V y ậ Tt là song ánh và áp d ng đ nh lý ánh xm ạở Tt là phép đ n gồ
b.Ch ng minh r n gT compact ằ
BÀI T P ÔN T P KI M TRAẬ Ậ Ể
BÀI T P Ậ
Bài 52. Ký hi u ệ C[0, 1] là không gian các hàm liên t c trên đo n [0, 1] v iụ ạ ớ
chu n “max”. Đ t ẩ ặ T C: [0,1] C[0,1], xa Tx xác đ nh b iị ở
a. ( )( )Tx t =x(1)−tx t( ) ∀t [0,1].b. ( )( )Tx t =x t( )−x(1−t),∀t [0,1]. b. ( )( )Tx t =x t( )−x(1−t),∀t [0,1]. c. ( )( )Tx t =x(0)−tx t( ) ∀t [0,1]. d. ( )( )Tx t =x t( )−tx t( ) ∀t [0,1].
e. ( )( )Tx t =t x3 (0) ∀t [0,1].
Ch ng minh r ng các toán t này tuy n tính, liên t c và tính ||T||.ứ ằ ử ế ụ
Bài 53. Ch ng minh r ng các toán t sau là tuy n tính liên t c và tínhứ ằ ử ế ụ
chu n c a nóẩ ủ a. 1 * [0, 1] 0 : , ( ) . x C K x a x t dt b. 0 1 * [ 1, 1] 1 0 : , ( ) ( ) . x C− K x x t dt x t dt − − � � a
Bài 54. Cho X là không gian Banach và T L( ).X Gi s t n t i m t sả ử ồ ạ ộ ố
c>0 sao cho ∀ γx X, ||Tx|| c x|| || . Ch ng minh Im(T) = T(X) không gian conứ
đóng c a X.ủ
Bài 55. Cho Y là không gian con đóng c a không gian đ nh chu n X,ủ ị ẩ
0 \ .
x X Y Ch ng minh r ng t n t i phi m hàm f liên t c trên ứ ằ ồ ạ ế ụ Y+ < xo > và
m i ph n t ọ ầ ử x Y� + < xo > được bi u di n duy nh t dể ễ ấ ướ ại d ng x= +y f x x y Y( ) ,0 .
Tính || f || .
Bài 55. Cho X là không gian đ nh chu n, S, F là hai không gian con c a Xị ẩ ủ
sao cho S đóng, F h u h n chi u. Ch ng minh S+F là m t không gian conữ ạ ề ứ ộ
đóng c a X.ủ
Bài 56. Cho f là m t phi m hàm tuy n tính xác đ nh trên không gian tuy nộ ế ế ị ế
tính X và Y là m t không gian con c a X tho ộ ủ ả Kerf Y. Ch ng minh r ngứ ằ
Y = X ho c ặ Y =Kerf.
Bài 57. Cho X là không gian đ nh chu n tuỳ ý và Y là m t không gian conị ẩ ộ
h u h n chi u c a X. Ch ng minh Y là m t không gian con đóng c a X. ữ ạ ề ủ ứ ộ ủ
Bài 58. Cho X là không gian d nh chu n, Y là không gian con đóng c a nó.ị ẩ ủ
Xét ánh x chi u chính t c ạ ế ắ π : X X Y/ , π( )x = +x Y.
Ch ng minh ứ π là m t ánh x tuy n tính liên t c và n u ộ ạ ế ụ ế π 0 thì || || 1.π =
Bài 59. S d ng tính ch t “Không gian con đóng c a không gian ph n xử ụ ấ ủ ả ạ
là không gian ph n x ”. Ch ng minh r ng n u X là Banach thì X ph n xả ạ ứ ằ ế ả ạ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 60. Cho X là không gian đ nh chu n và M là m t t p con c a X. Giị ẩ ộ ậ ủ ả
s v i m i ử ớ ọ f X* ta có sup | ( ) |x M f x < + . Ch ng minh r ng M là t p b ch nứ ằ ậ ị ặ
trong X.
Bài 61. Cho X là không gian tuy n tính và A là t p con ch a trong X thoế ậ ứ ả
mãn hai đi u ki n sau ề ệ
i. ∀x�X,∃ >λ 0 : x�λA.
ii. ∀x y, �A,∀t�[0,1], tx+ −(1 t y) �A. Xét hàm g X: R xác đ nh b i ị ở
( ) { 0 : }, .
g x =inf λ> x��λA x X
Ch ng minh g là n a chu n trên X.ứ ử ẩ
Bài 62. Cho X là không gian đ nh chu n, ị ẩ f L X K( , ) tho mãn đi u ki nả ề ệ
n u dãy ế ( )xn X h i t thì dãy ộ ụ ( ( ))f xn n b ch n. Ch ng minh ị ặ ứ f X*.
Bài 63. Cho T là m t t p con c a không gian liên h p đ i s X’ c a khôngộ ậ ủ ợ ạ ố ủ
gian tuy n tính X. Ký hi u ế ệ σ( , )X T là tôpô y u nh t trên X đ m i phi mế ấ ể ọ ế
hàm tuy n tính ế f ξ��T , f X: K liên t c. T p ụ ậ ( ) ( ) 1 1 2 1 ( ; , ,..., ; )n n i i( ), , 1, 2,...., 0 i V x f f f ε f− B f x ε n ε = =I = >
l p thành m t c s lân c n c a tôpô này t i đi m ậ ộ ơ ở ậ ủ ạ ể x X. Ch ng minh r ngứ ằ
i. σ( , )X T =σ( ,X <T >).
ii. N u m i ế ọ x y, ι∃X x�, y, f T sao cho f x( ) f y( )thì σ( , )X T là tôpô Hausdorff.
Bài 64. Cho X là không gian đ nh chu n, X* là không gian liên h p c a nó.ị ẩ ợ ủ
Tôpô σ( ,X X*) g i là tôpô y u trên không gian đ nh chu n X. Ch ng minhọ ế ị ẩ ứ r ngằ