Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Thông tin tài liệu

giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu 5 Ch−¬ng 1. Lý thuyÕt giíi h¹n 6 6 §1. Giíi h¹n d∙y sè 1. TËp sè thùc 6 2. Giíi h¹n cña d·y sè 12 1. Hµm sè biÕn sã thùc 23 23 2. Giíi h¹n cña hµm sè 31 §2. Giíi h¹n hμm sè 39 §3. Hμm sè liªn tôc 1. Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n 39 2. PhÐp to¸n trªn çc hµm sè liªn tôc 42 3. TÝnh chÊt cña hµm sè liªn tôc trªn mét ®o¹n 43 4. Liªn tôc ®Òu 46 5. TÝnh liªn tôc cña çc hµm sè s¬ cÊp 47 Ch−¬ng 2. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hμm sè mét biÕn sè 49 §1. §¹o hμm 49 1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹o hµm, ®¹o hµm mét phÝa 49 2. Çc quy t¾c lÊy ®¹o hµm 52 55 §2. Vi ph©n 1. Kh¸i niÖm vÒ vi ph©n cña hµm sè 55 2. Çc quy t¾c lÊy vi ph©n 57 3. TÝnh bÊt biÕn cña d¹ng thøc vi ph©n 57 4. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao 57 3 §3. Çc ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n 59 1. Çc ®Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh 59 2. C«ng thøc Taylo 62 §4. øng dông cña ®¹o hμm 64 1. Quy t¾c L«pitan ®Ó khö giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh 64 2. Kh¶o s¸t hµm sè 66 Ch−¬ng 3. PhÐp tÝnh tÝch ph©n 74 74 §1. TÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh 1. Kh¸i niÖm vÒ nguyªn hµm vµ tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh 74 2. Çc ph−¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm 76 3. TÝch ph©n çc biÓu thøc h÷u tû 78 4. TÝch ph©n çc biÓu thøc v« tû 80 5. TÝch ph©n çc biÓu thøc l−îng gi¸c 83 6. TÝch ph©n çc hµm sè siªu viÖt 84 85 §2. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 1. Kh¸i niÖm vÒ tÝch ph©n x¸c ®Þnh 85 2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝch 89 3. Çc líp hµm kh¶ tÝch 91 4. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 93 5. Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ nguyªn hµm 98 6. Çc ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh 101 7. øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 105 110 §.3. TÝch ph©n suy réng 1. TÝch ph©n suy réng víi cËn v« tËn 110 2. TÝch ph©n cña hµm sè kh«ng bÞ chÆn 117 4 Lêi nãi ®Çu Gi¶i tÝch cæ ®iÓn lµ mét m«n häc c¬ së, cÇn thiÕt ®−îc ®−a vµo gi¶ng d¹y ë çc tr−êng §¹i häc vµ Cao ®¼ng khèi khoa häc tù nhiªn, khoa häc kü thuËt. Bé Gi¸o tr×nh c¬ b¶n vµ tµi liÖu tham kh¶o cña m«n nµy cho ngµnh S− ph¹m To¸n ®· cã nhiÒu. §Æc biÖt phÇn bµi tËp gi¶i tÝch cæ ®iÓn I ®· ®−îc viÕt nhiÒu ë çc s¸ch kh¸c nhau. Song ®Ó thuËn lîi vµ phï hîp cho sinh viªn khoa To¸n §HSP §HTN chóng t«i ®· viÕt ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng nµy nh»m ®¸p øng yªu cÇu ®ã. Néi dung ®Ò c−¬ng ®−îc tr×nh bµy trong 3 ch−¬ng, bao gåm: Ch−¬ng 1. Lý thuyÕt giíi h¹n Ch−¬ng 2. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm sè mét biÕn sè Ch−¬ng 3. PhÐp tÝnh tÝch ph©n Chóng t«i ®· sö dông tµi liÖu nµy trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ ®· hÕt søc cè g¾ng khi biªn so¹n nh−ng ch¾c ch¾n ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng cßn cã nh÷ng khiÕm khuyÕt. Chóng t«i rÊt mong nhËn ®−îc ý kiÕn ®ãng gãp cña ®éc gi¶. Cuèi cïng, chóng t«i xin ch©n thµnh çm ¬n çc thÇy c« gi¸o, çc ®ång nghiÖp trong tæ bé m«n Gi¶i tÝch - khoa To¸n tr−êng §HSP - §HTN ®· cho chóng t«i nh÷ng gãp ý quý b¸u trong qu¸ tr×nh biªn so¹n. Th¸i Nguyªn, ngµy th¸ng 5 n¨m 2009 Çc t¸c gi¶ ThS NguyÔn ThÞ Ng©n ThS NguyÔn ThÞ Minh 5 Ch−¬ng 1. Lý thuyÕt giíi h¹n §1. Giíi h¹n d∙y sè 1. TËp sè thùc 1.1. Sù cÇn thiÕt më réng tËp sè h÷u tû NÕu chØ trong ph¹m vi çc sè h÷u tû th× nhiÒu phÐp to¸n, ch¼ng h¹n phÐp khai c¨n sè h÷u tû (thËm chÝ ngay c¶ sè nguyªn) kh«ng thÓ thùc hiÖn ®−îc. Ch¼ng h¹n ta dÔ chøng minh ®−îc gi¶ sö 2 kh«ng thÓ lµ sè h÷u tû. ThËt vËy, 2 lµ sè h÷u tû th× ∃p, q ∈ ¢ sao cho 2 = p víi p, q lµ cÆp sè nguyªn q tè cïng nhau. Suy ra p2 = 2q2 ⇒ p2 lµ sè ch½n, thµnh thö p lµ sè ch½n (ch¼ng h¹n p = 2k) thay vµo ta ®−îc q2 = 2k2 ⇒ q2 lµ sè ch½n ⇒ q lµ sè ch½n, ®iÒu nµy v« lý v× p, q ®Òu lµ ch½n th× nã kh«ng thÓ nguyªn tè cïng nhau. VÒ ph−¬ng diÖn h×nh häc, vÝ dô trªn cho ta thÊy viÖc chØ xÐt trong tËp sè h÷u tû th× kh«ng thÓ cã h×nh vu«ng nµo cã c¹nh b»ng 1 (®−êng chÐo b»ng 2 ). §Ó ®¸p øng nh÷ng yªu cÇu tÝnh to¸n trong ®êi sèng vµ kü thuËt, ng−êi ta ph¶i më réng thªm tËp sè h÷u tû. 1.2. §Þnh nghÜa sè v« tû Nh¸t c¾t §ª®¬kin §Þnh nghÜa. Cho A vµ B lµ hai tËp sè h÷u tû, ta nãi r»ng chóng lµm thµnh nh¸t c¾t §ª®¬kin nÕu tho¶ m·n: i) A, B ≠ φ, A∩B = φ, A ∪ B = Q. ii) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ta lu«n cã a 10} ⇒ A/B lµm thµnh nh¸t c¾t. 3) A = {x ∈ Q+, x2 < 2} ∪ Q- , B = {x ∈ Q+, x2 > 2} ⇒ (A/B) lµm thµnh nh¸t c¾t. §èi víi nh¸t c¾t (A/B) chØ cã thÓ x¶y ra 1 trong 4 kh¶ n¨ng sau: 1) Líp d−íi A kh«ng cã phÇn tõ lín nhÊt, líp trªn B cã phÇn tö nhá nhÊt (VD1) ⇒ nh¸t c¾t lo¹i 1. 2) Líp d−íi A cã phÇn tõ lín nhÊt, líp trªn B kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt (VD2) ⇒ nh¸t c¾t lo¹i 2. 3) Líp d−íi A kh«ng cã phÇn tõ lín nhÊt, líp trªn B kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt (VD3) ⇒ nh¸t c¾t lo¹i 3. 4) Líp d−íi A cã phÇn tõ lín nhÊt r1, líp trªn B cã phÇn tö nhá nhÊt r2, kh¶ n¨ng 4 kh«ng x¶y ra. ThËt vËy, r = r1 + r2 , thÕ th× r1 < r < r2 vµ r ∈ A, r ∈ B ⇒ (A/B) kh«ng lµm 2 thµnh nh¸t c¾t. Nh− vËy mçi sè h÷u tû x¸c ®Þnh mét nh¸t c¾t lo¹i 1 hoÆc lo¹i 2 vµ ng−îc l¹i. Riªng nh¸t c¾t lo¹i 3 cßn khuyÕt phÇn tö n»m trªn biªn gi÷a líp trªn vµ líp d−íi, ta sÏ nãi mçi nh¸t c¾t lo¹i 3 x¸c ®Þnh mét sè v« tû (chÝnh lµ sè n»m vµo chç khuyÕt ®ã). TËp sè v« tû kÝ hiÖu lµ I. TËp sè v« tû vµ h÷u tû ta gäi lµ tËp sè thùc, kÝ hiÖu lµ ¡ . Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy mçi nh¸t c¾t x¸c ®Þnh 1 sè thùc vµ ng−îc l¹i mçi sè thùc x¸c ®Þnh mét nh¸t c¾t. 1.3. Quan hÖ s¾p thø tù trong tËp sè thùc §Þnh nghÜa. Cho hai sè α vµ β x¸c ®Þnh bëi hai nh¾t c¾t (A’/B’) vµ (A”/B”) t−¬ng øng. Ta nãi r»ng α = β nÕu líp d−íi A’ = A”, líp trªn B’ = B”. 7 Ta nãi r»ng α < β (®äc lµ α nhë h¬n β) nÕu líp d−íi A’ ⊂ A”, líp trªn A’ ≠ A”. Ta nãi r»ng α > β nÕu β < α. Ta nãi r»ng α ≥ β nÕu α > β hoÆc α = β. Sè thùc α > 0 (α < 0) ta gäi lµ sè d−¬ng (sè ©m). TËp sè d−¬ng vµ sè 0 ta kÝ hiÖu ¡ +. TËp sè ©m vµ sè 0 ta kÝ hiÖu ¡ - 1.4. BiÓu diÔn sè thùc a) Trôc sè: Trªn ®−êng th¼ng Δ cho tr−íc, ta chän ®iÓm 0 lµm ®iÓm gèc, ta thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a tËp çc sè thùc víi çc ®iÓm trªn ®−êng th¼ng Δ nh− sau: Sè 0 ∈ ¡ ta cho øng víi ®iÓm O ®· chän. Mçi sè d−¬ng a ∈ ¡ ta cho t−¬ng øng víi ®iÓm A n»m bªn ph¶i ®iÓm O sao cho OA cã ®é dµi b»ng a. Mçi sè ©m b ∈ ¡ ta cho t−¬ng øng víi ®iÓm B n»m bªn tr¸i ®iÓm O sao cho OB cã ®é dµi b»ng ⏐b⏐. Mçi sè thùc t−¬ng øng víi 1 ®iÓm trªn ®−êng th¼ng Δ vµ ng−îc l¹i. §−êng th¼ng Δ ta gäi lµ trôc sè. b) BiÓu diÔn thËp ph©n cña sè thùc. Sè thùc a ∈ ¡ ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng mét sè thËp ph©n a = n, c1c2 ... ck ... trong ®ã n ∈ ¢ , ci = 0...9 (i = 1, ..., k, ..) 1.5. TÝnh liªn tôc vµ trï mËt cña sè thùc §Þnh lý 1.1 (§Þnh lý §ª®¬kin). §èi víi mçi nh¸t c¾t (A/B) trªn tËp sè thùc hoÆc líp d−íi A cã sè lín nhÊt hoÆc líp trªn B cã sè nhá nhÊt. Bæ ®Ò. Víi hai sè thùc α < β lu«n tån t¹i Ýt nhÊt 1 sè h÷u tû r sao cho α 0, ∃aε ∈ A sao cho M* - ε < aε ≤ M* (hoÆc m* ≤ aε < m* + ε) Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö M* = supA, ®iÒu kiÖn i) hiÓn nhiªn tho¶ m·n. Gi¶ sö ∃ε > 0, ∀a∈ A ta lu«n cã a ≤ M*- ε. VËy M*- ε lµ 1 cËn trªn cña A ⇒ M* = supA ≤ M* - ε ®iÒu nµy v« lý do ®ã M* - ε < aε ≤ M*. §iÒu kiÖn ®ñ: §iÒu kiÖn i) chøng tá M* lµ mét cËn trªn. Gi¶ sö tån t¹i cËn trªn M < M*. §Æt ε = M* - M > 0 theo ii) ∃ aε ∈ A sao cho M = M* - (M* - M) = M* - ε < aε ®iÒu nµy v« lý. Suy ra M* lµ cËn trªn ®óng cña A. 1.7 PhÐp tÝnh sè häc trªn tËp sè thùc 1.7.1. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa phÐp céng. Gi¶ sö cho hai sè thùc α vµ β x¸c ®Þnh bëi hai nh¸t c¾t (A’/B’) vµ (A”/B”) t−¬ng øng. §Æt A = {a '+ a ": a ' ∈ A ', a " ∈ A "} , B = {b '+ b ": b ' ∈ B ', b " ∈ B "} . Ta cã (A/B) lµm thµnh mét nh¸t c¾t thµnh thö nã x¸c ®Þnh mét sè thùc γ. Ta gäi γ lµ tæng cña hai sè thùc α vµ β. KÝ hiÖu: γ = α + β. §Þnh nghÜa phÐp trõ. Ng−êi ta chøng minh r»ng víi mçi cÆp sè thùc α, β tån t¹i duy nhÊt sè thùc γ sao cho α + γ = β, ta gäi γ lµ hiÖu cña β trõ α, kÝ hiÖu lµ γ = β - α. T−¬ng tù nh− trªn ta ®Þnh nghÜa çc phÐp to¸n cßn l¹i. 1.7.2 TÝnh chÊt 1) PhÐp céng vµ phÐp nh©n tho¶ m·n tÝnh chÊt giao ho¸n, ph©n phèi, kÕt hîp : a + b = b + a; ab = ba (a, b ∈ R); a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c; (ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ . 2) Tån t¹i phÇn tö trung lËp trong phÐp céng vµ phÐp nh©n: 10 ∃! 0 ∈ : ∀a ∈ ∃!1 ∈ :1∈ ,a+0=0+a=a , a.1 = 1.a = a 3) Tån t¹i phÇn tö ®èi trong phÐp céng vµ phÇn tö nghÞch ®¶o trong phÐp nh©n ∀a∈ ∀a ∈ , ∃! (-a) ∈ : a + (-a) = 0 , a ≠ 0, ∃! a-1 ∈ : a. a-1 = 1 4) Gi÷a phÐp céng vµ phÐp nh©n tho¶ m·n ®Þnh luËt ph©n phèi a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ . 5) Quan hÖ s¾p thø tù tho¶ m·n: TÝnh chÊt ph¶n xøng: a ≤ b vµ b ≤ a ⇒ a = b TÝnh chÊt b¾c cÇu: a ≤ b vµ b ≤ c ⇒ a ≤ c 6) ∀a ∈ ⇒ a.a ≥ 0, a.a = 0 ⇔ a = 0 7) a> b ⇒ a+ c > b+ c, ac > bc (nÕu c > 0), ac < bc (nÕu c < 0), ∀a, b∈ 1.7.3. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ⎧ a khi a ≥ 0 §èi víi mçi sè thùc a ta gäi sè a = ⎨ lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña a. ⎩− a khi a < 0 TÝnh chÊt 1. − a ≤ a ≤ a TÝnh chÊt 2. a ≥ 0, a = 0 ⇔ a = 0 TÝnh chÊt 3. a ≤ b ⇒ −b ≤ a ≤ b TÝnh chÊt 4. a + b ≤ a + b , a − b ≤ a − b ab = a . b , a a = b b TÝnh chÊt 5. a − b ≤ a − b 1.7.4. Mét sè quy −íc a) Sè thùc më réng: Më réng thªm hai phÇn tö +∞ vµ - ∞. 11 + NÕu a lµ sè thùc th× -∞ < a < +∞ + ±∞ = +∞ + a ±∞ = ±∞ + a = ±∞ + ∞ - ∞ lµ biÓu thøc kh«ng x¸c ®Þnh ⎧+∞ + a(+∞) = (+∞) a = ⎪⎨−∞ ⎪ ⎩ nÕu a ∈ R, b = ±∞ nÕu a = ±∞, b > 0 nÕu a = 0 + a(-∞) = (-a)(+∞) khi a ∈ R, b = ±∞ ⎧ 0 a ⎪ + = ⎨ ±∞ khi a = ±∞, b > 0 b ⎪ ⎩ khi a, b = ±∞, a = b = 0 b) Kho¶ng, ®o¹n, l©n cËn [ a, b] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b} [ a, b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b} ( a, b ) = { x ∈ R : a < x < b} ( a, b] = { x ∈ R : a < x ≤ b} U ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 + δ ) gäi lµ δ l©n cËn cña x0. P ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 ) U ( x0 , x0 + δ ) gäi lµ l©n cËn khuyÕt (hë, thñng) cña x 0. 2. Giíi h¹n cña d·y sè 2.1. Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ d·y sè §Þnh nghÜa. Cho ¸nh x¹ f: N* --> ta cã b¶ng gi¸ trÞ f(1), f(2), ..., f(n), ... (1) §Æt xn = f(n) víi n = 1, 2, 3, ... ta cã b¶ng x1, x2, x3, ..., xn , ... (2) Ta sÏ gäi (2) lµ d·y sè, xn lµ sè h¹ng tæng qu¸t hay phÇn tö thø n cña d·y, n lµ chØ sè cña sè h¹ng ®ã. KÝ hiÖu {xn} = x1, x2, x3, ..., xn ,... 12 D·y {xn} ®−îc gäi lµ bÞ chÆn trªn (hoÆc d−íi) nÕu ∃C (hoÆc c) sao cho xn ≤ C (hoÆc xn ≥ c), ∀n. D·y {xn} võa bÞ chÆn trªn, võa bÞ chÆn d−íi ®−îc gäi lµ bÞ chÆn. D·y {xn} ®−îc gäi lµ ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) nÕu ∀n, m ∈ N: n < m ⇒ xn ≤ xm (hoÆc xn ≥ xm). VÝ dô. { xn } = ⎧⎨ 1⎫ lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m, bÞ chÆn. n ⎬ ⎩2 ⎭ { xn } = {n3 } lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng, kh«ng bÞ chÆn trªn. { xn } = {( −1) } lµ d·y bÞ chÆn, kh«ng ®¬n ®iÖu. n 2.1.2. Kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n cña d·y sè §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng { xn } cã giíi h¹n h÷u h¹n lµ a (hay tiÕn tíi a khi n tiÕn tíi ∞) nÕu ∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n > nε: xn − a < ε . KÝ hiÖu: lim xn = a hoÆc xn → a khi n→∞. n→∞ D·y { xn } cã giíi h¹n h÷u h¹n ta gäi lµ d·y héi tô, ng−îc l¹i ta nãi d·y ph©n kú. VÝ dô. ⎧1⎫ 1) D·y { xn } = ⎨ n ⎬ cã giíi h¹n b»ng 0. ⎩2 ⎭ 1⎤ ⎡ ThËt vËy, ∀ε > 0 cho tr−íc, chän n0 = ⎢log 2 ⎥ th× ∀n > n0 ta cã: ε⎦ ⎣ xn − 0 = 1 1 < ε ⇒ lim xn = lim n = 0 . n n →∞ n→∞ 2 2 2) D·y { xn } = {n3 } ph©n kú. ThËt vËy, gi¶ sö d·y { xn } héi tô ®Õn a, chän ε = 1, víi n ®ñ lín: n3 > 1 + a, ®iÒu nµy v« lý v× luü thõa bËc 3 cña çc sè tù nhiªn kh«ng bÞ chÆn. 13 §Þnh lÝ 1.3. Giíi h¹n (nÕu cã) cña mét d·y sè lµ duy nhÊt. Chøng minh. Gi¶ sö { xn } héi tô ®Õn 2 giíi h¹n kh¸c nhau a vµ b. Chän ε = a - b > 0, ∃n1, n2 ∈ N sao cho x n − a < ε 2 víi n > n1 xn − b < ε 2 víi n > n2 Chän n0 = max{n1, n2} ta cã ε = a - b ≤ a - xn + xn - b < ε 2 + ε 2 = ε , ∀n > n0. §iÒu nµy v« lý VËy ®Þnh lý ®−îc chøng minh. §Þnh lÝ 1.4. Mäi d·y héi tô ®Òu bÞ chÆn. Chøng minh. Gi¶ sö lim xn = a , víi ε = 1, ∃nε ∈N sao cho x n − a < ε = 1 n →∞ ⇒ a - 1 < xn < a + 1, ∀n > nε. Chän C = max{ 1 + a , 1 − a , x1 , x 2 ,..., x n ,...} ⇒ x n ≤ C, ∀n. VËy ®Þnh lý ®−îc chøng minh. §Þnh nghÜa. Cho {xn} vµ d·y ®¬n ®iÖu nghiªm ngÆt çc sè tù nhiªn n1< n2 < n3 < ... < nk < nk+1 < ... { } { } Ta sÏ gäi d·y xnk lµ d·y con cña d·y {xn}. KÝ hiÖu: xnk ⊂ { xn } , nk ≥ n. NÕu d·y con héi tô th× ta sÏ gäi giíi h¹n cña nã lµ giíi h¹n riªng cña d·y {xn}. Sè bÐ nhÊt gäi lµ giíi h¹n d−íi, sè lín nhÊt gäi lµ giíi h¹n trªn. { } 1 1 1 VÝ dô. xnk = 1, , ,..., ,... lµ d·y con cña d·y cña d·y 3 5 2k + 1 { xn } = 1, 1 1 , ,... 2 3 §Þnh lÝ 1.5. NÕu d·y { xn } héi tô vÒ a th× mäi d·y con cña nã còng héi tô vÒ a. Chøng minh. Gi¶ sö lim xn = a, ∀ε > 0, ∃nε sao cho xn − a < ε , ∀n ≥ nε . V× n →∞ nk ≥ n > nε nªn ta cã xnk − a < ε ⇒ lim xnk = a . nk →∞ 14 {( −1) } ph©n kú n ¸p dông Chøng minh d·y XÐt d·y con {x2k} = {1} héi tô vÒ 1 {x2k + 1} = {-1} héi tô vÒ -1. VËy {( −1) } ph©n kú. n 2.2. Çc phÐp to¸n vµ tÝnh chÊt cña d·y héi tô 2.2.1. Çc phÐp to¸n trªn giíi h¹n cña d·y sè §Þnh lÝ 1.6. Gi¶ sö d·y { xn } héi tô ®Õn a vµ {yn} héi tô ®Õn b. Khi ®ã i) { xn } héi tô vµ lim xn = a n →∞ ii) D·y { xn ± yn } héi tô vµ lim ( xn ± yn ) = a ± b n →∞ iii) D·y { xn . yn } héi tô vµ lim xn . yn = a.b n →∞ ⎧x ⎫ x a iv) NÕu b ≠ 0 th× d·y ⎨ n ⎬ héi tô vµ lim n = . n →∞ y b n ⎩ yn ⎭ Chøng minh. i) Sinh viªn tù chøng minh. ii) Gi¶ sö lim xn = a,lim yn = b ⇔ ∀ε > 0, ∃n1 , n2 ∈ N sao cho n →∞ n→∞ ∀n > n1 : xn − a < ε 2 , ∀n > n2 : yn − b < ε 2 . Chän n0 = max{n1, n2}, ∀n > n0 : ( xn + yn ) − ( a + b ) ≤ ⇒ xn − a + yn − b < ε 2 + ε 2 =ε lim ( xn + yn ) = a + b . n →∞ T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc r»ng lim ( xn − yn ) = a − b . n →∞ iii) Theo ®Þnh lÝ 1.4, d·y {xn} bÞ chÆn, tøc lµ ∃C > 0 sao cho xn ≤ C , ∀n . 15 MÆt kh¸c, lim xn = a,lim yn = b , nÕu víi ∀ε > 0 ta chän ε1 = n →∞ n→∞ ε C+ b >0, ∃ n1, n2∈ N sao cho x n − a < ε1 vµ x n − b < ε1 víi n > n1, n > n2 Chän n0 = max{n1, n2} víi ∀n > n0 ta cã: xn yn − ab = xn ( yn − b ) + ( xn − a ) b ≤ xn yn − b + b xn − a < C.ε1 + b .ε1 = ε ⇒ lim xn yn = ab . n→∞ 1 1 = n→∞ y b n iv) Tr−íc hÕt ta chøng minh lim Tõ (1) suy ra lim yn = b > 0 , víi δ > 0, ta chän δ1 = n →∞ ∀n > n0 ta cã: b 2 1 b , ∃n0 sao cho 2 = b − δ1 < yn n0 ⇒ lim = . Víi ε > 0, chän δ = ε b 2 ⇒ n →∞ y yn b b 2 n ¸p dông iii) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý. 1) NÕu c¶ hai d·y héi tô th× tæng, hiÖu, tÝch, th−¬ng cña chóng còng héi tô. 2) NÕu mét d·y héi tô, mét d·y ph©n kú th× tæng, hiÖu, tÝch, th−¬ng ph©n kú. 3) C¶ hai d·y ph©n kú ⇒ ch−a kÕt luËn ®−îc. 4) Sù héi tô hay ph©n kú cña mét d·y hoµn toµn kh«ng phô thuéc vµo h÷u h¹n çc sè h¹ng ban ®Çu cña nã. 16 HÖ qu¶. NÕu d·y {xn} héi tô th× lim ( C + xn ) = C + lim xn víi C lµ h»ng sè. n →∞ n→∞ lim C.xn = C.lim xn . n →∞ n→∞ 2.2.2. TÝnh chÊt §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng {xn} nhá h¬n hoÆc b»ng d·y {yn}, kÝ hiÖu {xn} ≤ {yn} nÕu ∃n0 víi n > n0 ta cã xn ≤ yn. §Þnh lÝ 1.7. i) Gi¶ sö {xn} vµ {yn} lµ çc d·y héi tô vµ {xn} ≤ {yn}. Khi ®ã lim xn ≤ lim yn . n →∞ n→∞ ii) NÕu lim xn < lim yn th× {xn} < {yn}. n →∞ n→∞ iii) Gi¶ sö {xn} ≤ {zn} ≤ {yn} vµ lim xn = lim yn = a th× lim zn = a . n →∞ n →∞ n →∞ Chøng minh. i) Gi¶ sö lim xn = a > lim yn = b . n →∞ n →∞ Chän ε = a - b > 0, ∃n0 sao cho 0 = a - b - ε < xn - yn < a – b + ε, ∀n > n0 ⇒ xn > yn, ∀n > n0 , tr¸i víi gi¶ thiÕt ⇒ ®pcm. ii) Chän ε = 1 b+a ( b − a ) > 0, ∃n0 : a − ε < xn < a + ε = 2 2 b+a = b − ε < yn n0. Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. iii) Gi¶ sö lim xn = lim yn = a n →∞ ⇔ n→∞ ∀ε > 0, ∃n1 , n2 ∈ N , ∀n > n1 : a − ε < xn < a + ε ∀n > n2 : a − ε < yn < a + ε Chän n0 = max{n1, n2}: ∀n > n0: a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε ⇒ zn − a < ε ⇒ lim zn = a . n →∞ 17 (1) HÖ qu¶. 1) NÕu lim xn = a vµ {xn} ≤ C th× a ≤ C. n→∞ 2) NÕu lim xn = a < C th× ∃ n0 sao cho xn < C víi n > n0. n →∞ 3) lim xn = 0 khi vµ chØ khi lim xn = 0 . n →∞ n →∞ ( −1) ¸p dông. lim n →∞ n n =0 sin n =0 n →∞ 2 n lim n ⎛ −1) ( 1 ⎜ lim = lim = 0 n→∞ n ⎜ n→∞ n ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ sin n 1 n→∞ ⎞ →0⎟ . ⎜ 2n ≤ 2n ⎯⎯⎯ ⎝ ⎠ 2.3. §iÒu kiÖn héi tô cña d·y sè 2.3.1. §iÒu kiÖn héi tô cña d·y ®¬n ®iÖu §Þnh lÝ 1.8 i) NÕu {xn} lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× nã héi tô vµ xn ≤ lim xn , ∀n . n→∞ ii) NÕu {xn} lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi th× nã héi tô vµ xn ≥ lim xn , ∀n . n→∞ Chøng minh. i) Gi¶ sö {xn} ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn. Khi ®ã a = sup{xn} ⇒ xn ≤ a, ∀n. Theo ®Þnh lÝ 1.2, ∀ε > 0, ∃n0 sao cho a - ε < xn0 ≤ a. MÆt kh¸c v× {xn} ®¬n ®iÖu t¨ng nªn ∀n > n0 ta cã a - ε < xn0 ≤ xn ≤ a < a + ε ⇒ xn − a < ε , ∀n > n0 ⇒ lim xn = a . n→∞ ii) Chøng minh t−¬ng tù. 2.3.2. Bæ ®Ò vÒ çc d·y ®o¹n th¾t 18 §Þnh nghÜa. Ta sÏ gäi d·y çc ®o¹n th¼ng {[an, bn]} lµ d·y çc ®o¹n lång th¾t nÕu [ an+1 , bn+1 ] ⊂ [ an , bn ] vµ lim ( bn − an ) = 0 . n →∞ Bæ ®Ò C¨ngto. Víi mçi d·y lång th¾t çc ®o¹n th¼ng tån t¹i duy nhÊt ®iÓm C sao cho C ∈ [an, bn], ∀n. Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt [ an+1 , bn+1 ] ⊂ [ an , bn ] ⇒ {an} lµ d·y t¨ng, cßn {bn} lµ d·y gi¶m vµ ®Òu bÞ chÆn. §Þnh lÝ 1.8 ⇒ lim an = a vµ lim bn = b . V× n →∞ n→∞ lim ( bn − an ) = 0 nªn ta suy ra a = b. n →∞ Chän C = a = b. HiÓn nhiªn an ≤ C ≤ bn , ∀n hay C ∈ [an, bn], ∀n. §Þnh lÝ 1.9. (B«nxan« - W©y¬tr¸t) Mçi d·y bÞ chÆn cã Ýt nhÊt mét d·y con héi tô. Chøng minh. Gi¶ sö {xn} lµ d·y bÞ chÆn ⇒ ∃a, b ∈ R sao cho a ≤ xn ≤ b, ∀n . Ta chia ®«i [a, b] th× Ýt nhÊt mét trong hai nöa cña [a, b] chøa v« sè phÇn tö cña d·y {xn}, kÝ hiÖu nöa ®ã lµ [a1, b1]. Ta l¹i chia ®«i [a1, b1], còng lý luËn t−¬ng tù ta nhËn ®−îc nöa [a2, b2] cña ®o¹n [a1, b1] chøa v« sè phÇn tö cña {xn}. Cø tiÕp tôc m·i qu¸ tr×nh trªn ®©y ta nhËn ®−¬ch d·y {[an, bn]} çc ®o¹n th¼ng cã tÝnh chÊt [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] vµ bn − an = 1 ( b − a ) → 0 khi n → ∞ . Mçi ®o¹n 2n [an, bn] chøa v« sè phÇn tö cña {xn}. Theo bæ ®Ò C¨ngto, ∃! c ∈ R sao cho lim an = lim bn = c . Ta chän d·y { xnk } nh− sau: n →∞ n→∞ Trong ®o¹n [a1, b1] chän xn1 , trong [a2, b2] chän x2 sao cho n2 > n1, cø tiÕp tôc qu¸ tr×nh nh− trªn ta ®−îc {x } ⊂ {x } . nk n MÆt kh¸c: ank ≤ xnk ≤ bnk mµ ank → c , bnk → c khi nk → ∞ ⇒ lim xnk = c . nk →∞ §Þnh lÝ 1.10. (Nguyªn lý B«xan« - C«si vÒ d·y héi tô) §Ó d·y {xn} héi tô, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ ∀ε > 0, nhá tuú ý, ∃n0 ∈ N sao cho xn − xm < ε , ∀n, m > n0 . Chøng minh. 19 §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö lim xn = a , thÕ th× ∀ε > 0, ∃n0 sao cho xm − a < n →∞ xn − a < ⇒ ε 2 ε 2 vµ , ∀n, m > n0. xn − xm = ( xn − a ) − ( xm − a ) ≤ xn − a + xm − a < ε + 2 ε 2 = ε , ∀m, n > n0 Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. §iÒu kiÖn ®ñ. Tr−íc hÕt ta chøng minh d·y {xn} bÞ chÆn. ThËt vËy víi ε = 1, ∃n0 sao cho xn − xn0 +1 < 1 , ∀n > n0 hay xn0 +1 − 1 < xn < xn0 +1 + 1, ∀n > n0 . §iÒu nµy chøng tá {xn} bÞ chÆn. Theo §Þnh lÝ 1.9, ∃ d·y con { xnk } cña d·y { xn } héi tô ®Õn a. Ta sÏ chøng minh lim xn = a . n→∞ ε Ta cã lim xn k = a ⇒ ∀ε > 0, ∃m1 sao cho xnk − a < , ∀nk > m1 nk →∞ 2 Theo gi¶ thiÕt ∃m2 sao cho xn − xnk < ε 2 (1) (2), ∀n > m2 (theo ®Þnh nghÜa d·y chøng minh nk ≥ n). Chän n0 = max{m1, m2}. Tõ (1) vµ (2) ⇒ xn − a ≤ xn − xnk + xnk − a < ⇒ ε 2 + ε 2 = ε , ∀n > n0 . lim xn = a (®pcm). n →∞ 2.4. §¹i l−îng v« cïng bÐ - ®¹i l−îng v« cïng lín 2.4.1. §¹i l−îng v« cïng bÐ (VCB) §Þnh nghÜa 1. Ta sÏ gäi d·y sè α1 ,α 2 ,...,α n ,... lµ mét ®¹i l−îng v« cïng bÐ khi n→ ∞ nÕu lim α n = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho α n < ε , ∀n > n0. n→∞ Chó ý. NÕu {α n } lµ VCB th× {−α n } , { α n } lµ VCB khi n→∞ . 20 ⎧1⎫ VÝ dô. ⎨ n ⎬ lµ VCB, ⎩2 ⎭ ⎧⎪1 + ( −1)n ⎫⎪ ⎨ ⎬ lµ VCB. n ⎩⎪ ⎭⎪ * TÝnh chÊt vµ phÐp to¸n 1) Tæng cña hai ®¹i l−îng VCB lµ mét ®¹i l−îng VCB. 2) TÝch cña hai ®¹i l−îng VCB lµ mét ®¹i l−îng VCB. 3) TÝch cña mét ®¹i l−îng VCB vµ mét d·y héi tô lµ mét ®¹i l−îng VCB. 4) TÝch cña mét ®¹i l−îng VCB vµ mét ®¹i l−îng bÞ chÆn lµ mét ®¹i l−îng VCB. Chó ý. 1) NÕu lim α n = 0 th× lim cα n = 0 , víi c lµ h»ng sè. n→∞ n →∞ 2) Th−¬ng cña hai ®¹i l−îng VCB ch−a ch¾c lµ VCB. α 5 1 VÝ dô. α n = , β n = lµ hai VCB nh−ng n = 5 lµ h»ng sè. n n βn 3) NÕu lim an = a th× {an − a} lµ VCB vµ ng−îc l¹i. n →∞ 2.4.2. §¹i l−îng v« cïng lín (VCL) §Þnh nghÜa 1. D·y sè α1 ,α 2 ,...,α n ,... ®−îc gäi lµ mét ®¹i l−îng VCL khi n → ∞, nÕu víi mçi sè d−¬ng M lín tuú ý, ∃n0 sao cho α n > M , ∀n > n0 . §Þnh nghÜa 2. Cho {α n } , nÕu víi mçi M > 0, lín tuú ý, ∃n0 ∈ N sao cho α n > M víi ∀n > n0 ta sÏ nãi r»ng d·y {α n } cã giíi h¹n b»ng +∞ vµ viÕt lim α n = +∞ . n →∞ T−¬ng tù ta cã lim α n = −∞ nÕu víi n ®ñ lín ta cã α n < − M . n →∞ VÝ dô. {( −1) .n} lµ mét VCL, {n − 5} lµ VCL. n 2 TÝnh chÊt. 1) NÕu {α n } lµ mét VCL vµ β n ≥ α n , ∀n th× {β n } lµ mét VCL. 21 2) TÝch cña mét VCL vµ mét d·y cã giíi h¹n kh¸c 0 lµ mét VCL. ⎧1⎫ 3) NÕu {α n } lµ mét VCL th× ⎨ ⎬ lµ mét VCB. ⎩α n ⎭ ⎧1⎫ 4) NÕu {α n } lµ mét VCB vµ α n ≠ 0 , ∀n th× ⎨ ⎬ lµ mét VCL. ⎩α n ⎭ 2.5. Sè e n ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ Ta chøng minh ®−îc {an } = ⎨⎜1 + ⎟ ⎬ lµ d·y t¨ng vµ bÞ chÆn trªn bëi 3. n ⎠ ⎭⎪ ⎪⎩⎝ ThËt vËy, n ( n − 1) ...( n − n + 1) 1 1⎞ 1 n.( n − 1) 1 ⎛ an = ⎜1 + ⎟ = 1 + n. + . 2 + ... + . n n⎠ n 1.2 n 1.2...n n ⎝ n =1+1+ 1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ ⎜1 − ⎟ + ... + ⎜1 − ⎟ ...⎜1 − ⎟ + n! ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠ 2! ⎝ n + 1 ⎠ + ⇒ n ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ ...⎜1 − ( n + 1)! ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠⎟ an < an+1 Ta cã an < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + < 2 + + + ... + n−1 < 2 + + ... 2! 3! 2 4 2 2 n! 1 1 =2+ . =3 2 1− 1 2 ⇒ {an } n 1⎞ ⎛ héi tô vµ lim an = lim ⎜ 1 + ⎟ = e = 2,71828828459015... n →∞ n→∞ n⎠ ⎝ n ⎛ 1⎞ Ta chøng minh ®−îc lim ⎜1 − ⎟ = e −1 . n →∞ ⎝ n⎠ 2.6. Giíi h¹n trªn - giíi h¹n d−íi 22 §Þnh nghÜa. Sè lín nhÊt trong çc giíi h¹n riªng cña d·y { xn } ®−îc gäi lµ giíi h¹n trªn cña nã. KÝ hiÖu: limxn . n→∞ Sè bÐ nhÊt trong çc giíi h¹n riªng cña d·y { xn } ®−îc gäi lµ giíi h¹n d−íi cña nã. KÝ hiÖu: lim xn . n →∞ §Þnh lÝ 1.11. Mäi d·y sè { xn } ®Òu cã giíi h¹n trªn vµ giíi h¹n d−íi trong tËp sè thùc më réng. §Þnh lÝ 1.12. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó d·y { xn } cã giíi h¹n (h÷u h¹n hoÆc b»ng ±∞ ) lµ limxn = lim xn . n →∞ n →∞ Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö limxn = lim xn = M. Khi ®ã ∃n0 sao cho ∀n > n0 ta n→∞ n→∞ cã: M - ε < xn < M + ε ⇔ xn − M < ε , víi ε > 0 ⇒ lim xn = M . n →∞ 2 2 ⎧ nπ ⎫ VÝ dô. { xn } = ⎨sin ⎬ cã giíi h¹n riªng 0, ,1, −1, − 2 2 4 ⎭ ⎩ limxn = 1 , lim xn = −1 . n →∞ n →∞ §2. Giíi h¹n hμm sè 1. Hµm sè biÕn sã thùc 1.1. §Þnh nghÜa * Cho X ⊆ . NÕu øng víi mçi gi¸ trÞ cña ®¹i l−îng x biÕn ®æi trong miÒn X t−¬ng øng 1 gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña ®¹i l−îng biÕn ®æi y th× ta nãi r»ng gi÷a x vµ y ®−îc thiÕt lËp mét t−¬ng quan hµm sè, trong ®ã x lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi 23 ®éc lËp (hay cßn gäi lµ ®èi sè) cßn y lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi phô thuéc. Ta gäi y lµ hµm sè cña biÕn sè x hay ®èi sè x. KÝ hiÖu: y = f(x), y = ϕ(x). TËp X gäi lµ tËp x¸c ®Þnh (miÒn x¸c ®Þnh) cña hµm sè. KÝ hiÖu Df, Dy. f(X) = {f(x): x ∈ X} gäi lµ tËp gi¸ trÞ cña hµm sè. * Ta gäi ¸nh x¹ f: X → x a y = f(x) lµ mét hµm sè, X lµ tËp nguån hay tËp x¸c ®Þnh, Y = f(X) lµ tËp ®Ých hay tËp gi¸ trÞ. Muèn x¸c ®Þnh hµm sè ph¶i cho tËp x¸c ®Þnh, cho quy luËt t−¬ng øng, y = f(x) lµ gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm x. VÝ dô 1. y = 1 − x 2 , Dy = [-1, 1], TËp gi¸ trÞ : [0, +∞). VÝ dô 2. ⎧1 víi x h÷u tû D( x) = ⎨ ⎩0 víi x v« tû TX§: Dy = (Hµm §irichlª) , TGT = {0, 1}. VÝ dô 3. Tæng cña n sè tù nhiªn ®Çu tiªn S ( n ) = n ( n + 1) , DS = N*. 2 1.2. Çc ph−¬ng ph¸p biÓu diÔn hµm sè 1.2.1. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Quy t¾c x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña hµm sè ®−îc cho b»ng mét hay nhiÒu biÓu thøc to¸n häc. VÝ dô: y = ax + b; a, b ∈ ⎧ 1 khi x > 0 ⎪ signx = ⎨ 0 khi x = 0 ⎪−1 khi x < 0 ⎩ (Hµm dÊu) Hµm phÇn nguyªn y = [x] = n nÕu n ≤ x < n + 1 [- 3,1] = - 4, [3, 1] = 3, [1] = 1. 24 1.2.2. Ph−¬ng ph¸p ®å thÞ. Trong mÆt ph¼ng ta chän hÖ trôc to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxy. Mçi cÆp gi¸ trÞ x vµ y = f(x) sÏ øng víi ®iÓm M(x, f(x)) trong hÖ trôc Oxy. Khi cho ®iÓm x ch¹y kh¾p trong miÒn x¸c ®Þnh Dy cña hµm sè tËp tÊt c¶ çc ®iÓm M(x, g(x)) sÏ t¹o thµnh 1 ®−êng cong trong mÆt ph¼ng, ta gäi ®ã lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x). Khi hµm sè y = f(x) ®−îc cho b»ng ®å thÞ, muèn x¸c ®Þnh çc gi¸ trÞ cña hµm sè khi biÕt gi¸ trÞ cña ®èi sè x ta tiÕn hµnh nh− sau: Tõ ®iÓm trªn trôc Ox cã hoµnh ®é x ta kÎ ®−êng th¼ng song song víi Ox c¾t Oy t¹i ®iÓm cã tung ®é y. Gi¸ trÞ tung ®é ®ã chÝnh lµ gi¸ trÞ f(x) cña hµm sè. §Ó ®−êng cong lµ ®å thÞ cña hµm sè nµo ®ã cÇn ®¶m b¶o tÝnh chÊt mçi ®−êng th¼ng song song víi trôc tung c¾t ®−êng cong kh«ng qu¸ 1 ®iÓm. y y y y = f(x) f(x) O 2 M(x, f(x)) -1 x 1 1 O x 1 2 O x x -1 Hµm dÊu Hµm phÇn nguyªn 1.2.3. Ph−¬ng ph¸p lËp b¶ng. Gi¸ trÞ cña ®èi sè x vµ gi¸ trÞ t−¬ng øng cña hµm sè y ®−îc liÖt kª thµnh b¶ng Hµm sè S ( n ) = n ( n + 1) , n ∈ N ®−îc biÓu diÔn nh− sau: 2 n 1 2 3 4 ... S(n) 1 3 6 10 ... NhËn xÐt. Tõng ph−¬ng ph¸p cã −u ®iÓm, nh−îc ®iÓm. 1.3. Çc phÐp to¸n trªn çc hµm sè 25 1.3.1. Tæng, hiÖu, tÝch, th−¬ng cña çc hµm sè §Þnh nghÜa. Cho hai hµm sè f(x) vµ g(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn Df vµ Dg t−¬ng øng. Ta nãi r»ng hµm sè h(x) x¸c ®Þnh trªn Dh lµ tæng cña g vµ f nÕu tho¶ m·n: i) Dh = Df ∩ Dg ii) h(x) = g(x) + f(x), ∀x ∈ Dh. T−¬ng tù ta ®Þnh nghÜa cho hiÖu, tÝch, th−¬ng, cña hai hµm sè (th−¬ng ta lo¹i v× gi¸ trÞ x lµm cho g(x) = 0). 1.3.2. Hµm hîp §Þnh nghÜa. Gi¶ sö hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trong miÒn Df, g(x) x¸c ®Þnh trong miÒn Dg sao cho f(x) ∈ Dg, ∀x ∈ Df. Ta sÏ gäi hµm x¸c ®Þnh bëi quy t¾c h(x) = g(f(x)), ∀x ∈ Df lµ hµm hîp cña f vµ g. KÝ hiÖu h = g°f hay h(x) = g(f(x)) trong ®ã f gäi lµ hµm trong, g gäi lµ hµm ngoµi. VÝ dô. g ( y ) = 1 ; Dy = ( 0, +∞ ) , f ( x ) = 3 x + 1, D f = R. y Hµm hîp h ( x ) = 1 1 x¸c ®Þnh víi x > − . 3 3x + 1 1.3.3. Hµm ng−îc §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X, Y = f(X) tho¶ m·n tÝnh chÊt víi mçi y ∈ Y tån t¹i duy nhÊt gi¸ trÞ x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta nãi r»ng hµm x = ϕ(y) lµ hµm ng−îc cña hµm f nÕu i) MX§ cña hµm sè ϕ lµ Y. ii) ϕ(y) = x nÕu f(x) = y, ∀y ∈ Y. KÝ hiÖu f -1. ( ) Chó ý. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã f f −1 ( y ) = y, f −1 ( f ( x ) ) = x , ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y . VÝ dô. Hµm sè y = 2x + 1 cã hµm sè ng−îc lµ x = 26 y −1 2 y = ax cã hµm sè ng−îc lµ x = log a y y = sinx kh«ng cã hµm sè ng−îc trªn c¶ trôc sè. 1.3.4. Quan hÖ gi÷a çc hµm sè §Þnh nghÜa 1. Ta nãi r»ng hai hµm sè f vµ g b»ng nhau nÕu: i) Df = Dg ii) f(x) = g(x), ∀x ∈ Df. §Þnh nghÜa 2. Ta nãi r»ng hµm sè f lín h¬n hµm sè g trªn X nÕu chóng ®Òu x¸c ®Þnh trªn X vµ f(x) > g(x), ∀x ∈ X. KÝ hiÖu: f > g. 1.4. Mét sè hµm sè ®Æc biÖt 1.4.1. Hµm bÞ chÆn §Þnh nghÜa 1. Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) bÞ chÆn trªn (hoÆc bÞ chÆn d−íi) trªn miÒn X nÕu tån t¹i h»ng sè C (hoÆc c) sao cho f(x) ≤ C (hoÆc g(x) ≥ c), ∀x ∈ X. Hµm sè ®ång thêi bÞ chÆn trªn vµ bÞ chÆn d−íi ®−îc gäi lµ hµm bÞ chÆn. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra mÖnh ®Ò: “§Ó y = f(x) bÞ chÆn trªn X, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ ∃ K > 0 sao cho f ( x ) ≤ K , ∀x ∈ X ”. §Þnh nghÜa 2. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn X, ta sÏ gäi gi¸ trÞ supf(X) (hoÆc inff(X)) lµ cËn trªn ®óng (hoÆc cËn d−íi ®óng) cña hµm sè trªn X. KÝ hiÖu: sup f ( x ) ( inf f ( x ) ). x∈X x∈X VÝ dô. Hµm §irichlª bÞ chÆn sup f ( x ) = 1, inf f ( x ) = 0 . x∈R x∈R Hµm sè y = x2 bÞ chÆn d−íi bëi 0, kh«ng bÞ chÆn trªn y=− 1 bÞ chÆn trªn bëi 0, kh«ng bÞ chÆn d−íi. x2 1.4.2. Hµm ®¬n ®iÖu §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X, ta nãi r»ng: + Hµm sè ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn X nÕu víi x1, x2 ∈ X, ta lu«n cã x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) (hoÆc f(x1) ≥ f(x2)). 27 + Hµm sè t¨ng nghiªm ngÆt (hoÆc gi¶m nghiªm ngÆt) trªn miÒn X nÕu ∀x1, x2∈ X, ta lu«n cã x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) (hoÆc f(x1) > f(x2)). Chó ý. Hµm sè t¨ng nghiªm ngÆt (hoÆc gi¶m nghiªm ngÆt) ta gäi lµ hµm t¨ng hay ®ång biÕn (hoÆc hµm gi¶m hay nghÞch biÕn), gäi chung lµ hµm sè ®¬n ®iÖu. VÝ dô. y = 2x + 1, y = x3 lµ hµm sè t¨ng nghiªm ngÆt trªn R. y = x2, y = x gi¶m nghiªm ngÆt trªn (-∞, 0) y = sinx kh«ng ®¬n ®iÖu trªn R. 1.4.3. Hµm ch½n, hµm lÎ §Þnh nghÜa 1. TËp X ®−îc gäi lµ tËp ®èi xøng nÕu ∀x∈ X ⇒ - x∈ X. §Þnh nghÜa 2. Hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp x¸c ®Þnh X gäi lµ hµm ch½n (hoÆc hµm lÎ) nÕu f(- x) = f(x) (hoÆc f(- x) = - f(x)), ∀x∈ X. VÝ dô. y = x2 lµ hµm sè ch½n trªn R, kh«ng ch½n, kh«ng lÎ trªn (0, +∞). y = x3 lµ hµm sè lÎ trªn R. Chó ý. §å thÞ cña hµm sè ch½n gåm hai nh¸nh ®èi xøng qua trôc Oy. §å thÞ hµm sè lÎ ®èi xøng qua gèc to¹ ®é. 1.4.4. Hµm tuÇn hoµn §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X, ta nãi r»ng hµm sè tuÇn hoµn trªn miÒn X nÕu ∃T > 0, ∀x ∈ X, x + T ∈ X: f(x) = f(x + T). Sè T d−¬ng ®−îc nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn gäi lµ chu kú cña hµm sè. KÝ hiÖu: Tf. VÝ dô. Hµm sè y = ⏐sinx⏐ víi chu kú Tf = π. §Þnh lÝ 1.13. Gi¶ sö hµm sè f t¨ng nghiªm ngÆt (hoÆc gi¶m nghiªm ngÆt) trªn X, f(X) = Y. Khi ®ã: i) f cã hµm sè ng−îc f-1 x¸c ®Þnh trªn Y. ii) Hµm sè ng−îc f-1 còng t¨ng nghiªm ngÆt (hoÆc gi¶m nghiªm ngÆt) trªn Y. 1.5. Çc hµm sè s¬ cÊp 28 1.5.1. Çc hµm sè s¬ cÊp ®¬n gi¶n 1) Hµm sè luü thõa y = xα, α ∈ . TX§ phô thuéc vµo α. +α∈ , Dy = + α∈ Z -, Dy = +α= . \ {0} 1 , Dy = [0, +∞) 2 1 + α = − , Dy = (0, +∞) ,... 2 §å thÞ cña hµm sè lu«n lu«n ®i y qua A(1,1). 2) Hµm sè mò y = a x ( a > 0, a ≠ 1) a>1 Dy = Hµm t¨ng a > 1, gi¶m 0 < a < 1. §å thÞ hµm sè lu«n lu«n ®i qua A(0, 1). A 0 0 nhá tuú ý lu«n t×m ®−îc Ýt nhÊt mét ®iÓm cña tËp X kh¸c a. VÝ dô. X = [a, b] th× mäi ®iÓm ∈ [a, b] lµ ®iÓm tô cña nã. X = [0, 1] ∪ {2} th× mäi ®iÓm thuéc [0, 1] lµ ®iÓm tô cña nã, 2 kh«ng lµ ®iÓm tô. §Þnh nghÜa 2. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trong miÒn X vµ a lµ mét ®iÓm tô cña nã. Ta nãi r»ng hµm sè f(x) cã giíi h¹n h÷u h¹n b»ng A khi x dÇn ®Õn a nÕu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho 0 < x − a < δ th× f ( x ) − A < ε . KÝ hiÖu. lim f ( x ) = A hay f(x) → A khi x → a. x →a VÝ dô. lim ( 3 x + 1) = 4 . ThËt vËy ∀ε > 0, chän δ = x →1 ε 3 th× ( 3 x + 1) − 4 < ε , ∀x mµ 0 < x − 1 < δ . 2.1.2. Giíi h¹n v« cïng ë mét ®iÓm h÷u h¹n Quy −íc: Khi xÐt giíi h¹n cña hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn X t¹i ®iÓm a, ta lu«n gi¶ thiÕt a lµ ®iÓm tô cña X. §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n b»ng +∞ (hoÆc - ∞) khi x → a, nÕu víi mçi k > 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho x − a < δ th× f(x) > k (hoÆc f(x) < - k). 31 KÝ hiÖu. lim f ( x ) = +∞ (hoÆc lim f ( x ) = −∞ ). x →a VÝ dô. lim x →0 x →a 1 1 = +∞ . ThËt vËy víi K > 0 cho tr−íc ta chän δ = th× 2 x K 1 1 > 2 = K , ∀x sao cho x < δ . 2 δ x 2.1.3. Giíi h¹n h÷u h¹n ë v« cïng §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n h÷u h¹n b»ng A khi x→+∞ (hoÆc x→ -∞) nÕu ∀ε > 0 nhá tuú ý ∃x0 > 0 sao cho f ( x ) − A < ε , ∀x∈ X, x > x0 (hoÆc x < -x0). KÝ hiÖu: lim f ( x ) = A hoÆc lim f ( x ) = A . x →+∞ x →−∞ 1 1 1 1 = lim = 0 , ∀ε>0 muèn cã −0 = < ε th× 2 2 2 x →+∞ 1 + x x →−∞ 1 + x 1+ x 1 + x2 VÝ dô. lim ph¶i cã x2 + 1 > x2 > 1 ε hay x > 1 ε = x0 . 2.1.4. Giíi h¹n v« cïng ë v« cïng §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n b»ng +∞ (hoÆc -∞) khi x→ +∞ nÕu víi mçi K > 0, ∃x0 sao cho f(x) > K (hoÆc f(x) < - K) víi ∀x > x0. KÝ hiÖu. lim f ( x ) = +∞ (hoÆc lim f ( x ) = −∞ ). x →+∞ x →+∞ T−¬ng tù ta ®Þnh nghÜa lim f ( x ) = ±∞ . x →−∞ ⎧ +∞ VÝ dô. lim log a x = ⎨ x →+∞ ⎩−∞ khi a > 1 . khi 0 < a < 1 2.1.5. Giíi h¹n mét phÝa §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n ph¶i (hoÆc giíi h¹n tr¸i) b»ng A khi x dÇn tíi a nÕu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho a < x < a + δ (hoÆc a - δ < x < a) th× f ( x ) − A < ε . KÝ hiÖu. f ( a + 0 ) = lim f ( x ) = A (hay f ( a − 0 ) = lim f ( x ) = A ). x →a + 0 x→a −0 32 Tr−êng hîp a = 0, ta viÕt x → + 0 hoÆc x → - 0. T−¬ng tù ta ®Þnh nghÜa giíi h¹n 1 phÝa b»ng ±∞ . §Þnh lÝ 1.14. §Ó hµm sè f(x) cã giíi h¹n b»ng A khi x → a, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ tån t¹i giíi h¹n tr¸i vµ giíi h¹n ph¶i cña hµm sè t¹i ®iÓm Êy vµ ®Òu b»ng A. Chøng minh. Ta chøng minh cho tr−êng hîp giíi h¹n h÷u h¹n t¹i mét ®iÓm h÷u h¹n. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho x →a f ( x) − A < ε (1) víi 0 < x − a < δ (1) ⇒ (1) tho¶ m·n víi a - δ , x < a vµ a < x < a + δ tøc lµ lim f ( x ) = lim f ( x ) = A . x →a + 0 x→a −0 §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö lim f ( x ) = lim f ( x ) = A . ThÕ th× x →a + 0 x→a −0 ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > 0 sao cho a - δ1 < x < a ⇒ f ( x ) − A < ε a < x < a + δ2 ⇒ f ( x ) − A < ε . Chän δ = min(δ1, δ2) ⇒ f ( x ) − A < ε víi 0 < x − a < δ tøc lµ lim f ( x ) = A . x →a VÝ dô. lim signx = 1, lim signx = −1 , x →+0 x →−0 1 = +∞ , x →+0 x 1 = −∞ , x →−0 x lim lim x →1+ 0 lim x −1 = 0 , kh«ng tån t¹i lim x →1−0 x −1. 2.2. TÝnh chÊt vµ çc phÐp to¸n trªn giíi h¹n cña hµm sè §Þnh lÝ 1.15. §Ó lim f ( x ) = A ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ mäi d·y {xn} çc phÇn tö x →a n»m trong miÒn X sao cho lim xn = a th× lim f ( xn ) = A . n →∞ n →∞ 33 Chøng minh. Ta chøng minh cho tr−êng hîp giíi h¹n h÷u h¹n t¹i mét ®iÓm h÷u h¹n. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö lim f ( x ) = A vµ {xn} lµ d·y çc phÇn tö cña X tiÕn x →a dÇn tíi a ⇔ ∀ε > 0, tõ lim f ( x ) = A ⇒ ∃δ > 0, sao cho x − a < δ ⇒ x →a f ( x) − A < ε (1) . V× lim xn = a nªn δ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho xn − a < δ , ∀n > n0 n→∞ (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã f ( xn ) − A < ε , ∀n > n0 tøc lµ lim f ( xn ) = A . n →∞ §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö hµm sè f(x) kh«ng cã giíi h¹n b»ng A khi x → a. ThÕ th× ∃ε0 > 0, víi mçi δ = 1 1 tån t¹i xn ∈ X: xn − a < mµ f ( xn ) − A ≥ ε 0 . n n §iÒu ®ã chøng tá d·y xn → a nh−ng f(xn) → A m©u thuÉn gi¶ thiÕt. Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý. 1) §Þnh lý 1.15 ®−îc ph¸t biÓu t−¬ng tù cho giíi h¹n mét phÝa. 2) Sö dông ®Þnh lý 1.15 ta cã thÓ chuyÓn viÖc xÐt giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm sang viÖc xÐt giíi h¹n cña d·y hµm sè. Khi chøng minh ®Þnh lý vÒ giíi h¹n cña hµm sè ta cã thÓ suy ra tõ ®Þnh lý 1.15 vµ çc ®Þnh lý vÒ giíi h¹n cña d·y sè. §Þnh lý 1.16. Giíi h¹n (hoÆc giíi h¹n tr¸i, hoÆc giíi h¹n ph¶i) cña hµm sè t¹i mét ®iÓm nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt. §Þnh lý 1.17. NÕu hµm sè cã giíi h¹n h÷u h¹n t¹i mét ®iÓm th× tån t¹i mét l©n cËn cña ®iÓm Êy ®Ó hµm sè bÞ chÆn trong l©n cËn ®ã ⇔ hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn X vµ ®iÓm a lµ ®iÓm giíi h¹n cña X. NÕu lim f ( x ) = l vµ A < l 0 th× l ≥ 0 , lim f ( x ) = l vµ f(x) < 0 th× l ≤ 0 . x →a x →a §Þnh lý 1.19. (So s¸nh trong giíi h¹n cña hµm sè) i) Gi¶ sö lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B vµ A > B. Khi ®ã ∃δ> 0 sao cho f(x) x →a x →a > g(x), ∀x ∈(a - δ, a) ∪ (a, a + δ). §Æc biÖt nÕu lim f ( x ) > C th× ∃δ > 0 ®Ó f(x) > C, ∀x∈(a - δ, a) ∪ (a, a + δ). x →a ii) Gi¶ sö f ( x ) ≥ g ( x ) trong l©n cËn më cña ®iÓm a vµ ∃ lim f ( x ) = A , x →a lim g ( x ) = B . Khi ®ã A ≥ B. x →a iii) Gi¶ sö f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ h ( x ) trong l©n cËn më cña ®iÓm a lµ tån t¹i lim f ( x ) = A = lim h ( x ) . Khi ®ã lim g ( x ) = A . x →a x →a x →a §Þnh lý 1.20 (çc phÐp to¸n trªn giíi h¹n cña hµm sè) Gi¶ sö lim f ( x ) = A vµ lim g ( x ) = B víi A, B ∈ R. Khi ®ã x →a x →a i) ∃ lim f ( x ) = A . x →a ii) ∃ lim ( f ( x ) ± g ( x) ) = A ± B . x →a iii) ∃ lim ( f ( x ) .g ( x) ) = A.B . x →a iv) NÕu B ≠ 0 th× ∃ lim x →a f ( x) A = . g ( x) B Chó ý. §Þnh lý 1.20 vÉn cßn ®óng khi a = ±∞ , cho giíi h¹n mét phÝa. 2.3. §iÒu kiÖn tån t¹i giíi h¹n cña hµm sè 2.3.1. Nguyªn lý B«nxan« - C«si ®èi víi giíi h¹n cña hµm sè §Þnh lý 1.21. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn X ⊂ . §Ó lim f ( x ) = A ∈ x →a ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x’, x”∈ X sao cho: x '− a < δ , x "− a < δ th× f ( x ') − f ( x ") < ε . 35 Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö lim f ( x ) = A , ∀ε > 0, ∃δ > 0, x →a ∀x’∈ X: x '− a < δ ⇒ f ( x ') − A < ε 2 ∀x”∈ X: x "− a < δ ⇒ f ( x ") − A < ⇒ ε 2 f ( x ' ) − f ( x " ) ≤ f ( x ' ) − A + f ( x ") − A < ε 2 + ε 2 =ε . §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö {xn} lµ d·y tuú ý çc phÇn tö cña X héi tô ®Õn a. Theo gi¶ thiÕt cña ®Þnh lÝ vµ nguyªn lý B«nxan« - C«si vÒ sù héi tô cña d·y sè ta suy ra {f(xn)} lµ d·y héi tô. NÕu giíi h¹n cña d·y {f(xn)} kh«ng phô thuéc vµo çch chän d·y {xn} (miÔn sao nã héi tô ®Õn a) th× ®Þnh lý chøng minh xong. Gi¶ sö ng−îc l¹i, tån t¹i d·y {xn} ⊂ X sao cho xn → a, yn → a khi n→∞ vµ lim f ( xn ) = A ≠ B = lim f ( yn ) . Chän ε = n →∞ n→∞ 1 A − B > 0, ∃δ > 0 sao cho x’, x”∈ 3 X: x '− a < δ vµ x "− a < δ ⇒ f ( x ') − f ( x ") < ε 3 . MÆt kh¸c: lim xn = lim yn = a nªn víi δ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n > n0 ta cã n →∞ n→∞ xn − a < δ vµ yn − a < δ vµ f ( xn ) − A < ⇒ ε 3 , f ( yn ) − A < ε 3 . A − B = f ( xn ) − A − ( f ( xn ) − f ( yn ) ) − ( f ( yn ) − B ) ≤ f ( xn ) − A + f ( xn ) − f ( yn ) + f ( yn ) − B < §iÒu nµy v« lý. §Þnh lý ®−îc chøng minh. 2.3.2. Giíi h¹n v« ®Þnh 36 ε 3 + ε 3 + ε 3 =ε sin x = 1. x →0 x a) lim x 1 1⎞ ⎛ b) lim ⎜1 + ⎟ = lim (1 + x ) x = e . x →∞ x →0 x⎠ ⎝ log a ( x + 1) ln ( x + 1) = log a e,lim = 1. x →0 x →0 x x c) lim ax − 1 ex − 1 lim = ln a,lim = 1. x →0 x →0 x x (1 + x ) d) lim α x →0 x −1 =α . 2.4. §¹i l−îng VCB vµ ®¹i l−îng VCL 2.4.1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹i l−îng VCB vµ VCL §Þnh nghÜa 1. Cho hµm sè y = α(x) x¸c ®Þnh trªn X vµ a lµ ®iÓm giíi h¹n cña X. Ta nãi r»ng α(x) lµ ®¹i l−îng VCB khi x → a nÕu lim α ( x ) = 0 . x →a α(x) lµ ®¹i l−îng VCB khi x → ±∞ nÕu lim α ( x ) = 0 . x →±∞ §Þnh nghÜa 2. Ta nãi r»ng α(x) lµ ®¹i l−îng VCL khi x → a nÕu lim α ( x ) = +∞ , α(x) lµ ®¹i l−îng VCL khi x → ±∞ nÕu lim α ( x ) = +∞ . x →a x →a α(x) = sinx lµ VCB khi x → 0. VÝ dô. α(x) = 1 lµ VCL khi x → 0. x α(x) = xsinx kh«ng ph¶i lµ VCB, kh«ng lµ VCL khi x → ±∞ . 2.4.2. TÝnh chÊt vµ çc phÐp to¸n §Þnh lý 1.22. i) NÕu α(x) vµ β(x) lµ hai VCB khi x → a th× f(x) = α(x) + β(x) lµ VCB khi x→ a. 37 ii) NÕu α(x) lµ VCB vµ β(x) lµ ®¹i l−îng bÞ chÆn khi x→ a th× α(x).β(x) = γ(x) lµ VCB khi x → a. iii) §Ó lim f ( x ) = A ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f(x) = A + α(x), víi α(x) lµ x →a VCB khi x → a. iv) NÕu α(x) lµ VCB, β(x) lµ ®¹i l−îng bÞ chÆn khi x → a th× α(x) + β(x) = γ(x) lµ VCL khi x → a. v) NÕu α(x) vµ β(x) lµ hai VCL khi x → a th× α(x).β(x) = γ(x) lµ VCL khi x → a. vi) NÕu α(x) lµ VCL khi x → a th× β ( x ) = 1 lµ VCB khi x → a. α ( x) NÕu α(x) lµ VCB khi x→ a (α(x) ≠ 0) th× β ( x ) = 1 lµ VCL khi x→ a α ( x) 2.4.3. Ph©n lo¹i çc VCB α ( x) =K. x →a β ( x ) §Þnh nghÜa. Cho α(x) vµ β(x) lµ hai VCB khi x → a. Gi¶ sö ∃ lim Khi ®ã: i) NÕu K = 0 th× ta nãi r»ng α(x) lµ VCB bËc cao h¬n β(x) (hay β(x) lµ VCB bËc thÊp h¬n α(x)) khi x → a. KÝ hiÖu α(x) = o(β(x)) khi x → a. ii) NÕu K ≠ 0, 1, ±∞ th× ta nãi r»ng α(x) vµ β(x) lµ 2 VCB cïng bËc khi x → a. KÝ hiÖu α(x) = O(β(x)) khi x → a. iii) NÕu K = 1 th× ta nãi r»ng α(x) vµ β(x) lµ 2 VCB t−¬ng ®−¬ng khi x → a. KÝ hiÖu: α(x) ∼ β(x) khi x → a. β ( x) = 0 thµnh thö β(x) lµ VCB bËc cao h¬n α(x) khi x →a α ( x ) Chó ý. K = ±∞ th× lim x→ a. §Þnh lý 1.23. Cho α(x), β(x) vµ γ(x) lµ çc VCB khi x → a. Khi ®ã: 38 i) α(x) ∼ α(x) khi x → a. ii) NÕu α(x) ∼ β(x) vµ β(x) ∼ γ(x) khi x → a th× α(x) ∼ γ(x) khi x → a. iii) α(x) ∼ β(x) khi x → a khi vµ chØ khi α(x) - β(x) = o(β(x)). sinx ∼ x khi x → 0. VÝ dô. tgx ∼ x khi x → 0. ex - 1 ∼ x khi x → 0 hay ex ∼ x + 1 khi x → 0. (1 + x)α - 1 ∼ αx khi x → 0. NhËn xÐt: NÕu α(x) ∼ α*(x) vµ β(x) ∼ β*(x) khi x → a th×: α ( x) α * ( x) . lim = lim * x →a β ( x ) x →a β ( x ) VÝ dô. I = lim x →0 Ta cã: x −1 −1 . sin 3x x −1 −1 ∼ 1 x vµ sin3x ∼ 3x khi x → 0. 2 1 x 1 2 Tõ ®ã I = lim = . x →0 3 x 6 §Þnh nghÜa. Cho α(x) vµ β(x) lµ 2 VCB khi x → a vµ tån t¹i giíi h¹n β ( x) = C ≠ 0 th× ta nãi r»ng β(x) lµ VCB bËc k so víi α(x) vµ C.αk(x) lµ x →a α k ( x ) lim phÇn chÝnh cña VCB β(x). VÝ dô. PhÇn chÝnh cña 1 - cosx khi x → 0 lµ 1 2 x . 2 loga(x2 + 1) khi x → 0 lµ (logae)x2. §3. Hμm sè liªn tôc 1. Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n 39 §Þnh nghÜa 1. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a, b) vµ ®iÓm x0 ∈(a, b). Hµm sè ®ã ®−îc gäi lµ hµm sè liªn tôc t¹i ®iÓm x0 nÕu lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ ( a, b ) : x − x0 < δ ε ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) < ε . ⇔ NÕu ta kÝ hiÖu Δx = x - x0: sè gia cña biÕn sè x, Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0): sè gia cña hµm sè t¹i x0. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè liªn tôc t¹i x0 lµ lim Δy = 0 . Δx →0 §Þnh nghÜa 2. Hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm sè liªn tôc trªn (a, b) nÕu nã liªn tôc t¹i mçi ®iÓm cña kho¶ng ®ã. §Þnh nghÜa 3. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Hµm sè ®ã ®−îc gäi lµ liªn tôc tr¸i t¹i ®iÓm b (hoÆc liªn tôc ph¶i t¹i ®iÓm a) nÕu lim f ( x ) = f ( b − 0 ) = f ( b ) x →b −0 (hoÆc lim f ( x ) = f ( a + 0 ) = f ( a ) ). x →a + 0 Hµm sè liªn tôc tr¸i (hoÆc liªn tôc ph¶i) t¹i mét ®iÓm x0 th× ®−îc gäi lµ hµm sè liªn tôc mét phÝa t¹i ®iÓm ®ã. 1 ⎧ ⎪ x sin VÝ dô 1. XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 0 khi x ≠ 0 khi x = 0 t¹i ®iÓm x0 = 0 Gi¶i. Ta cã f(0) = 0. lim f ( x ) = lim x.sin x →0 ⇒ x →0 1 = 0 ⇒ lim f ( x ) = f ( 0 ) x →0 x hµm sè liªn tôc t¹i ®iÓm x0 = 0. VÝ dô 2. XÐt tÝnh liªn tôc ph¶i vµ tr¸i cña hµm sè: ⎧ x2 f ( x) = ⎨ ⎩3x+1 khi x ≥ 1 khi x < 0 40 t¹i x0 = 1. Gi¶i. Ta cã f(1) = 1. lim f ( x ) = lim x 2 = 1 ⇒ lim f ( x ) = f (1) x →1+ 0 ⇒ x →1+ 0 x →1+ 0 Hµm sè liªn tôc ph¶i t¹i x0 = 1. lim f ( x ) = lim (3 x + 1) = 4 ⇒ lim f ( x ) ≠ f (1) x →1−0 ⇒ x →1−0 x →1+ 0 Hµm sè kh«ng liªn tôc tr¸i t¹i x0 = 1. §Þnh lý 1.24 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè liªn tôc t¹i ®iÓm x0 lµ nã liªn tôc ph¶i vµ liªn tôc tr¸i t¹i ®iÓm ®ã. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö hµm sè f(x) liªn tôc t¹i x0 ⇒ lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) . Suy ra hµm sè liªn tôc ph¶i t¹i x0 vµ liªn x → x0 + 0 x → x0 −0 tôc tr¸i t¹i x0. §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö hµm sè liªn tôc ph¶i vµ liªn tôc tr¸i t¹i ®iÓm x0. Khi ®ã ta cã: lim f ( x ) = f ( x0 + 0 ) = f ( x0 ) ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ lim f ( x ) = f ( x0 ) lim f ( x ) = f ( x0 − 0 ) = f ( x0 ) ⎪ x→ x0 x → x0 − 0 ⎭ x → x0 + 0 ⇒ Hµm sè liªn tôc t¹i x0. §Þnh nghÜa 4. Hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a, b). Hµm sè nµy ®−îc gäi lµ hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x0 ∈ [a, b] nÕu nã kh«ng liªn tôc (hoÆc kh«ng liªn tôc mét phÝa) t¹i ®iÓm ®ã. Ph©n lo¹i ®iÓm gi¸n ®o¹n: a) Hµm sè f(x) ®−îc gäi lµ gi¸n ®o¹n lo¹i 1 t¹i x0 nÕu f(x) gi¸n ®o¹n t¹i x0 nh−ng ∃ f(x0 + 0), f(x0 - 0). §Æc biÖt f(x0 + 0) = f(x0 - 0) ≠ f(x0) th× x0 gäi lµ ®iÓm giíi h¹n bá ®−îc. b) Hµm sè y = f(x) gi¸n ®o¹n t¹i x0 nh−ng kh«ng gi¸n ®o¹n lo¹i 1 th× ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) gi¸n ®o¹n lo¹i 2 t¹i x0. 41 f ( x0 + 0 ) − f ( x0 − 0 ) ®−îc gäi lµ b−íc nh¶y. ⎧ sinx khi x ≠ 0 ⎪ VÝ dô. f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 0 khi x = 0 f(0) = 0 vµ lim f ( x ) = lim x →0 x →0 sin x = 1 ⇒ giíi h¹n bá ®−îc t¹i x = 0. x 2. PhÐp to¸n trªn çc hµm sè liªn tôc §Þnh lý 1.25 (çc phÐp to¸n trªn hµm sè liªn tôc). Gi¶ sö çc hµm sè f(x) vµ g(x) liªn tôc t¹i x0, khi ®ã çc hµm sè: i) f ( x ) liªn tôc t¹i x0 ii) f(x) ± g(x) liªn tôc t¹i x0 iii) f(x).g(x) liªn tôc t¹i x0 iv) f ( x) g ( x) liªn tôc t¹i x0 nÕu g(x0) ≠ 0. §Þnh lý 1.26. (liªn tôc cña hµm hîp). Gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i x0 vµ z = g(y) liªn tôc t¹i y0 = f(x0). Khi ®ã hµm hîp z = g(f(x)) liªn tôc t¹i x0. Chó ý. Trong ®Þnh lý 1.25, 1.26 ta thay “liªn tôc” b»ng “liªn tôc tr¸i” hoÆc “liªn tôc ph¶i” ta ®−îc ®Þnh lÝ vÒ sù liªn tôc mét phÝa. §Þnh lý 1.27 (vÒ tÝnh liªn tôc cña hµm sè ®¬n ®iÖu). Gi¶ sö hµm sè f(x) t¨ng nghiªm ngÆt (hoÆc gi¶m nghiªm ngÆt) trªn ®o¹n [a, b] vµ biÕn ®o¹n [a, b] lªn ®o¹n [c, d], tøc lµ f([a, b]) = [c, d]. Khi ®ã hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b]. Chøng minh. Gi¶ sö f(x) t¨ng nghiªm ngÆt trªn [a, b], chän x0 tuú ý thuéc [a, b]. Ta chøng minh hµm sè f(x) liªn tôc ph¶i t¹i x0. ThËt vËy, do f(x) t¨ng nghiªm ngÆt nªn y0 = f(x0) ∈ [c, d]. Víi ∀ε>0, ®Æt y1 = y0 + ε ∈[c, d]. ThÕ th× ∃x1 ∈ [a, b] sao cho y1 = f(x1). §Æt δ = x1 - x0, thÕ th× 0 < x - x0 < δ , ta cã f(x) < f(x1) hay 0 < f(x) - f(x0) < f(x1) - f(x0). 42 f(x0) < f ( x ) − f ( x0 ) < f ( x1 ) − f ( x0 ) < ε , ∀x sao cho 0 < x - x0 < δ. ⇒ §iÒu nµy chøng tá f(x) liªn tôc ph¶i t¹i x0. T−¬ng tù ta chøng minh hµm sè f(x) liªn tôc tr¸i t¹i x0 ∈ (a, δ]. ⇒ Hµm sè liªn tôc t¹i x0, mµ x0 bÊt kú ∈ [a, b] ⇒ nã liªn tôc trªn [a, b]. Tr−êng hîp hµm sè y = f(x) gi¶m nghiªm ngÆt, ®Æt g(x) = -f(x) ⇒ g(x) t¨ng nghiªm ngÆt ¸p dông kÕt qu¶ trªn. §Þnh lý ®−îc chøng minh. HÖ qu¶. Gi¶ sö f(x) t¨ng nghiªm ngÆt (hoÆc gi¶m nghiªm ngÆt) trªn [a, b] vµ biÕn ®o¹n [a, b] lªn ®o¹n [c, d]. Khi ®ã hµm ng−îc f-1(y) liªn tôc trªn [c, d]. Chøng minh. ¸p dông ®Þnh lý 1.3, ®Þnh lý 1.27. 3. TÝnh chÊt cña hµm sè liªn tôc trªn mét ®o¹n §Þnh lý 1.28 (B«nxan« - C«si I). Gi¶ sö hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b], trong ®ã f(a).f(b) < 0. Khi ®ã ∃c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. Chøng minh. Gi¶ sö f(a) < 0, f(b) > 0. Ta chia ®o¹n [a, b] bëi ®iÓm chia a+b . 2 a+b ⎛a+b⎞ lµ ®iÓm ph¶i t×m. NÕu f ⎜ ⎟ = 0 th× c = 2 ⎝ 2 ⎠ a+b ⎛a+b⎞ Ng−îc l¹i f ⎜ ] ⎟ ≠ 0 . Khi ®ã t¹i ®Çu mót 1 trong 2 ®o¹n [a, 2 ⎝ 2 ⎠ hoÆc [ a+b , b], hµm sè f(x) nhËn gi¸ trÞ tr¸i dÊu nhau. 2 Ta kÝ hiÖu ®o¹n ®ã lµ [a1, b1]. ThÕ th× f(a1) < 0, f(b1) > 0. L¹i chia ®«i [a1, b1] vµ lý luËn nh− trªn ta ®−îc [a2, b2]: f(a1) < 0, f(b2) > 0. TiÕp tôc çch chia nh− trªn ®Õn b−íc chia thø n ta ®−îc [an, bn], trong ®ã f(an) < 0, f(bn) > 0 (1) vµ [an, bn] ⊂ [an-1, bn-1] , lim ( bn − an ) = n →∞ b−a = 0 . Theo 2n bæ ®Ò C¨ngto vÒ d·y çc ®o¹n lång th¾t tån t¹i duy nhÊt ®iÓm c ∈ [an, bn], ∀n, 43 tøc lµ c ∈[a, b] sao cho lim an = lim bn = c . MÆt kh¸c v× f(x) liªn tôc, cho nªn n →∞ n→∞ lim f (an ) = f (c) vµ lim f (bn ) = f (c) . n →∞ n →∞ Theo (1) vµ ¸p dông ®Þnh lý vÒ so s¸nh trong giíi h¹n ta cã f(an) < 0 ⇒ f(c) ≤ c, f(bn) > 0 ⇒ g(c) ≥ 0. ⇒ g(c) = 0, v× f(a).f(b) < 0 nªn c ≠ a, b, tøc lµ ∃c ∈(a, b): f(c) = 0. ý nghÜa h×nh häc: NÕu f lµ ®−êng cong liªn tôc, trong ®ã 2 ®Çu mót cña nã n»m vÒ 2 phÝa cña trôc hoµnh th× ®−êng cong ®ã c¾t trôc hoµnh t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm. §Þnh lý 1.29 (B«nxan« - C«si II) Gi¶ sö hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b], f(a) =A, f(b) = B. Khi ®ã f(x) nhËn mäi gi¸ trÞ trung gian gi÷a A vµ B. Chøng minh. Gi¶ sö A < B. Ta ph¶i chøng minh víi sè C bÊt k× mµ A < C < B th× ∃ c ∈ (a, b) sao cho f(c) = C. §Æt F(x) = f(x) - C, hµm sè F(x) liªn tôc trªn [a, b] vµ F(a).F(b) = [f(a) - C].[f(b) - C] = (A - C)(B - C) < 0. Suy ra ∃c ∈ (a, b) sao cho F(c) = 0, tøc lµ f(c) - C = 0 hay f(c) = C (®pcm). HÖ qu¶. NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b] th× nã nhËn mäi gi¸ trÞ trung gian gi÷a gi¸ trÞ nhá nhÊt m vµ gi¸ trÞ lín nhÊt M cña nã trªn ®o¹n ®ã. VÝ dô. Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh ex + sinx = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ⎛ π π⎞ ⎜− , ⎟. ⎝ 2 2⎠ §Þnh lý 1.30 (W©y¬strat I) NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn mét ®o¹n th× f(x) bÞ chÆn trªn ®o¹n ®ã. Chøng minh. Gi¶ sö hµm sè f(x) kh«ng bÞ chÆn trªn ®o¹n [a, b], thÕ th× ∀n, ∃xn∈[a, b] sao cho f(xn) ≥ n. (1) 44 Ta cã {xn} bÞ chÆn, theo ®Þnh lý B«nxan« - C«si, ∃ d·y con { xnk } héi tô ( ) ®Õn c ∈[a, b]. V× f(x) liªn tôc cho nªn lim f xnk = f ( c ) (2). MÆt kh¸c tõ (1) ta nk →∞ ( ) cã lim f xnk = +∞ (3). Tõ (2) vµ (3) ⇒ f(c) = + ∞, ®iÒu nµy v« lý. VËy f(x) bÞ nk →∞ chÆn trªn. T−¬ng tù ta chøng minh f(x) bÞ chÆn d−íi trªn [a, b]. §Þnh lý 1.31 (W©y¬strat II). NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a, b] th× nã ®¹t ®−îc gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn ®o¹n ®ã (tøc lµ ∃x1, x2 ∈[a, b]: f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x∈[a, b]). Chøng minh. ¸p dông ®Þnh lý 1.29 suy ra f(x) bÞ chÆn trªn [a, b] tøc lµ vµ inf f ( x ) = m ∈ sup f ( x ) = M ∈ . NÕu ∃ x1, x2∈ [a, b] sao cho a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b f(x1) = m, f(x2) = M th× ®Þnh lý chøng minh xong. Gi¶ sö f(x) < M víi ∀x ∈ [a, b], ta ®Æt: F ( x) = 1 , ∀x ∈ [ a, b ] ⇒ F(x) liªn tôc trªn [a, b]. M − f ( x) Theo ®Þnh lý 1.29 ta cã F(x) bÞ chÆn trªn [a, b], tøc lµ ∃M*∈ sao cho F(x) ≤ M*, ∀x∈[a, b] ⇒ f(x) ≤ M - ⇒ , M* > 0 1 < M , ®iÒu nµy v« lý. M* ∃x2 ∈[a, b] sao cho f(x2) = max f ( x ) . x∈[ a ,b ] T−¬ng tù ta chøng minh kh«ng thÓ f(x) > m, ∀x∈[a, b] ⇒ ∃x1∈[a, b] sao cho f(x1) = min f ( x ) . x∈[ a ,b ] Chó ý. Çc ®Þnh lý trªn kh«ng cßn ®óng n÷a nÕu thay gi¶ thiÕt “liªn tôc trªn mét ®o¹n” thµnh gi¶ thiÕt kh¸c. VÝ dô: f(x) = 1 liªn tôc trªn (0, 1) nh−ng kh«ng bÞ chÆn trªn (0, 1). x 45 4. Liªn tôc ®Òu 4.1. §Þnh nghÜa. Hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ liªn tôc ®Òu trªn [a, b] (hay trong kho¶ng (a, b)) nÕu víi sè ε > 0 cho tr−íc, ∃δ > 0 sao cho víi 2 ®iÓm x’, x” ∈ [a, b] (hay (a, b)) mµ x '− x " < δ th× f ( x ') − f ( x ") < ε . NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra f(x) liªn tôc ®Òu trªn X ⇒ f(x) liªn tôc trªn X. f(x) liªn tôc trªn X ⇒ f(x) liªn tôc ®Òu trªn X. VÝdô. Hµm sè y = sinx liªn tôc ®Òu trªn R. ThËt vËy, ∀ε > 0, ∃δ = ε th× ∀x’, x” ∈ mµ x '− x " < δ th× f ( x ') − f ( x ") = 2 cos x '+ x " x '− x " x '− x " .sin ≤2 = x '− x " < δ = ε . 2 2 2 VÝ dô. Hµm sè y = x2 kh«ng liªn tôc ®Òu trªn (0, + ∞). ThËt vËy, chän ε = 1, ∀δ 1 1 1 1 = , ∃xn’ = n, xn” = n + sao cho xn '− xn " = < = δ mµ: 2n n n 2n f ( xn '− f ( xn ") ) 2 1 ⎞ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ = n − ⎜n + ⎟ = ⎜ 2n + ⎟⎜ ⎟ = 1 + 2 > 1 = ε 2n ⎠ 2n ⎠⎝ 2n ⎠ 4n ⎝ ⎝ 2 ⇒ Hµm sè kh«ng liªn tôc ®Òu trªn (0, + ∞). 4.2. §Þnh lý 1.32 (§Þnh lý Canto): NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] th× nã liªn tôc ®Òu trªn ®o¹n ®ã. Chøng minh: NÕu hµm sè f(x) kh«ng liªn tôc ®Òu trªn [a, b], thÕ th× ∃ε > 0 sao cho víi mçi sè δ > 0 bÊt kú tån t¹i 2 ®iÓm x, x’ ∈ [a, b] mµ x − x ' < δ ⇒ f ( x) − f ( x ') ≥ ε . Ta lÊy d·y sè d−¬ng {δn} sao cho δn → 0 khi n → ∞. Víi mçi δn nµy (n = 1, 2, ...) sÏ cho 2 ®iÓm xn, xn’ ∈ [a, b] mµ xn − xn ' < δ ⇒ f ( xn ) − f ( xn ') ≥ ε (1). Theo ®Þnh lý B«xan« - C«si tõ d·y {xn} bÞ chÆn cã thÓ rót ra ®−îc mét d·y con héi tô xnk → x0 ∈ [ a, b ] khi nk → ∞. 46 { } MÆt kh¸c, v× xnk − xnk ' < δ nk khi δ nk → 0 khi nk → ∞ nªn d·y xnk ' còng cã giíi h¹n lµ x0. ( ) Do tÝnh chÊt liªn tôc cña hµm sè t¹i x0 ta ph¶i cã f xnk → f ( x0 ) khi nk ( ) ( ) ( ) → ∞ vµ f xnk ' → f ( x0 ) khi nk→ ∞ ⇒ f xnk − f xnk ' → 0 khi nk→ +∞. §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1) ⇒ hµm sè liªn tôc ®Òu trªn [a, b]. ( ) ( ) (⇒ ε ≤ f xnk − f xnk ' → 0 khi nk → + ∞ ⇒ ε ≤ 0, v« lý). 5. TÝnh liªn tôc cña çc hµm sè s¬ cÊp 5.1. TÝnh liªn tôc cña çc hµm sè s¬ cÊp ®¬n gi¶n §Þnh lý 1.33. Mçi hµm sè s¬ cÊp ®¬n gi¶n liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña nã. + Hµm sè mò y = ax liªn tôc ∀x∈ + Hµm sè y = logax liªn tôc ∀x > 0 + Hµm sè y = xα liªn tôctrªn TX§ + Hµm sè y = sinx, y = cosx liªn tôc trªn ≠ π 2 y = tgx liªn tôc víi ∀x + kπ , y = cotgx liªn tôc víi ∀x ≠ kπ . + y = arcsinx, y = arccosx liªn tôc ∀x∈[-1, 1] y = arctgx, y = arccotgx liªn tôc ∀x ∈ R. + Hµm sè Hypebolic liªn tôc ∀x ∈ trõ hµm cthx liªn tôc víi ∀x ≠ 0. 5.2. TÝnh liªn tôc cña hµm sè s¬ cÊp. Çc hµm sè s¬ cÊp liªn tôc trªn TX§ cña chóng. 5.3. ¸p dông tÝnh mét sè giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh log a ( x + 1) = log a e x →0 x 1) lim 47 Theo tÝnh chÊt cña hµm sè l«garÝt ta cã: 1 log a ( x + 1) = log a ( x + 1) x . x 1 Ta cã lim ( x + 1) x = e , hµm sè y = logau liªn tôc t¹i u = e. x →0 ¸p dông ®Þnh lý vÒ sù liªn tôc cña hµm hîp ta cã 1 log a ( x + 1) = lim log a ( x + 1) x = log a e . x →0 x →0 x lim ax − 1 2) lim = ln a . x →0 x ax −1 y = lim = x →0 y →0 log (1 + y ) x a Ta cã: lim (1 + x ) 3) lim α x →0 x −1 log a (1 + y ) y →0 y = lim 1 = ln a . log a e =α . (1 + x ) Ta cã lim α x →0 1 x −1 = lim x →0 α ln (1+ x ) e x 48 −1 − 1 α ln (1 + x ) =α . . x →0 α ln (1 + x ) x = lim α ln (1+ x ) e Ch−¬ng 2. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hμm sè mét biÕn sè §1. §¹o hμm 1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹o hµm, ®¹o hµm mét phÝa 1.1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹o hµm §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trong (a, b) vµ x0 ∈ (a, b). Cho x0 mét sè gia Δx (Δx = x - x0) vµ x0 + ⏐Δx⏐ ∈ (a, b). Gäi Δy = f(x) - f(x0) = f(x + Δx) - f(x0) lµ sè gia cña hµm sè t−¬ng øng. LËp tû sè gi÷a sè gia cña hµm sè trªn sè gia cña ®èi sè. NÕu tû sè ®ã cã giíi h¹n h÷u h¹n khi Δx dÇn tíi 0 th× ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm h÷u h¹n t¹i x0 vµ gäi gi¸ trÞ giíi h¹n h÷u h¹n ®ã lµ ®¹o hµm cña hµm sè t¹i x0. KÝ hiÖu f’(x0) hay ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ' x = x0 . Ta cã lim Δx →0 f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) = lim = f ' ( x0 ) . Δx →0 Δx x − x0 VÝ dô 1. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = 2x2 + 1 t¹i x = 1. + Cho x = 1 mét sè gia Δx: Δx = x - 1 + Δ = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(1 + Δx) - f(1) = 2(1 + Δx)2 + 1 - 3 = 2 + 4Δx + 2Δx2 - 2 = 2Δx(2 + Δx) + Δy 2Δx ( 2 + Δx ) = = 2 ( 2 + Δx ) Δx Δx 2 Δx ( 2 + Δ x ) Δy = lim = 4 ⇒ y’(1) = 4. Δx →0 Δx Δx →0 Δx + lim Ta cã thÓ tÝnh nh− sau: f ( x ) − f (1) 2 x2 + 1 − 3 2x2 − 2 = lim = lim y ' (1) = lim x →1 x →1 x →1 x − 1 x −1 x −1 49 2( x + 1)( x − 1) = lim 2 ( x + 1) = 4 x →1 x →1 x −1 = lim ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm. Tr−íc hÕt ta ®i vÏ tiÕp tuyÕn cña ®−êng cong. Cho ®−êng cong (C) vµ ®iÓm T thuéc (C). Ta lÊy trªn ®−êng cong (C) ®iÓm M ≡ T, vµ kÎ çt tuyÕn TM, cho M ch¹y trªn ®−êng cong (C) th× çt tuyÕn ®ã quay quanh ®iÓm T. Ta gäi tiÕp tuyÕn víi ®−êng cong (C) t¹i ®iÓm T lµ vÞ trÝ giíi h¹n cña çt tuyÕn TM, khi ®iÓm M di chuyÓn trªn (C) ®Õn trïng víi T. Ta xÐt ®−êng cong (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x), trong ®ã hµm sè f(x) cã ®¹o hµm t¹i x0. Gäi T(x0, f(x0)), M(x0 + Δx, f(x0 + Δx)) ≡ (x0 + Δx, y0 + Δy), α lµ gãc hîp bëi çt tuyÕn TM víi chiÒu d−¬ng cña trôc hoµnh, ϕ lµ gãc hîp bëi çt tuyÕn TM víi chiÒu d−¬ng cña trôc hoµnh. y Ta cã Δy = tgϕ khi Δx → 0 th× ϕ → α Δx y0 + Δy ⇒ f ' ( x0 ) = lim Δy = lim tgϕ = tgα Δx →0 Δx ϕ →α y0 ⇒ T α §¹o hµm cña hµm sè t¹i mét ®iÓm lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn víi M O ϕ x0 x0 + Δx x ®−êng cong y = f(x) hîp víi chiÒu d−¬ng cña trôc hoµnh t¹i ®iÓm ®ã. 1.2. Kh¸i niÖm ®¹o hµm mét phÝa §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trong [a, b) (hoÆc (a, b] vµ x0 ∈ [a, b), hoÆc x0∈(a, b]). Ta nãi r»ng hµm sè cã ®¹o hµm ph¶i (hoÆc ®¹o hµm tr¸i) h÷u h¹n t¹i x0 nÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n lim Δx →+0 lim Δx →−0 f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) (hoÆc Δx f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) ). Ta sÏ gäi gi¸ trÞ giíi h¹n ®ã lµ ®¹o hµm ph¶i (hoÆc Δx ®¹o hµm tr¸i) cña hµm sè t¹i ®iÓm x0 vµ kÝ hiÖu f’+(x0) (hoÆc f’-(x0)). 50 §Þnh nghÜa. Hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn (a, b) nÕu nã cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng ®ã. §Þnh lý 2.1 (Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ ®¹o hµm mét phÝa). §Ó hµm sè f(x) cã ®¹o hµm t¹i x0, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ hµm sè cã ®¹o hµm ph¶i b»ng ®¹o hµm tr¸i t¹i ®iÓm ®ã. Trong tr−êng hîp ®ã f’(x0) = f’+(x0) = f’-(x0). Chøng minh. Hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x0 : f’(x0) ⇔ ∃ lim Δx →0 ⇔ f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) = f ' ( x0 ) Δx f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) ∃f '+ ( x0 ) = lim Δx Δx →+0 = lim f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δx →−0 Δx = f − ' ( x0 ) vµ f’(x0) = f’+(x0) = f’-(x0). VÝ dô. TÝnh ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x = 0 cña hµm sè ⎧⎪ 2 x khi x ≥ 0 f ( x) = ⎨ ⎪⎩2 x + 1 khi x < 0 f ( x ) − f ( 0) 2x −1 f '+ ( 0 ) = lim = lim = ln 2 x →+0 x →+0 x x−0 f '− ( 0 ) = lim x →−0 f ( x ) − f ( 0) 2x + 1−1 = lim =2 x →+0 x−0 x f '− ( 0 ) ≠ f '+ ( 0 ) ⇒ ∃ f ' ( 0 ) . B¶ng c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm: 1) y = C, C ∈ ⇒ y’ = 0 2) y = xα , α ∈ §Æc biÖt: α = ⇒ y’ = αxα - 1 1 1 1 ⇒ y’ = , α = -1 ⇒ y’ = − 2 . x 2 2 x 3) y = ax ⇒ y’ = axlna; y = ex ⇒ y’ = ex 51 log a e ; x 4) y = logax ⇒ y’ = y = lnx ⇒ y’ = 5) y = sinx ⇒ y’ = cosx; y = tgx ⇒ y’ = y = cosx ⇒ y’ = -sinx 1 ; cos 2 x y = arctgx ⇒ y’ = y = cotgx ⇒ y’ = − 1 6) y = arcsinx ⇒ y’ = 1 x 1 − x2 1 sin 2 x y = arccosx ⇒ y’ = − ; 1 ; 1 + x2 1 1 − x2 y = arccotgx ⇒ y’ = - 1 1 + x2 7) Hµm HypebolÝc §Þnh lý 2.2 (Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ liªn tôc). NÕu hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mét ®iÓm th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm Êy. Chøng minh. Gi¶ sö f(x) cã ®¹o hµm h÷u h¹n f’(x0) t¹i x0, cã ý nghÜa tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n lim f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δx Δx →0 Theo ®Þnh lý f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δx 1.19, tån = f ' ( x0 ) t¹i l©n cËn ®iÓm x0 sao cho ≤ C trong l©n cËn ®ã, víi C lµ h»ng sè. Tõ ®ã Δf ( x0 ) = f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) ≤ C Δx . ChuyÓn qua giíi h¹n khi Δx → 0 ta cã lim Δf ( x0 ) = 0 . VËy hµm sè liªn tôc t¹i x0. Δx →0 Chó ý. + Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm ch−a ch¾c ∃ ®¹o hµm t¹i ®iÓm Êy. VÝ dô. y = ⏐x⏐ liªn tôc t¹i x = 0 nh−ng kh«ng tån t¹i ®¹o hµm t¹i x = 0. + T−¬ng tù ta ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ mçi liªn hÖ gi÷a liªn tôc mét phÝa vµ ®¹o hµm mét phÝa. 2. Çc quy t¾c lÊy ®¹o hµm 52 2.1. Çc phÐp to¸n trªn ®¹o hµm §Þnh lý 2.3. Gi¶ sö çc hµm sè f(x) vµ g(x) cã ®¹o hµm h÷u h¹n t¹i x0. Khi ®ã i) Hµm sè f(x) ± g(x) cã ®¹o hµm h÷u h¹n t¹i x0 vµ [ f ± g ]/x = x0 = f’(x0) + g’(x0) ii) Hµm C.f(x) cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ [c. f ]/x = x0 = C.f’(x0) iii) Hµm f(x)g(x) cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ [ f .g ]/x = x0 = f’(x0).g(x0) + f(x0).g’(x0) iv) NÕu g(x0) ≠ 0 th× hµm sè f (x) cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ g(x) ⎡ f (x)⎤ f ' ( x0 ) .g ( x0 ) − f ( x0 ) .g ' ( x0 ) = ⎢ ⎥ g 2 ( x0 ) ⎣ g ( x ) ⎦ x = x0 ' Chøng minh. Chøng minh b»ng ®Þnh nghÜa vµ ®Þnh lÝ çc phÐp to¸n cña giíi h¹n. iii) XÐt Δ ( f ( x ) .g ( x ) ) ( x0 ) Δx = g ( x0 + Δx ) . Δf ( x0 ) Δx + f ( x0 ) . Δg ( x0 ) Δx Ta cã lim g ( x0 + Δx ) = g ( x0 ) Δx →0 ⇒ [ f .g ] ' x = x0 = lim Δ ( f ( x ) .g ( x ) ) ( x0 ) Δx →0 Δx = g ( x0 ) . f ' ( x0 ) + f ( x0 ) .g ' ( x0 ) Chó ý. Ph¸t biÓu t−¬ng tù ta cã ®Þnh lÝ vÒ çc phÐp to¸n trªn ®¹o hµm mét phÝa. 2.2. §¹o hµm cña hµm hîp §Þnh lý 2.4. Gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm f’(x0) t¹i x0 vµ z = g(y) cã ®¹o hµm g’(y0) t¹i y0 = f(x0). Khi ®ã hµm hîp z = h(x) = g(f(x)) cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ z’(x0) = g’(y0).f’(x0). Chøng minh. Ta cã Δz z ( x0 + Δx ) − z ( x0 ) g ( f ( x0 + Δx ) ) − g ( f ( x0 ) ) = = Δx Δx Δx 53 = lim g ( f ( x 0 + Δx ) ) − g ( f ( x 0 ) ) Δx →0 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) g ( y ) − g ( y0 ) = g ' ( y0 ) y → y0 y − y0 = lim (1) §Æt y = f(x0 + Δx), y0 = f(x0). Khi ®ã y → y0 khi Δx → 0. Ta cã lim g ( f ( x0 + Δx ) ) − g ( f ( x0 ) ) f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δx →0 lim = lim f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δx Δx →0 g ( y ) − g ( y0 ) y → y0 y − y0 = g ' ( y0 ) (2) = f ' ( x0 ) (3) Δz = g ' ( y0 ) . f ' ( x 0 ) . Δx →0 Δx Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ lim VÝ dô. y = sin100x ⇒ y’ = 100.sin99x.cosx 2.3. §¹o hµm cña hµm sè ng−îc §Þnh lý 2.5. Gi¶ sö hµm sè y = f(x) ®¬n ®iÖu nghiªm ngÆt vµ liªn tôc trong (a, b) vµ cã ®¹o hµm f’(x0) ≠ 0 t¹i x0 ∈ (a, b). Khi ®ã hµm ng−îc x = f-1(y) cã ®¹o hµm t¹i y0 = f(x0) vµ x’(y0) = f / −1 (y0) = 1 . f ' ( x0 ) Chøng minh. Theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lý 1.27 tån t¹i hµm ng−îc x = f-1(y) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu nghiªm ngÆt trong (c, d) = f((a, b)). V× hµm sè f vµ f-1 ®Òu ®¬n ®iÖu nghiªm ngÆt ta cã Δx 1 = Δy Δy Δx Do f vµ f-1 ®Òu liªn tôc cho nªn khi Δy → 0 th× Δx → 0, do ®ã Δx 1 1 1 = lim = = Δy f ' ( x0 ) Δy →0 Δy Δx →0 Δy lim Δx Δx →0 Δx f −1 ' ( y0 ) = lim ¸p dông chøng minh c«ng thøc (arcsinx)’ = 54 1 1 − x2 víi x ∈ [- π π 2 , 2 ] Ta cã y’ = 1 1 1 1 . = = = 2 ( sin y ) ' cos y 1 − sin y 1 − x 2 3. §¹o hµm v« cïng §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm b»ng +∞ (hoÆc −∞ ) t¹i f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δy = lim = +∞ (hoÆc −∞ ). Δx →0 Δx Δx →0 Δx ®iÓm x0 ∈ (a, b) nÕu ∃ lim T−¬ng tù ta ®Þnh nghÜa ®¹o hµm b»ng ±∞ . VÝ dô. y = 3 x , y ' ( 0 ) = +∞ y = signx, y '+ ( 0 ) = +∞ §2. Vi ph©n 1. Kh¸i niÖm vÒ vi ph©n cña hµm sè 1.1. §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a, b). Ta nãi r»ng hµm sè f(x) cã vi ph©n (kh¶ vi) t¹i x0 ∈ (a, b) nÕu tån t¹i sè thùc A sao cho víi Δx ®ñ nhá ®Ó x0 + Δx ∈ (a, b), ta cã ®¨ng thøc Δy = Δf ( x0 ) = A.Δx + o ( Δx ) trong ®ã o ( Δx ) → 0 khi Δx → 0. Δx BiÓu thøc A. Δx ta sÏ gäi lµ vi ph©n cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ dy hoÆc df(x0). 1.2. Liªn hÖ gi÷a kh¶ vi vµ ®¹o hµm. Hµm sè kh¶ vi ⇔ hµm sè cã vi ph©n. §Þnh lý 2.6. §Ó hµm sè y = f(x) kh¶ vi t¹i x0, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ nã cã ®¹o hµm h÷u h¹n t¹i ®iÓm ®ã vµ trong tr−êng hîp nµy Δf(x0) = f’(x0). Δx + 0(Δx), tøc lµ dy = df(x0) = f’(x0). Δx. Chøng minh. 55 §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö f(x) kh¶ vi t¹i x0, tån t¹i A ∈ = Δf(x0) = A.Δx + o(Δx) hay sao cho Δy o ( Δx ) o ( Δx ) Δy → 0 khi Δx → trong ®ã = A+ Δx Δx Δx 0. Δy =A Δx →0 Δx ChuyÓn qua giíi h¹n c¶ hai vÕ khi Δx → 0 ta ®−îc f ' ( x0 ) = lim ⇒ Hµm sè tån t¹i ®¹o hµm t¹i x0. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö f cã ®¹o hµm f’(x0) t¹i x0. Theo ®Þnh lý 1.22 ta cã Δy = f ' ( x0 ) + α ( Δx ) trong ®ã α ( Δx ) lµ VCB khi Δx → 0. Δx Chän A = f’(x0) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý. Hµm sè y =x cã dx = Δx. V× vËy ta th−êng viÕt dy = f’(x0)dx hay f ' ( x0 ) = dy . dx 1.3. ý nghÜa h×nh häc cña vi ph©n Theo ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm th× f’(x0) = tgα. Theo ®Þnh lý 2.6 ta cã dy = f’(x0).dx = tgα. dx = IT ' IT ' dx = dx = IT’ dx IT Suy ra vi ph©n cña hµm sè y = f(x) t¹i x0 øng víi sè gia Δx lµ ®é dµi ®¹i sè ®o¹n IT’ trªn h×nh vÏ. 1.4. C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng Ta cã Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = f’(x).Δx. Khi Δx kh¸ nhá th× Δy ≈ f’(x). Δx Ta gäi f’(x). Δx lµ biÓu thøc tuyÕn tÝnh ®èi víi Δx, gäi lµ vi ph©n chÝnh cña Δy nÕu f’(x) ≠ 0. C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng f(x0 + Δx) ≈ f’(x0). Δx + f(x0). 56 VÝ dô. BiÕt ln2 tÝnh gÇn ®óng ln2,001 ln(2 + 0,001) = 0, 001 + ln2 2 2. Çc quy t¾c lÊy vi ph©n Dùa vµo quy t¾c tÝnh ®¹o hµm vµ ®Þnh lý 2.6 ta nhËn ®−îc çc quy t¾c tÝnh vi ph©n: d(f ± g) = df ± dg d(k. f) = k. df , k ∈ . d(f. g) = f.dg + g.df f gdf − fdg , (g(x0) ≠ 0) d( ) = g g2 3. TÝnh bÊt biÕn cña d¹ng thøc vi ph©n Gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm f’(x0) t¹i x0 vµ hµm sè z = g(y) x¸c ®Þnh trong l©n cËn cña y0 = f(x0) vµ cã ®¹o hµm h÷u h¹n t¹i y0 = f(x0). Theo ®Þnh lý vÒ ®¹o hµm hîp th× hµm sè z = g(f(x) cã ®¹o hµm t¹i x0. Theo ®Þnh lý 2.6 th× vi ph©n cña z ®èi víi biÕn y: dz = g’(y0) dy (1) vi ph©n cña y ®èi víi biÕn x: dy = f’(x0) dx (2) vi ph©n cña z ®èi víi biÕn x: dz = g’(y0).f’(x0) dx (3) Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã vi ph©n cña hµm sè z trong c¶ 2 tr−êng hîp (coi lµ hµm ®èi víi biÕn y hay biÕn x) ta ®Òu cã dz = g’(y0) dy = g’(y0).f’(x0) dx. TÝnh chÊt trªn ®©y ng−êi ta gäi lµ tÝnh chÊt bÊt biÕn cña d¹ng thøc vi ph©n. 4. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao 4.1. §¹o hµm cÊp cao §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm f’(x) t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng [a, b]. Khi ®ã g(x) = f’(x) l¹i lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trong (a, b). NÕu hµm sè g(x) cã ®¹o hµm g’(x0) t¹i x0 ∈(a, b) th× ta gäi ®¹o hµm g’(x0) lµ ®¹o hµm cÊp 2 cña hµm sè f(x) t¹i x0 ∈ (a, b). 57 Ký hiÖu: f’’(x0) hay y’’(x0). T−êng tù ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè f(x) t¹i ®iÓm x0 lµ ®¹o hµm cÊp n - 1 cña hµm sè ®ã t¹i ®iÓm x0. Ký hiÖu f(n)(x0) hay y(n)(x0) Quy −íc: f(0)(x0) = f(x0) 2 VÝ dô. y = e − x , y’’ = (4 x 2 − 2).e − x 2 C«ng thøc ®¹o hµm cÊp n y = xα ⇒ y(n) = α(α - 1) ... (α - n + 1). xα - n y = ex ⇒ y(n) = ex y = lnx ⇒ y(n) = (−1)n −1 (n − 1)! xn y = sinx ⇒ y(n) = sin( x + nπ ) 2 y = cosx ⇒ y(n) = cos( x + nπ ) 2 §Þnh lý 2.7. (çc phÐp to¸n trªn ®¹o hµm cÊp cao). Gi¶ sö hµm sè f(x) vµ g(x) cã ®¹o hµm cÊp n - 1 t¹i mäi ®iÓm trong kho¶ng (a, b) vµ cã ®¹o hµm cÊp n t¹i x0 thuéc khaáng ®ã. Khi ®ã i) c.f cã ®¹o hµm cÊp n t¹i x0 vµ [c. f(x)] (xn=)x = c. f(n)(x0) o ii) f ± g cã ®¹o hµm cÊp n t¹i x0 vµ [f(x) ± g(x)] (xn=)x = fn)(x0) ± g(n)(x0) o iii) f. g cã ®¹o hµm cÊp n t¹i x0 vµ ta cã [f(x). g(x)] (xn=)x = o trong ®ã Cni = n ∑ Cni f (i ) ( xo ).g(n−i ) ( xo ) i =0 n! c«ng thøc Lepnit cho ®¹o hµm cÊp n i !(n − i )! VÝ dô. y = x2. sinx. TÝnh y(20) 58 4.2. Vi ph©n cÊp cao T−¬ng tù nh− ®¹o hµm cÊp cao, ta cã ®Þnh nghÜa vi ph©n cÊp 2 cña hµm sè t¹i mét ®iÓm lµ vi ph©n cña cña vi ph©n cÊp 1 t¹i ®iÓm ®ã. Ký hiÖu d2y = d(dy) hay d2f(x0). B»ng quy n¹p ta ®Þnh nghÜa vi ph©n cÊp n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm lµ vi ph©n cña vi ph©n cÊp n-1 cña hµm sè t¹i ®iÓm ®ã. Ký hiÖu dn y. Chó ý. 1) Khi tÝnh vi ph©n cÊp cao ta ph¶i coi dx lµ mét sè tuú ý kh«ng phô thuéc biÕn x, tøc lµ xem nã nh− lµ mét h»ng sè d2 y = d(dy) = d(y’dx) = dy’. dx = y” dx2. T−¬ng tù dn y = y(n) dxn. 2) Dùa vµo ®Þnh lý 2.7 ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc c«ng thøc tÝnh vi ph©n cÊp cao. §3. Çc ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n 1. Çc ®Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh §Þnh nghÜa. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X, ta nãi r»ng f(x) ®¹t cùc ®¹i (hoÆc cùc tiÓu) ®Þa ph−¬ng t¹i x0 ∈ X, nÕu ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X ∩ (x0 - δ, x0 + δ) ta lu«n cã f(x) ≤ f(x0) (hoÆc f(x) ≥ f(x0)). Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng gäi chung lµ hµm sè ®¹t cùc trÞ ®Þa ph−¬ng t¹i x0. §iÓm x0 ®−îc gäi lµ ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè. Chó ý. NÕu ∀x ∈ X ∩ (x0 - δ, x0 + δ): f(x) < f(x0) (hoÆc f(x) > f(x0)) th× ta nãi r»ng f ®¹t cùc trÞ ®Þa ph−¬ng nghiªm ngÆt t¹i x0. §Þnh lý 2.8. (Bæ ®Ò FÐcma). Gi¶ sö hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trong (a, b) vµ ®¹t cùc trÞ ®Þa ph−¬ng t¹i x0 ∈ (a, b). Khi ®ã nÕu t¹i x0 hµm sè cã ®¹o hµm f’(x0) th× f’(x0) = 0 59 Chøng minh. Gi¶ sö hµm sè f(x) ®¹t cùc ®¹i ®Þa ph−¬ng t¹i x0 khi ®ã ∃δ > 0 sao cho f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ (x0 - δ, x0 + δ). Nh− vËy f ( x ) − f ( x0 ) ≤ 0 víi x ∈ (x0, x0 + δ) x − x0 f+/ ( x0 ) = lim ⇒ x → x0 T−¬ng tù (1) f ( x ) − f ( x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ (x0 - δ, x0) x − x0 f−/ ( x0 ) = lim ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) ⊇ ≤0 x − x0 x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) ≥0 x − x0 (2) Tõ gi¶ thiÕt hµm f(x) kh¶ vi t¹i x0 vµ tõ (1), (2) ta cã 0 ≤ f+/ ( x0 ) = f−/ ( x0 ) ≤ 0 ⇒ f’(x0) = 0 Chó ý. 1) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã. VÝ dô. y = ⏐x⏐ ®¹t cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng t¹i x = 0 nh−ng t¹i x = 0 kh«ng cã ®¹o hµm 2) Trong (a, b) hµm f(x) chØ cã thÓ ®¹t cùc trÞ ®Þa ph−¬ng t¹i nh÷ng ®iÓm kh«ng kh¶ vi hoÆc t¹i nh÷ng ®iÓm kh¶ vi vµ t¹i ®ã ®¹o hµm triÖt tiªu gäi lµ ®iÓm tíi h¹n. §Þnh lý 2.9 (§Þnh lý R«ll vÒ gi¸ trÞ trung b×nh). Gi¶ sö hµm sè y = f(x) tho¶ m·n i) f(x) liªn tôc trªn [a, b] ii) Tån t¹i ®¹o hµm f’(x) t¹i mäi ®iÓm x ∈(a, b) iii) f(a) = f(b) Khi ®ã tån t¹i ®iÓm c ∈ (a, b) sao cho f’(c) = 0 60 Chøng minh. V× f(x) liªn tôc trªn [a, b] nªn theo ®Þnh lý W©y¬trat II nã ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt m trªn ®o¹n [a, b] ®ã. NÕu M = m th× hµm sè kh«ng ®æi trªn [a, b]. Nh− vËy ®iÓm c ta cã thÓ lÊy bÊt kú ®iÓm nµo thuéc kho¶ng ®ã. NÕu M > m th× hµm f ph¶i ®¹t gi¸ trÞ lín y nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i ®iÓm c trong (a, b) M (v× f(a) = f(b)). Hµm f kh¶ vi t¹i c nªn theo bæ ®Ò Fecma f’(c) = 0. f(a) O a c b x ý nghÜa h×nh häc. NÕu y = f(x) lµ ®−êng cong tr¬n vµ tung ®é cña 2 ®Çu mót b»ng nhau th× trªn ®−êng cong ®ã cã Ýt nhÊt ®iÓm M(c, f(c)) sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã víi ®−êng cong song song Ox. §Þnh lý 2.10. (§Þnh lý Lagrange vÒ sè gia h÷u h¹n). Gi¶ sö hµm sè y = f(x) tho¶ m·n i) f(x) liªn tôc trong [a, b] ii) Tån t¹i ®¹o hµm h÷u h¹n f’(x) t¹i mäi ®iÓm x ∈ (a, b) Khi ®ã tån t¹i ®iÓm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) = f '(c) b−a Chøng minh. Víi mäi ®iÓm x ∈ [a, b] ta ®Æt F(x) = f(x) – f(a) - f ( b) − f ( a) (x – a) b−a Hµm sè F(x) tho¶ m·n çc gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý R«ll cho nªn ∃c ∈ (a, b) sao cho F’(c) = 0 tøc lµ f’(c) - f ( b) − f ( a) f ( b) − f ( a) = 0 hay = f’(c) b−a b−a 61 ý nghÜa h×nh häc. NÕu y = f(x) lµ ®−êng cong tr¬n, th× trªn ®−êng cong ®ã cã Ýt nhÊt 1 ®iÓm M(c, f(c) sao cho tiÕp tuyÕn víi ®−êng cong t¹i ®iÓm ®ã song song víi ®−êng th¼ng nèi 2 ®Çu mót A(a, f(a)) , B(b, f(b)) cña ®−êng cong. Chó ý. 1) §Þnh lý R«ll lµ tr−êng hîp ®Æc biÖt cña ®Þnh lý Lagrange 2) NÕu ta chän x = a, x + Δx = b th× ta cã Δy = f(x + Δx) - f(x) = f’(c).Δx ⇒ c cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng c = x + θΔx), 0 < θ < 1. Khi ®ã ta cã Δy = f’(x + θΔx). Δx, c«ng thøc cho ta mèi quan hÖ gi÷a sè gia Δy, Δx gäi lµ c«ng thøc sè gia h÷u h¹n. §Þnh lý 2.11 (§Þnh lý C«si vÒ gi¸ trÞ h÷u h¹n). Gi¶ sö hµm sè f(x) vµ g(x) tho¶ m·n i) f(x) vµ g(x) liªn tôc trªn [a, b] ii) Tån t¹i ®¹o hµm h÷u h¹n f’(x) vµ g’(x) víi x ∈ (a, b) iii) g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b) Khi ®ã, ∃c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) f '(c) = g(b) − g(a) g '(c) Chøng minh. ∀x ∈ [a, b] ta ®Æt G(x) = f(x) - f(a) - f ( b) − f ( a) (g(x) - g(a)) g(b) − g( a) Hµm sè G(x) tho¶ m·n çc gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý R«ll nªn ∃c ∈ (a, b): G’(c) = 0 ⇔ f’(c) - f ( b) − f ( a) f (b) − f (a) f '(c) . g’(c) = 0 ⇔ = . g(b) − g( a) g(b) − g(a) g '(c) Chó ý. NÕu trong ®Þnh lý C«si chän g(x) = x th× ta ®−îc ®Þnh lý Lagrange. 2. C«ng thøc Taylo 2.1. C«ng thøc Taylo ®èi víi ®a thøc Cho ®· thøc bËc n: Pn(x) = a0 + a1x + ... + an xn P (0) = j !.a j , víi j = 1, ...n ⇒ ( j) 62 P ( j ) (0) aj = j! (1) (2) Thay (2) vµo (1) ta ®−îc P(0) P '(0) P ''(0) 2 P ( n ) ( 0) n P(x) = + x+ x + .... + x 0! 1! 2! n! (3) C«ng thøc (3) gäi lµ c«ng thøc Macloranh ®èi víi ®a thøc P(x) t¹i x = 0 §Æt z = x - x0 khi ®ã P(x) = P(x0 + z) = a0 + a1(x0 + z) + ... + an (x0 + z)n = A0 + A1z + ... + An zn = P(z) Theo c«ng thøc Macloranh ta cã P(0) P '(0) P ''(0) 2 P ( n ) (0) n + z+ z + .... + z P(z) = 0! 1! 2! n! Do çch ®Æt nªn P(x) = P(0) P '(0) P ''(0) P ( n ) (0) ( x − x0 ) + ( x − x0 )2 + .... + ( x − x0 )n (4) + n! 0! 1! 2! C«ng thøc (4) gäi lµ c«ng thøc Taylo cña ®a thøc P(x) t¹i ®iÓm x = x0. 2.2. C«ng thøc Taylo ®èi víi hµm bÊt kú §Þnh lý 2.12 (vÒ khai triÓn Taylo cña hµm sè). Gi¶ sö hµm sè f(x) cã ®¹o hµm liªn tôc ®Õn cÊp n trong ®o¹n [a, b] vµ ®¹o hµm cÊp n + 1 trong kho¶ng (a, b). Khi ®ã víi mçi x ∈ [a, b] ta cã f(x) = f ( a) + f '(a) f ( n ) ( a) x − a + + ( ) .... ( x − a)n + Rn + 1(x) n! 1! trong ®ã Rn + 1(x) ®−îc tÝnh Theo Lagrange: Rn + 1(x) = f ( n +1) (a + θ ( x − a)) ,0 0, ®Æt t2 + c ax + bx + c = t − ax ⇒ x = 2 at + b 2 ax 2 + bx + c = at 2 + bt + c a 2 at + b §−a vÒ tÝch ph©n h÷u tû ®èi víi t VÝdô. ∫ x 2 dx x −1 2 §Æt , víi x > 1. t2 +1 t2 −1 x −1 = t − x ⇒ x = ⇒ dx = dt 2t 2t 2 2 t2 −1 x −1 = 2t 2 ∫ x 2 dx x2 −1 =∫ (t 2 + 1) 2 4t 3 dt = 1 ⎛ 2 1⎞ t + + 3 ⎟ dt (sinh viªn tù tÝnh). t t ⎠ 4 ∫ ⎜⎝ 80 ax 2 + bx + c = ± c + xt , ®−a vÒ d¹ng tÝch ph©n b) NÕu c > 0 ta ®Æt hµm h÷u tû biÕn t. VÝ dô. ∫ dx 2 − x 2 = tx + 2 ⇒ x = §Æt 2 − x2 2− x = 2 ⇒ dx = ⇒ ∫ 2 2(t 2 − 1) (1 + t 2 ) dx 2− x 2 =∫ −2 2t 1+ t2 2(1 − t 2 ) 1+ t2 dt −2dt 1+ t2 = −2arctgt + C c) NÕu ax2 + bx + c cã 2 nghiÖm thùc x1, x2 ®Æt t = a x − x1 => ®−a vÒ x − x2 d¹ng tÝch ph©n h÷u tû. VÝ dô. I = dx ∫ (a > 0, | x | > a) x 2 − a2 §Æt t = x−a x+a I = ln x + x 2 − a 2 + C ( 4.3. TÝch ph©n cña biÓu thøc vi ph©n nhÞ thøc x m a + bx n Tr−bªsÐp) p; m; n ∈ Q vµ p; VÝ dô. TÝnh ∫ dx (tÝch ph©n m +1 m +1 ; + p lµ nh÷ng sè nguyªn. n n a) NÕu p nguyªn th× ta ®Æt t = s x (s lµ BSCNN cña çc mÉu sè cña m, n) (1 + 2 x ) dx 3 ) p 2 x 1 1 P = 2; n = − ; m = ®Æt t = 6 x ; x = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt 2 3 81 (1 + 2 x ) dx = (1 + 4t ∫ ∫ x 2 3 ∫ 3 ) + 4t 4 6t 2 dt (sinh viªn tù tÝnh). m +1 s lµ nguyªn th× ®Æt t = a + bx n (s lµ mÉu sè cña p) n b) NÕu VÝ dô. 2 1+ 4 x dx = ∫ x 1 − x 2 ⎛ ⎜1 + ⎜ ⎝ 1 ⎞3 1 x4 ⎟ dx ⎟ ⎠ m +1 =2 n ( ) §Æt t = 3 1 + 4 x ⇒ x = t 3 − 1 ∫ c) NÕu ( ) ( 4 3 12t 2 t 3 − 1 dt ( t − 1) 3 2 ) 3 ⇒ dx = 4.3 t 3 − 1 t 2 dt ( ) t = 12∫ t 3 t 3 − 1 dt (sinh viªn tù tÝnh). m +1 + p nguyªn. n §Æt t = s ax −n + b (s lµ mÉu sè cña p) VÝ dô 1 4 −4 x dx ∫ 4 1 + x 4 = ∫ x .(1 + ) dx Ta cã o m +1 1 1 + p= − =0 n 4 4 §Æt t = 4 ( ) x +1 ⇒ x = t −1 4 4 4 ( − ) 1 + x = tx = t t − 1 4 4 1 4 − ( ) ⇒ dx = −t t − 1 3 4 − 5 4 1 4 t 2 dt 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 dt ∫ 4 1 + x 4 = − ∫ t 4 − 1 = 4 ∫ ⎜⎝ t + 1 − t − 1 ⎟⎠dt − 2 ∫ t 2 + 1 dx 82 dt 1 t +1 1 = ln − arctgt + C . 4 t −1 2 5. TÝch ph©n çc biÓu thøc l−îng gi¸c ∫ R ( cos x ,sin x )dx trong ®ã R(u,v) lµ çc hµm sè h÷u tû ®èi víi u, v 5.1. PhÐp thÕ t = tg x ⇒ x = 2arctgt 2 2dt 2t 1− t2 dx = ; sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 1+ t2 ⎛ 1 − t 2 2t ⎞ 2 ∫ R ( cos x,sin x )dx = ∫ R ⎜ 1 + t 2 , 1 + t 2 ⎟ 1 + t 2 dt . ⎝ ⎠ VÝ dô. TÝnh a) I = dx ∫ sin x (sinh viªn tù tÝnh). b) I = §Æt t = tg I= ∫ dx ∫ 4sin x − 7 cos x − 7 x 2 dt dt 2t 1 . =∫ = ln 4t − 7 + C . 2 8t 7 − 7t 4t − 7 4 − − 7 1+ t 2 2 1+ t 1+ t 5.2. Tr−êng hîp ®Æt biÖt a) XÐt ∫ R ( cos x,sin x ) dx trong ®ã R ( cos x,sin x ) = − R ( − cos x,sin x ) §Æt t = sinx VÝ dô. I = cos5 xdx ∫ sin 4 x (sinh viªn tù tÝnh). 83 b) R ( cos x ,sin x ) = − R ( cos x , − sin x ) §Æt t = cosx sin 3 xdx VÝ dô. I = ∫ (sinh viªn tù tÝnh). cos x c) NÕu R ( cos x ,sin x ) = R ( − cos x , − sin x ) §Æt t = tgx VÝ dô. dx ∫ 3sin 2 x + 5cos2 x (sinh viªn tù tÝnh). d) sin ax cos bxdx = ∫ 1 [sin(a + b) x + sin(a − b) x ] dx 2∫ ∫ sin ax sin bxdx = 1 [cos(a − b) x − cos(a + b) x ] dx 2∫ 1 ∫ cos ax cos bxdx = 2 ∫ [sin(a + b) x + cos(a − b) x ] dx 6. TÝch ph©n çc hµm sè siªu viÖt ∫ 1) XÐt tÝch ph©n I = ekx P ( x )dx , (k ≠ 0), P(x) lµ ®a thøc tïy ý TÝch ph©n tõng phÇn 1 1 I = e kx .P( x ) − ∫ ekx .P '( x )dx k k TiÕp tôc tÝch ph©n tõng phÇn ∫ ∫ T−¬ng tù I1 = sin kxP ( x )dx ; I 2 = cos kxP '( x ) dx 2) XÐt tÝch ph©n ∫ R (e x )dx , R (e x ) lµ hµm sè h÷u tû ®èi víi ex §Æt t = ex VÝ dô. TÝnh e x dx ∫ e2 x + 1 =∫ dt t +1 2 (sinh viªn tù tÝnh). 3) XÐt çc tÝch ph©n d¹ng 84 K1 = ∫ e ax cos bxdx ; K2 = ∫ e ax sin bxdx Dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn (sinh viªn tù tÝnh). §2. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 1. Kh¸i niÖm vÒ tÝch ph©n x¸c ®Þnh 1.1. Bµi to¸n tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong Gioãc-®¨ng kÝn bÊt kú + Ta gäi lµ ®−êng cong liªn tôc tËp çc ®iÓm M(x,y) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng ⎧ x = ϕ (t ) , (α ≤ t ≤ β) trong ®ã ϕ(t) vµ ψ(t) lµ çc hµm sè liªn tôc trªn [α, ⎩ y = ψ (t ) tr×nh ⎨ β]. §−êng cong liªn tôc C ®−îc gäi lµ ®−êng cong Jooc-®¨ng nÕu víi 2 ®iÓm bÊt kú t1 vµ t2 mµ α ≤ t1 < t2 ≤ β (trõ tr−êng hîp t1 = α, t2 = β) th× M1 [ϕ (t1 ),ψ (t1 ) ] ≠ M2 [ϕ (t2 ),ψ (t2 ) ] §−êng cong Jooc-®¨ng gäi lµ kÝn nÕu ϕ(α) = ϕ(β); ψ(α) = ψ(β) Bµi to¸n: TÝnh diÖn tÝch cña y h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi mét ®−êng B cong kÝn Jooc-®¨ng bÊt kú. Gi¶ sö A h×nh ph¼ng ®ã lµ S. Ta chia h×nh nµy thµnh çc h×nh nhá bëi çc ®−êng x th¼ng theo 2 ph−¬ng vu«ng gãc víi nhau. Mçi h×nh nhá nµy ®−îc giíi h¹n α bëi çc ®o¹n th¼ng vµ mét cung cong, β ta gäi chóng lµ h×nh thang cong (nÕu cã mét ®¸y thu vÒ mét ®iÓm ta còng coi nh− lµ h×nh thang cong) Ta chän hÖ to¹ ®é ®Ò çc vu«ng gãc sao cho h×nh thang 85 cong ®ã ®−îc giíi h¹n bëi ®−êng cong AB cã ph−¬ng tr×nh y = f(x) uur (trong ®ã f(x) liªn tôc vµ kh«ng ©m) trôc hoµnh ox , vµ 2 trung tuyÕn x = a, x = b. Ta chia ®o¹n [a,b] thµnh h÷u h¹n çc ®o¹n nhá bëi çc ®iÓm chia a ≡ x0 < x1 0, ∃δ > 0 sao cho víi mäi phÐp ph©n ho¹ch π mµ d(π) < δ vµ víi mäi çch chän ®iÓm ξk ta ®Òu cã n ∑ f (ξ k )( xk − xk −1 ) − S < ε hay k =1 S = lim S = lim * d (π )→0 n ∑ f (ξ k )( xk − xk −1 ) d (π )→0 k =1 Tõ vÉn ®Ò tÝch ph©n giíi h¹n trªn lµ nghiÖm nh©n dÊu ®Õn ®ñ vÒ thêi gian x¸c ®Þnh. 1.2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Mçi hä n+1 ®iÓm chia x0, x1… xn, tho¶ m·n tÝnh chÊt a ≡ x0 < x1 nã kh«ng kh¶ tÝch trªn ®o¹n ®ã. 2. §Þnh lý 3.7 kh«ng lµ ®iÒu kiÖn ®ñ. Mét hµm sè bÞ chÆn trªn [a,b] ch−a ch¾c kh¶ tÝch trªn ®o¹n ®ã. ⎧0 ⎩1 VÝ dô. D(x) = ⎨ víi x ∈ ∩ (0,1] víi x ∈ \ ∩ (0,1] , D(x) hiÓn nhiªn bÞ chÆn trªn [0,1] Trong mçi ®o¹n [xk-1, xk] ⊂ [0,1] øng víi phÐp ph©n ho¹ch π, ta sÏ cã n ∑ D (ξ )(x k - xk-1) = 1 nÕu ξ h÷u tû ∈[0,1] ∑ D (ξ )( x - xk-1) = 0 nÕu ξ v« tû ∈ [0,1] k k =1 n k k k =1 88 Khi d(π ) → 0 ⇒ n ∑ D (ξ ) ( x k k - xk-1) → 1 víi ∀ξk h÷u tû ∈[0,1] k =1 n ∑ D (ξ )(x k k - xk-1) → 0 víi ∀ξk v« tû ∈ [0,1] k =1 ⇒∃ n lim ∑ D (ξ )(x d (π ) →0 k =1 k k - xk-1) ⇒ hµm sè y = D(x) kh«ng kh¶ tÝch trªn [0,1] 2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝch 2.1. Tæng §acbu. Gi¶ sö hµm sè y = f(x) bÞ chÆn trªn [a, b]. Gäi M vµ m lµ cËn trªn ®óng vµ cËn d−íi ®óng cña hµm sè y = f(x) trªn [a,b]. Ta cã m ≤ f(x) ≤ M. Trªn [a,b] ta thùc hiÖn phÐp ph©n ho¹ch π bëi çc ®iÓm a = x0 0 sao cho víi mäi phÐp ph©n ho¹ch π mµ d(π) < δ víi mäi çch chän ξk ∈ Δk,, ta cã⏐σ - I⏐ < ε hay I - ε < σ < I + ε. V× çc tæng trªn S vµ tæng d−íi s lµ cËn trªn ®óng vµ cËn d−íi ®óng cña tËp çc tæng tÝch ph©n {σ} cho nªn I - ε < s ≤ S I* = I* = I. Ta cã s ≤ I ≤ S (1) NÕu gäi σ lµ mét tæng tÝch ph©n øng víi phÐp ph©n ho¹ch π (lµ phÐp ph©n ho¹ch cña S vµ s) th× s ≤ σ ≤ S (2) (tÝnh chÊt 1) V× lim (S - s) = 0 nªn ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ⏐S - s⏐< ε nÕu d(π) < δ d (π ) →0 Tõ (1) vµ (2) ta cã ⏐σ - I⏐< δ ⇒ ⇒ lim δ = I d (π ) →0 hµm sè f(x) kh¶ tÝch trªn [a,b] 90 3. Çc líp hµm kh¶ tÝch §Þnh lý 3.9. Mäi hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a,b] th× kh¶ tÝch trªn ®o¹n ®ã. Chøng minh. Theo ®Þnh lý Canto, hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a,b], cho nªn liªn tôc ®Òu trªn ®o¹n nµy. NghÜa lµ ∀ ε > 0, ∃δ > 0 sao cho x1, x2 ∈ [a,b] :⏐x2 - x1 ⏐< δ ⇒ ⏐f(x2) - f(x1)⏐ < ε. Gi¶ sö phÐp ph©n ho¹ch π ®o¹n [a,b] sao cho d(π) < δ. V× f(x) liªn tôc ®o¹n [xi, xi+1] cho nªn nã ®¹t cËn trªn ®óng Mi vµ cËn d−íi ®óng mi trªn ®o¹n ®ã, tøc lµ tån t¹i ϕi' , ϕi'' ∈ [xi, xi+1] sao cho f(ϕi'') = Mi, (ϕi') = mi. V× ϕi', ϕi'' ∈ [xi,xi+1] ⇒ | ϕi'' - ϕi' |< δ do ®ã ⏐f(ϕi'') - f(ϕi')⏐ < εn - 1 n −1 V× vËy ∑ Wi (x i =0 n −1 i+1 - xi) = n −1 ∑ [ f(ϕ '') - (ϕ ')]. Δ < ε ∑ Δi = ε(b - a). i i =0 i i i =0 V× ε > 0 nhá tuú ý cho nªn y = f(x) kh¶ tÝch trªn [a,b]. §Ýnh lý 3.10. NÕu hµm sè bÞ chÆn y = f(x) trªn [a,b] chØ cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n th× y kh¶ tÝch trªn ®o¹n nµy. Chøng minh. Gi¶ sö y = f(x) gi¸n ®o¹n t¹i çc ®iÓm a < α1 < α2 ... < αr < b. Cho ε > 0 nhá tuú ý sao cho çc kho¶ng (αi - ε, αi + ε) (1 ≤ i ≤ r) kh«ng giao nhau. Trªn mçi ®o¹n [αi -1 - ε, αi + ε] (i = 1, .., r + 1), a = α0 , b = αr +1 hµm sè y = f(x) liªn tôc cho nªn nã kh¶ tÝch. V× vËy ε > 0, ta t×m ®−îc sè δi > 0 øng víi çc ®o¹n [αi-1+ε, αi - ε] sao cho dao ®é cña hb trªn mçi ®o¹n n»m trªn [αi-1 + ε, αi - ε] vµ cã ®é dµi bÐ h¬n δi ®Òu nhá h¬n ε. Râ rµng δi nãi chung kh¸c nhau. V× [αi-1+ ε,αi - ε] cã sè çc ®o¹n lµ h÷u h¹n cho nªn ∃δ = min{ δi} Gi¶ sö phÐp ph©n ho¹ch π tho¶ m·n d(π) < δ. Ta ph©n chia çc ®o¹n Δk trong phÐp ph©n ho¹ch nµy thµnh 2 lo¹i. 1) Lo¹i 1 gåm nh÷ng ®o¹n hoµn thµnh thuéc vµo çc ®o¹n [αi-1+ε, αi - ε], 1≤ i ≤ r +1. 91 2) Lo¹i 2 gåm nh÷ng ®o¹n cã ®iÓm chung víi çc kho¶ng [αi - ε, αi + ε], 1≤i≤r. Ta lËp tæng t−¬ng øng n n k =1 k =1 ∑ wk Δ k = ∑ / n wk Δ k + ∑ // wk Δ k , trong ®ã ∑’ k =1 tr¶i qua kh¾p ®o¹n lo¹i 1, ∑” tr¶i qua kh¾p ®o¹n lo¹i 2. V× d(π) < δ cho nªn ®èi víi ®o¹n lo¹i 1 bÊt kú Δk , ta ®Òu cã wk < ε. n Tõ ®ã ∑ k =1 / n n wk Δ k < ε ∑ wk Δ k ≤ ε ∑ Δ k = ε ( b − a ) / k =1 (1) k =1 + Hîp çc ®o¹n lo¹i 2 cã ®iÓm chung víi [αi - ε, αi + ε] lµ mét ®o¹n cã ®é dµi bÐ h¬n 2ε + 2δ (v× chóng n»m trªn [αi - ε - δ, αi + ε + δ], ta cã r kho¶ng d¹ng (αi - ε, αi + ε) cho nªn tæng ®é dµi tÊt c¶ çc ®o¹n lo¹i 2 kh«ng lín h¬n 2r(ε + δ). Ta chän δ < ε lóc ®ã tæng ®é dµi çc ®o¹n lo¹i 2 kh«ng lín h¬n 4rε. HiÓn nhiªn Mk - mk ≤ M – m cho nªn n ∑ // k =1 n wk Δ k ≤ (M – m) ∑ // Δ k ≤ 4r(M – m)ε k =1 n Tõ (1) vµ (2) ta cã (2) ∑ // wk Δ k < ε[b – a + 4(M – m)r] (3) k =1 nªn d(π) < δ (δ < ε). V× ε > 0 nhá tuú ý, [b- a+ 4(M- m)r] lµ h»ng sè nªn lim n ∑ wk Δ k d (π ) →0 k =1 ⇒ =0 y = f(x) kh¶ tÝch trªn [a, b]. §Þnh lý 3.11. NÕu hµm sè y = f(x) bÞ chÆn vµ ®¬n ®iÖu trªn [a, b] th× f(x) kh¶ tÝch trªn [a, b]. 92 Chøng minh. Gi¶ sö y = f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng trªn ®o¹n [a, b]. Khi ®ã dao ®é cña nã trªn Δi sÏ lµ wi = f(xi) – f(xi – 1). Víi ε > 0 nhá tuú ý ta chän δ = ε f ( b) − f ( a) khi ®ã víi mäi phÐp ph©n ho¹ch π sao cho d(π) < δ ta cã n ∑ wk Δ k 0 ta cã thÓ lµm cho tæng nµy nhá h¬n n→∞ ε1(b – a). Tõ ®ã suy ra cã Ýt nhÊt 1 cËn trªn ®óng M < ε1 hay ∃[a1, b1] ⊂ [a, b] sao cho f(x) < ε1, ∀x ∈ [a1, b1]. b1 Ta cã ∫ f ( x )dx = 0. ThËt vËy v× a1 b a1 b1 b a a a1 b1 ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx mµ a1 b b1 b a b1 a1 a ∫ f ( x )dx ≥ 0, ∫ f ( x )dx ≥ 0 nªn 0 ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx = 0. T−¬ng tù [a1, b1] ta t¸ch ra [a2, b2] sao cho f(x) < ε2, ∀x ∈ [a2, b2]. Suy ra ta ®−îc 1 d·y çc ®o¹n th¾t {[an, bn]} trong ®ã 0 < f(x) < εk víi ak ≤ x ≤ bk (k = 1, 2, ...) Do ®ã ∃! c ∈ [ak, bk] sao cho 0 < f(c)< εk, k =1, 2, ..., m©u thuÉn v× εk→ 0 96 §Þnh lý 3.19. NÕu y = f(x) kh¶ tÝch trªn [a, b] th× hµm sè ⏐y⏐ = ⏐f(x)⏐ còng kh¶ b b ∫ ∫ a a tÝch trªn [a, b] vµ ⏐ f ( x ) dx ⏐ ≤ f ( x ) dx . Chøng minh. Dùa vµo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh. §Þnh lý 3.20. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh). NÕu hµm sè y = f(x) kh¶ tÝch trªn [a, b] vµ nÕu m ≤ f(x) ≤ M th× tån t¹i μ tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc m ≤ μ ≤ M sao cho b ∫ f ( x )dx = μ(b – a). a b Chøng minh. Ta cã m(b – a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M(b – a) a b ⇒ m≤ 1 . f ( x ) dx ≤ M b − a ∫a b 1 §Æt μ = . f ( x ) dx ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. b − a ∫a Chó ý. §Æc biÖt y = f(x) lµ hµm sè kh¶ tÝch trªn [a, b]. Theo ®Þnh lý B«nxan« C«si I suy ra ∃c ∈ [a, b] sao cho f(c) = μ, m ≤ μ ≤ M, m = minf(x), M = maxf(x). b Do ®ã ∫ f ( x )dx = f(c).(b – a). D a M ý nghÜa h×nh häc. NÕu y = f(x) liªn tôc, E C F kh«ng ©m trªn [a, b], diÖn tÝch h×nh b thang cong ABCD lµ ∫ f ( x )dx . A O a b a DiÖn tÝch ®ã b»ng diÖn tÝch cña 97 B c h×nh ch÷ nhËt ABEF cã chung ®¸y b – a víi diÖn tÝch h×nh thang cong vµ cã 1 chiÒu lµ f(c). §Þnh lý 3.21. NÕu çc hµm sè f(x) vµ g(x) tho¶ m·n 1) f(x) vµ g(x) kh¶ tÝch trªn [a, b] 2) m ≤ f(x) ≤ M 3) g(x) kh«ng ®æi dÊu trªn [a, b] Th× ∃μ ∈ [m, M] sao cho b b a a ∫ f ( x ).g( x )dx = μ. ∫ g( x )dx b Chó ý. Theo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh ∫ f ( x )dx chØ phô thuéc vµo hµm sè f a çc cËn a vµ b, kh«ng phô thuéc vµo çch ký hiÖu biÕn sè. Tøc lµ b b b a a a ∫ f ( x )dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t )dt 5. Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ nguyªn hµm Gi¶ sö y = f(x) lµ mét hµm sè kh¶ tÝch trªn [a, b] vµ a ≤ x ≤ b . ThÕ th× hµm sè f(x) còng kh¶ tÝch trªn [a, x] vµ tÝch ph©n cña nã trªn ®o¹n nµy lµ x x ∫ f ( x)dx , ta dïng kÝ hiÖu ∫ f (u )du a (*) a CËn d−íi a lµ h»ng sè cßn cËn trªn x cña nã lµ mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh nh−ng ®−îc lÊy tuú ý trªn [a, b]. ∀x ∈ [ a, b ] , tÝch ph©n (*) cã mét gi¸ trÞ hoµn toµn x¸c ®Þnh, suy ra nã cho ta mét hµm sè (x¸c ®Þnh trªn[a, b]) gäi lµ l©n cËn trªn cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh. §Þnh lý 3.22. NÕu hµm sè f(x) kh¶ tÝch trªn [a, b] vµ liªn tôc t¹i mét ®iÓm nµo ®ã x x ∈ [ a, b ] th× hµm sè F ( x) = ∫ f (u )du kh¶ vi t¹i x vµ F’(x) = f(x). a 98 Chøng minh.Gi¶ sö a ≤ x 0 ®ñ nhá sao cho x + Δx ≤ b . Khi ®ã ta cã x +Δx F ( x + Δx) − F ( x) = ∫ x a f (u )du − ∫ f (u )du = ∫ f (u )du + a a x x +Δx ∫ f (u )du a x +Δx = ∫ f (u )du (1) x V× hµm sè f kh¶ tÝch t¹i ®iÓm x cho nªn víi mçi sè ε > 0 cho tr−íc nhá tuú ý, ta sÏ cã f (u ) − f ( x) < ε tøc lµ f ( x) − ε < f (u ) < f ( x) + ε nÕu Δx ®ñ nhá vµ x ≤ u ≤ x + Δx x +Δx => ∫ ( f ( x) − ε ) du ≤ a x +Δx ∫ x +Δx f (u ) du ≤ x ∫ ( f ( x) + ε )du a V× vËy tõ (1) ta cã 1 Δx x +Δx ∫ a F ( x + Δx) − F ( x) 1 ( f ( x) − ε )du ≤ ≤ Δx Δx x +Δx ∫ ( f ( x) + ε )du a Trong hai tÝch ph©n trªn, hµm sè d−íi dÊu tÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè tÝch ph©n u, cho nªn cã thÓ ®−a nã ra ngoµi dÊu tÝch ph©n. Do ®ã f ( x) − ε ≤ F ( x + Δx) − F ( x) ≤ f ( x) + ε Δx ChuyÓn qua giíi h¹n ( Δx ®ñ nhá, ε > 0 nhá tuú ý) ta cã lim F ( x + Δx) − F ( x) = f ( x) Δx lim F ( x + Δx ) − F ( x ) = f ( x) Δx Δx →0+ (2) Δx →0− (3) víi a ≤ x ≤ b . 99 Tõ (2), (3) cho ta hµm sè F(x) cã ®¹o hµm t¹i x vµ F’(x) = f(x). Trong tr−¬ng hîp x = a, x = b , ta cã ®¹o hµm mét phÝa F ' (a + 0) = lim F ( a + Δx ) − F ( a ) = f (a) Δx F ' (b − 0) = lim F (b + Δx) − F (b) = f (b) Δx Δx →0+ Δx →0− §Þnh lý 3.23. NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a, b] th× hµm sè x F ( x) = ∫ f (u )du lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n nµy. a §Þnh lý 3.24. NÕu φ ( x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn [a, b] th× b ∫ f ( x)dx = φ (b) − φ (a) (C«ng thøc Niut¬n – Lepnit). a Chøng minh. Gi¶ sö φ ( x) lµ 1 nguyªn hµm nµo ®ã cña hµm sè f(x) trªn [a, b] => φ ( x) − F ( x) = C , C lµ h»ng sè => φ ( x) = F ( x) + C Thay x = a vµo (1) φ (a ) = F (a ) + C = C (1) a ( F (a) = ∫ f (u )du = 0 ) a Thay x = b vµo (1): φ (b) = F (b) + C => F (b) = b ∫ f (u )du = φ (b) − φ (a) a Chó ý: Dïng Ký hiÖu φ ( x) a = φ (b) − φ ( a ) . b 1 VÝ dô: TÝnh dx dx . V× φ ( x ) = arctgx lµ nguyªn hµm cña ∫ 1 + x2 ∫ 1 + x2 0 1 ⇒ dx Π 1 = arctgx = arctg 1 − arctg 0 = . ∫ 1 + x2 0 4 0 100 π π 2 ∫ π π 2 3 TÝnh sin xdx = − cos π = cos π3 = cos 2 π 3 − cos π 2 = 1 1 −0= 2 2 3 6. Çc ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh 6.1. Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè §Þnh lý 3.25. Gi¶ sö i) Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [ a, b ] ii) x = ϕ (t ) lµ hµm sè kh¶ vi liªn tôc trªn [ a, b ] víi a ≤ ϕ (t ) ≤ b vµ ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b . Khi ®ã b β a α ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt . Chøng minh.V× f , ϕ , ϕ ′ lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc, cho nªn tån t¹i nguyªn hµm F ( x) vµ G (t ) cña hµm sè f ( x) vµ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) t−¬ng øng. Theo ph−¬ng ph¸p thÕ trong tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh th× G (t ) = F (ϕ (t )) (1) MÆt kh¸c ¸p dông c«ng thøc Niu t¬n – LÐpnit ta ®−îc b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) (2) a β ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = G (β ) − G(α ) α Tõ ii), (1), (3) ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô. TÝnh: π a) I = x sin xdx ∫ 1 + cos x 2 0 §Æt x = π − t ⇒ dx = - dt 101 (3) 0 I =∫ π (π − t )sin(π − t )(− dt ) 1 + cos 2 (π − t ) = (π − t )sin tdt sin tdt t sin tdt = π − 2 2 ∫0 1 + cos t ∫0 1 + cos t ∫0 1 + cos 2t π π π π =π∫ 0 => π − d (cos t ) −I 1 + cos 2 t π d (cos t ) π π2 I =− ∫ = − arctg (cos t ) = 2 0 1 + cos 2 t 2 4 0 π π b) cosxdx 4 0 (1 + sin x ) I =∫ §Æt t = 1 + sin x ⇔ sin x = t − 1 x = arcsin(t − 1) => dt = cos xdx . 2 dt t −3 7 I =∫ 4 =− = 3 1 24 1 t 2 => π π 4 c) 4 cosxdx sin xdx vµ J = ∫ . TÝnh I vµ J b»ng çch liªn kÕt I =∫ 0 sin x + cosx 0 sin x + cosx π π 4 π cosx + sin x π I+J =∫ dx = ∫ dx = x 04 = 4 0 sin x + cosx 0 4 π cosx − sin x dx sin + x cosx 0 4 I−J =∫ §Æt u = cos x + sin x => du = (cos x − sin x)dx 2 => I−J = ∫ 1 du 2 = ln u 1 = ln 2 (2) u 102 (1) π 1 π 1 ⎧ ln 2 = + = + ln 2 I ⎧⎪ I + J = π ⎪⎪ 8 2 8 4 4 ⇔ Tõ (1) vµ (2) ⎨ ⎨ ⎪⎩ I − J = ln 2 ⎪ J = π − 1 ln 2 = π − 1 ln 2 ⎪⎩ 8 2 8 4 6.2. Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn §Þnh lý 3.26. Gi¶ sö hµm sè u = f(x) vµ v = g(x) cã çc ®¹o hµm u ′ = f ′( x) vµ b b v′ = g ′( x) liªn tôc trªn [ a, b ] . Khi ®ã ∫ udv = uv a − ∫ vdu hay b a b ∫ f ( x) g ′( x)dx = f a b ( x) g ( x) a b − ∫ f ′( x) g ( x)dx a a Chøng minh. Ta cã b b a a ∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx . b Gäi H(x) lµ nguyªn hµm cña ∫ f ′( x) g ( x)dx a b ∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) a − H ( x) a => b b a =f b ( x) g ( x) a b − ∫ f ′( x) g ( x) dx . a VÝ dô. π a) TÝnh I = 3 x sin xdx ∫0 cos 2 x §Æt u = x => du = dx dv = sin xdx 1 v => = cos 2 x cos x 103 π π π π 3 3 3 3 x sin xdx x dx x π π I =∫ = −∫ = − ln tg ( + ) 2 cos x cos x 0 0 cosx 3cos π 2 4 0 3 = 0 2π π π π 2π 5π − ln tg ( + ) + ln tg = − ln(tg ) . 3 6 4 4 3 12 1 ∫ b) TÝnh I = x ln(1 + x 2 ) dx 0 ⎧x = 0 ⎧t = 1 => ⎨ ⎩x = 1 ⎩t = 2 §Æt 1 + x 2 = t => dt = 2 xdx vµ khi ⎨ 2 1 1 I = ∫ x ln(1 + x )dx = ∫ ln tdt . 21 0 2 2 ∫ TÝnh ln tdt b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn 1 2 2 1 I ln 2 ln tdt = t ln t − dt = 2ln 2 − 1 => = − . ∫1 ∫1 1 2 2 1 I = ∫ x 2 e − x dx = 2 − c) 0 5 e Chó ý: Khi dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè cã chó ý sau * §Æt t = ϕ(x) tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn: - ϕ(x) biÕn thiªn ®¬n ®iÖu (liªn tôc, hµm ®¬n trÞ) trªn [a, b] vµ cã ®¹o hµm liªn tôc. - f(x)dx trë thµnh g(t)dt, trong ®ã g(t) lµ mét hµm liªn tôc trong ϕ(a)≤ t ≤ b ϕ(b) th× ϕ ( b) ∫ f ( x )dx = ∫ a g (t )dt . ϕ ( a) * Hµm t = ϕ(x) ph¶i biÕn thiªn ®¬n ®iÖu trªn [a, b]v× cã thÓ x¶y ra ϕ(a) = ϕ(b). VÝ dô. 104 1 * I = ∫ (2 x − 1) 2 n+1 e x − x dx 2 −1 §Æt u = x – x2, u kh«ng ph¶i lµ hµm ®¬n trÞ trªn [0,1] , u(0) = u(1) = 0 phÐp ®Æt sai. 1 * I= dx ∫ 1+ t2 §Æt x = −1 π * I =∫ dx 2 0 1 + sin t 1 1 hµm sè x = gi¸n ®o¹n t¹i t = 0 ∈ [ −1, 1] t t . §Æt t = tgx , x ∈ [ 0, π ] kh«ng lµ hµm sè ®¬n trÞ phÐp ®Æt sai. 7. øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh 7.1. TÝnh ®é dµi ®−êng cong ph¼ng 7.1.1. §Þnh nghÜa. Cho ®−êng cong y = f(x) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Chia [a, b] bëi phÐp ph©n ho¹ch π ( a ≡ x0 < x1 < ... < xn ≡ b ) bëi çc ®iÓm chia x0, x1, ... xn. M i ( xi , f ( xi )) . Gäi G(D) lµ ®−êng gÊp khóc nèi M 0 , M 1 , ..., M n vµ L(D) lµ ®é dµi cña nã. d(π) = (xi - xi-1). Khi d(π) cµng nhá th× ®−êng gÊp khóc G(D) cµng gÇn ®−êng cong y = f(x), ta gäi ®é dµi cña ®−êng cong y = f(x) trªn [a, b] lµ gi¸ trÞ giíi h¹n L = lim L( D ) . d ( π )→0 7.1.2. Çch tÝnh. Trong h×nh häc gi¶i tÝch ta biÕt n L( D) = ∑ ( xi − xi −1 ) 2 + ( y ( xi ) − y ( xi −1 )) 2 . i =1 Hµm sè f(x) kh¶ vi liªn tôc trªn [a, b] th× kh¶ vi, liªn tôc trªn [xi-1, xi] (i= 1,..,n) . ¸p dông ®Þnh lÝ Lagr¨ng ta cã f(xi) - f(xi-1) = f ′(ξi )( xi − xi −1 ) víi ξi ∈ [ xi −1 , xi ] ⇒ L(D) = n ∑ (x − x i i −1 i =1 105 ) 1 + f ′( xi ) 2 (*) §Æt ϕ (ξi ) = 1 + f ′(ξi ) 2 thÕ th× (*) lµ tæng tÝch ph©n cña hµm sè b b a a 1 + f ′( x) trªn [a,b]. Do ®ã dlim L( D ) = ∫ ϕ ( x)dx hay L = ∫ 1 + f ′( x) 2 dx ( π ) →0 2 VÝ dô. TÝnh ®é dµi cña cung AB cña parabol y = 2x2 , A(0,0) ; B(1,2) 1 L = ∫ 1 + (4 x) 2 dx = 0 17 1 + ln(4 + 17) 2 8 7.1.3. §é dµi ®−êng cong x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh tham sè. §−êng cong ⎧ x = x(t ) , trong ®ã x(t), y(t) lµ nh÷ng hµm y y ( t ) = ⎩ (C) cho bëi ph−¬ng tr×nh tham sè ⎨ b sè liªn tôc trªn [a, b]. Khi ®ã L(C ) = ∫ ( x′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt a x2 y2 VÝ dô. TÝnh ®é dµi ®−êng elip 2 + 2 = 1 . ph−¬ng tr×nh tham sè a b ⎧ x = a cos t ⎨ ⎩ y = b sin t 2π L= ∫ a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 tdt 0 7.1.4. Vi ph©n cung. Gi¶ sö ®−êng cong (C) cho bëi ph−¬ng tr×nh tham sè ⎧ x = x(t ) , trong ®ã x(t), y(t) lµ nh÷ng hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ⎨ y = y ( t ) ⎩ [α, β]. Víi t biÕn thiªn thuéc [α, β]. XÐt trªn [α, t] ta cã t L(t ) = ∫ ( x′(u )) 2 + ( y ′(u )) 2 dt . α Nh− vËy L(t) x¸c ®Þnh mét hµm sè ®èi víi biÕn sè ®éc lËp t ; L(t) kh«ng ©m vµ t¨ng nghiªm ngÆt. Suy ra 2 dL ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ L′(t ) = ( x′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 106 2 dL = dx 2 + dy 2 => Tr−êng hîp t = x , y = f(x) b L = L( x) = ∫ => a 2 ⎛ dy ⎞ 1 + ( f ′( x)) dx => L′( x) = 1 + ⎜ ⎟ . ⎝ dx ⎠ 2 7.1.5 TÝnh kh¶ tr−êng ⎧ x = x(t ) , ⎩ y = y (t ) §Þnh nghÜa. Gi¶ sö ®−êng cong (C) lµ ®−êng cong cã ph−¬ng tr×nh ⎨ α ≤ t ≤ β trong ®ã x(t), y(t) liªn tôc trªn [α, β]. NÕu trªn ®o¹n ®ã ®−êng cong cã ®é dµi x¸c ®Þnh th× ta nãi r»ng ®−êng cong ®ã kh¶ tr−êng trªn [α, β]. * §iÒu kiÖn. NÕu çc hµm sè x(t), y(t) cã ®¹o hµm liªn tôc trªn [α, β] th× ®−êng cong (C) kh¶ tr−êng trªn [α, β]. Khi ®ã ®−êng cong (C) ®−îc gäi lµ ®−êng cong tr¬n. NÕu çc hµm sè x(t), y(t) cã ®¹o hµm kh¾p n¬i trõ mét sè h÷u h¹n ®iÓm th× ®−êng cong (C) ®−îc gäi lµ ®−êng cong tr¬n tõng khóc. 7.2. §é dµi cña ®−êng cong ghÒnh ⎧ y = f1 ( x) , z = f x ( ) 2 ⎩ a) NÕu cung MN cña ®−êng cong ghÒnh cho bëi ph−¬ng tr×nh ⎨ a≤ x ≤ b vµ f1(x), f2(x) cã ®¹o hµm liªn tôc trªn [a, b] th× ®é dµi cña cung MN: b L = ∫ 1 + y ′2 + z ′2 dx a ⎧ x = x (t ) ⎪ b) NÕu cung MN cho bëi ph−¬ng tr×nh ⎨ y = y (t ) , α ≤ t ≤ β, trong ®ã ⎪ z = z (t ) ⎩ x(t), y(t), z(t) cã ®¹o hµm liªn tôc trªn [a, b] th× ®é dµi cung MN: 107 β L = ∫ x′2 (t ) + y ′2 (t ) + z ′2 (t ) dt α c) T−¬ng tù nh− (1) ta cã dL = dx 2 + dy 2 + dz 2 gäi lµ c«ng thøc vi ph©n cung. 7.3. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ⎧ x = a, x = b 7.3.1. H×nh ph¼ng D giíi h¹n bëi ⎨ : S ( D) = ∫ f ( x ) dx ⎩ y = 0, y = f ( x) a b ⎧ x = a, x = b ⎩ y = f ( x)1 , y = f 2 ( x) 7.3.2. H×nh ph¼ng D ®−îc giíi h¹n bëi ⎨ b S ( D) = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx a VÝ dô. TÝnh diÖn tÝch h×nh trßn: x 2 + y 2 ≤ a 2 (a > 0). 7.3.3. TÝnh diÖn tÝch trong to¹ ®é cùc. Gi¶ sö miÒn T cÇn tÝnh diÖn tÝch trong ⎧ x = ρ cos ϕ , víi ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2] ; 0 ≤ ϕ ≤ g(ϕ) trong ®ã g(ϕ) lµ hµm sè y = sin ρ ϕ ⎩ to¹ ®é cùc ⎨ ϕ 1 2 2 d−¬ng liªn tôc trong [ϕ1, ϕ2]. S (T ) = ∫ [ g (ϕ ) ] dϕ . 2ϕ 1 7.3.4. H×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi çc ®−êng cong kÝn cho bëi ph−¬ng tr×nh ⎧ x = x(t ) , t ∈ [α, β] ⎩ y = y (t ) tham sè ⎨ β β β 1 S = ∫ x(t ) y ′(t )dt = − ∫ x′(t ) y (t ) dt = ∫ [ x(t ) y ′(t ) − x′(t ) y (t ) ] dt . 2α α α VÝ dô. TÝnh diÖn tÝch h×nh trßn cã b¸n kÝnh R (sinh viªn tù tÝnh). 7.4. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ 108 7.4.1. Gi¶ sö trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Ò çc Oxyz cho vËt thÓ va cã tÝnh chÊt sau: i) Hai mÆt ®¸y n»m trªn hai mÆt ph¼ng z = a, z = b (cã thÓ ®¸y chØ lµ mét ®iÓm). ii) Hai mÆt ph¼ng song song víi Oxy cã ®é cao z c¾t v theo mét thiÕt diÖn mµ diÖn tÝch cña nã tÝnh ®−îc lµ S(z). Gi¶ sö S(z) lµ hµm sè liªn tôc trªn [a, b], b V = ∫ S ( z ) dz . a 7.4.2. ThÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o thµnh do quay b ⎧a ≤ x ≤ b 2 ®−êng cong y = f(x) quanh trôc Ox ⎨ : V = π ∫ [ f ( x) ] dx a ⎩0 ≤ y ≤ f ( x ) 7.4.3. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o thµnh do quay ®−êng cong y = f(x) quanh trôc Oy b b V = 2π ∫ xf ( x) dx = π ∫ [ϕ ( y ) ] dy 2 a a VÝ dô. a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp cã ®¸y lµ mét ®a gi¸c cã diÖn tÝch lµ B, ®−êng cao h. Gi¶i: Ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz sao cho ®¸y cña h×nh chãp n»m trªn mÆt ph¼ng Oxy. ThiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng cã ®é cao z vµ h×nh chãp lµ mét ®a gi¸c ®ång d¹ng víi ®a gi¸c ®¸y. DiÖn tÝch cña thiÕt diÖn ®−îc x¸c ®Þnh h B(h − z )2 1 ⎛ z⎞ ⎛ z⎞ 1 => 1 = − = − = V B dz Bh S ( z) = B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫ 3 h2 h h ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 2 2 b) TÝnh thÓ tÝch h×nh cÇu b¸n kÝnh R (vÏ h×nh). Ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz sao cho trªn t©m O cña h×nh cÇu trïng gèc to¹ ®é, ThiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc Oz cã ®é cao z cã diÖn tÝch S ( z) = π r 2 = π (R2 − z 2 ) 109 R V= ∫ 4 3 π ( R 2 − z 2 )dz = π R3 . −R 7. 5. DiÖn tÝch xung quanh cña vËt thÓ trßn xoay Gi¶ sö ta cã vËt thÓ trßn xoay ®−îc giíi h¹n bëi mÆt cong do cung (a ≤ x ≤ b) cña ®−êng cong y = f(x) quay quanh trôc Ox vµ hai mÆt ph¼ng x = a, x = b. XÐt phÐp ph©n ho¹ch π: a ≡ x0 < x1 < .... < xn ≡ b . Nèi çc ®iÓm kÒ nhau ( xi −1 , f ( xi −1 )) víi ( xi , f ( xi )) y (1 ≤ i ≤ n) bëi çc ®o¹n th¼ng li ta ®−îc ®−êng gÊp khóc. Cho ®−êng gÊp khóc nµy quay xung quanh trôc Ox ta ®−îc a b x x mÆt nãn trßn xoay mµ ta cã thÓ tÝnh ®−îc diÖn tÝch S* cña z nã (lµ tæng diÖn tÝch cña çc mÆt nãn côt). DiÖn tÝch S* cµng gÇn diÖn tÝch cña mÆt trßn xoay S nÕu d (π ) cµng nhá th× diÖn tÝch xung quanh cña vËt thÓ trßn xoay trªn lµ gi¸ trÞ giíi h¹n b S = lim S c«ng thøc S = 2π ∫ f ( x) 1 + f ′2 ( x)dx . d ( π ) →0 * a §.3. TÝch ph©n suy réng 1. TÝch ph©n suy réng víi cËn v« tËn 1.1. §Þnh nghÜa 1 VÝ dô. Cho hµm sè f ( x) = 2 x Trong miÒn x ≥ 1 hµm sè f(x) d−¬ng, liªn tôc, ®¬n ®iÖu gi¶m khi x t¨ng vµ dÇn tíi 0 khi x → ∞. 110 b Víi b>1 ta cã dx ∫ x2 = 1− 1 1 b (1) 1 §ã lµ sè ®o diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng S ®−îc giíi h¹n bëi y = 0 , y = 2 , x x = 1, x = b. Khi b rÊt lín th× diÖn tÝch cña h×nh S bÞ chÆn vµ khi b → + ∞ th× gi¸ trÞ tÝch ph©n (1) tiÕn tíi 1 ⇒ coi tÝch ph©n cña hµm sè 1 x2 víi cËn b → +∞ nh− lµ giíi h¹n cña tÝch ph©n (1). §Þnh nghÜa 1. Cho hµm sè y = f(x) kh¶ tÝch trong [ a, b] víi mäi sè h÷u h¹n b b > a. Ta sÏ gäi giíi h¹n lim b →+∞ ∫ f ( x)dx (2) nÕu nã tån t¹i lµ tÝch ph©n suy réng a +∞ cña hµm sè y = f(x) trªn [a, + ∞] vµ kÝ hiÖu ∫ f ( x)dx . (3) a + NÕu giíi h¹n (2) tån t¹i h÷u h¹n th× ta nãi r»ng tÝch ph©n (3) héi tô. + NÕu giíi h¹n (2) kh«ng tån t¹i (= +∞) ta nãi r»ng tÝch ph©n (3) ph©n kú b ∫ T−¬ng tù, ta ®Þnh nghÜa f ( x)dx . −∞ +∞ §Þnh nghÜa 2. NÕu tån t¹i 2 tÝch ph©n ∫ b f ( x)dx vµ t¹i tÝch ph©n ∫ −∞ +∞ f ( x)dx vµ ∫ +∞ f ( x)dx = −∞ f ( x)dx th× ta nãi r»ng tån −∞ a +∞ ∫ ∫ a VÝ dô 1. TÝnh çc tÝch ph©n sau 111 b f ( x)dx + ∫ −∞ f ( x)dx . +∞ dx ∫ 1 + x2 0 0 b = lim b →+∞ dx ∫ 1 + x2 = lim arctg b = 0 b →+∞ π 2 π dx ∫ 1 + x2 = 2 −∞ +∞ dx ∫ 1 + x 2 =π −∞ +∞ ∫ VÝ dô2. XÐt tÝch ph©n suy réng a x1−α = ∫ xα 1 − α a b +) α ≠1, dx dx b = a a > 0, α > 0 xα ( 1 b1−α − a1−α 1−α ) ⎡ a 1 1−α 1−α b lim ∫ = lim −a = ⎢1 − α ⎢ b →+∞ xα b →+∞ 1 − α a ⎣ +∞ b ( dx b dx +) α = 1, lim ∫ = lim ln x b →+∞ x b →+∞ a (α > 1) ) b a . (α < 1) = lim ( ln b − ln a ) = +∞ . b→+∞ VËy tÝch ph©n héi tô víi α > 1 ph©n kú víi 0 < α ≤ 1. 1.2. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n suy réng +∞ ∫ TÝnh chÊt 1: NÕu tÝch ph©n +∞ f ( x) dx héi tô th× tÝch ph©n a ∫ f ( x) dx (víi A A > a) còng héi tô vµ ng−îc l¹i. +∞ Ngoµi ra, ∫ +∞ A f ( x) dx = a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx . A a +∞ TÝnh chÊt 2: NÕu tÝch ph©n ∫ +∞ f ( x)dx héi tô th× lim A→+∞ A 112 ∫ A f ( x)dx = 0 . +∞ TÝnh chÊt 3: NÕu tÝch ph©n ∫ +∞ f ( x) dx héi tô th× tÝch ph©n A a +∞ sè) còng héi tô vµ ∫ c. f ( x)dx +∞ = c. a ∫ f ( x) dx . a +∞ TÝnh chÊt 4: NÕu çc tÝch ph©n ∫ +∞ ∫ g ( x)dx f ( x)dx vµ A +∞ ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx ∫ c. f ( x)dx (c h»ng a +∞ héi tô vµ a héi tô th× tÝch ph©n +∞ ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ a +∞ f ( x)dx ± a ∫ g ( x)dx . a 1.3. §iÒu kiÖn héi tô +∞ §Þnh lý 3.27. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tÝch ph©n ∫ f ( x)dx (1) (trong ®ã f(x) > a A 0 ∀x: a≤ x < +∞) héi tô lµ tÝch ph©n ∫ f ( x)dx (víi mäi A > a) bÞ chÆn tøc lµ a A ∫ f ( x)dx ≤ L, (L- h»ng sè) a (2) +∞ Chó ý: NÕu ®iÒu kiÖn (2) kh«ng tho¶ m·n th× ∫ f ( x) dx = + ∞. a §Þnh lý 3.28. Gi¶ sö 0 ≤ f(x) ≤ ϕ(x) khi a ≤ x < + ∞ vµ çc hµm f(x), ϕ(x) kh¶ 113 +∞ +∞ ∫ ϕ ( x)dx héi tô ∫ tÝch trong mäi ®o¹n [a, b] (a < b) nÕu a +∞ vµ ∫ +∞ f ( x) dx ≤ a a +∞ ∫ ϕ ( x)dx . NÕu ∫ a f ( x) dx còng héi tô +∞ f ( x) dx ph©n kú th× a ∫ ϕ ( x)dx còng ph©n a kú. +∞ VÝ dô. XÐt sù héi tô cña ∫ xα e − x dx , (α - lµ h»ng sè) 1 Ta cã lim x →+∞ ⇒ α x .e −x 1 α −2x x e = α =x 1 − x α 0 < 1 ⇒ víi x ®ñ lín x e 2 1 1 − x − x .e 2 .e 2 1 − x a sao cho nÕu A1 > A0 vµ A2 > A0 th× A2 ∫ f ( x)dx − a A1 ∫ f ( x)dx = a A2 ∫ f ( x)dx < ε A1 +∞ §Þnh nghÜa. TÝch ph©n ∫ +∞ f ( x) dx ®−îc gäi lµ htt® nÕu tÝch ph©n a ∫ +∞ f ( x)dx héi tô nh−ng a ∫ a +∞ ∫ f ( x) dx a +∞ héi tô. TÝch ph©n ∫ f ( x) dx gäi lµ b¸n héi tô. a 114 f ( x) dx ph©n kú th× tÝch ph©n §Þnh lý 3.30. Cho hµm sè y = f(x) kh¶ tÝch trong mäi ®o¹n [a, b] ( 0 < a < b) c 1) NÕu α > 1 vµ nÕu víi x ®ñ lín ta cã f ( x) < α Trong ®ã c lµ mét x +∞ ∫ h»ng sè d−¬ng th× f ( x) dx héi tô tuyÖt ®èi. a +∞ 1 2) NÕu 0 < x ≤ 1 vµ nÕu víi x ®ñ lín ta cã f ( x) > α th× x ∫ f ( x) dx a ph©n kú. +∞ Chøng minh. V× ∫ a dx xα héi tô víi α > 1 vµ ph©n kú víi 0 < x ≤ 1 nªn theo ®Þnh lý 3.28 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý. NÕu f(x) kh¶ tÝch trong mäi ®o¹n [a1, b] (a1 < b, a1 ≤ a) th× tõ tÝnh héi tô +∞ cña ∫ +∞ f ( x) dx (a > 0) ⇒ a ∫ f ( x) dx héi tô. a1 §Þnh lý 3.31. Cho α > 0, a > 0 vµ hµm sè ϕ(x) liªn tôc víi x ≥ a. NÕu tån t¹i b ∫ ϕ ( x)dx < c h»ng sè d−¬ng c sao cho víi mäi b > a, ta cã th× tÝch ph©n a +∞ ∫ a ϕ ( x) xα dx héi tô. x ∫ Chøng minh: §Æt ϕ (u ) du = φ ( x ) thÕ th× ⏐ϕ(x)⏐ < c, (a < x < + ∞). a TÝch ph©n tõng phÇn ta ®−îc x ∫ a ϕ (u ) uα x du = ∫ a φ ′(u ) uα x x φ (u ) ⎛ φ (u ) ⎞ du = ⎜ α ⎟ + α ∫ α +1 du ⎝ u ⎠a au 115 v× khi x → + ∞ vµ φ(a) = 0 ta cã φ ( x) < α x x α x → 0 nªn sè h¹ng thø nhÊt dÇn tíi 0 khi x → + ∞. MÆt kh¸c v× α > 0 vµ φ ( x) < c nªn theo ®Þnh lý 3.30 α +∞ ∫ 0 +∞ φ (u ) ∫ du héi tô tuyÖt ®èi, do ®ã uα +1 a ϕ ( x) xα dx héi tô. VÝ dô. +∞ ∫ a) XÐt sù héi tô cña 0 sin x dx x +∞ x V× ∫ sin udu = 1 − cos x ≤ 2 (0 < x < +∞) ⇒ a ∫ 0 +∞ ∫ b) XÐt sù héi tô cña a sin x dx x sin x dx héi tô. x ( a > 0) Ta cã sin x ≥ sin 2 x . +∞ XÐt sù héi tô ∫ a sin 2 x dx = x +∞ T−¬ng tù nh− trªn ∫ a +∞ NÕu ∫ a +∞ VËy ∫ a ∫ a +∞ sin 2 x dx ph©n kú ⇒ x ∫ a 1 − cos 2 x dx = 2x +∞ ∫ a dx − 2x cos 2 x dx héi tô. 2x sin 2 x dx héi tô th× x +∞ Ta cã +∞ ∫ a dx héi tô ⇒ v« lý. 2x +∞ ∫ a sin x dx ph©n kú. x sin x dx b¸n héi tô. x 116 +∞ ∫ a cos 2 x dx 2x 2. TÝch ph©n cña hµm sè kh«ng bÞ chÆn 2.1. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn [a, b] vµ kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n [a + ε, b] víi 0 < ε < b - a nh−ng kh«ng bÞ chÆn trªn toµn ®o¹n [a, b]. NÕu tån t¹i b giíi h¹n lim ε →∞ ∫ f ( x)dx (1) th× ta gäi giíi h¹n ®ã lµ tÝch ph©n suy réng cña a +ε b hµm kh«ng bÞ chÆn f(x) trªn [a, b] vµ ký hiÖu lµ ∫ f ( x)dx (2) a + NÕu giíi h¹n (1) tån t¹i h÷u h¹n th× tÝch ph©n (2) héi tô, ng−îc l¹i ta nãi r»ng nã ph©n kú. + ë trong ®Þnh nghÜa 1 hµm sè f(x) kh«ng bÞ chÆn trong l©n cËn cña ®iÓm a nªn x = a ®−îc gäi lµ ®iÓm kú dÞ cña hµm sè f(x). + TÝch ph©n suy réng cña hµm kh«ng bÞ chÆn trªn [a, b] trong tr−êng hîp b lµ ®iªm kú dÞ cña f(x) ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù. + x = c (a< c < b) lµ ®iÓm kú dÞ, ta cã §Þnh nghÜa 2. Cho hµm sè f(x) kh¶ tÝch trong ®o¹n [a, c - ε1], [c+ ε2, b] trong ®ã 0 < ε1 < c – a, 0 < ε2 < b - c vµ kh«ng bÞ chÆn trong l©n cËn cña ®iÓm c. Khi ®ã nÕu tån t¹i çc giíi h¹n c −ε1 lim ε1 →0 ∫ c f ( x)dx = ∫ f ( x)dx , lim a ε 2 →0 a b b ∫ c +ε 2 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx c th× ta nãi r»ng sÏ tån t¹i tÝch ph©n (suy réng) cña hµm sè kh«ng bÞ chÆn f(x) trªn [a, b] vµ b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . VÝ dô. 1 ∫ 0 dx 1 − x2 = π 2 0 ; ∫ 1 dx 1 − x2 117 = π 2 b dx ∫ ( x − a )λ (λ > 0) a NÕu 0 < λ < 1 héi tô. NÕu λ ≥ 1 ph©n kú. 2.2. Mèi liªn hÖ gi÷a hai lo¹i tÝch ph©n suy réng Gi¶ sö ta cã hµm sè f(x0 x¸c ®Þnh trªn [a, b] kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n [a + ε, b], (0 < ε < b - a) vµ kh«ng bÞ chÆn trong l©n cËn ®iÓm x = a. Do ®ã ta cã b b ∫ f ( x )dx = εlim ∫ →0 f ( x ) dx a +ε a §Æt x = a + 1 1 1 ) ⇒ dx = − 2 dy , ( y = y x−a y x a +ε b y 1 1 b−a ε 1 b Ta cã ∫ f ( x )dx = a +ε ϕ ( y) = trong ®ã 1 ε ∫ 1 b−a 1 dy f (a + ) 2 = y y ε ∫ ϕ ( y ) dy 1 b−a 1 1 ( ) f a + y y2 1 Tõ ®ã b ε +∞ a 1 b−a 1 b−a ∫ f ( x)dx = εlim ∫ ϕ ( y ) dy = ∫ ϕ ( y ) dy →0 2.3. §iÒu kiÖn héi tô Ta chØ xÐt tr−êng hîp hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn [a, b], kh¶ tÝch trªn [a + ε, b], 0 < ε < b - a vµ x = a lµ ®iÓm kú dÞ cña f(x). 118 b §Þnh lý 3.32. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tÝch ph©n ∫ f ( x)dx (2) héi tô (trong ®ã a b f(x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b]) lµ tÝch ph©n ∫ f ( x) dx bÞ chÆn ∀ε (0 < ε < b - a) tøc lµ a +ε b ∫ f ( x) dx ≤ L . a +ε b ∫ §Þnh lý 3.33. Gi¶ sö 0 ≤ f(x) ≤ ϕ(x) víi a ≤ x ≤ b khi ®ã nÕu tÝch ph©n ϕ ( x) dx a héi tô th× b b b b a a a a ∫ f ( x)dx còng héi tô vµ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ ϕ ( x)dx . Ng−îc l¹i ∫ f ( x)dx b ∫ ph©n kú th× ϕ ( x) dx còng ph©n kú. a b §Þnh lý 3.34. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tÝch ph©n ∫ f ( x)dx héi tô lµ víi mçi sè η a > 0 ®Òu tån t¹i sè δ > 0 sao cho víi 0 < ε < δ vµ 0 < ε’ < δ ta cã a +ε ' ∫ f ( x) dx < η . a +ε b b HÖ qu¶. NÕu tÝch ph©n ∫ f ( x) dx héi tô th× tÝch ph©n ∫ f ( x )dx còng héi tô. a a 119 b ∫ f ( x )dx §Þnh nghÜa. TÝch ph©n ®−îc gäi lµ héi tô tuyÖt ®èi nÕu tÝch ph©n a b b ∫ f ( x) dx héi tô. TÝch ph©n ∫ f ( x )dx ®−îc gäi lµ b¸n héi tô nÕu tÝch ph©n a a b b ∫ f ( x )dx héi tô cßn ∫ a f ( x) dx ph©n kú. a §Þnh lý 3.35. 1) NÕu 0 < λ < 1 vµ nÕu víi mäi x > a ®ñ gÇn a ta cã f ( x) ≤ 1 ( x − a) λ th× b ∫ f ( x)dx héi tô tuyÖt ®èi. a 2) NÕu λ ≥ 1 vµ ∀x ≥ a, ®ñ gÇn a ta cã f ( x) ≤ 1 ( x − a )λ th× tÝch ph©n b ∫ f ( x)dx ph©n kú. a 1 VÝ dô. XÐt sù héi tô cña I = Ta cã lim x →+∞ ⇒ ln x x < 1 1 x4 ln x dx . x 0 ∫ ln x = 0 < 1 ⇒ 1 x4 ln x < 1 ⇒ ln x < x 3 ,λ= 0 ®ñ nhá. §Þnh lý 3.36. Cho sè λ > 0 hµm sè ϕ(x) liªn tôc x > a. NÕu tån t¹i h»ng sè b ∫ d−¬ng c, sao cho ϕ ( x)dx < c víi sè ε > 0 nhá tuú ý th× tÝch ph©n a +ε b λ x − a ϕ ( x)dx ( ) ∫ héi tô. a b Chøng minh §Æt ∫ ϕ ( x)dx = φ (u ) , a < u ≤ b th× φ (u ) < c (a < u ≤ b) tÝch u ph©n tõng phÇn ta ®−îc b ∫ ( x − a) λ b ϕ ( x)dx = a +ε λ ∫ ( x − a ) φ ′( x)dx a +ε = b ⎡ − ( x − a )λ φ ( x ) ⎤ +λ ⎣ ⎦ a +ε b λ −1 ∫ ( x − a ) φ ( x)dx a +ε λ = ε φ (a + ε ) + λ b λ −1 x − a φ ( x)dx ( ) ∫ a +ε v× φ (b) = 0 . Khi ε → 0 th× sè h¹ng thø nhÊt dÇn tíi 0 (do λ > 0 ) vµ φ (a + ε ) < c . MÆt kh¸c v× ( x − a )λ −1 φ ( x) < c 1− λ ( x − a) b theo ®Þnh lý 3.35 tån t¹i giíi h¹n lim ε →0 trong ®ã 1 − λ < 1 cho nªn λ −1 ∫ ( x − a ) φ ( x)dx = A h÷u h¹n. a +ε §iÒu ®ã chøng tá tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n 121 b lim ε →0 b λ λ x − a ϕ ( x ) dx hay x − a ϕ ( x)dx ( ) ( ) ∫ ∫ a +ε héi tô. a VÝ dô. XÐt sù héi tô cña 1 ⎛ 1 ⎞ dx I = ∫ cos ⎜ ⎟ 2−α ⎝ x⎠x 0 1 1 (0 < α < 2) . ⎛1⎞ Ta cã I = xα 2 cos ⎜ ⎟ dx ⎝ x⎠ x 0 ∫ Hµm sè kh«ng bÞ chÆn trong l©n cËn ®iÓm x = 0. ⎛1⎞ 1 XÐt φ ( x) = 2 cos ⎜ ⎟ . ⎝ x⎠ x 1 ε 1 ⎛ 1 ⎞ dx cos cos ydy sin = = − sin1 < 2 ∫ ⎜⎝ x ⎟⎠ x 2 ∫ ε 1 ε 1 1 §Æt x = ta cã y 1 ⇒ ⎛ 1 ⎞ dx ∫ cos ⎜⎝ x ⎟⎠ x 2−α héi tô. 0 y y = xα - 2 x O 122 [...]... minh tơng tự 2.3.2 Bổ đề về các dãy đoạn thắt 18 Định nghĩa Ta sẽ gọi dãy các đoạn thẳng {[an, bn]} là dãy các đoạn lồng thắt nếu [ an+1 , bn+1 ] [ an , bn ] và lim ( bn an ) = 0 n Bổ đề Căngto Với mỗi dãy lồng thắt các đoạn thẳng tồn tại duy nhất điểm C sao cho C [an, bn], n Chứng minh Từ giả thiết [ an+1 , bn+1 ] [ an , bn ] {an} là dãy tăng, còn {bn} là dãy giảm và đều bị chặn Định lí 1.8... } là VCB khi n 20 1 Ví dụ n là VCB, 2 1 + ( 1)n là VCB n * Tính chất và phép toán 1) Tổng của hai đại lợng VCB là một đại lợng VCB 2) Tích của hai đại lợng VCB là một đại lợng VCB 3) Tích của một đại lợng VCB và một dãy hội tụ là một đại lợng VCB 4) Tích của một đại lợng VCB và một đại lợng bị chặn là một đại lợng VCB Chú ý 1) Nếu lim n = 0 thì lim c n = 0 , với c là hằng số n n 2) Thơng... phơng pháp biểu diễn hàm số 1.2.1 Phơng pháp giải tích Quy tắc xác định giá trị của hàm số đợc cho bằng một hay nhiều biểu thức toán học Ví dụ: y = ax + b; a, b 1 khi x > 0 signx = 0 khi x = 0 1 khi x < 0 (Hàm dấu) Hàm phần nguyên y = [x] = n nếu n x < n + 1 [- 3,1] = - 4, [3, 1] = 3, [1] = 1 24 1.2.2 Phơng pháp đồ thị Trong mặt phẳng ta chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy Mỗi cặp giá trị x và... 1 1 1 1 1 < , n > n0 lim = Với > 0, chọn = b 2 n y yn b b 2 n áp dụng iii) ta có điều phải chứng minh Chú ý 1) Nếu cả hai dãy hội tụ thì tổng, hiệu, tích, thơng của chúng cũng hội tụ 2) Nếu một dãy hội tụ, một dãy phân kỳ thì tổng, hiệu, tích, thơng phân kỳ 3) Cả hai dãy phân kỳ cha kết luận đợc 4) Sự hội tụ hay phân kỳ của một dãy hoàn toàn không phụ thuộc vào hữu hạn các số hạng ban đầu của... u điểm, nhợc điểm 1.3 Các phép toán trên các hàm số 25 1.3.1 Tổng, hiệu, tích, thơng của các hàm số Định nghĩa Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên miền Df và Dg tơng ứng Ta nói rằng hàm số h(x) xác định trên Dh là tổng của g và f nếu thoả mãn: i) Dh = Df Dg ii) h(x) = g(x) + f(x), x Dh Tơng tự ta định nghĩa cho hiệu, tích, thơng, của hai hàm số (thơng ta loại vì giá trị x làm cho g(x) = 0)... số g trên X nếu chúng đều xác định trên X và f(x) > g(x), x X Kí hiệu: f > g 1.4 Một số hàm số đặc biệt 1.4.1 Hàm bị chặn Định nghĩa 1 Ta nói rằng hàm số y = f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dới) trên miền X nếu tồn tại hằng số C (hoặc c) sao cho f(x) C (hoặc g(x) c), x X Hàm số đồng thời bị chặn trên và bị chặn dới đợc gọi là hàm bị chặn Nhận xét Từ định nghĩa suy ra mệnh đề: Để y = f(x) bị chặn... riêng của dãy { xn } đợc gọi là giới hạn trên của nó Kí hiệu: limxn n Số bé nhất trong các giới hạn riêng của dãy { xn } đợc gọi là giới hạn dới của nó Kí hiệu: lim xn n Định lí 1.11 Mọi dãy số { xn } đều có giới hạn trên và giới hạn dới trong tập số thực mở rộng Định lí 1.12 Điều kiện cần và đủ để dãy { xn } có giới hạn (hữu hạn hoặc bằng ) là limxn = lim xn n n Chứng minh Điều kiện cần là hiển... tiếp tục mãi quá trình trên đây ta nhận đơch dãy {[an, bn]} các đoạn thẳng có tính chất [an+1, bn+1] [an, bn] và bn an = 1 ( b a ) 0 khi n Mỗi đoạn 2n [an, bn] chứa vô số phần tử của {xn} Theo bổ đề Căngto, ! c R sao cho lim an = lim bn = c Ta chọn dãy { xnk } nh sau: n n Trong đoạn [a1, b1] chọn xn1 , trong [a2, b2] chọn x2 sao cho n2 > n1, cứ tiếp tục quá trình nh trên ta đợc {x } {x } nk... N sao cho x n a < 2 với n > n1 xn b < 2 với n > n2 Chọn n0 = max{n1, n2} ta có = a - b a - xn + xn - b < 2 + 2 = , n > n0 Điều này vô lý Vậy định lý đợc chứng minh Định lí 1.4 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn Chứng minh Giả sử lim xn = a , với = 1, n N sao cho x n a < = 1 n a - 1 < xn < a + 1, n > n Chọn C = max{ 1 + a , 1 a , x1 , x 2 , , x n , } x n C, n Vậy định lý đợc chứng minh Định... và viết lim n = + n Tơng tự ta có lim n = nếu với n đủ lớn ta có n < M n Ví dụ {( 1) n} là một VCL, {n 5} là VCL n 2 Tính chất 1) Nếu { n } là một VCL và n n , n thì { n } là một VCL 21 2) Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL 1 3) Nếu { n } là một VCL thì là một VCB n 1 4) Nếu { n } là một VCB và n 0 , n thì là một VCL n 2.5 Số e n 1 Ta chứng minh đợc {an ... tính tích phân xác định 101 ứng dụng tích phân xác định 105 110 Đ.3 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vô tận 110 Tích phân hàm số không bị chặn 117 Lời nói đầu Giải tích cổ điển môn... giác 83 Tích phân hàm số siêu việt 84 85 Đ2 Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định 85 Điều kiện khả tích 89 Các lớp hàm khả tích 91 Tính chất tích phân xác định 93 Mối liên hệ tích phân... tính tích phân 74 74 Đ1 Tích phân không xác định Khái niệm nguyên hàm tích phân không xác định 74 Các phơng pháp tính nguyên hàm 76 Tích phân biểu thức hữu tỷ 78 Tích phân biểu thức vô tỷ 80 Tích

Ngày đăng: 14/10/2015, 10:07

Xem thêm: Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển, Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan