Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.. Hướng dẫn giải:.[r]
(1)(2)Trang
ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1 Định nghĩa đạo hàm điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 (a; b):
0
0
0 ( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
− =
− = limx y x →
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm
2 Đạo hàm bên trái, bên phải
0
0
0 ( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
+ +
→
− =
−
0
0 ( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
− −
→
− =
−
Hệ : Hàm f x( )có đạo hàm x0 (f x0+) f '(x0−) đồng thời f x'( 0+)= f x'( 0−) 3 Đạo hàm khoảng, đoạn
• Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) ( ; )a b có đạo hàm điểm thuộc
( ; )a b
• Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [ ; ]a b có đạo hàm điểm thuộc
( ; )a b đồng thời tồn đạo hàm trái f b'( −) đạo hàm phải f a'( +) 4 Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục
• Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm x0 f x( ) liên tục x0
Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x hàm 0
khơng có đạo hàm x 0
B – BÀI TẬP
Câu Giới hạn (nếu tồn tại) sau dùng để định nghĩa đạo hàm hàm số y= f x( ) tạix ? 0
A
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x x →
+ −
B
0
0
( ) ( ) lim
x
f x f x
x x
→
−
−
C
0
( ) ( ) lim
x x
f x f x
x x
→
−
− D 0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x →
+ −
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm hàm số điểm biểu thức đáp án C
Chọn C
Câu Cho hàm số f x liên tục
( )
x0 Đạo hàm f x( )
x0 A f x( )
0B f x( h) f x( 0) h
+ −
C 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x h →
+ −
(nếu tồn giới hạn)
D 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x h h
→
+ − −
(nếu tồn giới hạn)
Hướng dẫn giải:
(3)Trang
Định nghĩa
( )
00
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
f x
x →
+ −
=
hay
( )
0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x f x
h →
+ −
= (nếu tồn giới hạn)
Câu Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm x 0 f x Khẳng định sau sai? '( )0 A
0
0
0 ( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
− B 0 0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x →
+ −
=
C 0
0 0
( ) ( )
( ) lim
h
f x h f x f x
h →
+ −
= D
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x x f x
f x
x x
→
+ −
=
− Hướng dẫn giải:
Chọn D
A Đúng (theo định nghĩa đạo hàm điểm) B Đúng
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
0
0
0
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( ) lim
x x
x x x x x x
y f x x f x
f x x f x f x x f x
f x f x
f x
x x x x x x
→
= − = +
= + −
+ − + −
−
= = =
− + −
C Đúng
Đặt h= = − = +x x x0 x h x0, =y f x
(
0+ −x) ( )
f x0(
)
( )
(
)
( )
0
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( ) lim
x x
f x h f x f x h f x
f x f x f x
x x h x x h
→
+ − + −
−
= = =
− + −
Câu Số gia hàm số f x
( )
= ứng với x3 x = 0 =x bao nhiêu?A −19 B 7 C 19 D −7
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có
(
)
( ) (
)
3 3( )
3(
)
0 0 0
y f x x f x x x x x x x x x
= + − = + − = + + + −
Với x =0 =x =y 19
Câu Tỉ số y x
hàm số f x
( )
=2x x(
− theo x 1)
xlàA 4x+ +2 x B 4x+2
( )
x 2−2C 4x+ −2 x D 4x x +2
( )
x 2− 2 xHướng dẫn giải:
Chọn C
( )
( )
(
)
(
)
(
)(
) (
)
0 0
0
0 0
0
2
2
2 2 2
f x f x x x x x
y
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
− − − −
= =
− −
− + − −
= = + − = + −
−
Câu Số gia hàm số
( )
2
x
f x = ứng với số gia xcủa đối số x x = −0
A 1
( )
22 x − x B
( )
2
1
2 x x
−
C 12
( )
x 2+ x D 12( )
x 2+ xHướng dẫn giải:
(4)Trang Với số gia xcủa đối số x x = − Ta có 0
(
)
2( )
2( )
2
1 1 1
2 2 2
x x x
y − + + − x x
= − = − = −
Câu Cho hàm số f x
( )
=x2− , đạo hàm hàm số ứng với số gia x xcủa đối số x x0A
(
( )
2)
0
lim
x x x x x
→ + − B →limx 0
(
+x 2x−1)
C
(
)
0
lim
x x x
→ + + D
(
( )
)
2
0
lim
x x x x x
→ + + Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :
(
) (
)
(
)
( )
( )
2 2
0 0
2
2
0 0 0
2
2
y x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
= + − + − −
= + + − − − +
= + −
Nên
( )
( )
(
)
2
0
0 0
2
' lim lim lim
x x x
x x x x
y
f x x x
x x
→ → →
+ −
= = = + −
Vậy
( )
(
)
0
' lim
x
f x x x
→
= + −
Câu Cho hàm số ( )
0
x
x
f x x
x
=
=
Xét hai mệnh đề sau:
(I) f
( )
0 =(II) Hàm số khơng có đạo hàm x0 = Mệnh đề đúng?
A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả hai sai D Cả hai Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi số gia đối số cho x x
Ta có
( )
(
)
20 0
0 (0)
0 lim lim lim
x x x
f x f x
f
x x x x
→ → →
+ −
= = = = +
Nên hàm số khơng có đạo hàm
Câu
3
2 1
( ) 1
0
x x x
x
f x x
x
− + + −
= −
=
điểm x = 0
A 1
3 B
1
5 C
1
2 D
1 4
Hướng dẫn giải:
Chọn C
3
2 3 2
1 1
( ) (1) 1
lim lim lim
1 ( 1) 2 1 1
x x x
f x f x x x x
x x x x x
→ → →
− − + + −
= = =
(5)Trang Vậy '(1)
2
f =
Câu 10
2
( ) 2 7 4
1
x khi x
f x x x x
x x
+
= + − +
−
x = 0
A 0 B C 5 D Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có
(
)
1
lim ( ) lim
x x
f x x
+ +
→ = → + =
3
2
1 1
2
lim ( ) lim lim( 4)
1
x x x
x x x
f x x x
x
− − −
→ → →
+ − +
= = + − =
−
Dẫn tới
1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ → hàm số không liên tục x =1 nên hàm số khơng có đạo hàm
0
x =
Câu 11 Cho hàm số
3
( )
x
x f x
x
− −
=
=
Khi f
( )
0 kết sau đây?A 1
4 B
1
16 C
1
32 D Không tồn
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
( )
( )
0 0
3
0 4 4
lim lim lim
0
x x x
x
f x f x
x x x
→ → →
− − −
− = = − −
−
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
2 4 1 1
lim lim lim
16
4 4 4
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
− − + −
= = = =
+ − + − + −
Câu 12 Cho hàm số
( )
f x = x Khi f
( )
0 kết sau đây?A Không tồn B C 1 D 2
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có f x( )= x2 = nên x
( )
(
)
0
0 (0)
0 lim lim
x x
x
f x f
f
x x
→ →
+ −
= =
Do
0
lim lim
x x
x x
x x
− +
→ →
= − =
nên limx
x
x
→
không tồn
Câu 13 Cho hàm số
2
2
( )
6 2
x x
f x x
bx x
=
− + −
(6)Trang
A b =3 B b =6 C b =1 D b = −6
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
lim lim
lim lim
2
x x
x x
f
f x x
x
f x bx b
− −
− −
→ →
→ →
• =
• = =
• = − + − = −
( )
f x có đạo hàm x =2 f x liên tục
( )
x =2( )
( )
( )
2
lim lim 2
x x
f x f x f b b
− −
→ →
= = − = =
Câu 14 Số gia hàm số f x
( )
=x2−4x+ ứng với x xlàA +x
(
x 2x−4)
B 2x+ x C x 2(
x− x)
D 2x− 4 xHướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
4
2 4
2
y f x x f x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x
= + −
= + − + + − − +
= + + − − + − + − = + −
= + −
Câu 15 Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm điểm
( )
x= x0 f x liên tục điểm( )
(2) Nếu hàm số f x liên tục điểm
( )
x= x0 f x có đạo hàm điểm( )
(3) Nếu f x gián đoạn
( )
x= chắn x0 f x khơng có đạo hàm điểm( )
Trong ba câu trên:
A Có hai câu câu sai B Có câu hai câu sai
C Cả ba D Cả ba sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm điểm
( )
x=x0thì f x liên tục điểm Đây mệnh đề( )
(2) Nếu hàm số f x liên tục điểm
( )
x= x0 f x có đạo hàm điểm( )
Phản ví dụ
Lấy hàm f x
( )
= ta có D = nên hàm số x f x liên tục( )
Nhưng ta có
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0
0
lim lim lim
0 0
0
0
lim lim lim
0 0
x x x
x x x
x
f x f x
x x x
x
f x f x
x x x
+ + +
− − +
→ → →
→ → →
− = − = − =
− − −
−
− − −
= = = −
− − −
Nên hàm số khơng có đạo hàm x =0 Vậy mệnh đề (2) mệnh đề sai
(7)Trang
Vì (1) mệnh đề nên ta có f x khơng liên tục
( )
x= x0 f x có đạo hàm điểm( )
Vậy (3) mệnh đề Câu 16 Xét hai câu sau: (1) Hàm số
1
x y
x
=
+ liên tục x =0
(2) Hàm số
1
x y
x
=
+ có đạo hàm x =0
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (2) B Chỉ có (1) C Cả hai D Cả hai sai Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :
( )
( )
0
0
lim
lim
1
1
0
x
x
x
x f x
x f
→
→
=
=
+
+
=
Vậy hàm số
1
x y
x
=
+ liên tục x =0
Ta có :
( )
( )
(
)
0
0 1
0
x
x
f x f x
x x x x
−
− +
= =
− + (với x 0)
Do :
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
0 0
0 0
0
lim lim lim
0 1
0
lim lim lim
0 1
x x x
x x x
x f x f
x x x x
x f x f
x x x x
+ + +
+ − −
→ → →
→ → →
−
= = =
− + +
− −
= = = −
− + +
Vì giới hạn hai bên khác nên không tồn giới hạn
( )
( )
00
f x f x
−
− x →0
Vậy hàm số
1
x y
x
=
+ khơng có đạo hàm x =0
Câu 17 Cho hàm số f x
( )
=x2+ Xét hai câu sau: x(1) Hàm số có đạo hàm nguyenthuongnd86@gmail com (2) Hàm số liên tục x =0
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai D Cả hai sai Hướng dẫn giải:
Chọn B Ta có
+)
( )
(
)
0
lim lim
x→+ f x =x→ + x +x =
+)
( )
(
)
0
lim lim
x→− f x =x→− x −x = +) f
( )
0 =( )
( )
( )
0
lim lim
x x
f x f x f
+ −
→ →
= = Vậy hàm số liên tục x =0 Mặt khác:
+)
( )
( )
( )
(
)
2
0 0
0
0 lim lim lim 1
0
x x x
f x f x x
f x
x x
+ + +
+
→ → →
− +
= = = + =
(8)Trang
+)
( )
( )
( )
(
)
2
0 0
0
0 lim lim lim 1
0
x x x
f x f x x
f x x x − − − − → → → − − = = = − = − −
( )
0( )
0f + f −
Vậy hàm số khơng có đạo hàm x =0 Câu 18 Tìm a b, để hàm số
2
( )
x x x f x
ax b x
+
=
+
có đạo hàm x =1
A 23
1 a b = = − B 11 a b = = − C 33 31 a b = = − D a b = = − Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có:
1
lim ( ) lim( )
x x
f x x x
+ +
→ = → + = ; 1
lim ( ) lim( )
x x
f x ax b a b
− −
→ = → + = +
Hàm có đạo hàm x =1 hàm liên tục x =1 + =a b (1)
1 1
( ) (1)
lim lim lim( 2)
1
x x x
f x f x x
x x x + + + → → → − = + − = + = − −
1 1
( ) (1)
lim lim lim
1 1
x x x
f x f ax b ax a
a
x x x
− − −
→ → →
− = + − = − =
− − − (Dob= −2 a)
Hàm có đạo hàm x =1
1 a b = = −
Câu 19 Cho hàm số
2
( ) 2
x
x f x
ax b x
= +
Với giá trị sau a, b hàm số có đạo
hàm x =1?
A 1;
a= b= − B 1;
2
a= b= C 1;
2
a= b= − D 1;
2
a= b= Hướng dẫn giải:
Chọn A
Hàm số liên tục x =1 nên Ta có
2
a b+ =
Hàm số có đạo hàm x =1 nên giới hạn bên
( )
( )
11
f x f
x
−
− Ta có
( )
( )
(
)
(
)
1 1
1 1
lim lim lim lim
1 1
x x x x
f x f ax b a b a x
a a
x x x
+ + + + → → → → − + − + − = = = = − − −
( )
( )
(
)(
)
(
)
(
)
1 1
1
1 2 2 1
lim lim lim lim
1 2
x x x x
x
f x f x x x
x x x
− − − − → → → → − − + − + = = = = − − −
Vậy 1;
2
a= b= −
Câu20
2
sin ( )
0
x x
f x x
x = =
x =0
A 0 B 1
2 C
2
3 D 7
(9)Trang
Chọn A
Ta có:
0
( ) (0)
lim lim sin
x x
f x f
x
x x
→ →
− = =
Vậy f '(0)=0
Câu 21
2
2 sin
( )
x
x
f x x
x x x
=
+
x = 0
A B C D
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
2
0 0
sin sin
lim ( ) lim lim sin
x x x
x x
f x x
x x
+ + +
→ → →
= = =
(
2)
0
lim ( ) lim
x→− f x =x→− x+x = nên hàm số liên tục
0
x =
2
2
0
( ) (0) sin
lim lim
x x
f x f x
x x
+ +
→ →
− = =
2
0
( ) (0)
lim lim
x x
f x f x x
x x
− −
→ →
− = + =
Vậy f '(0)=1
Câu 22
2
1
( ) x x
f x
x
+ +
= x = −0
A B C D đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số liên tục x = −0
1 ( ) ( 1)
1 ( 1)
x x x
f x f
x x x
+ + +
− − =
+ +
Nên
2
1
( ) ( 1)
lim lim
1 ( 1)
x x
f x f x x
x x x
+ +
→− →−
− − = + + =
+ +
2
1
( ) ( 1)
lim lim
1 ( 1)
x x
f x f x
x x x
− −
→− →−
− − = − =
+ +
Do
1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
lim lim
1
x x
f x f f x f
x x
+ −
→− →−
− − − −
+ +
Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm x = −0
Nhận xét: Hàm số y= f x( ) có đạo hàm x=x0 phải liên tục điểm
Câu 23 Tìm a,b để hàm số
2
2
1 ( )
2
x khi x
f x
x ax b x
+
=
+ +
có đạo hàm
A a=10,b=11 B a=0,b= −1 C a=0,b=1 D a=20,b=1
(10)Trang 10
Chọn C
Ta thấy với x 0 f x( ) ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm hàm có đạo hàm tạix =0
Ta có:
0
lim ( ) 1; lim ( )
x→+ f x = x→− f x = ( )b
f x liên tục tạix= =0 b
Khi đó:
0
( ) (0) ( ) (0)
'(0 ) lim 0; '(0 ) lim
x x
f x f f x f
f f a
x x
+ −
+ −
→ →
− −
= = = =
'(0 ) '(0 )
f + f − a
= =