V y ậ Tt là song ánh và áp d ng đ nh lý ánh xm ạở Tt là phép đ n gồ
cho 1, , ke riin
f xác đ nh trên X. Khi y hãy ki m tra t p ị ấ ể ậ
{ | ( ) 1}
P= x�X f x <
trù m t trong X.ậ
2/ Ch ng minh r ng t n t i hai t p l i A, B ch a trong X sao choứ ằ ồ ạ ậ ồ ứ
, , .
X = A��B A B=φ A= X �B
Câu 2. Cho X, Y, Z là 3 không gian vect trên trơ ường K.1/ Gi s ả ử f X: Y g X, : Z là các ánh x tuy n tính sao choạ ế 1/ Gi s ả ử f X: Y g X, : Z là các ánh x tuy n tính sao choạ ế
.
ke rg ke rf Ch ng minh t n t i ánh x tuy n tính ứ ồ ạ ạ ế h Z: Y sao cho
0 .
f =h g
2/ L y ấ Y = K Z, = Kn và ch n ánh x g thích h p, áp d ng câu 1ọ ạ ợ ụ
ch ng minh r ng n u ứ ằ ế f f, 1, ... ,fn là các phi m hàm tuy n tính saoế ế
cho 1,..., ker ii n i n f Kerf =I . Ch ng minh f là t h p tuy n tính c aứ ổ ợ ế ủ 1, 2, ... , n f f f .
cho 1,..., ker ii n i n f Kerf =I . Ch ng minh f là t h p tuy n tính c aứ ổ ợ ế ủ 1, 2, ... , n f f f .
t p không b ch n trong không gian đ nh chu n X.ậ ị ặ ị ẩ
Câu 3. Cho X là không gian đ nh chu n. ị ẩ
1/ Gi s M là m t t p con trù m t trong X. C/mr v i m i ả ử ộ ậ ậ ớ ọ x X
t n t i m t dãy ồ ạ ộ ( )xn M sao cho
14 4 || || || ||, 1, 2..., . 3 n n n n x x n x x = = =
2/ Cho ( )xn X sao cho sup || n || .n n
x < + Ký hi u ệ E={f X*| ( ( ))f xn ] }. Bi t ế E X= *, hãy ch ng minh t n t i ứ ồ ạ x X sao cho w . Bi t ế E X= *, hãy ch ng minh t n t i ứ ồ ạ x X sao cho w .
n
x x
Câu 4. Cho H là không gian Hilbert trên trường K và T L( ).H
1/ Gi s ả ử T =T*��L( ),H t K sao cho , || || 1{|| ||} 0. {|| ||} 0. x H x inf Tx tx = � − > Ch ng minhứ r ng t là m t giá tr chính quy c a T.ằ ộ ị ủ