Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Đạo hàm và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng, khả vi và Vi phân, đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

• CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI

• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

• CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT

• CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA

Trang 2

CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• §1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

• §2: Đạo hàm riêng

• §3: Khả vi và Vi phân

• §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp

• §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn

• §6: Công thức Taylor – Maclaurint

• §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị

có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng

Trang 3

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa

Miền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể nhận được

Trang 4

Trang 5

Trang 6

 Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong

Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D Đồ thị của f là tập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x, y)

Trang 7

Trang 8

Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tại

ít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằm hoàn toàn trong D

Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc D

và những điểm không thuộc D

Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu với

mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1

điểm N thuộc D, khác M

Cho tập D và 1 điểm M thuộc R2 Ta định nghĩa 3 loại điểm như sau :

Trang 9

• Chú ý :

1.Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn điểm biên của D thì có thể không thuộc D

2.Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì

có thể không là điểm biên

Định lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khi tồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞ thì d(Mn,M) →0

Trang 10

Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất

kỳ điểm biên nào

: ( , )

Tập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trong một hình cầu nào đó, tức là

Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên mà

không chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,

không đóng

Trang 11

Ví dụ : Cho D là phần hình cầu

Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó

D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong Vậy D là tập mở

Trang 12

B

O

B

A

Biên của D là 3 đoạn OA,

OB, AB Miền D không

chứa đoạn AB tức là D

không chứa mọi điểm biên

nên D không là tập đóng

Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm

biên thuộc đoạn OA, OB

Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở

Ví dụ : Trong R2 cho miền D

2

Trang 13

Lưu ý: Định nghĩa trên tương tự như giới hạn của

hàm f(x), khi M dần đến M0 (không trùng M0), nếu f(M) dần về a thì ta cũng nói giới hạn của f(M) bằng a

Khi ấy, ta viết

0 0

Trang 14

Một cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm cho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau

Như vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường cong

L1,L2 khác nhau và f(M) dần đến 2 giá trị a1≠a2 thì ta nói không tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0

Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L,

mà hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng có

0 0

Trang 15

Trang 16

Giải: Đặt t = xy →0 thì

3 3

Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x

Vậy giới hạn đã cho là không tồn tại

sin( )lim

x y

xy xy

Trang 17

Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương

1 lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b

2 lim f(x,y).g(x,y) = a.b

3 lim C.f(x,y) = C.a

f(x,y)

g(x,y)

a b b

Trang 18

Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và

0 0

0 0 ( , )lim( , ) ( , ) ( , )

x y x y f x y f x y

Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc miền D

Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục

Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ

Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục

Trang 19

§2 : Đạo hàm riêng

Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm 2 biến f(x,y), đạo hàm theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0) là giới hạn (nếu có)

Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)

theo biến x, ta coi y là hằng số

Trang 21

0

( ,0) ( ,0) ( ,0) 0 li m 0

( , )

f x y x y Tính f’x, f’y tại (0,0) Giải :

Nếu tính bằng cách thông thường, ta sẽ không tính được đhr tại điểm đặc biệt (0,0) Do đó, ta sẽ tính

Vì vai trò của x, y như nhau trong hàm f nên ta

cũng có f’y(0,0) = 1

Trang 22

Ví dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = ( y / x ) z

Giải: Ta tính 3 đhr của hàm 3 biến

Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại

f(x,y,z) = y z x -z

rồi tính đạo hàm bình thường

Lấy đhr theo x: y z , z là hằng số nên: f’ x = y z (-z)x -z-1

Tương tự: f’ y = zy z-1 x -z

Cuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàm ban đầu vì y / x là hằng số nên : f’z = (y/x)zln(y/z)

f(x,y,z) = y z x -z

Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại

f(x,y,z) = y z x -z

Trang 25

Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm

riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mở chứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)

Ghi chú :

1 Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý

Schwartz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm

2 Định lý Schwartz còn đúng cho các đạo hàm riêng

từ cấp 3 trở lên Tức là các đạo hàm riêng hỗn

hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo các biến

Trang 28

Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau

(không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đạo

Trang 29

Định lý 1: Hàm khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó

Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải

vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng theo x, y tại (x0,y0) và tương ứng bằng A, B trong định nghĩa vi

phân

Trang 30

§3 : Khả vi và Vi phân

Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định trong miền mở chứa (x0,y0) và các đạo hàm riêng liên tục tại (x0,y0) thì hàm khả vi tại (x0,y0)

Từ 2 định lý 2, 3 ta có biểu thức của vi phân

Trang 31

Thay vào công thức vi phân df(2,-1) = -11dx + 20dy

Ví dụ : Tính vi phân hàm f(x,y) = (xy)z

Tương tự như hàm 2 biến, ta có vi phân hàm 3 biến

Trang 33

Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y)

Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z)

3 3

Trang 35

§3 : Khả vi và Vi phân

2 2

Trang 37

df = (y 2 +e x+y+z )dx+(2xy–2z 2 +e x+y+z )dy+(-4yz + e x+y+z )dz

d 2 f=e x+y+z dx 2 +(2x+e x+y+z )dy 2 + (-4y+e x+y+z ) dz 2 +

2(2y+e x+y+z )dxdy+2(-4z+e x+y+z )dydz + 2(e x+y+z )dzdx

Trang 38

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp

Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp

Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y

là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong

khoảng (t 1 ,t 2 ), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng

Trang 39

Tổng quát hơn:

Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm

hợp của 2 biến u, v Ta có công thức tương tự:

x u

x v

y u

y v

Cần tính đạo hàm của z

theo biến nào ta đi theo

đường đến biến đó CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 40

Ví dụ : Cho hàm z = xe y , trong đó x=cosu+sinv,

đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả

nhanh hơn

Trang 41

Trang 42

Lấy đhr theo v thì nhân

Lấy đhr theo u thì nhân

Tương tự: z” xy = f” uu -f” uv -6f” vv , z” yy = f” uu -6f” uv +9f” vv

Trang 43

Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x 2 -y 2 ) Tính ,z z x y

Giải: Ta đặt t = x 2 -y 2, thì f là hàm theo 1 biến t, z=y.f

Vậy:

Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v)

tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v Ta tính vi phân của hàm z theo vi phân của 2 biến độc lập u, v

bằng cách dùng công thức như hàm 2 biến thường`

Trang 44

Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm hợp

Cho hàm z = z(x,y), trong đó x = x(u,v), y = y(u,v)

Ta đi tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z theo biến

Trang 45

Trang 46

Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc

lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2 của hàm z(u,v) Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp là

Giải: Ta sẽ tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, rồi

thay vào công thức vi phân, ta được:

Trang 47

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn

Hàm ẩn 1 biến (Đã biết) : Cho hàm y=y(x) xác

định từ phương trình hàm ẩn F(x,y)=0

để được công thức

Ta tính dy

dx từ đẳng thức này

Ta tính đạo hàm y’ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế

phương trình F(x,y)=0 theo x:

x y

y

x y

y

Trang 48

Giải:

Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức

2

111

1

x y

F y

F

y

2 2

1 y y

2(y 1)

y

Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0

Để tính đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo

hàm cấp 1 với ghi nhớ rằng y’ đã có trước đó để

thay vào cuối cùng

Trang 49

Hàm ẩn nhiều biến : Cho hàm z=z(x,y) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0 Ta phải tính 2

Hoặc ta có thể tính đạo hàm riêng của hàm z theo

x, y bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình hàm

ẩn lần lượt theo x, y (Coi biến còn lại là hằng số

Trang 50

Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương

Trang 51

Ta cũng sẽ được kết quả như trên

Để có đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1, và nhớ rằng z là hàm, biến còn lại là hằng số

Vi phân của hàm ẩn: hàm y(x) hoặc z(x,y) đều là

các hàm theo 1 hoặc 2 biến độc lập nên ta tính vi phân các cấp của chúng như với hàm bình thường

Trang 52

Ví dụ: Tính dz, d2z nếu ze x + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1)

Giải:

Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng

cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên

Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để được z = -1

3,

Trang 53

Trang 54

Ví dụ : Cho hàm z = f(x+y,x.y), tính vi phân dz, d 2 z

Giải: Ta đi tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm z

Trước hết, ta đặt t = x+y, s = x.y thì z là hàm theo 2

biến t và s, còn t, s là hàm theo 2 biến x và y Ta được

Trang 55

Ví dụ: Tính z’ x , z’ y nếu z = z(x,y) xác định từ pt

F(x+y+z,x+y-2z) = 0

Giải : Tương tự ví dụ trên, ta cũng đặt thêm 2 biến

trung gian t = x+y+z, s = x+y-2z

Trước tiên, ta dùng công thức đạo hàm hàm ẩn

Tức là ta phải tính 3 đạo hàm riêng của hàm F Khi

đó, ta coi F là hàm hợp theo t, s và t, s là hàm theo 3

biến x, y, z để sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp F’x = F’t.t’x + F’s.s’x = F’t + F’s = F’y, F’z = F’t - 2F’s

Trang 56

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Thay vào công thức trên, ta được kết quả

Trang 57

§5 : Công thức Taylor - Maclaurint

Công thức Taylor với phần dư Peano:

Cho hàm f(x,y) khả vi đến cấp (n+1) trong 1 hình cầu mở tâm M0 là B(M0,r) Ta có công thức:

n k

d f

k

Trang 58

Ví dụ : Khai triển Tay lor tại lân cận điểm (1,-1) hàm

f(x,y) = x 2 +2y 2 -3xy+4x-5y+7

Giải :

Do f(x,y) là đa thức bậc 2 theo x hoặc theo y nên từ cấp 3 trở đi, các đạo hàm riêng bằng 0 tức là vi phân cũng bằng 0 Ta chỉ cần tính vi phân của f đến bậc 2

Trang 59

Trang 60

3 Sắp xếp theo thứ tự bậc của X, Y, X.Y tăng dần

4 Thay X = x - x 0 , Y = y - y 0 vào để được khai

triển cần tìm

Trang 61

f x y

Trang 62

Ví dụ: Khai triển Maclaurint hàm f(x,y) = excosy đến bậc 2

Giải:

Ta áp dụng trực tiếp khai triển Maclaurint cho 2

hàm 1 biến e x và cosy để có kết quả:

f(x,y) = (1+x+ 1 / 2 x 2 +O(x 2 ))(1- 1 / 2 y 2 +O(y 2 ))

f(x,y) = 1 + x + ½ (x 2 -y 2 ) +R 2

f(x,y) = 1+x+ 1 / 2 x 2 - 1 / 2 y 2 + 1 / 2 xy 2 - 1 / 4 x 2 y 2 +R 2

Ta bỏ các số hạng bậc lớn hơn 2 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần của bậc, ta được :

Trang 63

§6 : Cực trị hàm nhiều biến

Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại

chặt tại M0 (x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại hình cầu mở B(M0,r) sao cho f(x,y) < f(x 0 ,y 0 ) , với mọi M(x,y) thuộc hình

cầu trên

Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại

không chặt tại M0 (x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại hình cầu mở

B(M0,r) sao cho f(x,y) ≤ f(x 0 ,y 0 ) , với mọi M(x,y)

thuộc hình cầu trên

Tức là: r 0 : M x y ( , ) B M r f x y ( 0, ), ( , ) f x y ( 0, 0)

Tức là: r 0 : M x y( , ) B M r f x y( 0, ), ( , ) f x y( 0, 0)

Trang 64

§6 : Cực trị hàm nhiều biến

Định nghĩa tương tự cho khái niệm cực tiểu chặt và cực tiểu không chặt

Chú ý: Khái niệm cực trị chỉ mang tính địa phương,

nó khác với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trong một miền (Xem hình vẽ)

Trang 65

§6 : Cực trị hàm nhiều biến - Cực trị tự do

Ví dụ: Hàm f(x,y) = x 2 + y 2 đạt cực tiểu tại (0,0) vì

f(x,y) – f(0,0) = (x 2 + y 2 ) ≥ 0, với mọi (x,y)

Ví dụ: Hàm f(x,y) = x 2 + y 2 đạt cực tiểu tại (0,0) vì

f(x,y) – f(0,0) = (x 2 + y 2 ) ≥ 0, với mọi (x,y)

Hơn nữa, f(0,0) = 0 còn

là giá trị nhỏ nhất của hàm trong toàn

MXĐ vì :

( , ) (0,0) 0, ( , )(0,0) 0

f

Trang 66

§6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do

Điều kiện cần của cực trị : Nếu hàm f(x,y) có cực

trị tại điểm M0(x0,y0) thì tại M0 hàm có các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 thì gọi là điểm dừng của hàm

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn của hàm tức là điểm nghi ngờ có cực trị

Điểm M mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng

0 và trong 1 lân cận bất kỳ của nó tồn tại các điểm

M1, M2 sao cho f(M1)<f(M)<f(M2) được gọi là điểm

yên ngựa

Định dạng
Số trang	107
Dung lượng	1,81 MB