Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân Định nghĩa đạo hàm riêng theo x. Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm M(x0; y0) cố định. Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x. Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 được gọi là đạo hàm riêng theo x của f(x,y) tại M(x0; y0) , ký hiệu

Trang 1

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng

Giải tích hàm nhiêu biên

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

Trang 2

Nội dung

0.1 — Đạo hàm riêng và vỉ phan cua f = f(x,y)

0.2 —- Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

0.3 — Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ấn

0.4 — Đạo hàm theo hướng

0.5 — Công thire Taylor, Maclaurint

Trang 3

I Đạo hàm riêng và vi phan cua f= f(x,y)

Định nghĩa đạo hàm riêng theo x

Cho hàm hai biến f= f(x,y) với điểm A⁄ạ(xạ yọ) cố định Xét hàm một biến F(x) = f(x,yạ) theo biến x

Đạo hàm của hàm một biến F(%) tại xạ được gọi là đạo hàm riêng theo x

của f(x,y) tại Mo(x9,¥o), ký hiệu

Of (X05 Yo) =/'G.¿)= lim F(x + Ax) — F(x)

Ox Ax>0 Ax

= im /(Ê%6:#o)~ /Go:y0)

Trang 4

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Dinh nghia dao ham riéng theo y

Cho hàm hai biến f= f(x,y) voi diém Mo(x9,.¥9) c6 định

Xét hàm một biến F(y) = f(x,y) theo biến y

Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại yạ được gọi là đạo hàm riêng theo y

cua f(x,y) tai 1⁄o(ọ yọ), ký hiệu

؃(%ạ,Đạ)_ mạnh = f,(%.%9)= im + — F(yy+Ay)— FŒ) Yo N Yo

= lim F(X yọ + Ay)— ƒ(Œ%ạ; yọ)

Trang 5

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Ghi nho

Dao ham riéng cua f = f(x,y) tai Mop(x9,¥9) theo x la dao ham ctia ham mot bién f= f(x,y)

Dao ham riéng cua f = f(x,y) tai Mo(%,¥) theo y là đạo hàm của hàm một biên f= Í(xạ,y)

Qui tắc tìm đạo hàm riêng

Trang 6

H f(x,y) biểu diễn bởi mặt S (màu xanh) Giá sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) e § Có định y = b Đường cong C; là

giao của S và mặt phăng y = b Phương trình của đường cong C¡ là g(x) = f(x, b)

Hệ số góc của tiếp tuyến T, với

x Tl J duong cong C, la

ae) g'(a)= f.(a,b)

Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) 14 hé số góc của tiếp tuyến T; với đường

cong C, tai P(a,b,c)

Trang 7

Ví dụ Cho hàm ƒ(x,y)=4—x?—2y” Tìm ƒ,(1,1) và biểu diễn hình học của

đạo hàm riêng này

-

z=4—x —2y? #@.y)=(4-x? `: ),=-2x

=> f.(1,1)=-2.1=-2

Mat bac hai f = f(x,y) mau xanh Mặt phang y = 1 cat ngang duoc đường cong C¡

Tiếp tuyến với C;¡ tại (1,1,1) là

đường thắng màu hồng

Trang 9

Ví dụ Cho hàm f(x,y)=4-x?-2y?.Tim f,(11) va biểu diễn hình học của

đạo hàm riêng này z=4-x?-2y? #(x.y)=(4 ~2y”),=-4y => f,(1,1) =-4.1=-4 Mat bac hai f = f(x,y) mau xanh Mặt phẳng x = I cắt ngang được đường cong C, Tiếp tuyến với C; tại (1,1,1) là đường thắng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C¿ tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cân tìm

Trang 10

Biễu diễn hình học của /, ‘ (1) với f(x,y) =4-x° -2y"

Trang 11

IL Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

Tính chât của đạo hàm riêng

Vi dao hàm riêng là đạo hàm của hàm một biên nên tinh chat cua dao ham riêng cũng là tính chât của đạo hàm của hàm một biên

l) (af), =af, 2) (ƒ/+g8),=/ +8, 3) (ƒ-8),=/ '8+/'8 4) [2] = Sb

8S» 8

Hàm một biên: hàm liên tục tại xạ khi và chỉ khi hàm có đạo ham cap | tai Xo

Trang 14

I Đạo hàm riêng và vi phan cua f= f(x,y) Ví dụ Cho ƒ(x,y)=Ajx”+yÌ Tìm /(ŒJ) 2)Tìm /(00) 3)Tìm /,(0,0) Ộ ' 1 Giải 1) f.(x,y)= (Vx? + `] =" >=/()= x x2 + 3 V2 V Bộ

2) Không thể thay (0,0) vào công thức dé tim # (0,0) Ta sử dụng định nghĩa

Trang 15

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y) Vi du yxrty? 2 Cho f(x,y)= J e dt 1 Tìm f.(x,y),f,(%))- Giai yxrty? 2 | x+y? , r 2,.2 ' V x “6| Pe a|—d 1 v I (ie) =e == x fx + y

Vì biểu thức đối xứng đối voi x và y nên, đối chỗ x và y cho nhau ta được đạo hàm riêng theo y

1 2 2

Trang 17

I Đạo hàm riêng và vi phan cua f= f(x,y)

Cho hàm hai bién f = f(x,y)

Đạo hàm riêng theo x va theo y là những hàm hai biến x va y: Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm # (x, y): coo, ø? -2s (12039), = far) =F 9) (69), = Z0) =2 y0) Tương tự có thê lấy đạo hàm riêng của hàm % (x,y): ¬ 2 HUY a (2G) =/209=5 6ø) (he), = Spe = Sh)

Tiệp tục quá trình, ta có khái niém cac dao ham cap cao

Trang 18

I Đạo hàm riêng và vỉ phân cua f = f(x,y) Chú ý 2 2 Nói chung S (x, Tọ)# oF (x, Yo), nén khi lấy đạo hàm riêng cấp OxOy Ovox cao ta phải chú ý đến thứ tự lay dao ham Định lý

Trang 19

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y) Vi du Chứng tỏ răng hàm f(x,y)=e"* sin y thỏa phương trình Laplace 2 2 FPL Ox” Oy

Giai f(x,y) =e*siny f =e sin y ⁄(x,y)=e” COS y % = —€” sin y

2 2

= OF OF _ or siny—e*siny =0 %“ Oy

Ham f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa

Trang 20

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y) Vi du Chứng tỏ răng hàm ø(x,?) = sin(x— z)_ thỏa phương trình sóng Oru 2 Oru a2 4 9 Ot Ox

Giải u, (x,f) =—acos(x — af) tụ =~a” sin(x— af) u, (x,t) = cos(x — at) U,, = —Sin(x — at)

Oru 2 Oru

2=g 2

ot Ox =-a’ sin(x — đf)

Trang 21

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y) Vi du Chứng tỏ rằng (t,x) = _— 1 (447) thỏa phương trình truyền nhiệt 2aVat Ou 3 Ou ON eu ot — ôZ

Giải u, (x,t) = 1 e -x" (4a°t) '' —==| —2x =„(x,)= " x? -2a°t -2a7 t er 2 (4a ?Ð

2av at 4a°t) 8a°t? Vat

Ou -( 1 erie) x”—2a?t "`

t

Trang 22

IL Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ = s, nếux +y “#0 Cho ⁄#(,y)=$xX +7y 0, nếu xˆ + y”=0 Tim f,,(0,0) Giai 0-0 _ + /(+Ax,0)- /(,0) - lịm — “=0

/40000= lim FOF LCD) = him

yay ¬ nếu xˆ + y”#0

=> h(x.) = fy) =4 (2° +9’)

Trang 23

IL Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Tìm đạo hàm riêng câp hai ZÁ(0,0)=#,(0,0)= tim MOFAEO=N0.9) " 0-0 > Fx 0,0) = lim ——=0 (0,0) 1 h Tương tự tìm được /„(0,0)=0 và Z⁄° (0,0); /;.(0,0)

Chú ý Đề tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (Xo, yo) ta phải tìm đạo hàm riêng cấp một f (x, y) tai moi diém (tức là tìm hàm f (x,y))

Trang 24

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Vi du

gle

Cho ham u(x, y)=(2x+3y)In(x+2y).Tim “0 (1,2)

Giải Sử dụng công thức Leibnitz, coi ƒx,y) là hàm một biến theo x

Đặt = /.g: ƒ(x,y)=2x+3y; g(z, y)= In(x+ 2y) ô""/ 0) (100 99 2 98 100 (x, y)= Œ tote 8} )+ Chof 8t 4 oot Zi = hn " _ 1 /=2;:/) =0; gf =(In(xt 2y))” =(-I)""'(n- D1 (x+2y)

are x,y) =Co (2x +3y) (-1)”-99! + C2 -~ 4+ ¡ (-1)8-98! +0

Trang 25

Cho f có các đạo hàm riêng cap 1 liên tục C, và C; là hai đường cong tạo nên do hai mat y = b va x =a cat S Điểm P nằm trên cả hai đường này Gia str T, va T, 1a hai tiêp tuyên với hai đường cong C; và C, tại P

Mặt phẳng (z) chứa T; và T; gọi là

mặt phăng tiêp diện với mặt S tai P

TS vụ = y ¥y Tiép tuyên với mọi đường cong nắm wk k bs : ` 3

(a, b, 0) trong S, qua P déu nam trong (@)

Trang 26

IL Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

Ví dụ

Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic

Trang 27

Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng to lên thì mặt paraboloid gân trùng với mặt phăng tiêp diện

Wek, Se

Trang 28

Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y — 3 là hàm xắp xỉ tốt cho f = 2x? + y?

Trang 29

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Dinh nghia

Cho ham f= f(x,y) và (xạ, yạ) là điểm trong của miền xác định Hàm f được gọi là khả vi tại (xạ, yạ) nếu số gia toàn phần

Af (Xo Yo) = F(X + Ax, Yo + Av) — F(X, Ho)

có thê biéu dién duge @ dang Af (xạ; yọ) = AAx + BAy + aAx + BAy trong do A, B la cac hang sé, a, 8 > 0, khi Ax, Ay > 0

Dinh nghia

Trang 30

(a+Ax,b+ Ay, ƒ(a + Ax, b + Ay))

Trang 31

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Dinh ly (diéu kién can kha vi)

Néu ham f= f(x,y) kha vi tai (Xo, Yo), thi:

1) / liên tục tại (xạ, yo),

2) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (xạ,yạ) và 4= ƒ,(xạ vụ) 8= ƒ„(o 7o)

Chứng minh

Định lý (điều kiện đủ)

Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (Xg„yạ) và có các đạo hàm riêng ý iS, s liên tục tại (xạ,yạ), thì hàm f(x,y) kha vi tại (Xo,yạ)

Trang 32

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Ghi nho

Vi phan cp 1 ciia f(x,y) tai yo): Af M0) = Lo WIA + / (Aosyo)4

Tinh chất của vi phân

Cho f(x,y) va g(x,y) khả vi tại (xạ,yạ) Khi đó

1) d(af) =adf

2 dƒ+g)=đƒ+ds 3) d(fg)= gdf + fdg

Trang 33

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Dung vi phan cap 1 dé tinh gan ding

Cho ham f(x,y) kha vi tai (X,yp) Khi đó ta có:

P(X + Ax Yo + AY) = fo ¥0) = Ae Cro Yo) + foo dy + ax + BAy

ƒŒ.,y)= ƒŒạ,yạ)+ ƒÿŒạ, yụ)đk + / (6g, y0)đy + @Ax + BAy

⁄Œ,y)* ƒ(ạ, vụ) + F(X Yo de + fy (Xo Mo) (1)

Công thức (1) dùng để tính gần đúng gia tri cla f tai (x,y)

Công thức (1) có thể viết lại: ƒ(x,y)~— ƒ(xạ, yọ) © Fei Mp e+ ⁄sŒạ, yọ)dÿ

Trang 34

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Qui tắc ding vi phan cap 1 dé tinh gan ding

Dé tinh gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y) Ta thực hiện

1) Chọn một điểm (xạ,yạ) gần với diém (x,y) sao cho ƒ{xạ,yạ) được tinh dé dang 2) Tính giá trị Ax =x~ xụ,Ay = y~ yụ, /(Xọ; Jọ) Fy (Xo Yo):

3) Sử dụng công thức:

I (x,y) = SF (X93 ¥0) + Fos Yo AX + Fy (X.Y AY ()

Trang 35

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Vi du

Ching to f= xe” kha vi tai (1,0) Str dung két qua nay dé tinh gan ding gia trị f(1.1,-0.1)

Giải ⁄,(,y)=£” +xy£”: ƒy(x, y) = xe” ›

Trang 36

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) Ví dụ

Cho ƒ(x,y)= x? + 3xy— y 1) Tìm đ#(z, y)

Trang 37

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Định nghĩa vi phân cấp cao

Cho ham f= f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2

d° f(x,y) =d(df (x,y) =d(frde+ frdy) =d(f.dx) + d( fray)

=drd(f.)+dvd(f,) =de| (f)de+ fy a |+ ay] Frat (Kya |

= fidxdx + f,,dxdy + f,.dxdy + f,,dydy

= d* f(x,y) = fod? +2 f,,dxdy + fy”

Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n Sử dụng nhị thức Newton

Trang 38

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y) Vi du Công thức vi phân cấp 3 của hàm f= f(x,y) 3 27-2 + 4) ft (a) (a) (56) leas ls 3}: 3 3 bp ao ae 432 atdys+3£©F drdy? +24 OS wy ax? ax? ay ôxôy” ay" 4 Công thức vi phân cấp 4: d* f= la + s4) Hà ox oy at 4

-c9et S ox +Cy of ddy +Cy of dx dy? +Cj of ;didy? + Cy OS wy

Trang 41

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

Ví dụ

Dùng vi phân cấp 1, tinh gan ding

A= (1.03) +(1.98)°

Giải Chonham f(x, y)= Vx? +9"

Chọn giá tri gin véi 1.03, 1.98: xạ =l,yạ =2

Trang 42

H Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Hàm một biên

PLO 5 Fo Fen) u=u(x)

Trang 43

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp

Vi du

Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp f = f(u)= ot ju =sin(xy)

Giải £=ƒ/Œ@,y)=eme@

f.=f (u)-u, = Que" ycos(xy) = 2sin(xy)e™ &) y cos(xy)

f =f (u): Hy = 2ue" x cos(xy) = 2sin(xy)e™ & ) xcos(xy)

Vi du

Tim f.,biét f= f(u,v)=u'v+ In(uv),u = e*,v=sin? x

Giải F_ py -u (x) +f, -v (x) —

Trang 48

H Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Đạo hàm cấp hai của hàm hợp

Trang 49

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp

Vi du

Tim ty cua ham hợp f = f(u,v) =u? + 2v,u(x, y) = xy", v(x, y)=x4+3y

fo = Sy lt fyVe= My? +21 => fi, =(f) =(2uy? +2) y y

"=(2u.y?) =2u',.y? +2u2

Sy (22), Uy.y +2u.2y

Vidu

Tim ty của hàm hợp / = ƒ(,v) = e'”,(x, y)= xy+ y”,v(x, y)=2x+ y

Wy= f'M, + ƒ 'Vy = ve y+uể”.2 => fy =(ve"".ytue".2) =e" yt v(e”) ytve” +2(x+2y)e + 2u(e"” |

y y

(e”) =(e") U +(e”) v, =vel” (x+2y)+ue”1

Trang 51

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp Vi du Tim ty của hàm hợp f = f(u)=Inu,u(x,y) =x +e nơ a) " ni (1 9) =0) = J2 =/=() =[ y u y » (1) 1 1 1 fo=(4| y +-2y =—-s(2xy„+€”).jy”+—.2y u),, u u u Vi du

Tim toy ciaham hop f = f(x? +e”)

Trang 52

H Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Vi phân cấp một của hàm hợp

ƒ = ƒ(.v) u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập

w=u(x,y) Khi thay u(x,y), v(x,y) vao ta duge ham f theo hai bién

v=v(x,y) x, y déc lap

df = f.dx+ f,-dy =(f, úy + ]dk+ (đu, + 9y )dy

= , (u.dx + w,dy) + # (vu& + v,dy) = f,du + f,dv

df = f,du+ f,dv (1) Tuy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc

df = fide+ fidy (2) (2) Thường dùng công thức sô (1)

Trang 53

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp Vi du Tìm dfciahamhop ƒ= ƒ(w,v)=€”,w(x,y)=xy”;v(x,y)=2x+3y đf = ve'(y?äv + 2xydy) + ue" (2dx + 3dy) =e” (vy? + 2u)dx +e” (2vxy + 3u)dy Vidu Tim df cua ham hop f= fu) =1,u(x,y) =In(x+2y) u df = f (u)du =—(u,de-+u,dy) 4( Ị dx+ 5 «| tư Uu

Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng df = f,dx+ f,dy

Trang 54

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp Vi du Tim gf ctaham hop f= f(x’ +2y,e”) Đặt u =x’ +2y;v=e” du = 2xdx + 2dy dv = ye” dx + xe” dy df = f.du+ f,dv

Trang 55

H Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp Vi phân cấp hai của hàm hợp ƒ#= ƒ(u,v) 4?ƒ =d(#f) =d(f,du+ f.dv) u=u(x,y)

v=v(x,y) =d( f,du) +d( far)

Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên đ, đv không là hằng số df =d(f,)-du+ f,-d(du)+d(f,)-dv+ f,-d(dv)

f,,f, lanhiing ham hop hai bién

d(t)=(e), du+(fa), de d()=(K), de+( i), a

d(du)=d’u,d(dv)=d’v

Trang 56

H Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Vi phân cấp hai của hàm hợp

/=/u) — 4 S/=4(@) =d(((0)au)

u=u(x,y) =d(f'(u))-du+ f(w)-d(du)

af =(fW)) (u)-du-du+ fadd?u =f (wd? + f (wd?u

Tom lai:

Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của ham hop ta lay dao ham (vi phân) của đạo hàm (vi phan) cap một và phải biệt phân biệt là hàm hợp mây

Trang 57

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp Vidu

Tìm đ”ƒ của hàm hợp

#= ƒ01,v)=2w+v”;w(+x, y) = xy+2x;V(x, y) = x” + yŸ df = f,dut f.dv =2[(y+2)dxt xdy]+ 2v|2xdv + 2ydy|

d? f =d(df) =d[2[(y+ 2)dx + xdy]+2v[2xdx +2ydy]] d* f =d[2((y+2)dx+ xdy)]+d[2v(2xdx + 2ydy)]

d? f =2d((y+2)dx) + 2d(xdy) + 2(2xdx + 2ydy) dv + 2vd (2xdx + 2ydy) ed((y +2)dx) = dxd(y +2) = dxdy ed(xdy)= dxdy