Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân hai mặt cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2, công thức Gauss, công thức Stokes,.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) mặt S Chia S thành n phần tùy ý khơng dẫm lên Gọi tên diện tích mặt ΔSk, k=1, 2, , n Trên mảnh ta lấy điểm Mk tùy ývà lập tổng n Sn f (Mk ) Sk k Cho max(dΔSk) → (dΔSk đường kính mảnh Sk), tổng dần đến giới hạn hửu hạn ta gọi mặt loại hàm f(x,y,z) mặt S, kí hiệu n f ( x, y , z )ds S CuuDuongThanCong.com lim max( d Sk ) k f (Mk ) Sk https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Tính chất : Diện tích mặt S tính S ds S ( f g )ds S fds S gds S Nếu mặt S chia thành mặt không dẫm lên S1 S2 fds S fds S1 CuuDuongThanCong.com fds S2 https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Cách tính: f ( x, y , z( x, y )) zx2 f ( x, y , z )ds S zy2dxdy Dxy Trong : Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S F(x,y,z)=0 ta rút z theo x, y để z=z(x,y) Biểu thức zx2 zy2dxdy ds gọi vi phân mặt S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Ví dụ 1: Tính tích phân I1 mặt S phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu S xuống mp z=0 Dxy : 0≤x2+y2≤1 zx Pt mặt S (z dương) z x2 y2 → zy Suy ra: ds I1 (x y S 2dxdy Vậy: z )ds (x y x2 x2 y2 y x y y ) 2dxdy Dxy CuuDuongThanCong.com x https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Đổi sang tọa độ cực: I1 d I1 cos sin r rdr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Ví dụ 2: Tính tích phân I2 hàm f(x,y,z)=x+2y+3z mặt S mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 Mặt S gồm mặt nên I2 chia làm C Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta Dyz: ΔOBC B O A CuuDuongThanCong.com I21 fds ( x 0) (2y OBC https://fb.com/tailieudientucntt 3z )dydz Tích phân mặt loại Tương tự, mặt tọa độ lại C I22 fds ( y 0) (x 3z )dxdz OAC B O I23 A fds ( z 0) (x 2y )dxdy OAB Cuối cùng, mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)) Ta chiếu xuống mp z=0 Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : 14 z y x ds dxdy dxdy 3 9 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Do đó: I24 14 dxdy OAB fds ( x y z 6) I2 I21 CuuDuongThanCong.com I22 I23 I24 https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Ví dụ 3: Tính I3 hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z mặt S phần hình trụ x2+y2=1 nằm hình cầu x2+y2+z2=2 Chú ý: Ta khơng thể chiếu S xuống mp z=0 mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 đường tròn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 Ta tìm hình chiếu S xuống mp x=0 cách khử x từ pt mặt Dyz: y2≤1, z2 ≤ Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: CuuDuongThanCong.com x https://fb.com/tailieudientucntt y2 Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Đưa I8 thành mặt loại Ta có: n (0,2y , 1) (cos ,cos ,cos ) Suy 4y 2y cos 0, cos I8 4y (2 1)dxdy (0 , cos = 4y 0)dzdx (1 1)dydz Do đó: S [1.cos 2.cos ]ds S Pt mặt S: z=y2 nên ds I8 4y 2 2 x y 4y CuuDuongThanCong.com 4y 2dxdy 1dxdy I8 https://fb.com/tailieudientucntt Vậy: Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 8: Tính I8 (x y )dx (2x z )dy ydz C Với C giao tuyến x2+y2=1 z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 2: Tính trực tiếp cách viết pt tham số C x cos t C: x2 y2 z y y sin t z sin t t di tu den 2 I8 [(cos t sin t )( sin t ) (2cos t Vậy: sin2 t )cos t sin t 2sin t cos t ]dt I8 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính sau I1 I2 I3 I4 zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S zdxdy y 2dxdz S phía ngồi vật thể gh ≤z ≤1-x2-y2 S y 2dzdx x 2dydz zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, S z≥0 ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy xdydz ydzdx S S phía ngồi phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 x I5 zdxdy ( )dydz ( y z )dxdz S phía x S phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn -1≤y≤1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt S Pt mặt S F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: F (2x,2y ,2z ) I1 xdydz ydzdx S phía tức pháp vecto S hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị “+” n ( x, y , z ), z Tiếp theo, ta chọn cách: Tính trực tiếp chuyển mặt loại CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt Với này, ta chuyển mặt loại cách dùng CT , với pháp vecto đơn vị n (cos ,cos ,cos ) Rdxdy Qdxdz Pdzdy S P cos Q cos R cos ds S Từ I1 xdydz ydzdx zdxdy , n S Suy ra: I1 S x y2 ( x, y , z ), z z ds Với mặt loại này, ta có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) 2dxdy 2 Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds 2 x y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt 2dxdy I1 Vậy: Dxy x2 y x=rcosφ y=rsinφ 2 d CuuDuongThanCong.com r dr r =16π https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt I2 zdxdy S y 2dxdz S phía ngồi vật thể gh 0≤z≤1-x2-y2 Mặt S gồm mặt: S1 phía mp z=1, S2 phía mặt paraboloid z=1-x2-y2 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt S1: n1 (0,0,1) Và pháp vecto đơn vị mặt S2: n2 (2 x,2y ,1) 2 4x 4y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt Ta tính mặt S1 cách chuyển mặt (0,0,1) loại S1 mặt phẳng có n1 I21 zdxdy y 2dxdz ( 1)z ds S1 ( z 0) Còn mặt S2 ta tính trực tiếp I22 zdxdy y 2dxdz S2 Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 Pháp vecto: n2 (2 x,2y ,1) → cosγ>0 x 4y (1 x Suy ra: I221 y )dxdy ↔ I221 Dxy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt I y dxdz Tp theo dxdz: 222 S2 Pháp vecto: n2 Pt mặt: y2=z+x2-1 2 (2 x,2y ,1) Suy ra: 4x 4y cosβ dấu với y, tức ta phải chia S2 thành nửa ứng với y dương y âm Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên nửa đối xứng qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 nửa Do đó, I222 chia thành mà sau chuyển kép tổng kép trái dấu Tức là: I222=0 Vậy: I2 I21 CuuDuongThanCong.com I221 I222 https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt I2 zdxdy S phía ngồi vật thể gh 0≤z≤1-x2-y2 y 2dxdz S S mặt cong kín phía ngồi nên ta áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh CT Gauss: Pdydz Qdzdx Rdxdy S (Px Qy Rz )dxdydz V Ta có: I2 (0 2y V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1)dxdydz Bài tập tích phân mặt I2 (0 2y 1)dxdydz V x2 y I2 dxdy x2 y 2 I2 d I2 r (2r sin (2y 1)dz 1)(1 r )dr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt y 2dzdx I3 S x 2dydz zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Nhận xét: Pt mặt S chẵn với biến x, y nên tính theo dydz, dzdx ta chia S thành nửa đối xứng có pháp vecto tương ứng ngược dấu Vậy trở thành tổng kép có miền lấy nhau, hàm dấu trái dấu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt Từ ta được: I31 y 2dxdz x 2dydz S I32 S Còn lại thứ ba: I33 zdydx S Pt mặt S (z dương): z x2 y2 Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 S phía tức pháp vecto quay xuống so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0 2 16 Vậy: I I x y dxdy 31 x2 y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập tích phân mặt I4 (y z )dydz (z x )dzdx (x y )dxdy S S phía ngồi phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Ta viết lại pt mặt S: x2 F ( x, y , z ) F y2 x x2 y2 z( 0) y , x2 y2 , S phía ngồi nón tức pháp vecto quay xuống dưới, cosγ≤0 nên n CuuDuongThanCong.com x x2 y2 , y x2 https://fb.com/tailieudientucntt y2 , Bài tập tích phân mặt Đưa I4 mặt loại với n I4 (y x x z )dydz y (z y , x y x )dzdx , (x y )dxdy S I4 I4 I4 2 (y x z) x2 S yz 2 x S x2 xz 2( y CuuDuongThanCong.com y y y2 (z ( 1)( x x ) 2dxdy x) y x2 y2 y ) ds https://fb.com/tailieudientucntt ( 1)( x y) ... https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Ví dụ 4: Tính diện tích S4 phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm phía mp y=0 Với y≥0, ta hình chiếu xuống mp y=0 paraboloid Dxz : x2+z2≤1 yx 2x Pt mặt S: 2 y x y yz 2z Vậy: S4... Dxz : x2+z2≤1 yx 2x Pt mặt S: 2 y x y yz 2z Vậy: S4 4x ds S4 S4 Dxz d CuuDuongThanCong.com 4z 2dxdz r 4r dr 125 https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại – Pháp vecto mặt Vecto Gradient:... phân mặt : 14 z y x ds dxdy dxdy 3 9 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân mặt loại Do đó: I 24 14 dxdy OAB fds ( x y z 6) I2 I21 CuuDuongThanCong.com I22 I23 I 24 https://fb.com/tailieudientucntt