Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân Định nghĩa đạo hàm riêng theo x. Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm M(x0; y0) cố định. Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x. Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 được gọi là đạo hàm riêng theo x của f(x,y) tại M(x0; y0) , ký hiệu

Trang 1

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích hàm nhiêu biên

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

» - Giảng viên Ts Đặng Văn Vĩnh (2/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Trang 2

Nội dung

0.1 — Đạo hàm riêng và vỉ phan cua f = f(x,y)

0.2 —- Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

0.3 — Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ấn

0.4 — Đạo hàm theo hướng

0.5 — Công thire Taylor, Maclaurint

0.6 — Ung dụng của đạo hàm riêng

Trang 3

I Đạo hàm riêng và vi phan cua f= f(x,y)

Định nghĩa đạo hàm riêng theo x

Cho hàm hai biến f= f(x,y) với điểm A⁄ạ(xạ yọ) cố định

Xét hàm một biến F(x) = f(x,yạ) theo biến x

Đạo hàm của hàm một biến F(%) tại xạ được gọi là đạo hàm riêng theo x

của f(x,y) tại Mo(x9,¥o), ký hiệu

Of (X05 Yo) =/'G.¿)= lim F(x + Ax) — F(x)

= im /(Ê%6:#o)~ /Go:y0)

Trang 4

I Đạo hàm riéng va vi phan cua f= f(x,y)

Dinh nghia dao ham riéng theo y

Cho hàm hai biến f= f(x,y) voi diém Mo(x9,.¥9) c6 định

Xét hàm một biến F(y) = f(x,y) theo biến y

Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại yạ được gọi là đạo hàm riêng theo y

cua f(x,y) tai 1⁄o(ọ yọ), ký hiệu

Øƒ(%ạ,Đạ)_ mạnh = f,(%.%9)= im + — F(yy+Ay)— FŒ) Yo N Yo

= lim F(X yọ + Ay)— ƒ(Œ%ạ; yọ)

Trang 5

Qui tắc tìm đạo hàm riêng

Đê tìm đạo hàm riêng của f theo biên x, ta coi f là hàm một biên x, biên còn lại y là hăng sô

Trang 6

H f(x,y) biểu diễn bởi mặt S (màu xanh)

Giá sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) e §

Có định y = b Đường cong C; là

giao của S và mặt phăng y = b

Phương trình của đường cong C¡

là g(x) = f(x, b)

Hệ số góc của tiếp tuyến T, với

ae) g'(a)= f.(a,b)

Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) 14 hé số góc của tiếp tuyến T; với đường

cong C, tai P(a,b,c)

Tuong tu, dao ham riéng theo y ctia f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T; voi duong cong C, tai P(a,b,c)

Trang 7

Ví dụ Cho hàm ƒ(x,y)=4—x?—2y” Tìm ƒ,(1,1) và biểu diễn hình học của

đạo hàm riêng này

Tiếp tuyến với C;¡ tại (1,1,1) là

đường thắng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C, tai (1,1,1) la dao ham riéng can tim

Trang 8

Biểu diễn hình học của 7q, 1) v6i f(x,y) =4-x? -2y’

Trang 9

Ví dụ Cho hàm f(x,y)=4-x?-2y?.Tim f,(11) va biểu diễn hình học của

đạo hàm riêng này

Tiếp tuyến với C; tại (1,1,1) là

đường thắng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C¿ tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cân tìm

"

Trang 10

Biễu diễn hình học của /, ‘ (1) với f(x,y) =4-x° -2y"

x

Trang 11

IL Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

Tính chât của đạo hàm riêng

Vi dao hàm riêng là đạo hàm của hàm một biên nên tinh chat cua dao ham riêng cũng là tính chât của đạo hàm của hàm một biên

l) (af), =af, 2) (ƒ/+g8),=/ +8,

3) (ƒ-8),=/ '8+/'8 4) [2] = Sb

Hàm một biên: hàm liên tục tại xạ khi và chỉ khi hàm có đạo ham cap | tai Xo

Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp | tai (xạ.yạ) nhưng không liên tục tại điêm này Giải thích!

Trang 12

Trang 13

Trang 14

2) Không thể thay (0,0) vào công thức dé tim # (0,0) Ta sử dụng định nghĩa

15(0.0)= fim LOAD —L0.0)_ lim (Ax)? +0-0_ | [Axl

Trang 15

Trang 16

Trang 17

Cho hàm hai bién f = f(x,y)

Đạo hàm riêng theo x va theo y là những hàm hai biến x va y:

Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm # (x, y):

Tiệp tục quá trình, ta có khái niém cac dao ham cap cao

Vì đạo "hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng

Trang 18

I Đạo hàm riêng và vỉ phân cua f = f(x,y)

Trang 19

Giai f(x,y) =e*siny f =e sin y

⁄(x,y)=e” COS y % = —€” sin y

2 2

= OF OF _ or siny—e*siny =0

%“ Oy Ham f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa

Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential,

Trang 20

Vi du

Chứng tỏ răng hàm ø(x,?) = sin(x— z)_ thỏa phương trình sóng

Oru 2 Oru a2 4 9 Ot Ox

Giải u, (x,f) =—acos(x — af) tụ =~a” sin(x— af)

u, (x,t) = cos(x — at) U,, = —Sin(x — at)

Oru 2 Oru

2=g 2

ot Ox =-a’ sin(x — đf) Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển, sóng âm thanh hay sóng chuyên động dọc theo một sợi dây rung

Trang 21

Giải u, (x,t) = 1 e -x" (4a°t) '' —==| —2x =„(x,)= " x? -2a°t -2a7 t er 2 (4a ?Ð

Ou -( 1 erie) x”—2a?t "`

t

Trang 22

Ví dụ

= s, nếux +y “#0 Cho ⁄#(,y)=$xX +7y

0, nếu xˆ + y”=0

Tim f,,(0,0)

_ + /(+Ax,0)- /(,0) - lịm — “=0

/40000= lim FOF LCD) = him

yay ¬ nếu xˆ + y”#0

=> h(x.) = fy) =4 (2° +9’)

0, nếu x” + y” =0

Trang 23

Trang 24

Vi du

gle

Cho ham u(x, y)=(2x+3y)In(x+2y).Tim “0 (1,2)

Giải Sử dụng công thức Leibnitz, coi ƒx,y) là hàm một biến theo x

Đặt = /.g: ƒ(x,y)=2x+3y; g(z, y)= In(x+ 2y)

are x,y) =Co (2x +3y) (-1)”-99! + C2 -~ 4+ ¡ (-1)8-98! +0

ad0n (> y)= Ioo( y)- (x+2y)!9 100 (6x+2y)®

Trang 25

Cho f có các đạo hàm riêng cap 1 liên tục

C, và C; là hai đường cong tạo nên do hai mat y = b va x =a cat S

Điểm P nằm trên cả hai đường này Gia str T, va T, 1a hai tiêp tuyên với hai đường cong C; và C, tại P

Mặt phẳng (z) chứa T; và T; gọi là

mặt phăng tiêp diện với mặt S tai P

TS vụ = y ¥y Tiép tuyên với mọi đường cong nắm wk k bs : ` 3

(a, b, 0) trong S, qua P déu nam trong (@)

Phương trình mặt tiếp diện với S tại (xạ, yọ, Zạ) là:

z—zạ = /y(g, #ọ)(— xạ) + /ÿ(Xọ; yọ)(7— Mo)

Trang 26

Ví dụ

Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic

z=2x?+y? tại điểm (11,3)

Trang 27

Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng

to lên thì mặt paraboloid gân trùng với mặt phăng tiêp diện

Wek, Se

Trang 28

Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y — 3 là hàm xắp xỉ tốt cho f = 2x? + y?

khi ma (x,y) gan voi diém (1,1)

ƒŒ,y)x~4x+2y—3 (1.1,0.95) = f(1.1,0.95) = 4(1.1) + 2(0.95) —3 = 3.3

Gần bằng với giá trị thực: f(1.1,0.5) = 2(1.1)? + (0.95)* = 3.3225

Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả không còn đúng nữa

(2,3) => f(2,3) ~ 4(2)+2(3)-3=11

Khác xa với giá trị thực: (2,3) = 2(2)? +(3)? =17

Trang 29

Dinh nghia

Cho ham f= f(x,y) và (xạ, yạ) là điểm trong của miền xác định

Hàm f được gọi là khả vi tại (xạ, yạ) nếu số gia toàn phần

Af (Xo Yo) = F(X + Ax, Yo + Av) — F(X, Ho)

có thê biéu dién duge @ dang Af (xạ; yọ) = AAx + BAy + aAx + BAy

trong do A, B la cac hang sé, a, 8 > 0, khi Ax, Ay > 0

Dinh nghia

Đại lượng d/(xạ yạ) = 4Ax + BAy gọi là vi phân của ham f= f(x,y) tai (X9,V)

Trang 30

(a+Ax,b+ Ay, ƒ(a + Ax, b + Ay))

Mặt tiếp diện

Trang 31

Dinh ly (diéu kién can kha vi)

Néu ham f= f(x,y) kha vi tai (Xo, Yo), thi:

1) / liên tục tại (xạ, yo),

2) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (xạ,yạ) và 4= ƒ,(xạ vụ) 8= ƒ„(o 7o)

Chứng minh

Định lý (điều kiện đủ)

Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (Xg„yạ) và có các đạo hàm riêng

ý iS, s liên tục tại (xạ,yạ), thì hàm f(x,y) kha vi tại (Xo,yạ)

Chứng minh

Trang 32

Ghi nho

Vi phan cp 1 ciia f(x,y) tai yo): Af M0) = Lo WIA + / (Aosyo)4

Tinh chất của vi phân

Cho f(x,y) va g(x,y) khả vi tại (xạ,yạ) Khi đó

1) d(af) =adf

2 dƒ+g)=đƒ+ds

3) d(fg)= gdf + fdg

& &

Trang 33

Dung vi phan cap 1 dé tinh gan ding

Cho ham f(x,y) kha vi tai (X,yp) Khi đó ta có:

P(X + Ax Yo + AY) = fo ¥0) = Ae Cro Yo) + foo dy + ax + BAy

ƒŒ.,y)= ƒŒạ,yạ)+ ƒÿŒạ, yụ)đk + / (6g, y0)đy + @Ax + BAy

⁄Œ,y)* ƒ(ạ, vụ) + F(X Yo de + fy (Xo Mo) (1)

Công thức (1) dùng để tính gần đúng gia tri cla f tai (x,y)

Công thức (1) có thể viết lại: ƒ(x,y)~— ƒ(xạ, yọ) © Fei Mp e+ ⁄sŒạ, yọ)dÿ

hay ta có: Aƒ x 4ƒ

Trang 34

Qui tắc ding vi phan cap 1 dé tinh gan ding

Dé tinh gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y) Ta thực hiện

1) Chọn một điểm (xạ,yạ) gần với diém (x,y) sao cho ƒ{xạ,yạ) được tinh dé dang 2) Tính giá trị Ax =x~ xụ,Ay = y~ yụ, /(Xọ; Jọ) Fy (Xo Yo):

3) Sử dụng công thức:

I (x,y) = SF (X93 ¥0) + Fos Yo AX + Fy (X.Y AY ()

Chú ý: Nếu điểm (xạ,yạ) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được không phù hợp.

Trang 35

Vi du

Ching to f= xe” kha vi tai (1,0) Str dung két qua nay dé tinh gan ding gia trị f(1.1,-0.1)

Giải ⁄,(,y)=£” +xy£”: ƒy(x, y) = xe” ›

Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R“, nên liên tục trong lân cận của (1,0) Theo định lý (đk đủ kha vi) f= xe” kha vi tai (1,0)

Trang 36

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

Ví dụ

Cho ƒ(x,y)= x? + 3xy— y

1) Tìm đ#(z, y)

2) Khi x thay đôi từ 2 đến 2.05, y thay đồi từ 3 đến 2.96, so sánh df va Af

Giải 1) đŒ,y)= 4+ /;d# df (x,y) = (2x+3y)de + Bx—2y)ay 2) Cho Xp = 2, yy = 3 = Av =0.05, Ay = -0.04, x = 2.05, y = 2.96

Trang 37

Định nghĩa vi phân cấp cao

Cho ham f= f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y

Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2

d° f(x,y) =d(df (x,y) =d(frde+ frdy) =d(f.dx) + d( fray)

=drd(f.)+dvd(f,) =de| (f)de+ fy a |+ ay] Frat (Kya |

= fidxdx + f,,dxdy + f,.dxdy + f,,dydy

= d* f(x,y) = fod? +2 f,,dxdy + fy”

Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n Sử dụng nhị thức Newton

ô a.) d" f =| T“dv+d f [Sas 2) 7

Trang 38

-c9et S ox +Cy of ddy +Cy of dx dy? +Cj of ;didy? + Cy OS wy

Trang 39

Trang 40

Trang 41

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

Ví dụ

Dùng vi phân cấp 1, tinh gan ding

A= (1.03) +(1.98)°

Giải Chonham f(x, y)= Vx? +9"

Chọn giá tri gin véi 1.03, 1.98: xạ =l,yạ =2

=> dx =Ax=x-x) =1.03-1=0.03 đÿ=Ay= y—yo =1.98—2 =~0.02

2

Af = f(%9)-S0p.%0) * Uf = fede + fyd= ——* — des 2

xo + ys P + y f(1.03,1.98) = fC, 2) + fy (1, 2).(0.03) + % (1, 2)(—0.02)

A= (1.03)? +(1.98)3 = £(1.03,1.98) =3.45(0.03) +55 (-0.02) = 2.98

dy

Trang 42

H Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Hàm một biên

PLO 5 Fo Fen) u=u(x)

Ham hai bién: trudng hop 1

Trang 43

II Dao ham riéng va vi phan cia ham hợp

Vi du

Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp f = f(u)= ot ju =sin(xy)

Giải £=ƒ/Œ@,y)=eme@

f.=f (u)-u, = Que" ycos(xy) = 2sin(xy)e™ &) y cos(xy)

f =f (u): Hy = 2ue" x cos(xy) = 2sin(xy)e™ & ) xcos(xy)

Vi du

Tim f.,biét f= f(u,v)=u'v+ In(uv),u = e*,v=sin? x

Trang 44

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Đạo hàm cấp hai của hàm hợp

fafa fir, fe=(f) =e tn),

Trang 49

Vi du

Tim ty cua ham hợp f = f(u,v) =u? + 2v,u(x, y) = xy", v(x, y)=x4+3y

fo = Sy lt fyVe= My? +21 => fi, =(f) =(2uy? +2) y y

"=(2u.y?) =2u',.y? +2u2

Sy (22), Uy.y +2u.2y

Vidu

Tim ty của hàm hợp / = ƒ(,v) = e'”,(x, y)= xy+ y”,v(x, y)=2x+ y

Wy= f'M, + ƒ 'Vy = ve y+uể”.2 => fy =(ve"".ytue".2)

=e" yt v(e”) ytve” +2(x+2y)e + 2u(e"” |

(e”) =(e") U +(e”) v, =vel” (x+2y)+ue”1

Trang 50

Trang 51

Tim toy ciaham hop f = f(x? +e”)

Dat uxyaxrt+e” = f= fw)-u.=f w).2x

Z2 =(ƒ 02x) =2x./ 0)" y

Trang 52

Vi phân cấp một của hàm hợp

ƒ = ƒ(.v) u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập

w=u(x,y) Khi thay u(x,y), v(x,y) vao ta duge ham f theo hai bién

v=v(x,y) x, y déc lap

df = f.dx+ f,-dy =(f, úy + ]dk+ (đu, + 9y )dy

= , (u.dx + w,dy) + # (vu& + v,dy) = f,du + f,dv

df = f,du+ f,dv (1) Tuy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc

df = fide+ fidy (2) (2) Thường dùng công thức sô (1)

Hai công thức giống nhau Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập Nên ta nói: vi phân câp một có tính bât biên

Trang 53

Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng df = f,dx+ f,dy

nhưng việc tính toán phức tạp hơn

Trang 54

df = f, (2xdx +2dy)+ f,(yedx + xe” dy)

Chú y: C6 thé ding df = fide + f,dy

Trang 55

v=v(x,y) =d( f,du) +d( far)

Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên đ, đv không là hằng số

df =d(f,)-du+ f,-d(du)+d(f,)-dv+ f,-d(dv)

f,,f, lanhiing ham hop hai bién

d(t)=(e), du+(fa), de d()=(K), de+( i), a

d(du)=d’u,d(dv)=d’v

Vi phan cap hai không còn tinh bat biến.

Trang 56

Vi phân cấp hai của hàm hợp

/=/u) — 4 S/=4(@) =d(((0)au)

af =(fW)) (u)-du-du+ fadd?u =f (wd? + f (wd?u

Tom lai:

Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của ham hop ta lay dao ham (vi phân) của đạo hàm (vi phan) cap một và phải biệt phân biệt là hàm hợp mây

biến.

Định dạng
Số trang	70
Dung lượng	9,41 MB