Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 đạo hàm của hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giới hạn lượng giác sin u ( x) sin x u( x) = ) = (với xlim = ; xlim • lim → x0 → x0 x→0 u( x) x Đạo hàm hàm số lượng giác Đạo hàm (sin x) ' = cos x (cos x ) ' = − sin x (tan x) ' = cos x (cot x) ' = − sin x Hàm hợp (sin u ) ' = u '.cos u (cos u ) ' = −u 'sin u u' ( tan u ) ' = cos u u' ( cot u ) ' = − sin u B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM BẰNG CÔNG THỨC HOẶC BẰNG MTCT Câu Hàm số y = f ( x ) = A 2π có f ' ( 3) bằng: cos ( π x ) B 8π C Hướng dẫn giải: Chọn D sin ( π x ) −1 f '( x) = = ( cos ( π x ) ) ' = 2.π cos ( π x ) cos ( π x ) cos ( π x ) sin 3π f ' ( 3) = 2π =0 cos 3π π  Câu Cho hàm số y = cos 3x.sin x Tính y '  ÷ bằng: 3 π  π  π  A y '  ÷ = −1 B y '  ÷ = C y '  ÷ = − 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B y ' = ( cos 3x ) 'sin x + cos x ( sin x ) ' = −3sin x.sin x + cos x.cos x π π π π π  y '  ÷ = −3sin sin + cos cos = 3 3 3 Trang D π  D y '  ÷ = 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu Cho hàm số y = cos x π  Tính y '  ÷ bằng: − sin x 6 π  B y '  ÷ = −1 6 π  π  A y '  ÷ = C y '  ÷ = 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D ( cos x ) ' ( − sin x ) − cos x ( − sin x ) ' = −2sin x ( − sin x ) + cos x.cosx y'= 2 ( − sin x ) ( − sin x ) π  y ' ÷= 6 −2 Đạo hàm – ĐS> 11 π  D y '  ÷ = − 6 3 1 3 − +  − ÷+  2 2 =  − +  = −2 + = − =  ÷ 2 ÷  1   1 − ÷   π2  Câu Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + cos x Giá trị f '  ÷ bằng:  16  A B C π Hướng dẫn giải: Chọn A 1 f '( x) = cos x − sin x = cos x − sin x x x x 2     π2   cos  π ÷ − sin  π ÷ ÷ =  − ÷ = f ' ÷= ÷  4 4 ÷  16    π    2  ÷ 4 π  Câu Cho hàm số y = f ( x ) = tan x + cot x Giá trị f '  ÷ bằng: 4 A B C Hướng dẫn giải: Chọn C 1 y = tan x + cot x ⇒ y = tan x + cot x ⇒ y '.2 y = − cos x sin x 1   ⇒ y' = − ÷  2 tan x + cot x  cos x sin x     ÷ 1 1 π   ÷= f ' ÷= − ( − 2) = π π  cos  π  sin  π  ÷ 2 4 tan + cot   ÷  ÷÷ 4   4 ( D 2 π D ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word π  Giá trị f '  ÷ bằng: sin x 2 B C Đạo hàm – ĐS> 11 Câu Cho hàm số y = f ( x ) = A D Không tồn Hướng dẫn giải: Chọn C 1 − cos x y= ⇒ y2 = ⇒ y '2y = sin x sin x sin x ⇒ y' =  − cos x   ÷= y  sin x   − cos x  − sin x cos x = 2  sin x ÷ sin x sin x π  π − sin  ÷ cos  ÷ π  2   = −1 = f ' ÷= π  2 sin  ÷ 2  5π  π  + x ÷ Tính giá trị f '  ÷ bằng: Câu Xét hàm số y = f ( x ) = 2sin    6 A −1 B C Hướng dẫn giải: Chọn D  5π  f ' ( x ) = cos  + x ÷   π  f '  ÷ = −2 6 2π   Câu Cho hàm số y = f ( x ) = tan  x − ÷ Giá trị f ' ( ) bằng:   A B C − Hướng dẫn giải: Chọn A y' = 2π   cos  x − ÷   f '( 0) = Câu Cho hàm số y = π  A y′  ÷ = 6 Hướng dẫn giải: Chọn D cos x π  Tính y ′  ÷ bằng: − sin x 6 π  B y ′  ÷ = −1 6 π  C y ′  ÷ = 6 Trang D −2 D π  D y′  ÷ = −2 6 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có y ′ = − sin x ( − sin x ) + cos x ( − sin x ) = Đạo hàm – ĐS> 11 − sin x π  y′  ÷ = =2   − sin π π  Giá trị f ′  ÷ là: sin x 2 Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) = A Hướng dẫn giải: Chọn C  ′ y′ =  ÷ =−  sin x  ( ( sin x ) ′ sin x π  π  ⇒ f ′  ÷ = tan  ÷ = 2 2 ) B =− cos x = − tan x sin x C D Không tồn cos x π  + cot x Giá trị f ′  ÷ bằng: 3sin x 3 9 B − C D − 8 Câu 11 Cho hàm số y = f ( x) = − Hướng dẫn giải: Chọn B A 4  cos x ′  ′  ′ y ′ = f ′( x) =  − + cot x = − cot x + cot x = − cot x (1 + cot x ) + cot x ÷  ÷  ÷ sin x 3  3sin x      1 cot x  ′ =  cot x + cot x ÷ = 3cot x ( cot x ) ′ − = − − sin x sin x sin x   π  cot  ÷ π  3− =− Suy f ′  ÷ = − π  π  3 sin  ÷ sin  ÷ 3 3 π π  cos x ′  ÷ f − f Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) = Biểu thức  ÷ 4 4 + sin x 8 A −3 B × C D − × 3 Hướng dẫn giải: Chọn C −2 cos x sin x ( + sin x ) − cos x sin x cos x f ′( x) = ( + sin x ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word = −2 cos x sin x ( + sin x + cos x ) ( + sin x ) 2 = −4 cos x sin x ( + sin x ) π  π  f  ÷− f ′  ÷ = + = 4 4 3 Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) = sin x.cos × Hướng dẫn giải: Chọn A A − B − f ' ( x ) = 3.5.cos x.sin x.cos × Đạo hàm – ĐS> 11  π  −8 ⇒ f ′  ÷= 4 x π  Giá trị f ′ ữ bng 3 C ì 3 × D − x x x − sin x × ×sin ×cos 3 3 3 π  f ′  ÷ = − =− × 2.3 2 2π   Câu 14 Cho hàm số f ( x ) = tan  x − ÷ Giá trị f ′ ( )   A − B C −3 Hướng dẫn giải: Chọn B 1 f ′( x) = ⇒ f ′ ( 0) = = 2π   cos  x − ÷   cos x Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) = Chọn kết SAI + 2sin x π  π  A f ữ = ì B f ′ ( ) = −2 C f ′ ữ = ì Hng dẫn giải: Chọn A − sin x ( + 2sin x ) − cos x.2.cos x − sin x − f '( x) = = 2 ( + 2sin x ) ( + 2sin x )  π  −5 ′  π  −1 f ′  ÷= ; f ( ) = −2; f ′  ÷ = ; f ′ ( π ) = −2 6 2 π  Câu 16 Cho hàm số y = Khi y ′  ÷ là: 3 cos x 3 A B − × × 2 Hướng dẫn giải: Chọn D C Trang D D f ′ ( π ) = −2 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ′  π  2.sin π =0 Ta có: y ′ = − ( cos x ) = 2.sin x Do y '  ÷ = 2 cos π   cos x cos x π  Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) = sin(π sin x ) Giá trị f ′  ÷ bằng: 6 π π π A B × C − × × 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ′ = (π sin x)′.cos(π sin x) = π cos x.cos(π sin x) Đạo hàm – ĐS> 11 D π π 3.π π π    1 ⇒ y′  ÷ = π cos cos  π sin ÷ = π cos  π ÷ = cos = 6 2 6   2 π  Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + cos x Giá trị f ′  ÷  16  A B C Hướng dẫn giải: Chọn B π2  1 ′ ′ f x = cos x − sin x ⇒ f ( ) Ta có:  ÷= x x  16  Câu 19 Hàm số y = f ( x ) = có f ′ ( 3) cot ( π x ) A B 8π × C × π 2 × π D × D 2π Hướng dẫn giải: Chọn C cot ( π x ) ′ + cot ( π x ) ⇒ f ′ = 2π ( ) Ta có: f ′ ( x ) = −  = 2π cot ( π x ) cot ( π x )  5π  π  + x ÷ Giá trị f ′  ÷ Câu 20 Xét hàm số f ( x) = 2sin    6 A B −1 C Hướng dẫn giải: Chọn D  5π  π  + x ÷ ⇒ f ′  ÷ = −2 Ta có: f ′ ( x ) = cos    6 π  Câu 21 Cho hàm số y = f ( x ) = tan x + cot x Giá trị f ′  ÷ 4 A B C Trang D −2 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn B 1 − 2 π  Ta có: f ′ x = = cos x sin x ⇒ f ′  ÷ = ( ) tanx + cot x tanx + cot x 4 π  2 Câu 22 Cho f ( x ) = cos x − sin x Giá trị f ′  ÷ bằng: 4 A B C −2 D Hướng dẫn giải: Chọn C π  Ta có: f ( x ) = cos x ⇒ f ′ ( x ) = −2sin x Do f ′  ÷ = −2 4 cos x π   π Câu 23 Cho hàm số y = f ( x) = Giá trị biểu thức f ′  ÷− f ′  − ÷ − sin x 6  6 4 8 A B C D 9 Hướng dẫn giải: Chọn A ( cos x ) ′ ( − s inx ) − (1 − s inx)′ cos x = ⇒ f ′  π  − f ′  − π  = Ta có: f ′ ( x ) =  ÷  ÷ − s inx 6  6 ( − s inx ) ( tanx + cot x ) ′ Câu 24 Tính f ' ( 1) πx Biết : f ( x) = x ϕ ( x ) = x + sin ϕ '( 0) f '(1) = ϕ '(0) − π Hướng dẫn giải: Chọn D A B f '(1) = ϕ '(0) + π f '( x ) = x ⇒ f '(1) = 2; ϕ '( x) = + C f '(1) = ϕ '(0) π π πx π cos ⇒ ϕ '(0) = + 2 f '(1) Suy ϕ '(0) = + π Trang D f '(1) = ϕ '(0) + π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CƠNG THỨC Câu Hàm số y = sin x có đạo hàm là: A y ' = cos x B y ' = − cos x C y ' = − sin x D y ' = cos x D y ' = sin x Hướng dẫn giải: Chọn A Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( sin x ) ' = cos x Câu Hàm số y = cos x có đạo hàm là: A y ' = sin x B y ' = − sin x C y ' = − cos x Hướng dẫn giải: Chọn B Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( cos x ) ' = − sin x Câu Hàm số y = tan x có đạo hàm là: 1 A y ' = cot x B y ' = C y ' = cos x sin x Hướng dẫn giải: Chọn B Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( tan x ) ' = cos x Câu Hàm số y = cot x có đạo hàm là: 1 A y ' = − tan x B y ' = − C y ' = − cos x sin x Hướng dẫn giải: Chọn B Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( cot x ) ' = − sin x Câu Chọn mệnh đề ĐÚNG mệnh đề sau? A Hàm số y = cos x có đạo hàm điểm thuộc miền xác định B Hàm số y = tan x có đạo hàm điểm thuộc miền xác định C Hàm số y = cot x có đạo hàm điểm thuộc miền xác định D Hàm số y = có đạo hàm điểm thuộc miền xác định sin x Hướng dẫn giải: Chọn A Câu Hàm số y = tan x − cot x có đạo hàm là: 4 A y ' = B y ' = C y ' = 2 cos x sin x cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B Trang D y ' = − tan x D y ' = + cot x D y ' = sin 2 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 1 sin x + cos x + = = 2 2 cos x sin x sin x.cos x sin 2 x Câu Đạo hàm hàm số y = 3sin x + cos 3x là: A y ′ = 3cos x − sin x C y′ = cos x − 3sin x Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y ′ = 3.2 cos x − 3sin 3x = cos x − 3sin x π  Câu Hàm số y = sin  − x ÷ có đạo hàm là: 6  π  π  A 3cos  − x ÷ B −3cos  − x ÷ 6  6  Hướng dẫn giải: Đạo hàm – ĐS> 11 y' = B y ′ = 3cos x + sin x D y′ = −6cos x + 3sin x π  C cos  − x ÷ 6  π  D −3sin  − x ÷ 6  Áp dụng bảng công thức đạo hàm hàm số hợp: ( sin u ) ′ = u ′.cos u Chọn B Câu Đạo hàm y = sin x A 2sin 8x B 8sin 8x C sin 8x D Hướng dẫn giải: Chọn D y′ = 2.4.sin x.cos x = 4sin x Câu 10 Hàm số y = cos x có đạo hàm A −2 sin x B −4 x cos x C −2 x sin x D Hướng dẫn giải: Chọn D y′ = −2.2 x.sin x = −4 x sin x  2π  + x ÷ Khi phương trình y′ = có nghiệm là: Câu 11 Cho hàm số y = cos    π π kπ π A x = − + k 2π B x = + C x = − + kπ D 3 Hướng dẫn giải: Chọn D  2π  + 2x ÷ Ta có: y ′ = −2.sin    π kπ  2π  + 2x ÷= ⇔ x = − + Theo giả thiết y′ = ⇔ sin  ( k ∈¢)   Câu 12 Hàm số y = cot x − tan x có đạo hàm −3 −3 −3 x + × − × − × A B C D 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos 2 x Hướng dẫn giải: Trang 4sin 8x −4 x sin x x=− π kπ + −1 − × sin x cos 2 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Chọn B 3 − × =− − sin x cos x sin x cos 2 x Câu 13 Đạo hàm hàm số y = 2sin x − cos x + x A y ′ = 4sin x + sin x + B y′ = 4sin x + C y′ = D y′ = sin x − sin x + Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: y ′ = 4sin x cos x + 2sin x + = sin x + Câu 14 Hàm số y = x tan x ó đạo hàm là: 2x 2x 2x x A tan x + B C tan x + D tan x + 2 cos x cos x cos x cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn C ( x ) ′ = tan x + x y′ = x′ tan x + x ( tan x ) ′ = tan x + x cos 2 x cos 2 x Câu 15 Hàm số y = cot x có đạo hàm là: −x x −x −x × × × × A B C D 2 2 2sin x sin x sin x sin x Hướng dẫn giải: Chọn D ′ Ta có: y ′ = − ( x ) = − x sin x sin x π x  Câu 16 Cho hàm số y = sin  − ÷ Khi phương trình y ' = có nghiệm là:  2 π π π π A x = + k 2π B x = − k π C x = − + k 2π D x = − + kπ 3 3 Hướng dẫn giải: π π Chọn C (vì x = − − 2kπ , k ∈ Z ⇔ x = − + 2lπ , l ∈ ¢ ) 3 π x π x π  π x  Ta có: y′ = − cos  − ÷ ⇒ y′ = ⇔ − cos  − ÷ = ⇔ − = + kπ 2 2  2  2 π ⇔ x = − − kπ , k ∈ Z Câu 17 Hàm số y = ( + tan x ) có đạo hàm là: 2 A y ' = + tan x B y ' = ( + tan x ) C y ' = ( + tan x ) ( + tan x ) D y ' = + tan x Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: y ′ = − Trang 10 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Chọn D / Áp dụng công thức ( sin u ) với u = + x y ' = cos + x ( 2+ x ) / ( 2+ x ) / = cos + x 2 2+ x = x 2+ x cos + x Câu 40 Tính đạo hàm hàm số sau: y = sin x + x A cos x + sin x + x B cos x + sin x + x C sin x + x D cos x sin x + x Hướng dẫn giải: Chọn A Áp dụng ( u) / , với u = sin x + x ( sin x + x ) y'= / sin x + x cos x + sin x + x = Câu 41 Tính đạo hàm hàm số sau: y = 2sin x − 3cos x 45 cos x.sin10 x 45 C y ' = 8sin x + cos x.sin10 x Hướng dẫn giải: Chọn D / Bước áp dụng ( u + v ) B y ' = 8sin x + cos x.sin10 x 45 D y ' = 8sin x + cos x.sin10 x A y ' = sin x + y ' = ( 2sin x ) − ( cos3 x ) / / Tính ( sin 4x ) : Áp dụng ( u α ) , với u = sin x, ta được: / ( sin / x ) = 2sin x ( sin x ) = 2sin x.cos x ( x ) = 4sin x / / / Tương tự: ( cos3 x ) = 3cos x ( cos x ) = 3cos x ( − sin x ) ( x ) / / = −15cos x.sin x = Kết luận: y ' = 8sin x + / −15 cos x.sin10 x 45 cos x.sin10 x Câu 42 Tính đạo hàm hàm số sau: y = ( + sin 2 x ) A y ' = 6sin x ( + sin 2 x ) B y ' = 3sin x ( + sin 2 x ) C y ' = s in x ( + sin 2 x ) D y ' = 6sin x ( + sin 2 x ) 2 Trang 16 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hướng dẫn giải: Chọn D Áp dụng ( u α ) , với u = + sin 2 x / y ' = ( + sin 2 x ) Tính ( sin ( sin ( + sin x ) = ( + sin x ) ( sin x ) , áp dụng ( u ) , với u = sin x / / 2 2x ) / α / x ) = 2.sin x ( sin x ) = 2.sin x.cos x ( x ) = 2sin x / / / ⇒ y ' = 6sin x ( + sin 2 x ) Câu 43 Để tính đạo hàm hàm số y = sin x.cos x , học sinh tính theo hai cách sau: (I) y′ = cos x − sin x = cos x (II) y = sin x ⇒ y ' = cos x Cách ĐÚNG? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Không cách D Cả hai cách Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 44 Đạo hàm y = cos x cos x − sin x sin x − sin x × × × × A B C D cos x cos x cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn B − sin x Ta có y ′ = cos x Câu 45 Cho hàm số y = sin + x Đạo hàm y′ hàm số A C 2x + 2+ x x cos + x B − cos + x D 2+ x Hướng dẫn giải: Chọn C ( y ′ = sin + x )′ = ( ) ′ + x cos + x = x 2+ x x 2+ x ( x + 1) 2+ x 2 cos + x cos + x cos + x Câu 46 Tính đạo hàm hàm số sau: y = ( sin x + cos x ) A ( sin x + cos x ) C ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) B ( sin x − c os x ) ( cos x − sin x ) D ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 17 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Áp dụng ( uα ) , với u = sin x + cos x / y ' = ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) / ( cos x − sin x ) Câu 47 Tính đạo hàm hàm số sau: y = sin x.cos3 x A sin x.cos x B sin x.cos x C sin x.cos x D sin x.cos x Hướng dẫn giải: Chọn D / 1  y = sin x.cos x = ( sin x.cos x ) =  sin x ÷ = sin x Áp dụng ( uα ) , u = sin x 2  1 / / y ' = 3sin x ( sin x ) = 3sin x.cos x ( x ) = sin x.cos x 8 3 Câu 48 Tính đạo hàm hàm số sau: y = ( cos x − sin x ) A −10 cos x B − cos x.sin x C −10 cos x.sin x D −10 cos x.sin x Hướng dẫn giải: Chọn D = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x )  = ( cos x ) Áp dụng ( u α ) , với u = cos x / y ' = 5.cos x ( cos x ) = 5.cos x ( − sin x ) ( x ) = −10 cos x.sin x / / Câu 49 Hàm số y = cot x có đạo hàm là: A y ' = + cot 2 x cot x + tan 2 x cot x Hướng dẫn giải: Chọn B C y ' = B y ' = D y ' = − ( + cot 2 x ) cot x − ( + tan 2 x ) cot x − ( + cot 2 x ) 1 y ' = ( cot x ) ' = −2 = sin x cot x cot x cot x Câu 50 Xét hàm số f ( x ) = cos x Chọn đáp án sai: π  A f  ÷ = −1 2 π  C f '  ÷ = 2 Hướng dẫn giải: Chọn C B f ' ( x ) = −2sin x 3 cos 2 x D y y '+ 2sin x = Trang 18 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word π π  f  ÷ = cos = −1 2 y = cos x ⇒ y = cos x ⇒ y '3 y = −2sin x ⇒ y ' = π  f '  ÷= 2 ( ) cos x ( −2sin x cos x ) ( −2sin x cos x + 2sin x = −2sin x + 2sin x = ) Câu 51 Hàm số y = sin x − cos x có đạo hàm là: 1 1 − + A y′ = B y ′ = sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x − + C y′ = D y ′ = sin x cos x sin x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D sin x ) ′ cos x ) ′ ( cos x sin x Ta có y ′ = ( −2 = + sin x cos x sin x cos x Câu 52 Đạo hàm y = cot x : −1 −1 sin x A B C D − 2 sin x cot x 2sin x cot x cot x cot x Hướng dẫn giải: Chọn B −1 ′ ( cot x ) ′ y ′ = cot x = = 2 cot x 2sin x cot x Câu 53 Cho hàm số y = f ( x ) = cos x Hãy chọn khẳng định ĐÚNG ( ) π  A f ′  ÷ = −1 2 B f ′ ( x ) = C y y′ + 2sin x = −2sin x × 3 cos x π  D f ′  ÷ = 2 Hướng dẫn giải: Chọn D ( cos x ) ′ 2sin x ⇒ f ′  π  =  ÷ 2 3 cos 2 x 3 cos 2 x 2 Câu 54 Đạo hàm hàm số y = sin x.cos x + x A y ′ = 2sin x.cos x − sin x.sin 2 x − x B y ′ = 2sin x.cos x − sin x.sin 2 x − x Ta có: y′ = =− Trang 19 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C y ′ = 2sin x.cos x + sin x.sin x − x x × D y ′ = 2sin x.cos x − sin x.sin x − x x × Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ′ = 2sin x.cos x.cos x + sin 2 x ( − sin x ) − = sin x.cos x − sin 2 x.sin x − x x x x Câu 55 Đạo hàm hàm số y = tan x − cot x tan x cot x tan x cot x +2 × −2 × A y ′ = B y ′ = 2 cos x sin x cos x sin x tan x cot x × C y ′ = 2 + D y ′ = tan x − cot x sin x cos x Hướng dẫn giải: Chọn A 1  tan x cot x  − cot x  − ÷ = + Ta có y ′ = tan x 2 cos x  sin x  cos x sin x Câu 56 Cho hàm số y = f ( x) − cos x với f ( x ) hàm liên tục ¡ Trong bốn biểu thức đây, biểu thức xác định hàm f ( x ) thỏa mãn y′ = với x ∈ ¡ ? 1 A x + cos x B x − cos x C x − sin x 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: y ′ = f ′ ( x ) − 2.cos x ( − sin x ) = f ′ ( x ) + 2.cos x.sin x = f ′ ( x ) + sin x D x +  sin x ⇒ y′ = ⇔ f ′ ( x ) + sin x = ⇔ f ′ ( x ) = − sin x ⇔ f ( x ) = x + cos x 2 Câu 57 Đạo hàm hàm số y = − bằng: tan ( − x ) 4x sin ( − x ) Hướng dẫn giải: Chọn D A Ta có: y ′ = −2 B − ( tan ( − x ) ) ′ tan ( − x ) −4 sin ( − 2x ) C −4 x sin ( − x ) D −4 sin ( − 2x ) −2 × −4 = × cos x = tan ( − x ) sin ( − x ) Câu 58 Cho hàm số y = x tan x Xét hai đẳng thức sau: (I) y ′ = x ( tan x + tan x + 1) x tan x Đẳng thức đúng? A Chỉ ( II ) (II) y′ = B Chỉ ( I ) x tan x + tan x + x tan x C Cả hai sai Trang 20 D Cả hai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn C tan x + x ( + tan x ) Ta có: y ′ = cos x = = = x tan x x.tan x x.tan x x.tan x π  π 2π Câu 59 Đạo hàm hàm số y = sin  − x ÷+ x − 2  π π  π  π A y ′ = −2sin ( π − x ) + × B y ′ = 2sin  − x ÷cos  − x ÷+ 2  2  π  π  π C y ′ = 2sin  − x ÷cos  − x ÷+ x D y ′ = −2sin ( π − x ) 2  2  Hướng dẫn giải: Chọn C π − cos ( π − x ) π π  π π + x− Ta có: y = sin  − x ÷+ x − = 2 2  π Suy ra: y ′ = −2sin ( π − x ) + × 1  Câu 60 Đạo hàm hàm số y = + tan  x + ÷ x  ( x.tan x ) ′ A y′ = x′.tan x + x ( tan x ) ′ 1  2 + tan  x + ÷ x  tan x + x 1  + tan  x + ÷ x  × B y ′ = 1  2 + tan  x + ÷ x  1  + tan  x + ÷  x   1 + ÷ D y′ = 1  x   2 + tan x + ữ x ì + tan  x + ÷  x   1 − ÷ C y′ = 1  x   2 + tan  x + ÷ x  Hướng dẫn giải: Chọn C   ′  1 1   + tan x + + tan  x + ÷ + tan  x + ÷  ÷  ′ x  1  x  x     Ta có: y = = ì x + ữ = ì1 − ÷ x 1 1  1  x     2 + tan  x + ÷ 2 + tan  x + ÷ 2 + tan  x + ÷ x x x    Câu 61 Đạo hàm hàm số y = cot ( cos x ) + sin x − A y ' = −2cot ( cos x ) + sin ( cos x ) cos x π sin x − π Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word y ' = cot ( cos x ) sin x + sin ( cos x ) cos x Đạo hàm – ĐS> 11 π sin x − cos x y ' = −2 cot ( cos x ) + sin ( cos x ) C π sin x − cos x y ' = cot ( cos x ) sin x + sin ( cos x ) D π sin x − Hướng dẫn giải: Chọn B π ′  sin x  ÷ cos x 2 y ′ = cot ( cos x ) ( cot ( cos x ) ) ′ +  = cot ( cos x ) sin x + sin ( cos x ) π π sinx − sin x − 2 Câu 62 Đạo hàm hàm số y = x tan x + x A y ' = x tan x + B x x x2 + y ' = x tan x + + C y ' = x tan x + D 2 cos x x cos x x Hướng dẫn giải: Chọn C x2 ′ ′ + Ta có: y ′ = ( x ) tanx + ( tanx ) ′ x + x ⇒ y ' = x tan x + cos x x x Câu 63 Cho hàm số y =cos2x.sin Xét hai kết sau: 2 x (I) y ′ = −2sin x sin + s inx.cos2x (II) x y ′ = 2sin x sin + sin x.cos x 2 Cách đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Không cách D Cả hai Hướng dẫn giải: Chọn C x x ′ x Ta có: y ′ = ( cos x ) ′ sin +  sin ÷ c os2x =-2sin2x.sin + s inx.cos x  2 2 cos x Câu 64 Hàm số y = có đạo hàm bằng: 2sin x B ( ) Trang 22 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word + sin x 2sin x Hướng dẫn giải: Chọn B A − B − + cos x 2sin x C + sin x 2sin x D + cos x 2sin x ′ sin x ( cos x ) ′ − ( sin x ) cos x − sin x − 2sin x cos x cos x Ta có: y ′ =  cos x ÷ = = 2sin x 2sin x  2sin x  sin x + 2cos x + cos x =− =− sin x sin x Câu 65 Tính đạo hàm hàm số sau y = x + tan x + tan x − tan x −5 + tan x A B C x + tan x x + tan x x + tan x Hướng dẫn giải: Chọn A (3x + tan x) ' + 2(1 + tan x) + tan x = = Ta có: y ' = 3x + tan x x + tan x x + tan x Câu 66 Tính đạo hàm hàm số sau y = sin (3 x + 1) A 3sin(6 x + 2) B sin(6 x + 2) C −3sin(6 x + 2) Hướng dẫn giải: Chọn D ' Ta có: y ' = 2sin(3 x + 1).[ sin(3x + 1) ] = 2sin(3x + 1).3cos(3x + 1) = 3sin(6 x + 2) −5 − tan x D x + tan x D 3cos(6 x + 2) Câu 67 Tính đạo hàm hàm số sau y = tan x + cot x A y ' = C y ' = tan x(1 + tan x) − (1 + cot 2 x) 3tan x + cot x tan x(1 + tan x) + (1 + cot 2 x) tan x + cot x B y ' = D y ' = tan x(1 + tan x) − (1 + cot 2 x) tan x + cot x tan x(1 + tan x) − (1 + cot 2 x) tan x + cot x Hướng dẫn giải: Chọn D tan x(1 + tan x) − (1 + cot 2 x) y'= 3tan x + cot x π y = x3 + cos (2 x − ) π π π π x + 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) x − 8cos3 (2 x − )sin(2 x − ) 4 4 A y ' = B y ' = 3 π  π    3  x + cos (2 x − ) ÷  x + cos (2 x − ) ÷     Câu 68 Tính đạo hàm hàm số sau Trang 23 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C π π x − 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) 4 y'= D π   3  x3 + cos (2 x − ) ÷   Hướng dẫn giải: Chọn D π π x − 8cos (2 x − )sin(2 x − ) 4 y'= π π x − 8cos3 (2 x − )sin(2 x − ) 4 y'= π   3  x + cos (2 x − ) ÷   π   3  x + cos (2 x − ) ÷   Câu 69 Tính đạo hàm hàm số sau y = cos ( sin x ) A y ' = − sin(2sin x)sin x cos x C y ' = −7 sin(2sin x)sin x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D y ' = −3sin(2sin x) sin x cos x B y ' = −6sin(2sin x)sin x cos x D y ' = −3sin(2sin x) sin x cos x  sin x  Câu 70 Tính đạo hàm hàm số sau: y =  ÷  + cos x  A sin x ( + cos x ) B 3sin x ( + cos x ) C 2sin x ( + cos x ) Hướng dẫn giải: Chọn D Bước ta áp dụng công thức ( u α ) với u = /  sin x  y ' = 3 ÷  + cos x  sin x + cos x /  sin   ÷  + cos x   sin x  ( sin x ) ( + cos x ) − ( + cos x ) sin x cos x ( + cos x ) + sin x = = Tính :  ÷ 2  + cos x  ( + cos x ) ( + cos x ) / / = cos x + cos x + sin x ( + cos x ) / = + cos x 3sin x  sin x  y ' = = Vậy  ÷  + cos x  + cos x ( + cos x ) 2 Câu 71 Tính đạo hàm hàm số sau: y = sin ( cos x.tan x ) 2 A y ' = cos ( cos x.tan x ) ( sin x tan x + tan x ) Trang 24 D 3sin x ( + cos x ) Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 2 B y ' = cos ( cos x.tan x ) ( sin x tan x + tan x ) 2 C y ' = cos ( cos x.tan x ) ( − sin x tan x + tan x ) 2 D y ' = cos ( cos x.tan x ) ( − sin x tan x + tan x ) Hướng dẫn giải: Chọn D / Áp dụng ( sin u ) , với u = cos x tan x y ' = cos ( cos x.tan x ) ( cos x.tan x ) / Tính ( cos x.tan x ) , bước đầu sử dụng ( u.v ) , sau sử dụng ( uα ) / ( cos / / x.tan x ) = ( cos x ) tan x + ( tan x ) cos x / / / = cos x ( cos x ) tan x + tan x ( tan x ) cos x / / = −2sin x cos x tan x + tan x cos x = − sin x tan x + tan x cos x 2 Vậy y ' = cos ( cos x.tan x ) ( − sin x tan x + tan x )  x +1  Câu 72 Tính đạo hàm hàm số sau: y = cos  ÷ ÷  x −1  A y ' = C y ' = x x ( (  x +1  sin  ÷ ÷ x −   x −1 B y ' =  x −1  sin  ÷ ÷ x +   x −1 D y ' = 1 ) ) 2 x x ( (  x +1  cos  ÷ ÷ x −   x −1 )  x +1  sin  ÷ ÷ x −   x −1 ) Hướng dẫn giải: Chọn D  x +1  / Áp dụng ( uα ) , với u = cos  ÷ ÷  x −1  / /  x +    x +   x +1  x +1  x +1 y ' = 2.cos  cos = − 2.cos sin   ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  x −1 ÷  x −1 ÷ ÷  x − ÷ ÷ x − x −             /  x +1   x +1 y ' = − sin  ÷ ÷  x − ÷ ÷ x −    Trang 25 Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word /  x +1  Tính  ÷ ÷=  x −1  Vậy y ' = x ( ) ( / x +1 ) ( ( ) ( x −1 ) x −1 x +1 x ( −1 ) x −1  x +1 sin  ÷  x −1 ÷   x −1 ( ) Câu 73 Tính đạo hàm hàm số sau: y = A )= / x −1 − ( sin x − cos x ) B sin x + cos x 2sin x − cos x −6 ( sin x − cos x ) C ( 2sin x − cos x ) D −6 ( sin x − cos x ) Hướng dẫn giải: Chọn D / / sin x + cos x ) ( 2sin x − cos x ) − ( 2sin x − cos x ) ( sin x + cos x ) ( y'= ( 2sin x − cos x ) y'= y'= ( cos x − 2sin x ) ( 2sin x − cos x ) − ( cos x + 2sin x ) ( sin x + cos x ) ( 2sin x − cos x ) −6 cos 2 x − 6sin 2 x ( 2sin x − cos x ) = −6 ( 2sin x − cos x ) Câu 74 Tính đạo hàm hàm số sau: y = A sin x cos 2 x B sin x cos 2 x 1 = cos x − sin x cos x cos x C sin 2 x Hướng dẫn giải: Chọn D / 1 Áp dụng  ÷ u  y'= − ( cos x ) ( cos x ) / sin x ( x ) 2sin x = = cos x cos 2 x / ( Câu 75 Tính đạo hàm hàm số sau: y = sin cos ( tan 3x ) ) ( )( ) B y ' = sin ( cos ( tan x ) ) ( sin ( tan x ) ) tan 3x ( + tan x ) C y ' = sin ( cos ( tan x ) ) ( sin ( tan x ) ) tan x ( + tan x ) 4 3 A y ' = sin cos ( tan x ) sin ( tan 3x ) tan x ( + tan x ) 4 4 3 Trang 26 D 2sin x cos 2 x Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ( )( ) 4 3 D y ' = − sin cos ( tan x ) sin ( tan x ) tan x ( + tan x ) Hướng dẫn giải: Chọn D ( Đầu tiên áp dụng ( uα ) , với u = sin cos ( tan 3x ) / ( ) ( ) y ' = sin cos ( tan x ) sin cos ( tan x )    ) / Sau áp dụng ( sin u ) , với u = cos ( tan 3x ) / ( ) ( )( y ' = 2sin cos ( tan x ) cos cos ( tan x ) cos ( tan x ) ) / Áp dụng ( cos u ) , với u = tan x / ( )( ) y ' = − sin cos ( tan 3x ) sin ( tan x ) ( tan x ) / Áp dụng ( uα ) , với u = tan x / ( )( ) y ' = − sin ( cos ( tan x ) ) ( sin ( tan x ) ) tan x ( + tan x ) ( x ) y ' = − sin ( cos ( tan 3x ) ) ( sin ( tan x ) ) tan x ( + tan x ) y ' = − sin cos ( tan x ) sin ( tan x ) tan 3 x ( tan x ) / 4 4 3 / cos x + cot x 3sin x B y ' = 3cot x − C y ' = cot x − Câu 76 Tính đạo hàm hàm số sau y=− A y ' = cot x − Hướng dẫn giải: Chọn C y = − cot x (1 + cot x) + cot x = − cot x + cot x 3 2 Suy y ' = cot x (1 + cot x ) − − cot x = cot x − Câu 77 Tính đạo hàm hàm số sau y = 2sin x + tan x + x cos x 2 A y ' = 12sin x cos x + tan x ( + tan x ) + cos x − x sin x 2 B y ' = 12sin x cos x + tan x ( + tan 3x ) + cos x − x sin x 2 C y ' = 12sin x cos x + tan x ( − tan x ) + cos x − x sin x D y ' = 12sin x cos x + tan 3x ( + tan 3x ) + cos x − x sin x Hướng dẫn giải: Chọn D 2 Ta có: y ' = 12sin x cos x + tan x ( + tan 3x ) + cos x − x sin x 2 Trang 27 D y ' = cot x Đạo hàm – ĐS> 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word sin x x − x cos x x cos x + sin x cos x + x sin x x cos x + sin x cos 3x + x sin x − + A y ' = B y ' = 2 x cos x x2 cos x x cos x − sin x cos 3x + x sin x x cos x − sin x cos x + 3x sin 3x − + C y ' = D y ' = 2 x cos x x2 cos 3x Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 78 Tính đạo hàm hàm số sau y = ' '  sin x  x cos x − sin x  x  cos 3x + x sin 3x Ta có:  , ÷= ÷= x2 cos x  x   cos x  x cos x − sin x cos 3x + x sin x − Nên y ' = x2 cos 3x Câu 79 Tính đạo hàm hàm số sau y = x sin x + x + x + A y ' = sin x − x cos x + C y ' = sin x + x cos x − 3x + x B y ' = sin x + x cos x + x3 + x + 3x + x D y ' = sin x + x cos x + x3 + x + Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ' = sin x + x cos x + 3x + x x3 + x + Câu 80 Tính đạo hàm hàm số sau y = 2sin x + x3 + A y ' = C y ' = 2sin x + 3x B y ' = 2sin x + x + sin x + x D y ' = 2sin x + x + Hướng dẫn giải: Chọn B 2sin x + x Ta có: y ' = 2sin x + x3 + x +1 cot x 2 A y ' = tan x − x ( + tan x ) + tan x + ( x + 1)(tan + 1) Câu 81 Tính đạo hàm hàm số sau y = x tan x + 2 B y ' = tan x + x ( + tan x ) + tan x + ( x + 1)(tan + 1) 2 C y ' = tan x + x ( + tan x ) + tan x + 2( x + 1)(tan + 1) 2 D y ' = tan x + x ( + tan x ) + tan x + ( x + 1)(tan + 1) Hướng dẫn giải: Trang 28 2sin x + 3x 2 2sin x + x + 2sin x − x 2 2sin x + x + 3x + x x3 + x + 3x + x x3 + x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Chọn D ' Ta có: ( x tan x ) = tan x + x ( + tan x ) ' '  x +1   ÷ = [ ( x + 1) tan x ] = tan x + ( x + 1)(tan + 1)  cot x  2 Nên y ' = tan x + x ( + tan x ) + tan x + ( x + 1)(tan + 1) π  Câu 82 Tính đạo hàm hàm số sau y = sin  x − ÷+ 3  π π π π     3sin  x − ÷cos  x − ÷ sin  x − ÷cos  x − ÷ 3 3 3 3     A y ' = B y ' = π π   sin  x − ÷+ sin  x − ÷+ 3 3   π π π π     sin  x − ÷cos  x − ÷ 3sin  x − ÷cos  x − ÷ 3 3 3 3     C y ' = D y ' = π π   sin  x − ÷+ sin  x − ÷+ 3 3   Hướng dẫn giải: Chọn D π π   3sin  x − ÷cos  x − ÷ 3 3   Ta có: y ' = π  sin  x − ÷+ 3  x ≥  sin x Câu 83 Cho hàm số y = f ( x) =  Tìm khẳng định SAI?  sin ( − x ) x < A Hàm số f khơng có đạo hàm x0 = B Hàm số f không liên tục x0 = π  π  C f ′  ÷ = D f  ÷ = 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B lim f ( x ) = lim+ sin x = sin =   x → 0+ x →0 Ta có:  lim f ( x) = lim− sin( − x) = sin =  x →0  x → 0− ⇒ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = lim f ( x) = = f (0) x →0 x →0 x →0 ⇒ Hàm số liên tục x0 =  Câu 84 Tính đạo hàm hàm số sau f ( x ) =  x sin x ≠ x   x = 0 Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 1  x ≠  x sin − x cos x x A f '( x) =  0 x = 1  x ≠ 3 x sin + x cos x x C f '( x) =  0 x = Hướng dẫn giải: Chọn D 1 x ≠ ⇒ f '( x) = x sin − x cos x x f ( x) − f (0) =0 Với x = ⇒ f '(0) = lim x →0 x 1  x ≠ 3 x sin − x cos x x Vậy f '( x ) =   x =  Đạo hàm – ĐS> 11 1  x ≠ 3x sin − x cos x x B f '( x) =   0 x = 1  x ≠ 3 x sin − cos x x D f '( x ) =   0 x = Trang 30 ... sau? A Hàm số y = cos x có đạo hàm điểm thuộc miền xác định B Hàm số y = tan x có đạo hàm điểm thuộc miền xác định C Hàm số y = cot x có đạo hàm điểm thuộc miền xác định D Hàm số y = có đạo hàm. .. thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( sin x ) '' = cos x Câu Hàm số y = cos x có đạo hàm là: A y '' = sin x B y '' = − sin x C y '' = − cos x Hướng dẫn giải: Chọn B Theo công thức đạo hàm lượng. .. Đại số 11: ( tan x ) '' = cos x Câu Hàm số y = cot x có đạo hàm là: 1 A y '' = − tan x B y '' = − C y '' = − cos x sin x Hướng dẫn giải: Chọn B Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: