Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 VI PHÂN đh cấp CAO đặng việt đông file word

Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT • Tích f '( x0 ).∆x gọi vi phân hàm số y = f ( x) điểm x0 (ứng với số gia ∆x ) kí hiệu df ( x0 ) = f '( x0 ) ∆x • Nếu hàm số f có đạo hàm f ' tích f '( x)∆x gọi vi phân hàm số y = f ( x) , kí hiệu là: df ( x) = f '( x) ∆x Đặc biệt: dx = x ' ∆x = ∆x nên ta viết df ( x ) = f '( x)dx B – BÀI TẬP Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) Biểu thức sau vi phân hàm số f ( x ) ? A dy = ( x − 1) dx C dy = ( x − 1) Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có dy = f ′ ( x ) dx = ( x − 1) dx B dy = ( x − 1) dx D dy = ( x − 1) dx Câu Tìm vi phân hàm số y = x + x A dy = (3 x − x)dx C dy = (3 x + x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = (3 x + x)dx B dy = (3 x + x)dx D dy = (3 x + x)dx Câu Tìm vi phân hàm số y = 3x + dx A dy = B dy = 3x + 2 dx C dy = D dy = 3x + 2 Hướng dẫn giải: Chọn D dy = dx 3x + Câu Cho hàm số y = x3 − x + 12 x − Vi phân hàm số là: A dy = ( x − 18 x + 12 ) dx C dy = − ( 3x − 18 x + 12 ) dx Hướng dẫn giải: Chọn A dx 3x + dx 3x + 2 B dy = ( −3 x − 18 x + 12 ) dx D dy = ( −3x + 18 x − 12 ) dx Trang Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có dy = ( x3 − x + 12 x − ) ′ dx = ( x − 18 x + 12 ) dx Câu Tìm vi phân hàm số y = (3x + 1)10 A dy = 10(3 x + 1) dx B dy = 30(3x + 1)10 dx C dy = 9(3 x + 1)10 dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = 30(3x + 1)9 dx D dy = 30(3 x + 1)9 dx Câu Tìm vi phân hàm số y = sin x + sin x A dy = ( cos x + 3sin x cos x ) dx C dy = ( cos x + sin x cos x ) dx Hướng dẫn giải: Chọn B dy = ( cos x + 3sin x cos x ) dx Câu Tìm vi phân hàm số y = tan x A dy = (1 + tan 2 x)dx C dy = 2(1 − tan 2 x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy = 2(1 + tan 2 x) dx B dy = ( cos x + 3sin x cos x ) dx D dy = ( cos x + sin x cos x ) dx B dy = (1 − tan 2 x)dx D dy = 2(1 + tan 2 x)dx Câu Tìm vi phân hàm số y = x + 1 dx A dy = ( x + 1) 2 dx C dy = ( x + 1) Hướng dẫn giải: Chọn D dy = dx 3 ( x + 1)2 B dy = D dy = 3 ( x + 1) dx 3 ( x + 1)2 dx Câu Xét hàm số y = f ( x ) = + cos 2 x Chọn câu đúng: A df ( x ) = − sin x dx + cos 2 x cos x dx C df ( x) = + cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B B df ( x ) = D df ( x) = Trang − sin x + cos 2 x − sin x dx + cos 2 x dx Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có : dy = f ′ ( x ) dx = ( + cos 2x) ′ dx = −4 cos x.sin x + cos x dx = + cos x Câu 10 Cho hàm số y = x − x + Vi phân hàm số là: 2 A dy = ( x − ) dx A dy = dx Hướng dẫn giải: Chọn C + cos 2 x dx B dy = − ( x − ) dx C dy = ( x + ) dx Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có dy = ( x − x + ) ′ dx = ( x − ) dx Câu 11 Cho hàm số y = − sin x D dy = ( 3x − ) dx Vi phân hàm số là: 3x3 1 B dy = dx C dy = − dx x x D dy = x 4dx 3x  ′ Ta có dy =  ÷ dx = = − dx (x ) x  3x  Câu 12 Cho hàm số y = A dy = C dy = dx ( x − 1) 3dx B dy = D dy = − −3dx ( x − 1) x+2 Vi phân hàm số là: x −1 ( x − 1) dx ( x − 1) Hướng dẫn giải: Chọn C  x + ′ dx Ta có dy =  ÷ dx = −  x −1  ( x − 1) Câu 13 Cho hàm số y = x2 + x + Vi phân hàm số là: x −1 x2 − 2x − dx ( x − 1) 2x +1 dx C dy = − ( x − 1) Hướng dẫn giải: Chọn D A dy = − B dy = 2x +1 dx ( x − 1) D dy = x2 − 2x − dx ( x − 1) Trang Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 2  x + x + ′ = ( x + 1) ( x − 1) − ( x + x + 1) dx = x − x − dx Ta có dy =  2 ÷ dx ( x − 1) ( x − 1)  x −1  Câu 14 Cho hàm số y = sin x − 3cos x Vi phân hàm số là: A dy = ( − cos x + 3sin x ) dx C dy = ( cos x + 3sin x ) dx Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có dy = ( sin x − 3cos x ) ′ dx = ( cos x + 3sin x ) dx B dy = ( − cos x − 3sin x ) dx D dy = − ( cos x + 3sin x ) dx Câu 15 Cho hàm số y = sin x Vi phân hàm số là: A dy = – sin x dx B dy = sin x dx C dy = sin x dx Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có dy = d sin x = sin x ′ dx = cos x.2sin xdx = sin xdx ( ) ( ) Câu 16 Vi phân hàm số y = A dy = D dy = 2cosx dx tan x là: x x dx x x cos x B dy = sin(2 x ) dx x x cos x x − sin(2 x ) x − sin(2 x ) d x d y = − dx D x x cos x x x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D 1 x − tan x ′   x dx Ta có dy = tan x dx = x cos x  ÷ ÷ x x   C dy = 1 sin x  x − sin x cos x =  − dx = dx ÷ 2 ÷x cos x cos x x x x cos x   x − sin x dx x x cos x Câu 17 Hàm số y = x sin x + cos x có vi phân là: A dy = ( x cos x – sin x ) dx = B dy = ( x cos x ) dx C dy = ( cos x – sin x ) dx D dy = ( x sin x ) dx Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có dy = ( x sin x + cos x ) ′ dx = ( sin x + x cos x − sin x ) dx = ( x cos x ) dx Trang Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 18 Hàm số y = A dy = x Có vi phân là: x +1 − x2 dx ( x + 1) − x2 dx C dy = ( x + 1) Hướng dẫn giải: Chọn A x ′ x2 + − x2 − x2 Ta có dy =  ÷ dx = = dx ( x + 1)2 ( x + 1)  x +1 B dy = 2x dx ( x + 1) D dy = dx ( x + 1) 2 Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) Biểu thức sau vi phân hàm số cho? A dy = ( x − 1) dx B dy = ( x − 1) C dy = ( x − 1) dx D dy = ( x − 1) dx Hướng dẫn giải: Chọn A y = f ( x ) = ( x − 1) ⇒ y′ = ( x − 1) ⇒ dy = ( x − 1) dx 2 Câu 20 Vi phân hàm số f ( x ) = 3x − x điểm x = , ứng với ∆x = 0,1 là: A −0, 07 B 10 C 1,1 D −0, Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ ( ) = 11 df ( ) = f ′ ( ) ∆x = 11.0,1 = 1,1 Câu 21 Vi phân y = cot ( 2017 x ) là: A dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx 2017 dx cos ( 2017 x ) Hướng dẫn giải: Chọn D C dy = − y = cot ( 2017 x ) ⇒ y′ = − B dy = 2017 dx sin ( 2017 x ) D dy = − 2017 dx sin ( 2017 x ) 2017 2017 ⇒ dy = − dx sin ( 2017 x ) sin ( 2017 x ) x2 + x + Câu 22 Cho hàm số y = Vi phân hàm số là: x −1 2x + x2 − x − dx dx A dy = − B dy = ( x − 1) ( x − 1) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 2x +1 x2 − 2x − d x d y = dx D ( x − 1) ( x − 1) Hướng dẫn giải: Chọn D  x + x + ′ x2 − 2x − dy =  d x = dx ÷ ( x − 1)  x −1  x+3 Câu 23 Cho hàm số y = Vi phân hàm số x = −3 là: 1− 2x 1 A dy = dx B dy = 7dx C dy = − dx 7 Hướng dẫn giải: Chọn A ⇒ y′ ( −3) = Ta có y ′ = ( 1− 2x ) C dy = − Do dy = dx Câu 24 Vi phân y = tan x : 5x dx A dy = B dy = − dx cos x sin x 5 dx dx C dy = D dy = − cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn C y = tan x ⇒ y ′ = cos x dx Do dy = cos x ( x − 1) Câu 25 Hàm số y = f ( x ) = Biểu thức 0, 01 f '(0, 01) số nào? x A B -9 C 90 Hướng dẫn giải: Chọn D ( x − 1) 1 y = f ( x) = ⇒ y′ = − ⇒ y ′ ( 0, 01) = −9000 x x x x Do 0, 01 f '(0, 01) = −90 Câu 26 Cho hàm số y = sin(sin x) Vi phân hàm số là: A dy = cos(sin x).sin xdx B dy = sin(cos x)dx C dy = cos(sin x).cos xdx D dy = cos(sin x)dx Hướng dẫn giải: Trang D dy = −7dx D -90 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Chọn C Ta có: y ' = (sin x) '.cos(sin x) = cos x.cos(sin x) nên dy = cos x.cos(sin x)dx  x − x x ≥ Câu 27 Cho hàm số f ( x) =  Kết đúng? x < 2 x ( ) x2 − x = lim+ ( x − 1) = −1 x→0 x →0 x = lim− x = B f ′ ( 0+ ) = lim+ A df (0) = −dx ( ) ( ) + x2 − x = C f ′ = xlim + →0 − D f ′ x→0 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: f ′ ( 0+ ) = lim+ x→0 x2 − x = lim+ ( x − 1) = −1 ; x→0 x 2x = hàm số khơng có vi phân x = x →0 x Câu 28 Cho hàm số y = cos 2 x Vi phân hàm số là: A dy = cos x sin xdx B dy = cos x sin xdx C dy = −2 cos x sin xdx D dy = −2sin xdx Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có : dy = d ( cos x ) = cos x.(cos x) 'dx = −4 cos x.sin xdx = −2sin xdx f ′ ( 0− ) = lim−  x + x x ≥ f ( x ) = Câu 29 Cho hàm số Khẳng định sai?  x < x + − A f ′ ( ) = B f ′ ( ) = C df (0) = dx Hướng dẫn giải: Chọn D D Hàm số khơng có vi phân x = x x2 + x − = lim+ ( x + 1) = f ′ ( ) = lim− = df (0) = dx x → x →0 x →0 x x Câu 30 Cho hàm số y = f ( x) = + cos x Chọn kết đúng: − sin x − sin x dx dx A df ( x ) = B df ( x) = 2 + cos x + cos 2 x cos x − sin x dx dx C df ( x) = D df ( x ) = + cos x + cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B (1 + cos 2 x) ' −2.2 cos x.sin x − sin x dx = dx = dx Ta có : dy = df ( x) = d + cos x = 2 + cos x + cos x + cos 2 x Câu 31 Cho hàm số y = tan x Vi phân hàm số là: Ta có: f ′ ( 0+ ) = lim+ ( ) Trang Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A dy = C dy = 2 x cos x x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D dx B dy = dx D dy = x cos x dx x cos x dx   dx Ta có : dy = d tan x =  ÷.( x ) 'dx = 2 x cos x  cos x  2x + Câu 32 Vi phân hàm số y = : 2x −1 dx dx A dy = − B dy = 2 ( x − 1) ( x − 1) dx dx C dy = − D dy = − 2 ( x − 1) ( x − 1) Hướng dẫn giải: Chọn A −8  2x +  dx Ta có : dy = d  ÷=  x −  (2 x − 1) ( ) − x2 Vi phân hàm số là: + x2 −4 −4 dx dx dx B dy = C dy = 2 + x2 (1+ x ) Câu 33 Cho hàm số y = A dy = −4 x (1+ x ) 2 D dy = Hướng dẫn giải: Chọn A  − x2  −4 x = dx Ta có : dy = d  ÷ 2  + x  (1 + x ) Câu 34 Cho hàm số f ( x) = cos x Khi sin x sin x dx dx A d  f ( x )  = B d  f ( x )  = cos x cos x − sin x − sin x dx dx C d  f ( x )  = D d  f ( x )  = cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D (cos x) ' − sin x dx = dx Ta có : df ( x) = d cos x = cos x cos x ( ) Trang −dx (1+ x ) 2 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = ( f ') ' • Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − (với n ∈ ¥ , n ≥ ) f ( n −1) Nếu f ( n −1) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f ( n ) , tức là: f ( n ) = ( f ( n −1) ) ' Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n • Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức B – BÀI TẬP Câu Hàm số y = A y′′ = x có đạo hàm cấp hai là: x−2 B y ′′ = ( x − 2) C y ′′ = − ( x − 2) Hướng dẫn giải: Chọn D  −2 ′ x ′ −2  ( x − 2) Ta có y ′ =  = ÷ = ÷= ; y ′′ =   ( x − 2) ÷  x −  ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)   ( ) Câu Hàm số y = x + A y′′′ = 12 ( x + 1) có đạo hàm cấp ba là: C y′′′ = 24 ( x + 3) Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y = x + 3x + 3x + ; y ′ = x + 12 x + x B y ′′′ = 24 ( x + 1) D y′′′ = –12 ( x + 1) y ′′ = 30 x + 36 x + ; y′′′ = 120 x + 72 x = 24 ( x + 3) Câu Hàm số y = x + có đạo hàm cấp hai bằng: 1 A y′′ = B y ′′ = (2 x + 5) x + 2x + 1 C y ′′ = − D y ′′ = − (2 x + 5) x + 2x + Hướng dẫn giải: Chọn C Trang D y ′′ = ( x − 2) Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word y ′′ = − ( ( ) ′ 2x + = = 2x + 2x + ′ 2x + = − 2x + = − 2x + 2x + ( x + 5) x + Ta có y ′ = ) Câu Hàm số y = x2 + x + có đạo hàm cấp bằng: x +1 120 120 (5) B y = ( x + 1) ( x + 1)6 1 (5) (5) C y = D y = − ( x + 1) ( x + 1)6 Hướng dẫn giải: Chọn A ⇒ y′ = − Ta có y = x + ( x + 1) x +1 −6 24 120 (5) ⇒ y′′ = ⇒ y ( 3) = ⇒ y ( 4) = =− ⇒ y ( x + 1)6 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) (5) A y = − x2 + x + có đạo hàm cấp : x +1 Câu Hàm số y = ( 5) A y = − ( 5) C y = 120 ( x + 1) ( x + 1) ( 5) B y = 120 ( x + 1) ( 5) D y = − ( x + 1) Hướng dẫn giải: Chọn A x2 + x + 1 Ta có: y = = x+ x +1 x +1 24 120 ⇒ y′ = − y′′ = y ′′′ = − y( ) = y( ) = − ; ; ; ; ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Câu Hàm số y = x x + có đạo hàm cấp : A y ′′ = − C y′′ = x3 + 3x (1+ x ) + x2 x + 3x ( 1+ x ) 1+ x2 B y′′ = 2x2 + D y ′′ = − Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 10 + x2 x2 + 1 + x2 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có: y ′ = x + + x x x +1 = x2 + x +1 ; y ′′ = x x + − ( x + 1) x2 + x x +1 = 2 x3 + 3x ( 1+ x ) + x2 Câu Hàm số y = ( x + ) có đạo hàm cấp : A y ′′′ = 80 ( x + ) B y′′′ = 480 ( x + ) C y′′′ = −480 ( x + ) D y′′′ = −80 ( x + ) Hướng dẫn giải: Chọn B 4 Ta có: y ′ = ( x + ) ×2 = 10 ( x + ) ; y ′′ = 80 ( x + ) ; y ′′ = 480 ( x + ) Câu Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp : 2sin x 1 A y ′′ = − B y′′ = C y ′′ = − cos x cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D 2cosx ( −sinx ) 2sinx ′′ Ta có: y′ = = y =− cos x cos x cos3 x Câu Cho hàm số y = sinx Chọn câu sai π  A y′ = sin  x + ÷ B y ′′ = sin ( x + π ) 2  3π   ( 4) C y ′′′ = sin  x + D y = sin ( 2π − x ) ÷   Hướng dẫn giải: Chọn D π  π  Ta có: y ′ = cosx = sin  + x ÷ ; y ′′ = cos  + x ÷ = sin ( π + x ) 2  2   3π   3π  y′′′ = cos ( π + x ) = sin  + x ÷; y ( 4) = cos  + x ÷ = sin ( 2π + x )     −2 x + x Câu 10 Hàm số y = có đạo hàm cấp : 1− x −2 A y ′′ = + B y′′ = C y′′ = ( 1− x) ( 1− x) ( 1− x) D y′′ = 2sin x cos3 x D y′′ = ( 1− x) Hướng dẫn giải: Chọn B ⇒ y′ = + ; y ′′ = (1 − x)3 ( 1− x) 1− x π   π ( 4) Câu 11 Hàm số y = f ( x ) = cos  x − ÷ Phương trình f ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0;  là: 3   2 Ta có: y = x − + Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A x = π C x = x = Đạo hàm – ĐS> 11 π π D x = x = B x = x = π Hướng dẫn giải: Chọn A π π π  ( 4) π     Ta có: y ′ = −2sin  x − ÷ y ′′ = −4cos  x − ÷ y′′′ = 8sin  x − ÷ y = 16cos  x − ÷ 3 3 3 3     π π   ( 4) Khi : f ( x ) = −8 ⇔ 16cos  x − ÷ = −8 ⇔ cos  x − ÷ = − 3 3   π 2π π    π  x − = + k 2π  x = + kπ x∈ 0;  π  2 ⇔ ⇔  →x = π π π 2x − = −  x = − + kπ + k 2π   3 Câu 12 Cho hàm số y = sin2x Chọn khẳng định A y − y′ = B y + y′′ = C y = y′ tan x D y = ( y′ ) = Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: y′ = 2cos2x ; y′′ = −4sin2x ⇒ y + y′′ = Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) = − Xét hai mệnh đề : x ( I ) : y′′ = f ′′ ( x ) = ( II ) : y′′′ = f ′′′ ( x ) = − x x Mệnh đề đúng? A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Cả hai Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y′ = ; y′′ = − ; y ′′′ = x x x 2sin x Câu 14 Nếu f ′′ ( x ) = f ( x ) cos3 x 1 A B − C cot x cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D ′ −2cosx ×( −sinx ) = 2sinx Vì: ( tan x ) ′′ =  = ÷ cos3 x cos x  cos x  − x2 + x + Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) = Xét hai mệnh đề : x −1 Trang 12 D Cả hai sai D tan x Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ( I ) : y′ = f ′ ( x ) = −1 − Mệnh đề đúng? A Chỉ ( I ) Hướng dẫn giải: Chọn A < 0, ∀x ≠ ( x − 1) ( II ) : y′′ = B Chỉ ( II ) f ′′ ( x ) = > 0, ∀x ≠ ( x − 1) C Cả hai D Cả hai sai ⇒ y′ = −1 − − x2 + x + y′′ = = −x + Ta có: y = f ( x ) = ; ( x − 1) ( x − 1) x −1 x −1 Câu 16 Cho hàm số f ( x ) = ( x + 1) Giá trị f ′′ ( ) A B C 12 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì: f ′ ( x ) = ( x + 1) ; f ′′ ( x ) = ( x + 1) ⇒ f ′′ ( ) = π  Câu 17 Cho hàm số f ( x ) = sin x + x Giá trị f ′′  ÷ 2 A B −1 C −2 Hướng dẫn giải: Chọn B D 24 D π  2 Vì: f ′ ( x ) = 3sin xcosx + x ; f ′′ ( x ) = 6sinxcos x − 3sin x + ⇒ f ′′  ÷ = −1 2 Câu 18 Cho hàm số f ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) Tập nghiệm phương trình f ′′ ( x ) = A [ −1; 2] B ( −∞; 0] C { −1} Hướng dẫn giải: Chọn C Vì: f ′ ( x ) = 15 ( x + 1) + ; f ′′ ( x ) = 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) = ⇔ x = −1 Câu 19 Cho hàm số y = Khi : x −3 3 A y′′′ ( 1) = B y′′′ ( 1) = C y′′′ ( 1) = − 8 Hướng dẫn giải: Chọn C y′′ = y′′′ = − Vì: y ′ = − ; ; ⇒ y ′′′ ( 1) = − ( x − 3) ( x − 3) ( x − 3) D ∅ D y′′′ ( 1) = − Câu 20 Cho hàm số y = ( ax + b ) với a , b tham số Khi : ( 10) A y ( 1) = Hướng dẫn giải: Chọn A ( 10 ) B y ( 1) = 10a + b ( 10) C y ( 1) = 5a Trang 13 ( 10 ) D y ( 1) = 10a Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ( 4) Vì: y ′ = 5a ( ax + b ) ; y ′′ = 20a ( ax + b ) ; y′′′ = 60a ( ax + b ) ; y = 120a ( ax + b ) ; y ( 5) = 120a ; y( ) = ⇒ y( 10 ) ( = Do y 10 ) ( 1) = ( 4)  π  Câu 21 Cho hàm số y = sin 2x Tính y  ÷ bằng: 6 A 64 B −64 C 64 Hướng dẫn giải: Chọn C Vì: y ′ = 2sin2x ( 2cos2x ) = 2sin4x ; y′′ = 8cos4x ; y ′′′ = −32sin4x ; D −64 ( 4)  π  y ( 4) = −128cos4x ⇒ y  ÷ = 64 6 Câu 22 Cho hàm số y = sin2x Tính y '' A y '' = − sin x C y '' = sin x B y '' = −4sin x D y '' = −4sin x Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ' = cos x ⇒ y '' = −4sin x π (4) π Câu 23 Cho hàm số y = sin2x Tính y '''( ) , y ( ) A 16 B 17 C 18 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y ''' = −8cos x, y (4) = 16sin x π 2π π π = 4; y (4) ( ) = 16sin = 16 Suy y '''( ) = −8cos 3 Câu 24 Cho hàm số y = sin2x Tính y ( n ) π π (n) n (n ) n A y = sin(2 x + n ) B y = sin(2 x + ) π π (n) n (n) n C y = sin( x + ) D y = sin(2 x + n ) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D π π π Ta có y ' = 2sin(2 x + ), y '' = sin(2 x + ) , y ''' = sin(2 x + ) 2 π (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh y = sin(2 x + n ) Trang 14 D 19 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word π Với n = ⇒ y ' = sin(2 x + ) π (k ) k Giả sử y = sin(2 x + k ) , π π  ) = k +1 sin  x + (k + 1) ÷ 2  Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh ( k +1) = ( y ( k ) ) ' = 2k +1 cos(2 x + k suy y Câu 25 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = (n) A y = 2x +1 x+2 (1)n −1.3.n ! ( x + 2) n +1 ( −1) n −1.3.n ! ( x − 2) n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D (n) C y = (n) B y = (−1)n −1.n ! ( x + 2) n +1 ( n) D y = ( −1) n −1.3.n ! ( x + 2) n +1 ' ( x + 2)  −3.2 Ta có y ' = , y '' = − = ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)3 3.2.3 ( −1) n −1.3.n ! (n) y ''' = y = Ta chứng minh ( x + 2) ( x + 2) n +1 • Với n = ⇒ y ' = • Giả sử y ( k ) = (−1)0 3 = ( x + 2) ( x + 2) (−1) k −1.3.k ! ( x + 2) k +1 (−1) k −1.3.k ! ( x + 2) k +1  ' (−1) k 3.(k + 1)! ( x + 2)2 k + ( x + 2) k + Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh ,a ≠ Câu 26 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = ax + b (2) n a n n ! (−1) n a n n ! (n) (n) y = A y = B (ax + b) n +1 ( x + 1) n +1 ⇒y ( k +1) =( y (k ) )'=− = (−1) n n ! (ax + b) n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D −a a 2 −a 2.3 , y '' = , y ''' = Ta có y ' = (ax + b) (ax + b)3 (ax + b) (n) C y = (n) D y = Trang 15 (−1) n a n n ! (ax + b)n +1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word (n) Ta chứng minh: y = • Với n = ⇒ y ' = • Giả sử y ( k ) = Đạo hàm – ĐS> 11 (−1) n a n n ! (ax + b)n +1 (−1)1.a1.1! a =− (ax + b) (ax + b) ( −1) k a k k ! (ax + b)k +1 (−1) k a k k !  (ax + b) k +1  ' (−1) k +1.a k +1.(k + 1)! (ax + b) k + ( x + 2)k + Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh 2x +1 Câu 27 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x − 5x + n n (2) 7.n ! (1) 5.n ! ( −1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n ! (n) (n) − y = − A y = B ( x − 2) n+1 ( x − 3) n +1 ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 (−1) n 7.n ! (−1) n 5.n ! (−1) n 7.n ! ( −1) n 5.n ! (n) (n) − y = − C y = D ( x − 2) n ( x − 3) n ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: x + = 7( x − 2) − 5( x − 3) ; x − x + = ( x − 2)( x − 3) − Suy y = x −3 x −2 (n) ( n) (−1) n 1n.n ! ( −1) n n !   ( −1) n n!   Mà  = = , = ÷  ÷ ( x − 2) n +1 ( x − 2) n +1  x −  ( x − 3) n +1  x−2 (−1) n 7.n ! ( −1) n 5.n ! ( n) − Nên y = ( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1 Câu 28 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = cos x π π n   ( n) (n) n A y = ( −1) cos  x + n ÷ B y = cos  x + ÷ 2 2   π π   (n) n +1 (n) n C y = cos  x + n ÷ D y = cos  x + n ÷ 2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D π π   Ta có y ' = cos  x + ÷, y '' = cos  x + ÷, 2 2   π  y ''' = 23 cos  x + ÷ 2  π  (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh y = cos  x + n ÷ 2  ⇒y ( k +1) =( y (k ) ) '= − = Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Câu 29 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = x + A y (n) = (n) C y = (−1) n +1.3.5 (3n − 1) B y (2 x + 1) n −1 (−1) n +1.3.5 (2n − 1) (n) = (n) D y = (2 x + 1) n +1 (−1) n −1.3.5 (2n − 1) (2 x + 1) n −1 (−1) n +1.3.5 (2n − 1) (2 x + 1)2 n −1 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 , y '' = − , y ''' = Ta có y ' = 2x +1 (2 x + 1) (2 x + 1)5 (n) Bằng quy nạp ta chứng minh được: y = (−1) n +1.3.5 (2n − 1) Câu 30 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = (n) A y = (2 x + 1) n −1 2x +1 x − 3x + 2 5.(−1) n n ! 3.( −1) n n ! + ( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1 5.(−1)n n ! 3.(−1) n n ! : ( x − 2)n +1 ( x − 1) n+1 Hướng dẫn giải: Chọn D − Ta có: y = x − x −1 (n) C y = Bằng quy nạp ta chứng minh được: y (n) A y (−1) n 3.n ! ( −1) n 2.n ! = + ( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1 5.(−1) n n ! 3.(−1) n n ! − ( x + 2) n +1 ( x − 1) n +1 (n) D y = 5.(−1) n n ! 3.(−1) n n ! − ( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1 5.(−1) n n ! 3.( −1) n n ! = − ( x − 2) n +1 ( x − 1) n+1 Câu 31 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = (n) (n) B y = x x + 5x + B y (n) (−1) n 3.n ! (−1) n 2.n ! = − ( x + 3) n ( x + 2) n (−1) n 3.n ! ( −1) n 2.n ! (−1) n 3.n ! (−1) n 2.n ! (n) − y = − D ( x + 3) n −1 ( x + 2) n −1 ( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: x = 3( x + 2) − 2( x + 3) ; x + x + = ( x + 2)( x + 3) − Suy y = x+3 x+2 (n) (n) ( −1) n 1n.n ! ( −1) n n !   ( −1) n n !   Mà  = = , = ÷  ÷ ( x + 2) n +1 ( x + 2) n +1  x +  ( x +) n +1  x+2 (n) C y = Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word (n) Nên ta có: y = Đạo hàm – ĐS> 11 (−1) n 3.n ! (−1) n 2.n ! − ( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1 Câu 32 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = cos x π π   (n) n +1 (n) n −1 A y = cos  x + n ÷ B y = cos  x + n ÷ 2 2   π π   (n) n (n) n C y = cos  x + ÷ D y = cos  x + n ÷ 2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có : π π π    y ' = cos  x + ÷, y '' = 2 cos  x + ÷, y ''' = 23 cos  x + ÷ 2 2 2    π  (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh y = cos  x + n ÷ 2  Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ý nghĩa vật lí : • Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : s = s ( t ) thời điểm t0 v ( t0 ) = s ' ( t ) • Cường độ tức thời điện lượng Q = Q ( t ) thời điểm t0 : I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) Câu Một chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t + 5t + , t tính giây s tính mét Gia tốc chuyển động t = là: A 24m / s B 17 m / s C 14m / s D 12m / s Hướng dẫn giải: Đáp án D Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t s′ = t − 3t + 5t + ′ = 3t − 6t + ( ) s′′ = 6t − ⇒ s′′ ( ) = 12 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t − 9t + ( t tính giây; s tính mét) Khẳng định sau ? A Vận tốc chuyển động t = t = B Vận tốc chuyển động thời điểm t = v = 18 m / s C Gia tốc chuyển động thời điểm t = a = 12 m / s D Gia tốc chuyển động t = Hướng dẫn giải: Đáp án C Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t s′ = t − 3t + 5t + ′ = 3t − 6t + ( ) s′′ = 6t − ⇒ s′′ ( ) = 12 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t ( t tính giây; s tính mét) Khẳng định sau đúng? A Gia tốc chuyển động t = 4s a = 18m / s B Gia tốc chuyển động t = 4s a = 9m / s C Vận tốc chuyển động t = 3s v = 12m / s D Vận tốc chuyển động t = 3s v = 24m / s Hướng dẫn giải: Đáp án A s′ = 3t − 6t ⇒ s ′′ = 6t − Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word s′′ ( ) = 18 Trang 20 Đạo hàm – ĐS> 11 ... (1+ x ) 2 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f '' Nếu... 22 Cho hàm số y = Vi phân hàm số là: x −1 2x + x2 − x − dx dx A dy = − B dy = ( x − 1) ( x − 1) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 2x +1 x2... hàm số y = Vi phân hàm số x = −3 là: 1− 2x 1 A dy = dx B dy = 7dx C dy = − dx 7 Hướng dẫn giải: Chọn A ⇒ y′ ( −3) = Ta có y ′ = ( 1− 2x ) C dy = − Do dy = dx Câu 24 Vi phân y = tan x : 5x dx