Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng

Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng

®¹i häc th¸i nguyªn trêng ®¹i häc s ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) Thái Nguyên, 2011 ®¹i häc th¸i nguyªn trêng ®¹i häc s ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15) Thái Nguyên, 2011 1 MỞ ĐẦU Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch. đó là một lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải tích phức nói riêng Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ khả tổng và e - tôpô cũng như p - tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên. Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại p l và loại s . Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành toán. . 2 Chương 1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Lý thuyết 04 Thảo luận 02 Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm: không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. 1.1. Không gian lồi địa phương 1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ Giả sử E là không gian véc tơ thực hay phức. Hàm thực p trên E gọi là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn 1 ) ( ) 0 N p x ³ với mọi x E Î . 2 ) ( ) ( ), ( , ) N p x p xl l l= Î = ¡ £ K K , với mọi x E Î . 3 ) ( ) ( ) ( ) N p x y p x p y + £ + với mọi , x y E Î . Nửa chuẩn p gọi là chuẩn nếu ( ) 0 0 p x x = Þ = . Từ 2 ) N và 3 ) N suy ra ( ) ( ) ( ) p x p y p x y - £ - với , x y E Î . 1.1.2. Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski Tập con A trong không gian véctơ E gọi là ) a lồi nếu (1 ) tx t y A + - Î với mọi , x y A Î và 0 1 t £ £ . ) b cân nếu x A l Î với mọi x A Î và 1 l £ . ) c hút nếu với mọi x E Î tồn tại 0 e > sao cho x A l Î với mọi l e £ . 1.1.2.1. Rõ ràng nếu p là nửa chuẩn trên E thì { } : ( ) 1 p U U x E p x = = Î < hay { } : ( ) 1 U x E p x = Î £ % là các tập lồi, cân, hút trong E . Ngoài ra ( ) inf{ 0 : } x p x U l l = > Î inf{ 0 : }. x U l l = > Î % 1.1.2.2. Giả sử U là tập lồi, cân, hút trong E . Khi đó công thức 3 ( ) { 0 : } U x p x inf U l l = > Î xác định một nửa chuẩn trên E , Nửa chuẩn U p gọi là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U . Ta có { } { } : ( ) 1 : ( ) 1 U U x E p x U x E p xÎ < Ì Ì Î £ và nếu { } : ( ) 1 U W x E p x = Î < thì U W p p = . 1.1.2.3. Một cách tổng quát nếu A là tập con lồi, cân của E và ( ) E A ký hiệu không gian con véctơ sinh ra bởi A , thì công thức ( ) { 0 : }, ( ) A x p x inf A x E A l l = > Î Î xác định một nửa chuẩn trên ( ) E A . 1.1.3. Định nghĩa không gian lồi địa phương 1.1.3.1. Không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ ( ) CS E F các nửa chuẩn trên E sao cho với mọi 1 , , ( ) n p p CS E Î F đều tồn tại ( ) p CS E Î F để: ( ) 1 ( ), , ( ) ( ) n max p x p x p x £ với mọi x E Î . Sau này ta chỉ xét họ ( ) CS E F thỏa mãn ( ) H , 0, ( ) : ( ) 0. x E x p CS E p x " Î ¹ $ Î ¹ F Từ 1.1.2.1. và 1.1.2.2. suy ra không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ ( ) E F U các tập con lồi cân hấp thụ của E thỏa mãn 1 , , ( ) n U U E " Î F U , ( ) U E $ Î F U : 1 n U U U Ì Ç Ç và ( ) H tương đương với ( ) , 0, ( ) : . H x E x U E x U ¢ " Î ¹ $ Î Ï F U 1.1.3.2. Rõ ràng mọi không gian lồi địa phương là không gian tôpô, với tôpô xác định bởi V là lân cận của ( ) x E U E Î Û $ Î F U : x U V + Ì . ( ) H ¢ có nghĩa là tôpô xác định như trên là tôpô Hausdorff. 1.1.3.3. Dễ thấy rằng nửa chuẩn p trên E là liên tục khi và chỉ khi { } : ( ) 1 x E p x Î < hay tương đương { } : ( ) , 0 x E p x r r Î < > là o- lân cận (lân cận của 0 E Î ). 4 1.1.4. Khụng gian con v khụng gian thng 1.1.4.1. Gi s E l khụng gian li a phng v F E è . Ta núi F l khụng gian con ca E nu F l khụng gian con vect ca E v F c xột vi tụpụ cm sinh bi tụpụ ca E . Nh vy F cng l khụng gian li a phng vi tụpụ xỏc nh bi { } 0 ( ) : ( ) F F U F U U U E = = ầ ẻ F U . 1.1.4.2. Gi s F l khụng gian con úng ca E . Khi ú khụng gian vect thng E F l khụng gian li a phng vi tụpụ cho bi { } ( ) ( ) : ( ) E U F U E F = ẻ F F U U , õy { } ( ) : , U F U F x y x U y F = + = + ẻ ẻ . Do F l úng nờn ( ) E F F U tha món ( ) H Â ngha l E F l Hausdorff. 1.1.5. Tp b chn, hon ton b chn 1.1.5.1. Tp con A trong khụng gian li a phng E gi l ) a b chn nu ( ) U E " ẻ F U , 0 : . A U e e$ > è ) b hon ton b chn nu 1 1 ( ), , , : ( ). n n i i U E x x E A x U = " ẻ $ ẻ è + U F U Rừ rng mi tp hon ton b chn l b chn. 1.1.5.2. H ( ) E F B cỏc tp b chn gi l h c bn cỏc tp b chn nu vi mi tp b chn A E è tn ti ( ) B E ẻ F B sao cho A B è . Do bao li cõn ca tp b chn A : 1 1 1 ( ) : | | 1, , , n n i i i n i i A x x x A l l = = ỡ ỹ ù ù ù ù G = Ê ẻ ớ ý ù ù ù ù ợ ỵ ồ ồ l tp b chn nờn sau ny cỏc tp thuc ( ) E F B ta luụn coi l li cõn. 1.1.5.3. Vi ( ) U E ẻ F U , gi s U p l phim hm Minkowski kt hp vi U . Khi ú 5 { } : ( ) 0 U U Ker p x E p x= Î = là không gian con véctơ của E . 1.1.5.4. Một dãy suy rộng trong E là một họ các phần tử { } I x a a Î với I là tập chỉ số định hướng: , , : , . I I a b g a g b g " Î $ Î < < Dãy suy rộng { } I x a a Î gọi là ) a hội tụ tới x nếu ( ) U E " Î F U , : , . U U x x U a a a a $ - Î " > ) b dãy Cauchy nếu ( ) U E " Î F U , : , , . U U x x U a b a a b a $ - Î " > Hiển nhiên mọi dãy suy rộng hội tụ đều là dãy suy rộng Cauchy. Không gian lồi địa phương E gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy suy rộng đều hội tụ . Mệnh đề. Mọi tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian lồi địa phương đầy là compact. 1.2. Không gian đối ngẫu với không gian lôi địa phương. 1.2.1. Định lý (Hahn-Banach). Giả sử F là không gian con của không gian véctơ E và p nửa chuẩn trên E . Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính f trên F sao cho ( ) ( ) f x p x £ với mọi x F Î , tồn tại phiếm hàm tuyến tính ˆ f trên E sao cho ˆ F f f = và ˆ ( ) ( ) f x p x £ với mọi . x E Î Định lý 1.2.1 là cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trong không gian lồi địa phương. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Không gian vectơ E ¢ tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E gọi là đối ngẫu tôpô của E . 1.2.3. Trên E ¢ thường xét ba tôpô lồi địa phương sau ) a Tôpô yếu ( , ) E E s ¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn 6 { } 1 1 ( ) , , , , , , , n n p f max x f x f x x E = Î ) b Tôpô Mackey ( , ) E E m ¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn { } ( ) , : , p f sup x f x K K E = Î Ì compact. ) c Tôpô yếu ( , ) E E b ¢ sinh bởi hệ các nửa chuẩn { } ( ) , : , p f sup x f x B B E = Î Ì bị chặn. Ở đây ta viết , x f thay cho ( ) f x . Rõ ràng ( , ) ( , ) ( , ) E E E E E E s m b ¢ ¢ ¢ £ £ và lần lượt là các tôpô hội tụ đều trên các tập hữu hạn, compact, bị chặn. 1.2.4. Đổi vai trò E và E ¢ ta có thể xét trên E tôpô ( , ) E E s ¢ xác định bởi họ các nửa chuẩn { } 1 1 ( ) , , , , , , , n n p x max x f x f f f E ¢ = Î ( , ) E E s ¢ gọi tôpô yếu của E . Ta có kết quả sau Định lý. ( , ( , )) E E E E s ¢ ¢ ¢ = và ( , ( , )) E E E E s ¢ ¢ ¢ = . 1.2.5. Định lý (Mackey). Mọi tập con bị chặn yếu trong một không gian lồi địa phương là bị chặn. 1.2.6. Cho E là không gian lồi địa phương và M E Ì . Tập { } 0 : , 1, M f E x f x M ¢ = Î £ " Î gọi là pôla của M (trong E ¢ ). Định lý (song pôla) Nếu M là tập lồi cân trong E thì 00 M là bao đóng của M , trong đó { } 00 0 : , 1,M x E x f f M= Î £ " Î . 1.2.7. Định lý (Alaoglu – Bourbaki). Nếu U là o- lân cận trong không gian lồi địa phương E , thì 0 U là ( , ) E E s ¢ – compact. 1.3. Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt. 1.3.1. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là ) a Tựa thùng nếu mọi tập bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục. 7 ) b s - tựa thùng nếu mọi tập đếm được bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục. Ở đây A E ¢ ¢ Ì gọi là đồng liên tục nếu tồn tại o– lân cận U trong E để 0 A U ¢ Ì . 1.3.2. Nếu E là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản đếm được các o- lân cận, thì E là khả mêtric hay còn gọi là mêtric. Không gian lồi địa phương mêtric đầy gọi là không gian Frechet hay ( ) F - không gian. Mệnh đề. Mọi không gian lồi địa phương mêtric là tựa thùng. 1.3.3. Một không gian s - tựa thùng E trong đó có một dãy cơ bản các tập bị chặn gọi là đối ngẫu mêtric. Một không gian đối ngẫu mêtric đầy gọi là ( ) F ¢ – không gian. 1.3.4. Mối liên hệ giữa các không gian mêtric và đối ngẫu mêtric lồi địa phương cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề. ) a Nếu E là mêtric lồi địa phương thì E ¢ là ( ) F ¢ – không gian. ) b Nếu E là đối ngẫu mêtric thì E b ¢ , nghĩa là E ¢ xét với tôpô mạnh ( , ) E E b ¢ là ( ) F – không gian. 1.4. Không gian Banach. 1.4.1. Không gian lồi địa phương E gọi là không gian định chuẩn nếu tôpô của nó có thể xác định bởi một chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. 1.4.2. Định lý (Conmogorov). Không gian lồi địa phương E là không gian định chuẩn nếu và chỉ nếu nó có một o – lân cận bị chặn. 1.4.3. Định lý (Riesz). Không gian lồi địa phương E là hữu hạn chiều nếu nó có một o – lân cận hoàn toàn bị chặn. 1.5. Không gian Hilbert. 1.5.1. Giả sử E là không gian véctơ phức. Một hàm ( ) . . : E E ´ ® £ gọi là nửa tích vô hướng nếu. ( ) ( ) ( ) 1 ) H x y z x z y z a b a b+ = + , với mọi , a b Î £ và , , x y z E Î . ( ) ( ) 2 ) H x y y x = với mọi , x y E Î . [...]... trong lI1(E ) Do ú vi mi [ } U ẻ U(E ) u tn ti s 0 ẻ F (I ) sao cho eU [ i (s 1 ) - x i (s 2 ), I ]Ê 1, vi mi s 1, s 2 ẻ F (I ) , s 1, s 2 s 0 x T ú suy ra vi mi a ẻ U 0 ta cú bt ng thc ỏs s 1 - s s 2 , a ủ = ỏồ [ i (s 1 ) - x i (s 2 ), a ] x ủ I Ê ồ x [ i (s 1 ) - x i (s 2 ), a ] Ê eU [x i (s 1 ) - x i (s 2 ), I ]Ê 1 I Theo nh lý song pụla suy ra s s 1 - s s 2 ẻ U vi mi s 1, s 2 ẻ F (I ) , s 1, s... ca lI1(E ) Khi ú x E y vi mi lõn cn ca khụng U ẻ U(E ) u tn ti h [ i , I ]ẻ lI1(E ) sao cho eU [ i - y i , I ]Ê x 1 3 Gi s s 0 ẻ F (I ) sao cho eU [ i - y i (s ), I ]Ê y 1 vi mi s ẻ F (I ) , s s 0 3 Khi ú t eU [ i - x i (s ), I ]Ê eU [ i - y i , I ]+ eU [ i - y i (s ), I ]+ eU [ i (s ) - x i (s ), I ] x x y y suy ra eU [ i - x i (s ), I ]Ê 1 vi mi s ẻ F (I ) , s s 0 x Do ú [x i , I ]= e - lim... 2 d v sn - s Ê Nhng khi ú vi mi tp hp d 2 s ẻ F (I ) , s s n ,ta cú ss - s = ồ xi + s n - s Ê s \sn 1 d + Ê d n 2 Vy h [xi , I ] kh tng v cú tng l s 2 .1. 1.4 Mnh Mi h kh tng cú khụng quỏ m c cỏc s khỏc khụng Chng minh Cho h s [xi , I ] kh tng Ký hiu nh trong 2 .1. 1.3 v t 15 Ơ s0 = Us n Khi ú s 0 hu hn hoc m c v nu i ẽ s 0 , thỡ xi Ê n =1 1 n vi mi s t nhiờn n Vy xi = 0 vi mi i ẽ s 0 2 .1. 1.5 nh ngha... , I ]+ 1) - 1 ồ ỏx i , a ủ Ê 1 x I\s I T ú suy ra [a i x i , I ]= e - lim [a i x i (s ), I ] s x 2 .1. 3.5 nh lý H [ i , I ] trong khụng gian li a phng E l kh tng khi v ch khi h cỏc tng riờng hu hn ss = ồ x i , s ẻ F (I ) s to thnh mt dóy Cụsi suy rng s Chng minh Nu { s } l dóy Cụsi thỡ vi mi lõn cn ca khụng U ẻ U(E ) u tn ti s 0 ẻ F (I ) sao cho ss 1 - s s 2 ẻ 1 U vi mi s 1, s 2 ẻ F (I ) , s 1, s 2... s ẩ s 0 - s s 0 , a ủ Ê s 1 4 Do b 2 .1. 1.2 suy ra vi mi a ẻ U 0 ta cú ỡ ỹ ù ù ỏx i , a ủ = sup ù ồ ỏx i , a ủ : s ẻ F (I \ s 0 )ù Ê 1 ớ ý ồ ù s ù I\s0 ù ù ợ ỵ 21 iu ú cú ngha l vi mi s ẻ F (I ) , s s 0 ta cú eU [ i - x i (s ), I ]Ê 1 x Vỡ U ẻ U(E ) tu ý nờn [x i , I ]= e - lim [x i (s ), I ], tc l [x i , I ]ẻ lI1(E ) s Ngc li, nu [ i , I ] l h kh tng tu ý trong E , thỡ x [x i , I ]= e - lim [x... ]= e - lim [x i (s ), I ], s x tc l [ i , I ]ẻ lI1(E ) 20 T cỏc mnh 2 .1. 2.2 v 2 .1. 3.2 ta cú 2 .1. 3.3 Mnh Nu E l khụng gian y , thỡ lI1(E ) l khụng gian y x E a a 2 .1. 3.4 Mnh Nu [ i , I ]ẻ lI1 [ ] v [ i , I ]ẻ cI , thỡ [ i x i , I ]ẻ lI1(E ) Chng minh Vi bt k lõn cn ca khụng U ẻ U(E ) u tn ti tp hp s 0 ẻ F (I ) sao cho a i Ê ( eU [ i , I ]+ 1) - 1 vi mi i ẽ s 0 x Khi ú vi mi tp hp s ẻ F (I ) ,... xi Ê 4r s 2 .1. 1.3 nh lý H s [xi , I ] l kh tng khi v ch khi tn ti s dng r sao cho ồ xi Ê r vi mi s ẻ F (I ) s Chng minh Gi s s l tng ca h kh tng [xi , I ] Khi ú tn ti tp hp s 0 ẻ F (I ) sao cho s s - s Ê 1 vi mi s ẻ F (I ) , s s 0 Khi ú vi mi s ẻ F (I ) ta cú ỏnh giỏ sau ồ s xi Ê ồ s ẩs 0 xi - s + s - ồ xi Ê 1 + s + s 0\ s ồ xi s0 Do ú theo b 2 .1. 1.2 vi mi s ẻ F (I ) ta cú ồ xi Ê 4 (1 + s + s ồ... h gia cỏc loi ỏnh x nờu trờn 2 .1 Cỏc h kh tng 2 .1. 1 H s kh tng Cho I l tp ch s tu ý H s [xi , I ] ú l tp hp cỏc s thc hoc phc xi , vi i ẻ I Ký hiu F (I ) l tp hp tt c cỏc tp con hu hn ca tp hp I vi quan h th t theo bao hm: s 1 Ê s 2 khi v ch khi s 1 è s 2 ; s 1, s 2 ẻ F (I ) Khi ú vi mi s ẻ F (I ) t s s = ồ xi ta nhn iẻ s c mt dóy suy rng { s } ẻ F ( I ) s s 2 .1. 1 .1 nh ngha Nu dóy suy rng { s }... khụng U ẻ U(E ) , [ i , I ]ẻ lI1 [ ] Nhng khi ú t (3) trc tip suy ra x [x i , I ]= e - lim ộ i( b ), I ự ỷ b ở E Vy lI1 [ ] l khụng gian y 2 .1. 3 H kh tng trong khụng gian li a phng Gi s E l khụng gian li a phng v [ i , I ]ẻ lI1 [ ] Vi mi x E s ẻ F (I ) t 19 ỡ xi, i ẻ s ù x i (s ) = ù ớ ù 0, i ẽ s ù ợ Khi ú ta nhn c dóy suy rng {x i (s ), I ] è lI1 [ ] E [ } 2 .1. 3 .1 nh ngha H [ i , I ] cỏc phn t... e - lim [ i (s ), I ] s T nh ngha suy ra tp hp lI1(E ) gm tt c cỏc h kh tng [ i , I ] trong E x to thnh mt khụng gian con tuyn tớnh ca lI1 [ ]vi cỏc phộp toỏn E y [x i ]+ [ i ]= [x i + y i , I ] v a [x i ]= [a y i , I ] lI1(E ) c xột vi tụ pụ cm sinh ca lI1 [ ] E 2 .1. 3.2 Mnh Vi mi khụng gian li a phng E , khụng gian lI1(E ) l E khụng gian con tuyn tớnh úng ca lI1 [ ] Chng minh Gi s h [ i , I ]ẻ lI1 . b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15 ) Thái Nguyên, 2 011 1 MỞ ĐẦU Mục. s ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) Thái Nguyên, 2 011 ®¹i häc th¸i nguyªn trêng ®¹i. biệt giải tích phức nói riêng Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. Chương 2: phần