Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn MTH10403 Giải tích hàm tại Khoa Toán - Tin học. Bài giảng Giải tích hàm với các nội dung: không gian Mêtríc, không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục, không gian Hilbert... Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chắc kiến thức, phục vụ cho quá trình học tập hiệu quả hơn.
Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 20 tháng 04 năm 2020 fm − m1 fn − n1 2 Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho mơn MTH10403 Giải tích hàm Khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Giải tích hàm mơn sinh viên có hiểu biết đầu tiên, không gian vô hạn chiều Các kiến thức cần thiết cho nhiều chun ngành tốn lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận tốn học trừu tượng xác bước đầu rèn luyện kiểm tra Phần đơng sinh viên học mơn từ học kì thứ tư Tóm tắt nội dung học phần: khơng gian mêtríc (nhắc lại), khơng gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lý chúng, không gian Hilbert Một số chứng minh phần giảng chứa ý chính, số mệnh đề khơng có chứng minh, chổ dành cho người học bổ sung chi tiết Dấu tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ (người biên tập nay, email: hqvu@hcmus.edu.vn) Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Tài liệu tiếp tục sửa chữa bổ sung Các góp ý vui lòng gởi cho người biên tập Tài liệu mã nguồn có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Mục lục Giới thiệu Khơng gian mêtríc 1.1 Mêtríc 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.3 Khơng gian mêtríc 1.4 Không gian đầy đủ không gian compắc 1.5 Bài tập 7 10 10 12 Không gian định chuẩn 2.1 Không gian vectơ 2.2 Không gian định chuẩn 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 2.4 Không gian p 2.5 Không gian hàm liên tục 2.6 Không gian L p 2.6.1 Tóm tắt độ đo tích phân 2.6.2 Khơng gian L p 2.7 Các đề tài khác 2.8 Bài tập 15 15 16 17 20 21 23 23 25 26 28 Ánh xạ tuyến tính liên tục 3.1 Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục 3.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục không gian định chuẩn hữu hạn chiều 3.3 Tính chuẩn 3.4 Không gian L(E, F) 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 3.6 Định lý Hahn–Banach 3.7 Các đề tài khác 3.8 Bài tập 35 35 36 38 39 39 40 42 43 47 47 51 52 54 55 57 58 60 61 Không gian Hilbert 4.1 Không gian tích 4.2 Không gian Hilbert 4.3 Phép chiếu vng góc 4.4 Phiếm hàm tuyến tính 4.5 Họ trực chuẩn 4.5.1 Không gian Hilbert tách 4.5.2 Khơng gian Hilbert 4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier 4.7 Bài tập MỤC LỤC Hướng dẫn học tiếp 68 Gợi ý cho số tập 69 Tài liệu tham khảo 69 Chỉ mục 71 Giới thiệu Vào kỉ 18, 19, phát triển vượt bậc châu Âu thời đại Khai sáng Cách mạng công nghiệp thúc đẩy khảo cứu học thuật thực dụng Trong có khảo cứu Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier nhiều người khác tượng vật lí, truyền sóng truyền nhiệt Xét kim loại mà đầu chịu tác động nguồn nhiệt Gọi x vị trí điểm u nhiệt độ vị trí x vào thời điểm t, phân tích vật lí dẫn tới kết luận u phải thỏa điều kiện có dạng ∂u ∂2u − c = f (x,t) ∂t ∂x Đây phương trình mà đối tượng hàm số Nghiên cứu phương trình đưa đến việc khơng tính chất hàm, mà tính chất tập hợp hàm chiếm vị trí trung tâm Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay khơng đưa khảo sát tính chất ánh xạ tập hợp hàm, hay để xấp xỉ nghiệm cần đưa cách đo độ khác biệt hàm Một điều đáng ý tập hợp hàm thường có cấu trúc khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Ví dụ tập hợp đa thức hay tập hợp hàm liên tục có tập gồm vơ hạn phần tử độc lập tuyến tính Vào đầu kỉ 20, mơn Giải tích hàm định hình phát triển nhanh chóng, vừa phát triển nội tốn học, vừa nhu cầu khoa học kĩ thuật Ngày Giải tích hàm trở thành phần toán học mà học toán cần biết MỤC LỤC Chương Không gian mêtríc Khơng gian mêtríc phát triển tương tự khơng gian Euclid, tập hợp có khoảng cách Ở chương ôn tập số tính chất khơng gian mêtríc có liên quan tới mơn giải tích hàm Phần lớn nội dung có mơn Giải tích 2, người học nên xem lại giáo trình [15] Tuy nhiên nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa mối quan hệ phần kiến thức không nhấn mạnh việc kiểm tra tính đắn logic hình thức chứng minh mệnh đề 1.1 Mêtríc Mêtríc nghĩa khoảng cách Một khơng gian mêtríc tập hợp có khoảng cách 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập không rỗng Một ánh xạ d : X×X → R (x, y) → d(x, y) gọi mêtríc (khoảng cách) X tính chất sau thỏa với x, y, z ∈ X: (a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇐⇒ x = y, (b) d(x, y) = d(y, x), (c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) x y z Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác Cặp (X,d) gọi khơng gian mêtríc hay khơng gian có khoảng cách Mỗi phần tử tập X gọi điểm Khơng gian mêtríc (X,d) hay viết vắn tắt X mêtríc d ngầm hiểu khơng cần xác định cụ thể Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa cách đo, có họ hàng với từ metre (mét) CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.1.3 Ví dụ (khơng gian Euclid Rn ) Với n ∈ Z+ , tập hợp Rn = {(x1, x2, ., xn ) | x1 ∈ R, x2 ∈ R, ., xn ∈ R} với mêtric Euclid d((x1, x2, ., xn ),(y1, y2, ., y n )) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 gọi không gian Euclid thực n-chiều Đặc biệt n = khơng gian mêtríc Euclid R có mêtríc thông thường cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực, d(x, y) = |x − y|, khoảng cách hai số thực 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.2.1 Định nghĩa Cho không gian mêtríc (X,d), a ∈ X số thực r > Các tập B(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) < r } B (a,r) = {x ∈ X | d(x,a) ≤ r } S(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) = r } gọi cầu mở, cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r 1.2.2 Định nghĩa Cho khơng gian mêtríc (X,d) Tập A ⊂ X tập mở X điểm thuộc A có cầu X tâm điểm chứa A Bằng kí hiệu: ∀x ∈ A,∃r > 0, B(x,r) ⊂ A Nếu X \ A tập mở, ta nói A tập đóng X 1.2.3 Ví dụ Mọi cầu mở tập mở, cầu đóng mặt cầu tập đóng Ngồi ra, khơng gian mêtríc X, tập ∅ X tập vừa đóng vừa mở X 1.2.4 Ghi Khi nói tới “mở”, “đóng” ta phải hiểu rõ nói tới khơng gian mêtríc nào, tập hợp tập khơng gian mêtríc khác nhận mêtríc khác nhau, tính mở, đóng khác Khi hiểu rõ nói tắt khơng cần nhắc tới khơng gian mêtríc chứa 1.2.5 Mệnh đề Cho khơng gian mêtríc (X,d) (Ai )i ∈I họ tập X Ta có (a) Nếu Ai tập mở (b) Nếu Ai tập đóng i ∈I Ai tập mở i ∈I Ai tập đóng (c) Nếu Ai tập mở I tập hữu hạn (d) Nếu Ai tập đóng I tập hữu hạn i ∈I i ∈I Ai tập mở Ai tập đóng Cho khơng gian mêtríc (X,d) A tập X Điểm x ∈ X gọi điểm dính A cầu tâm x có chứa phần tử A, nghĩa ∀r > 0, B(x,r) ∩ A ∅ Tập tất điểm dính A gọi bao đóng A, ký hiệu A¯ hay cl(A) (closure) Điểm x ∈ X gọi điểm A tồn cầu X tâm x chứa A, nghĩa ∃r > 0, B(x,r) ⊂ A 1.2 ĐÓNG, MỞ, HỘI TỤ, LIÊN TỤC ◦ Tập tất điểm A gọi phần A, ký hiệu A hay int(A) (interior) Điểm x ∈ X gọi điểm biên A cầu X tâm x có chứa phần tử A, có chứa phần tử khơng thuộc A, nghĩa ∀r > 0, B(x,r) ∩ A ∅, B(x,r) ∩ (X \ A) ∅ Tập tất điểm biên A gọi phần biên A, ký hiệu ∂ A 1.2.6 Mệnh đề Cho A tập khơng gian mêtríc (a) A¯ tập đóng tập đóng nhỏ chứa A, ¯ (b) A tập đóng A = A, ◦ (c) A tập mở tập mở lớn chứa A, ◦ (d) A tập mở A = A 1.2.7 Định nghĩa Cho (xn )n≥1 dãy phần tử khơng gian mêtríc (X,d) Ta nói (xn )n≥1 dãy hội tụ (trong X) tồn x ∈ X cho limn→∞ d(xn, x) = 0, nghĩa ∀ > 0,∃n0 ∈ Z+,∀n ∈ Z+,n ≥ n0 =⇒ d(xn, x) < Điều có nghĩa phần tử dãy gần x tùy ý miễn số đủ lớn Khi đó, phần tử x, có, gọi giới hạn dãy (xn )n≥1 , ký hiệu limn→∞ xn = x Ta viết xn → x n → ∞ Ta đặc trưng khái niệm mở, đóng, điểm dính dãy sau: 1.2.8 Mệnh đề Cho tập A khơng gian mêtríc X x ∈ X Ta có: (a) x điểm dính A tồn dãy (xn )n∈Z+ A hội tụ x (b) A tập đóng X dãy A mà hội tụ X giới hạn phải nằm A 1.2.9 Định nghĩa Cho ánh xạ f từ khơng gian mêtríc (X,dX ) vào khơng gian mêtríc (Y,dY ) x0 ∈ X Ta nói f liên tục x0 ∀ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ X,dX (x, x0 ) < δ =⇒ dY ( f (x), f (x0 )) < Điều có nghĩa f (x) gần f (x0 ) tùy ý miễn x đủ gần x0 Ta nói f liên tục X liên tục điểm thuộc X Ta có đặc trưng liên tục thông qua dãy: 1.2.10 Định lý Cho ánh xạ f từ khơng gian mêtríc (X,dX ) vào khơng gian mêtríc (Y,dY ) Điều kiện cần đủ để f liên tục x với dãy (xn ) X, xn → x X f (xn ) → f (x) Y 1.2.11 Định lý Ánh xạ f từ khơng gian mêtríc (X,dX ) vào khơng gian mêtríc (Y,dY ) liên tục X ảnh ngược qua f tập mở Y tập mở X Mệnh đề thay tập mở tập đóng 10 CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.3 Khơng gian mêtríc Cho khơng gian mêtríc (X,d) Y tập X Ánh xạ dY ≡ d|Y×Y , tức dY (x, y) = d(x, y) với x, y ∈ Y , mêtríc Y mà ta gọi thu hẹp hay hạn chế mêtríc X xuống Y Khơng gian mêtríc (Y,dY ) gọi khơng gian mêtríc khơng gian mêtríc X 1.3.1 Ghi Như nhắc 1.2.4, ý với Y không gian X A tập Y ta cần phân biệt việc A đóng hay mở X với việc A đóng hay mở Y Tương tự, với dãy Y , ta cần phân biệt việc dãy hội tụ X với việc dãy hội tụ Y 1.3.2 Ví dụ Trên R với mêtríc Euclid, tập [0,2) tạo thành khơng gian mêtríc Tập [0,1) mở không gian [0,2) không mở không gian R Dãy xn = − n1 [0,2) không hội tụ [0,2) hội tụ R Một cầu Y thu hẹp cầu X: BY (x,r) = {y ∈ Y | d(y, x) < r } = BX (x,r) ∩Y Từ ta có liên hệ tính đóng mở khơng gian với tính đóng mở khơng gian nó: 1.3.3 Mệnh đề Cho Y khơng gian khơng gian mêtríc X A tập Y Ta có: (a) A mở Y tồn tập V mở X cho A = V ∩Y (b) A đóng Y tồn tập F đóng X cho A = F ∩Y 1.3.4 Mệnh đề Thu hẹp ánh xạ liên tục xuống khơng gian mêtríc ánh xạ liên tục 1.4 Không gian đầy đủ không gian compắc 1.4.1 Định nghĩa Dãy (xn )n≥1 X dãy Cauchy ∀ > 0,∃n0 ∈ Z+,∀m,n ∈ Z+,(m,n ≥ n0 =⇒ d(xm, xn ) < ) Điều nghĩa phần tử dãy gần tùy ý miễn số đủ lớn 1.4.2 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy 1.4.3 Định nghĩa Ta nói khơng gian mêtríc (X,d) đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X 1.4.4 Ví dụ Trong R dãy n1 hội tụ nên dãy Cauchy Nhưng xét R \ {0} dãy khơng hội tụ Tương tự, dãy số hữu tỉ (1 + n1 )n hội tụ số vô tỉ e R Như dãy dãy Cauchy không hội tụ Q, Q khơng đầy đủ 1.4.5 Ví dụ Tập hợp R tất số thực với mêtríc Euclid đầy đủ Điều hệ tính tồn chặn nhỏ nhất, gọi tính liên tục, tập hợp số thực: tập khơng rỗng bị chặn R có chặn nhỏ Ngược lại đầy đủ R dẫn tới tính tồn chặn nhỏ (sup) 4.5 HỌ TRỰC CHUẨN 59 4.5.10 Định lý Cho họ trực chuẩn cực đại E không gian Hilbert H Với x ∈ H, đặt xe = x,e , thì: x= xe e e∈E x, y = xe y¯e e ∈E x = |xe | e∈E Ở chẳng hạn ta viết x = e ∈E xe e có nghĩa với cách đánh số (ei )i ∈Z+ cho tập (đếm được) {e ∈ E | xe 0} x = ∞ i=1 x,ei ei Chứng minh Đánh số (ei )i ∈Z+ cho tập đếm {e ∈ E | xe 0} Như chứng minh cho trường hợp E đếm được, chuỗi ∞ i=1 xi ei hội tụ Ta kiểm tra ∞ (x − ∞ x e ) ⊥ e, ∀e ∈ E, x − x e = Vậy x = ∞ i=1 i i i=1 i i i=1 xi ei Hai khơng gian tích (trên trường) H1 H2 gọi đẳng cấu tích với tồn song ánh tuyến tính Λ từ H1 lên H2 bảo tồn tích vơ hướng, tức Λx,Λy = x, y , với x, y ∈ H Khi đó, ta nói Λ phép đẳng cấu tích từ H1 lên H2 Dễ thấy phép đẳng cấu tích bảo tồn chuẩn, nghĩa Λx = x Ngược lại đẳng thức 4.7.1 nên song ánh tuyến tính mà bảo tồn chuẩn bảo tồn tích 4.5.11 Định lý Cho E họ trực chuẩn tối đại không gian Hilbert H Với x ∈ H, đặt xˆ ánh xạ xˆ : E → F e → x(e) ˆ = xe = x,e Khi ánh xạ x → xˆ phép đẳng cấu tích từ H lên (E) Vậy không gian Hilbert đẳng cấu với khơng gian (E) Chứng minh Đặt f :H → (E) x → x ˆ Ta kiểm tra f xác định, tức chứng tỏ xˆ ∈ (E) Với cách đánh số (en )n∈Z+ cho tập đếm {e ∈ E | x(e) ˆ = xe 0} từ 4.5.10 ta thấy ∞ xˆ 2 (E) = sup F ⊂E , |F | α, tức đồng nghĩa với d(x, M) = inf{d(x, y) | y ∈ M } > 0, đồng nghĩa với x khơng phải điểm dính M 3.8.26 Dùng 3.8.23 3.8.21 Giả sử Λx Giả sử ker Λ đóng Theo 3.8.20 X = ker Λ + x Để thấy tính liên tục Λ làm tương tự phần đầu chứng minh định lý Hahn-Banach So sánh 3.8.25 4.7.8 Dùng đẳng thức hình bình hành 4.7.12 Dùng 4.3.5, dùng ý chứng minh 4.3.1 4.7.19 Các chuẩn Rn tương đương 4.7.18 Phiếm hàm cho tích 4.7.35 (a) 21 + π2 ∞ k+1 k=0 (−1) 2k+1 cos(2k + 1)x 69 70 CHƯƠNG KHƠNG GIAN HILBERT Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Nhập mơn Giải tích, NXB Giáo dục, 1997 [2] H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, 2011 Giáo trình cho bậc sau đại học [3] John B Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990 [4] Dương Minh Đức, Giáo trình Tốn Giải Tích (Tốn vi tích phân A1), NXB Thống kê, Tp Hồ Chí Minh, 2006 [5] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2005 [6] Dương Minh Đức, Lý thuyết độ đo tích phân, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2006 [7] A N Kolmogorov, S V Fomin, Introductory real analysis, Dover, 1975 Dành cho bậc đại học Có dịch tiếng Việt [8] Erwin Kreyszig, Introductory functional analysis and applications, John Wiley and sons, 1978 Tương đối dễ hiểu cho bậc đại học, gần với giáo trình [9] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 Có phần khơng gian định chuẩn Kiến thức giải tích bậc đại học [10] Peter D Lax, Functional analysis, Wiley-Interscience, 2002 Sách tham khảo cho trình độ sau đại học [11] W Rudin, Real and complex analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1986 [12] Elias M Stein and Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton University Press, 2002 [13] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo xác suất, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2015 [14] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2011 [15] Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hồng Qn, Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2011 [16] Hồng Tụy, Hàm thực & Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [17] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Science, https://sites.google.com/view/hqvu/teaching 71 Chỉ mục E ∗ , 39 L(E, F), 36 ánh xạ co, 12 ánh xạ tuyến tính bị chặn, 36 bao đóng, bất ng thc Bessel, 55 bt ng thc Hăolder, 25 bt đẳng thức Minkowski, 17, 26 bị chặn, 11 bổ đề Zorn, 42 sở tuyến tính, 16 sở vectơ, 16 C, Cn , 16 chiếu, 52 chuẩn, 16 chuẩn Euclid, 17 compắc, 11 dày đặc, 13 dãy Cauchy, 10 dãy hội tụ, đẳng cấu tôpô, 19, 29 đẳng cấu tích trong, 59 đẳng thức Parseval, 58 đầy đủ, 10 điểm, điểm bất động, 13 điểm biên, điểm dính, điểm trong, định lí Hahn–Banach, 40 định lý Ascoli, 27 định lý Bolzano-Weierstrass, 11 định lý hội tụ bị chặn, 25 định lý Stone–Weierstrass, 28 đồng liên tục, 27 đồng phôi, 19, 29 độ đo đếm, 24 độ đo Lebesgue, 24 độc lập tuyến tính, 16 giới hạn, hàm đo được, 24 hầu khắp, 25 hệ trực giao, 55 họ trực chuẩn, 55 họ trực chuẩn cực đại, 57 hội tụ yếu, 46 không gian (mêtríc) con, 10 khơng gian Banach, 17 khơng gian có khoảng cách, khơng gian đầy đủ hóa, 13 khơng gian định chuẩn, 16 không gian định chuẩn con, 17 không gian đo, 23 không gian đối ngẫu, 39 không gian Euclid phức n-chiều, 11 không gian Euclid thực n-chiều, không gian Hilbert, 51 không gian Hilbert tách được, 57 khơng gian mêtríc, khơng gian vectơ, 15 khơng gian vectơ con, 15 không gian vectơ vô hạn chiều, 16 liên tục, liên tục đều, 12 mêtric Euclid, mêtríc, nhân, 46 nhân tốn tử tích phân, 40 phần biên, phần trong, phép đẳng cấu metric, 38 phép đẳng cấu tôpô, 19 phép đẳng cự, 38 phép đồng phôi, 19 phiếm hàm, 39 tập đóng, tập mở, 72 CHỈ MỤC tập trực giao, 53 tích phân, 24 tích phân Lebesgue, 24 tích trong, 47 toán tử compắc, 44 toán tử liên hợp, 65 trù mật, 13 vectơ, 15 vng góc, 49 73 ... Cho ( fm )m dãy hàm số đo hội tụ điểm hàm f Nếu dãy hàm ( fm )m bị chặn điểm hàm khả tích, cụ thể có g khả tích cho ∀x,∀m, | fm (x)| ≤ g(x), f khả tích dãy tích phân fm hội tụ tích phân f Chi... Nếu khơng gian đo khơng gian đo Lebesgue tích phân gọi tích phân Lebesgue Một hàm khả tích Riemann khả tích Lebesgue tích phân Riemann có giá trị với tích phân Lebesgue 2.6 KHƠNG GIAN L P 25... cách xấp xỉ thơng qua hàm bậc thang Chú ý giá trị tích phân ∞ f ci Ci Hình 2.6.3: Xấp xỉ hàm hàm tập đo Cho f hàm đo tùy ý Đặt f + (x) = max{ f (x),0} f − (x) = max{− f (x),0} hàm đo được, f = f