Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội cung cấp cho người học các kiến thức: Một số mặt bậc hai thường gặp, tích phân kép, tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân kép III Ứng dụng hình học tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân bội ba III Ứng dụng hình học tích phân bội ba CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp I Mặt Ellipsoid: Phương trình: Cách gọi tên mặt: x y z2   1 a b c Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = ta nhận giao tuyến mặt với mặt tọa độ làcác đường Ellipse Tức giao tuyến mặt S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Cách vẽ hình Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse CuuDuongThanCong.com x2 a  y2  mặt phẳng nằm b ngang z = https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ thêm đường ellipse CuuDuongThanCong.com y2 b2  z2 mặt phẳng  x=0 c2 https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp 2 x y z Vẽ mặt ellipsoid   1 a b c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 x2+y2=1,z=0 Có thể vẽ thêm đường ellipse x2 a  z2 c 1 mặt phẳng y = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp II Mặt Paraboloid Elliptic: x2 Phương trình : a2 Cách gọi tên mặt: y2 b2 z Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c, c>0 ta đường lại đường Ellipse Tức giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic Vẽ hình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z mặt phẳng x = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = mặt phẳng z = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu x2 y I9 dxdy x2 y I9 (x y )dz x2 y (x y )( x y x 2 y )dxdy x2 y 2 I9 d I9 r (r cos r sin )( r r )dr (cos r 2( r s in )d r )dr I9=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 Ví dụ 10 : Đổi tích phân I  d  dr sau tọa độ Descartes 10 0 4r 2  r dz Trước tiên, ta xem xét cận tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, 0    2 D: 0  r  1  x     x  y   x -1 Suy D: x2+y2≤1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau cận tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn với ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 cuối xem xét đến hàm dấu tích phân để đổi tọa độ Oxyz : f ( x, y , z ) r x2 y Vậy: I10   dx 1 CuuDuongThanCong.com x2 y   x2 y 4 x  y dy  x  y 2dz https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích a2  x phân sau sang I11   dx  dy a tọa độ cầu tính  a2  x   xdz a2  x  y Ta cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy a  x  D: 2 2  a  x  y  a  x      3 a -a -a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 2 Cận tích  x  y  z  a 2 phân theo  a  x  y  z    z  dz cho ta ½ hình cầu nằm phía mặt phẳng z = Cắt dọc miền lấy tích phân mặt phẳng chứa trục Oz x = ta ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy π/2 ≤ θ ≤ π 0≤ ρ≤a -a z Cuối thay x=ρsinθcosφ vào 3  a I11   d  d   sin  sin cos  d    CuuDuongThanCong.com a https://fb.com/tailieudientucntt -a §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân miền V: x2+y2=1, z=0, 2 2 2 x y z x +y =z (z≥0) hàm f ( x, y , z ) mặt giới hạn V mặt cầu hàm f(x,y,z) mà ta đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu V xuống mp z=0 hình trịn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V mp x=0 ta D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta gặp đường thẳng tương ứng mặt trụ không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu I12 d I12 I12 sin 2 d d ( d sin 2 sin d d 2 2 d sin d d cos (1 co s2 )2 ln ) 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4 sin §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω tính V ()   1.dxdydz  Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn y  x, y  x, x  z  6, z  Hai mặt trụ song song với trục Oz y = √x, y = 2√x tựa lên đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = để miền đóng D hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = tức ứng với ≤ – x nên miền Ω ta có bất đẳng thức 0≤z≤ 6–x x x Vậy: V ()   dxdydz   dx  dy  dz  2√6 D √6 O CuuDuongThanCong.com 6 x https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn  x  y  z2  4, x  y Ta tính thể tích cách đổi tích phân bội ba V ()   dxdydz sang tọa độ cầu bình thường  Hình chiếu vật thể xuống mặt phẳng Oxy nửa hình trịn D: x  y  4, x  y D π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz y = x ta miền D1 hình vành khăn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – UD hình học nên ≤ θ ≤ π Trong miền D1 ta theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1≤ρ≤2 5  Vậy: V ()   d  d   2sin d   D1 5   1 3 V ()  (  )   cos 0    4  1 14 V ()  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – UD hình học D CuuDuongThanCong.com D1 https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn x  y  z  2z, z  x  y Ta tìm hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước x2 y (x2 y ) x2 y x2 y Ta hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz mặt x = ta miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên ≤ θ ≤π/4 theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp mặt cầu với phương trình x  y  z2  2z    2 cos    2cos CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu  2 I14   d  d 0 2cos   sin d  ≤ θ ≤π/4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... tam thức f(x) = x2+x -2 nên ta có bất đẳng thức: x ≤ 2- x2 x2+x -2 ≤ Tức là, với x nằm khoảng ( -2 , 1) đường thẳng y=x nằm đường parabol y = 2- x2 Vậy ta 2? ?? x I   dx   x  y dy ? ?2 CuuDuongThanCong.com... thể tích vật thể 2? ?? ? ?2 0 2  =  dx  16-x -2 y dy y  16  =  (16-x )y -2  dx =   3 2- 2x - dx =48 3   0  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định... https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ta cịn xác định cận tích phân mà khơng cần vẽ sau: Tìm giao điểm đường biên miền D: y = x = 2- x2 x2+x -2 = x = -2 , x = Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức