Bài giảng giải tích hàm nâng cao của trần văn sự

Khái ni m không gian Hilbert ệ 1.1 Tích vô hướng... Ch ng minhứ Bài 5... Theorem 2.4.3 Riesz-Fischer... Cho hai không gian ti n Hilbert H và H’... Ch ng minhứ.

HILBERT SPACE

Gi i thi u: Không gian Hilebert là d ng t ng quát hoá các khái ni m, tínhớ ệ ạ ổ ệ

ch t c a không gian Euclide h u h n chi u sang các không gian vô h nấ ủ ữ ạ ề ạ chi u Không gian Hilbert có các khái ni m tr c giao, góc gi a cácề ệ ự ữvect là m t nét khá m i m so v i không gian đ nh chu n Nh v yơ ộ ớ ẽ ớ ị ẩ ờ ậ các đ i tố ượng c a gi i tích nh dãy s , hàm s có th mô t nh nh ngủ ả ư ố ố ể ả ư ữ

y u t hình h c Do đó có th s d ng tr c quan hình h c khi nghiên c uế ố ọ ể ử ụ ự ọ ứ các đ i tố ượng v a đừ ược được mô t ả

Không gian Hilbert là m t trộ ường h p riêng c a không gian Banach,ợ ủ

là m t d ng không gian h u ích th c s , d thao tác trong các ng d ngộ ạ ữ ự ự ễ ứ ụ

c a gi i tích hàm phi tuy n vào v t lý lủ ả ế ậ ượng t nói riêng, khoa h c kử ọ ỹ thu t nói chung ậ

Không gian Hilbert được đ t tên c a nhà toán h c ngặ ủ ọ ườ ứi đ c tên làDavid Hilbert (1862-1943) người đã nghiên c u các đ i tứ ố ượng này khi

kh o sát phả ương trình tích phân Bài t p xemậ(http://dongphd.blogspot.com)

§1 Khái ni m không gian Hilbert ệ

1.1 Tích vô hướng

Cho H là không gian vect trên trơ ường K R C( , ).

Tích vô hướng xác đ nh trong H là m t ánh x :ị ộ ạ

S ố < x y, > g i là tích vô họ ướng c a hai véct x và y.ủ ơ

C p ặ ( , , )H < > được g i là không gian ti n Hilbert hay không gian Unita ọ ề

Thường chúng ta ký hi u không gian Hilbert H thay cho c p ệ ặ ( , , )H < > .

T đ nh nghĩa tích vô hừ ị ướng trên ta d dàng suy raễ

Khi đó < >.,. là m t tích vô hộ ướng xác đ nh trên X ị

2. Ký hi u ệ C[ , ]a b là t p các hàm liên t c trên đo n [a, b] ậ ụ ạ

Khi đó < >.,. là m t tích vô hộ ướng xác đ nh trên ị C[ , ]a b

3. Cho ( , , )X A µ là m t không gian đ đo và ộ ộ E A Xét không gian

Khi đó < >.,. là m t tích vô hộ ướng xác đ nh trên ị L E2 ( , ) µ

Theorem 1.1.1 Trong không gian ti n Hinbert H, v i m i ề ớ ọ x y H, ta luôn có

Nh v y không gian ti n Hinbert H chính là m t không gian đ nh chu nư ậ ề ộ ị ẩ

v i chu n c m sinh t tích vô hớ ẩ ả ừ ướng b i công th c (1.2) T đây các k tở ứ ừ ế

qu đả ược thi t l p t không gian đ nh chu n có th áp d ng đế ậ ừ ị ẩ ể ụ ược chokhông gian ti n Hilbert ề

1.2 Không gian Hilbert

M t không gian ti n Hilbert xem nh không gian đ nh chu n có thộ ề ư ị ẩ ể

đ y đ ho c không đ y đ N u H là không gian ti n Hilbert và đ y đầ ủ ặ ầ ủ ế ề ầ ủ

đ i v i chu n c m sinh t tích vô hố ớ ẩ ả ừ ướng b i công th c (1.2) g i là khôngở ứ ọgian Hilbert

Ví d : Xét l i các ví d 1,2,3 m c 1.1 Ta có X, ụ ạ ụ ụ C[ , ]a b không ph i làảkhông gian Hilbert v i các chu n tớ ẩ ương ng là ứ

[ , ]

b

a b a

Nói cách khác tích vô hướng < > ,. là hàm s liên t c trên ố ụ H H.

Trong hình bình hành ta luôn có t ng các bình phổ ương đ dài 4 c nh b ngộ ạ ằ

t ng các bình phổ ương đ dài hai độ ường chéo c a hình bình hành M r ngủ ở ộ

k t qu này ta đế ả ược m t k t qu t t h n sauộ ế ả ố ơ

Theorem 1.3.2 Cho H là không gian ti n Hinbert Khi đóề

Theorem 1.3.4 V i m i không gian ti n Hilbert H đ u t n t i m t khôngớ ọ ề ề ồ ạ ộgian Hinbert H’ ch a H sao cho H là không gian con trù m t trong H’.ứ ậ

Ch ng minh: Dùng phép b sung đ y đ c a m t không gian đ nh chu nứ ổ ầ ủ ủ ộ ị ẩ

ta được m t không gian Banach H’ ch a H sao cho H là không gian đ nhộ ứ ị chu n trù m t trong H’ V i m i ẩ ậ ớ ọ x y H, ' s t n t i các dãy ẽ ồ ạ ( ), ( )x n y n H

Đi m ể s S xác đ nh b i công th c (1.4) g i là đi m chi u c a x lên S Kýị ở ứ ọ ể ế ủ

hi u ệ proj x S( ) là t p các đi m chi u c a x lên S v i S là t p khác r ng tuỳậ ể ế ủ ớ ậ ỗ

Ch ng minh ứ ( , , )l2 < > là không gian Hilbert th c.ự

Bài 2 Cho không gian ti n Hilbert H, ề x y u v H, , , Ch ng minhứ

Bài 5 Cho H là không gian Hilbert th c, ự S �H x H s S, � , � Ch ng minh 4ứ

đi u ki n sau tề ệ ương đương

Bài 8 Cho H là không gian Hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H.ử ế ừ

Ch ng minh r ng n u v i m i ứ ằ ế ớ ỗ u H, phi m hàm ế

x a <Tx u, > ∀x H

đ u liên t c thì T liên t c.ề ụ ụ

§2 Khái ni m tr c giao-chu i Fourier ệ ự ổ

2.1 Khái ni m tr c giao H tr c giaoệ ự ệ ự

2.1.1 Define Cho không gian ti n Hilbert H, ề x y H S M N, � , , , �H. Ta nói

Ch ng minh: Áp d ng cho h tr c giao ứ ụ ệ ự { λn n x :n= 1, 2, }.

Theorem 2.1.5 Gi s ả ử { :x n n= 1, 2, } là m t dãy vect đ c l p tuy n tínhộ ơ ộ ậ ếtrong không gian hilbert H Khi đó t n t i các s ồ ạ ố ( 1)

n a ử M⊥ là m t không gian con đóng c a H ộ ủ

Theorem 2.2.1 Gi s M là m t không gian con đóng c a không gianả ử ộ ủHilbert H Khi đó m i ph n t ỗ ầ ử x H đ u t n t i duy nh t m t c pề ồ ạ ấ ộ ặ

S t n t i: Đ t ự ồ ạ ặ d =d x M( , ). Theo đ nh nghĩa infimium t n t i dãyị ồ ạ

( )y n M sao cho lim ||x y− n || =d.

Áp d ng đ ng th c Apollonius cho 3 vect ụ ẳ ứ ơ x y y, ,n m ( ,m n R).Ta có

E = e e và M =< >E . Khi đó m i vect ỗ ơ x H có hình chi u tr c giaoế ự

y lên không gian con M được bi u di n nh sauể ễ ư

Thay vào có được đi u c n ch ng minh.ề ầ ứ

2.3 Chu i Fourier trong không gian Hilbertỗ

Gi s ả ử E = { |e n N n } là c s tr c chu n trong không gian Hilbert Ta cóơ ở ự ẩDefine 2.3.1 Cho x H, chu i hình th c ổ ứ

2.4 C s tr c chu nơ ở ự ẩ

Define 2.4.1 Gi s ả ử E= { , , }e e1 2 là m t h tr c chu n đ m độ ệ ự ẩ ế ược c aủ không gian Hilbert H Ta g i E là m t c s tr c chu n hay m t h tr cọ ộ ơ ở ự ẩ ộ ệ ự chu n đ y đ trong H n u ẩ ầ ủ ế E = H.

Theorem 2.4.2 Gi s ả ử { :e n n 1} là m t h tr c chu n trong không gianộ ệ ự ẩHilbert H Khi đó 4 m nh đ sau tệ ề ương đương

Theorem 2.4.3 (Riesz-Fischer) Cho H là không gian Hilbert và { :e n n 1} là

m t c s tr c chu n đ m độ ơ ở ự ẩ ế ược c a H N u ủ ế ( ) λn K sao cho

Theorem 2.4.4 Không gian Hilbert H có c s tr c chu n h u h n ho cơ ở ự ẩ ữ ạ ặ

đ m đế ược khi và ch khi H là không gian kh ly ỉ ả

Ch ng minh:ứ

Gi s H kh ly nên t n t i ả ử ả ồ ạ A= { , , }a a1 2 H là m t t p h u h nộ ậ ữ ạ hay

V y C trù m t trong Z và Z trù m t trong H nên C trù m t trong H V y Hậ ậ ậ ậ ậ

là không gian Hilbert kh ly.ả

2.5 Phép đ ng c u trong không gian Hilbertẳ ấ

Define 2.5.1 Cho hai không gian ti n Hilbert H và H’ M t song ánh ề ộ

Hai không gian ti n Hilbert g i là đ ng c u v i nhau n u t n t i m t phépề ọ ẳ ấ ớ ế ồ ạ ộ

đ ng c u t không gian này lên không gian kia.ẳ ấ ừ

Phép đ ng c u Hilbert là m t phép đ ng c gi a hai không gian đ nhẳ ấ ộ ẳ ự ữ ị chu n tẩ ương ng ứ

Theorem 2.5.2 N u hai không gian Hilbert cùng s chi u h u h n ho cế ố ề ữ ạ ặ cùng vô h n chi u và kh ly thì chúng đ ng c u v i nhau.ạ ề ả ẳ ấ ớ

Ch ng minh:ứ

Gi s H, H’ là hai không gian Hilbert cùng kh ly và vô h n chi u ả ử ả ạ ề

G i ọ { :e n n 1}, { ' :e n n 1 } tương ng là c s tr c chu n trong H và H’ ứ ơ ở ự ẩ

Áp d ng đ nh nghĩa c s tr c chu n và đ nh lý Riesz-Fischer suy ra ụ ị ơ ở ự ẩ ị ϕ là

m t song ánh tuy n tính Ta ki m tra đi u ki n b o toàn chu n.ộ ế ể ề ệ ả ẩ

b N u S là không gian con c a H thì ế ủ S= (S⊥ ⊥)

Bài 11 Cho S là m t h tr c giao g m nh ng ph n t khác 0 trongộ ệ ự ồ ữ ầ ử

không gian ti n Hilbert H Ch ng minh S là m t h đ c l p tuy n tính ề ứ ộ ệ ộ ậ ếBài 12 Cho H1 , , H n là n không gian Hilbert Ch ng minh r ngứ ằ

1

n k k

=

=

là không gian Hilbert

Bài 13 Cho H là không gian Hilbert có c s tr c chu n đ m đơ ở ự ẩ ế ượ c

Bài 15 Gi s L là không gian con đóng c a không gian Hilbert H vàả ử ủ

a { }P n h i t đi m đ n toán t đ ng nh t Id.ộ ụ ể ế ử ồ ấ

b { }P n không h i t theo chu n đ n toán t đ ng nh t Id.ộ ụ ẩ ế ử ồ ấ

Bài 18 Gi s ả ử { :e n n 1 } là m t h tr c chu n trong không gian Hilbert H,ộ ệ ự ẩ

Bài 20 Ch ng minh không gian ti n Hilbert H là Hilbert n u và ch n uứ ề ế ỉ ế

m i không gian con đóng F c a H đ u có ọ ủ ề F =F⊥⊥.

§3 Không gian liên hi p ệ

3.1 Phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian Hilbert ế ế ụ

Ký hi u ệ H* =L( ,H K) là t p các phi m hàm tuy n tính liên t c trênậ ế ế ụkhông gian Hilbert H

Theorem 3.1.1 (F.Riesz) Cho H là không gian Hilbert, v i m i ớ ỗ a H, đ t ặ

a

thì f a H* và || f a || || || = a

Ngượ ạc l i v i m i ớ ỗ f H* đ u t n t i duy nh t ề ồ ạ ấ a H sao cho f = f a

3.2 Không gian liên hi pệ

Áp d ng đ nh lý Riesz chúng ta có th thi t l p m t song ánh gi a Hụ ị ể ế ậ ộ ữ

Cho H là không gian Hilbert, ( )x n H là m t dãy trong H Ta nóiộ

Bài 25 Gi s H và H’ là không gian ti n Hilbert và ả ử ề T H: H' là m tộ toàn ánh b o toàn tích vô hả ướng nghĩa là

Bài 26 Gi s H là không gian Hilbert v i c s tr c chu n ả ử ớ ơ ở ự ẩ {e n}n 1 Giả

11 12 1

21 22 2 , 1,2 ,

nghĩa là ma tr n c a toán t liên hi p ậ ủ ử ệ T* được suy ra t ma tr n c a ừ ậ ủ T

b ng cách l y liên hi p các s h ng c a ma tr n A và sau đó chuy n v ằ ấ ệ ố ạ ủ ậ ể ị

Theorem 4.4.4 Cho X, Y là các không gian Hilbert và T L( , ).X Y Khi đó ta có

Ch ng minh:ứ

Do T là toán t tuy n tính liên t c nên ử ế ụ Ke rT là không gian con đóng

c a X Theo đ nh lý hình chi u tr c giao ủ ị ế ự

Suy ra x (KerT) ⊥ Ta k t lu n ế ậ (KerT)⊥ ImT*

Ngượ ạc l i gi s ả ử x ImT* khi đó t n t i ph n t ồ ạ ầ ử a X sao cho

Ch ng minh các toán t trên tuy n tính liên t c và tìm toán t liên h p ứ ử ế ụ ử ợ T*

Bài 28 Cho u, v là hai ph n t c đ nh trong không gian Hilbert H và toánầ ử ố ịtử

Nói cách khác T là toán t t liên h p n u ử ự ợ ế T =T*

Theorem 5.2 Cho H là không gian Hilbert và T L( )H là toán t t liênử ự

Bài t pậ

Bài 30 Gi s ả ử T L: 2 [0,1] L2 [0,1] xác đ nh b i ị ở

( )( )Tx t =tx t( ), ∀t [0, 1].

Ch ng minh ứ T là toán t t liên hi p và tính ử ự ệ || || T

Bài 31 Cho H là không gian Hilbert và T T, ' L( )H là toán t t liên hi p ử ự ệ

Ch ng minh r ng ứ ằ

2

||T T+ ' || = || (T T+ ') ||.

Bài 32 Cho H là không gian Hilbert ph c và ứ T L( ).H Ch ng minh r ng Tứ ằ

t liên hi p khi và ch khi ự ệ ỉ <Tx x, > Rv i m i ớ ọ x H.

Bài 33 Gi s H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng c a H.ả ử ủXét toán t ử

Ch ng minh r ng P là toán t t liên hi p và ứ ằ ử ự ệ P2 =P.

Bài 34 Cho H là không gian Hilbert ph c và ứ T L( )H tho mãn ả

4 Toán t đ ng nh t ử ồ ấ Id X: X là compact khi và ch khi X h uỉ ữ

h n chi u.ạ ề

5 T được g i là h u h n chi u n u ọ ữ ạ ề ế ImT =T X( ) là không gian con

h u h n chi u c a Y Suy ra T liên t c và h u h n chi u thì T compact.ữ ạ ề ủ ụ ữ ạ ề

Ch ng minh: ứ

1/ Gi s M là t p b ch n trong X Khi y t n t i s a>0 sao choả ử ậ ị ặ ấ ồ ạ ố

∀ Σ Cho ( )y n là m t dãy tuỳ ý trong T(M), khi đó t n t i dãyộ ồ ạ

( )x n M sao cho y n =Tx n. Vì T compact nên t dãy ừ n

n

x T a

y ay Y V y T(M) là t pậ ậ compact tương đ i Chi u ngố ề ượ ạc l i là hi n nhiên.ể

2/ Vì T B( '(0, 1)) là t p compact tậ ương đ i nên nó b ch n nghĩa là t n t iố ị ặ ồ ạ a>0 sao cho || ||T =sup |||| || 1x Tx|| a ( || || 1).∀ x V y T b ch n nên T liên t c.ậ ị ặ ụ3/ Vì m i ch n b ch n trong không gian h u h n chi u là t p compactọ ặ ị ặ ữ ạ ề ậ

Đ nh lý 1.3.3 Ký hi u ị ệ K X Y( , ) là t p các toán t compact t X vào trongậ ử ừ

Y Khi đó K X Y( , ) là không gian con c a ủ L( , ).X Y H n n a khi Y Banachơ ửthì K X Y( , ) Banach

Ch ng minhứ

( , ), 2

tương đ i suy ra A là toán t compact V y ố ử ậ A K X Y( , ).

H qu 1.3.4 Gi s Y Banach, X đ nh chu n, ệ ả ả ử ị ẩ T X: Y là gi i h nớ ạ trong L( , )X Y c a m t dãy các toán t h u h n chi u ủ ộ ử ữ ạ ề T n L( , )X Y thì T là toán t compact.ử

Đ nh lý 1.3.5 Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n và ị ị ẩ T L( , ).X Y Khi đó

V y ậ (T y* *k n) là dãy c b n trong ơ ả X* nên nó h i t ộ ụ

b Theo a, ta có T** compact Cho ( )x n �B' (0,1)X �X** nh v y t n t i dãyư ậ ồ ạcon ( ) ( )

0

(T x t)( ) = e x s ds ts ( ) ,

v i m i ớ ọ x�X t, � [0, 1].

Ch ng minh r ng ứ ằ T T1 , 2 là các toán t compact trong X.ử

Bài36 Ch ng minh r ng n u A là t p compact trong X thì ứ ằ ế ậ

Ch ng minh r ng T là toán t compact.ứ ằ ử

Bài 38 Cho toán t tuy n tính ử ế T l: 2 l2 xác đinh b i ở

2 1

2

n n

x x

n

Ch ng minh r ng T là toán t compact.ứ ằ ử

Bài 39 Cho (e m:m 1) là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbert Hộ ơ ở ự ẩ

Bài 40 Gi s ả ử (e m :m 1)là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbertộ ơ ở ự ẩ

H, Y là m t không gian Banach, ộ T L( , )H Y và chu i ổ 2

Bài 41 Gi s ả ử (e m :m 1)là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbertộ ơ ở ự ẩ

H và T L( )H là m t toán t compact Ch ng minh r ngộ ử ứ ằ

0.

n n Te

Bài 42 Cho X, Y là các không gian đ nh chu n và ị ẩ T L( )X là m t toán tộ ử compact Ch ng minh r ng không gian con T(X) c a Y là không gian khứ ằ ủ ả li

vector riêng tương ng v i tr riêng ứ ớ ị λ

Ta g i ọ λ C là m t ộ giá trị phổ c a toán t T n u không t n t i toán ủ ử ế ồ ạ

t ngử ược liên t c ụ (T − λI) − 1 T p các ậ giá tr ph c a T ị ổ ủ được g i là ọ phổ

c a toán t T ủ ử , ký hi u ệ σ ( ).T

Nh n xét:ậ

1/ N u ế λ là m t giá tr riêng c a T thì ộ ị ủ λ σ ( ).T

2/ N u ế dim( )X < + thì σ ( ) {T = λ C| λ là giá tr riêng c a T ị ủ }

3/ N u ế dim( )X = + thì có nh ng giá tr thu c ph nh ng không ph iữ ị ộ ổ ư ả

là giá tr riêng.ị

4/ S ố µ σ ( )T g i là ọ giá tr chính quy ị c a T nghĩa là t n t iủ ồ ạ

n

n n

1 1

( ).

| |

n

n n

n n

H qu 2.2.2 Cho X là không gian Banach và toán t ệ ả ử T L( ).X N u s ế ố λ

tho mãn đi u ki n ả ề ệ | | || || λ > T thì λ ρ ( )T và toán t gi i đử ả ược khai tri nể

được dướ ại d ng

1

1 0

n

n n

Theo đ nh lý 2.2.1 suy ra đi u c n ch ng minh.ị ề ầ ứ

H qu 2.2.3 Cho X là không gian Banach,ệ ả T�L( ), || ||X T < 1. Khi đó

1

(T +I) − t n t i và ồ ạ

1 0

Gi s X là không gian Banach, ả ử T L( ).X Khi đó ρ ( )A là t p m trong ậ ở C.

Ch ng minh: Ta có ứ λ 0 ρ ( )A kéo theo T − λ0I ISom X( ) và do ISom X( ) là t pậ

m nên t n t i ở ồ ạ r > 0 sao cho B T( − λ 0I r, ) ISom X( ).

T là toán t tuy n tính liên t c.ử ế ụ

0 σ ( )T nh ng 0 không ph i là giá tr riêng c a T.ư ả ị ủ

Bài 46 Cho X là không gian đ nh chu n và ị ẩ T L( ).X

a Gi s ả ử λ C sao cho t n t i m t dãy ồ ạ ộ ( )x n X v i ớ ||x n || 1 = và

Tx n − λx n n 0.

Ch ng minh ứ λ σ ( ).T

b Gi s thêm X Banach, ả ử λ � Σ− ρ ( ),T µ C: : | | || ( µ T λI) || − 1 − 1 Ch ngứ minh

§ 3 Toán t compact t liên hi p ử ự ệ

Trong không gian Hilbert

Đ nh lý 3.3.1 N u T là toán t t liên h p trong không gian ị ế ử ự ợ Hilbert H và t là m t giá tr riêng c a T thì ộ ị ủ t R..

Ch ng minh: Ta có ứ Tx tx= v i m t ớ ộ xι X x, 0 nào đó Suy ra

N u ế t t1 , 2 là hai tr riêng khác nhau c a toán t t liên hi p T ị ủ ử ự ệ thì

N T( )t1 ⊥N T( ).t2

Đ nh lý 3.3.2 Gi s ị ả ử 0 T L( )H là m t toán t compact t liên ộ ử ự

hi p trong không gian Hilbert H Khi đó T có m t giá tr riêng t ệ ộ ị

Thành ra Tx tx= hay t là m t giá tr riêng c a T ộ ị ủ

Cho T L( )H là toán t compact t liên hi p trong không gian ử ự ệ Hilbert H và vi t ế ∆ = {t � 0 | ∃x�X Tx tx, = } là t p t t c các giá tr ậ ấ ả ị riêng khác 0 c a T ủ

Đ nh lý 3.3.8 ị ∆ là t p h u h n hay đ m đ ậ ữ ạ ế ượ c trong K N u ế ∆

Ch ng minh ứ ∆n h u h n v i m i n Gi s t n t i ữ ạ ớ ọ ả ử ồ ạ n0 sao cho ∆n0

ch a vô s giá tr riêng ứ ố ị t n0 mà 0

0

1

n