nạp ta có không gian vectơ sinh họ {w1, , wn } không gian vectơ sinh i họ {v1, , }, họ {w1, , wn } họ trực giao Đặt wi = w wi ta thu sở trực chuẩn {w1, , wn } Ta viết cơng thức tường minh: P {v1,v2, ,vi−1 } vi = P { w ,w , ,w } vi = vi, w1 w1 + vi, w2 w2 + · · · + vi, wi−1 wi−1, i−1 thuật tốn là: w1 = v1, w1 w1 = , w1 wi = vi − vi, w1 w1 − vi, w2 w2 − · · · − vi, wi−1 wi−1, wi , wi = wi 4.5.2 Ví dụ Khơng gian Rn có sở trực chuẩn {e1, e2, , en } Cơ sở có tính chất đặc biệt, n n với x đặt xi = x, ei x = i=1 xi ei x = i=1 |xi | Việc xây dựng kết tương tự cho khơng gian Hilbert cơng việc phần Cho E họ trực chuẩn Ứng với x ∈ H, với e ∈ E, ta đặt xe = x, e ∈ F Các xe có vai trò tương tự tọa độ x trường hợp Rn 4.5.3 Mệnh đề Cho E họ trực chuẩn hữu hạn khơng gian Hilbert H Ta có cơng thức tường minh cho ánh xạ chiếu, với x ∈ H P E x= Pe x = e ∈E x, e e e ∈E Một hệ bất đẳng thức Bessel: | x, e | ≤ x e∈E CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT Chứng minh Dễ kiểm (x − nữa, thấy 4.3.5, e ∈E 41 x, e e) ⊥ e với e ∈ E Như | x, e | = P E x ≤ x e ∈E x, e e = P E x Hơn e ∈E 4.5.4 Ví dụ Trong xét họ E vectơ en = (0, , 0, 1, 0, ), n ∈ Z+ Đây họ trực chuẩn Nếu x ∈ x ⊥ ei ⇐⇒ xi = x · ei = 0, x ⊥ E ⇐⇒ x = Vậy E họ trực chuẩn cực đại Tuy nhiên rõ ràng viết phần tử tùy ý tổ hợp tuyến tính hữu hạn vectơ en Nói cách khác khơng gian vectơ E sinh E , mà thực E = cc thấy tập 2.8.12 Vì cc dày đặc , từ E cần qua giới hạn ta Ta chứng tỏ tính chất chung không gian Hilbert Khi H không gian tích khác tồn x ∈ H cho x = tồn họ trực chuẩn H Một họ trực chuẩn cực đại (hay tối đại) H họ trực chuẩn H mà ta thêm phần tử H vào mà nhận họ trực chuẩn Dùng bổ đề Zorn ta được: 4.5.5 Mệnh đề Trong khơng gian tích khác tồn họ trực chuẩn cực đại Kết sau nói lên ý nghĩa họ trực chuẩn cực đại 4.5.6 Định lý Cho họ trực chuẩn E không gian Hilbert H Các mệnh đề sau tương đương: (a) E cực đại (b) Không gian sinh E dày đặc H Vậy họ trực chuẩn cực đại sinh không gian Hilbert tổ hợp tuyến tính qua giới hạn Chứng minh Lấy x ∈ H Gọi y = P E x Ta có (x − y) ⊥ E , (x − y) ⊥ e, ∀e ∈ E Do E cực đại nên phải có x − y = Vậy x = y ∈ E Do H = E Ngược lại, giả sử H = E Nếu x ⊥ E x ⊥ E = H, suy x = Vậy E cực đại 4.5.1 Không gian Hilbert tách Trong trường hợp không gian Hilbert H có họ trực chuẩn cực đại đếm (điều biết tương đương với việc H khơng gian mêtríc tách được, nghĩa có tập đếm dày đặc), ta gọi H khơng gian Hilbert tách 4.5.7 Ví dụ Không gian Euclid Fn dĩ nhiên tách Ở 4.5.4 ta thấy Hilbert tách Ở 4.6.1 ta thấy L ([0, 2π], R) không gian Hilbert tách không gian 4.5.8 Định lý Cho họ trực chuẩn cực đại vô hạn đếm E không gian Hilbert H Giả sử E đánh số (ei )i ∈Z+ Với x ∈ H, đặt xi = x, ei , thì: ∞ x= xi ei, i=1 ∞ x, y = xi y¯i, i=1 có đẳng thức Parseval: ∞ x = |xi | i=1 CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT 42 Rõ ràng biểu diễn trường hợp E hữu hạn, thay tổng vô hạn tổng hữu hạn n Chứng minh Ta chứng tỏ dãy i=1 xi ei n≥1 dãy Cauchy Thực bất đẳng thức Bessel n ∞ chuỗi i=1 |xi | hội tụ số thực, dãy i=1 |xi | n≥1 dãy Cauchy Từ cơng thức Pythagore ta có n n = xi ei i=m+1 |xi | i=m+1 n i=1 xi ei n≥1 Điều cho thấy dãy dãy Cauchy, hội tụ H Vậy tồn phần tử ∞ x e (Xem thêm 4.7.18.) Ta kiểm tra (x − ∞ i i i=1 i=1 xi ei ) ⊥ ei , ∀i ≥ Do x − ∞ ∞ x e = Vậy x = x e i=1 i i i=1 i i Hai tính chất lại hệ đơn giản tính chất 4.5.2 Khơng gian Hilbert 4.5.9 Bổ đề Cho E họ trực chuẩn Khi đó, với x ∈ H, tập {e ∈ E | xe = x, e đếm 0} Chứng minh Đặt An = {e ∈ E | | x, e | ≥ 1/n} bất đẳng thức Bessel, An hữu hạn Suy tập ∞ 0} = {e ∈ E | x, e An n=1 đếm Do bổ đề nên ta phát biểu kết tương tự 4.5.8 cho khơng gian Hilbert bất kì: 4.5.10 Định lý Cho họ trực chuẩn cực đại E không gian Hilbert H Với x ∈ H, đặt xe = x, e , thì: x= xe e e ∈E x, y = xe y¯e e ∈E x = |xe | e ∈E Ở chẳng hạn ta viết x = e∈E xe e có nghĩa với cách đánh số (ei )i ∈Z+ cho tập (đếm được) {e ∈ E | xe 0} x = ∞ i=1 x, ei ei Chứng minh Đánh số (ei )i ∈Z+ cho tập đếm {e ∈ E | xe 0} Như chứng minh cho ∞ trường hợp E đếm được, chuỗi ∞ i=1 xi ei hội tụ Ta kiểm tra (x − i=1 xi ei ) ⊥ e, ∞ ∀e ∈ E, x − ∞ i=1 xi ei = Vậy x = i=1 xi ei Hai khơng gian tích (trên trường) H1 H2 gọi đẳng cấu tích với tồn song ánh tuyến tính Λ từ H1 lên H2 bảo tồn tích vô hướng, tức Λx, Λy = x, y , với x, y ∈ H Khi đó, ta nói Λ phép đẳng cấu tích từ H1 lên H2 Dễ thấy phép đẳng cấu tích bảo tồn chuẩn, nghĩa Λx = x Ngược lại đẳng thức 4.7.1 nên song ánh tuyến tính mà bảo tồn chuẩn bảo tồn tích CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT 43 4.5.11 Định lý Cho E họ trực chuẩn tối đại không gian Hilbert H Với x ∈ H, đặt xˆ ánh xạ xˆ : E → F e → x(e) ˆ = xe = x, e Khi ánh xạ x → xˆ phép đẳng cấu Hilbert từ H lên (E) Vậy không gian Hilbert đẳng cấu với khơng gian (E) Chứng minh Đặt f :H → (E) x → x ˆ Ta kiểm tra f xác định, tức chứng tỏ xˆ ∈ (E) Với cách đánh số (en )n∈Z+ cho tập đếm {e ∈ E | x(e) ˆ = xe 0} từ 4.5.10 ta thấy ∞ xˆ 2 (E) = | x(e)| ˆ 2= sup F ⊂E, |F |