Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 TIẾP TUYẾN đặng việt đông file word

Tiếp tuyến của paraboly 4 x tại điểm 2 1;3 tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một ta

TIẾP TUYẾN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C : y f x và điểm   M x y 0; 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.

- Tính đạo hàm f x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là '  f x' 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: yf x x x'    0y0

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x y là tiếp điểm Khi đó  0; 0 x thỏa mãn: 0 f x' 0 k (*)

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0 f x  0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x   0y0

3 Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : y f x và điểm   A a b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua  ; A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   :y k x a   b (*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1 Cho hàm số yf x( ), có đồ thị  C và điểm M x f x0 0; ( )0 ( )C Phương trình tiếp tuyến của

 C tại M là:0

A yf x x x( )  0y 0 B yf x( )0 x x  0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y9x 20  y9x18.

Câu 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y x 3 –x2 tại điểm có hoành độ x2 là

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y3x 22  y3x8

Câu 4 Cho đường cong  C : y x Phương trình tiếp tuyến của 2  C tại điểm M–1;1 là

x cắt trục tung tại điểm A Tiếp tuyến của  C tại điểm A có phương trình là:

x có đồ thị là (H) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y2(x 2) hay y2x4

Câu 10 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x3 2x23x tại điểm có hoành độ x0 1 là:

x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H tại các giao điểm

của  H với hai trục toạ độ là:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d y:  x 1

Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 1

Đạo hàm: y 2x 1 hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 1

Phương trình tiếp tuyến tại M0;3là yx3

Câu 14 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4

 



y

x

Tiếp tuyến tại M1; 2  có hệ số góc là k 1

Phương trình của tiếp tuyến là yx 3

Câu 15 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 42x21 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2là:

Tại M1;2 Phương trình tiếp tuyến là y8x 6

Tại N1;2 Phương trình tiếp tuyến là y8x 6

x và điểm A( )H có tung độ y4 Hãy lập phương trình tiếp tuyến

của ( )H tại điểm A

Câu 17 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0  0 y0 1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y' 0  1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y k x x   0y0  y x 1

Câu 18 Cho đường cong

x và điểm A( )C có hoành độ x3 Lập phương trình tiếp

tuyến của ( )C tại điểm A

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x   0y0  2x2y3

Câu 20 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x3 2x2 2 tại điểm có hoành độ x0 2 có phương trìnhlà:

A y4x 8 B y20x22 C y20x 22 D y20x16

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: f x' 3x2 4x Tại điểm Acó hoành độ x0  2 y0 f x 0 18

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : kf ' 2 20.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x   0y0  y20x22

Câu 21 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y3x 4x tại điểm có hoành độ 3 x0 0 là:

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: y' 3 12  x Tại điểm 2 A( )C có hoành độ: x0  0 y0 0

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : ky' 0  3.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Alà : y k x x   0y0  y3x

Câu 22 Cho hàm số 1 3 2

23

y x x có đồ thị hàm số  C Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có

hoành độ là nghiệm của phương trình y" 0 là

Theo giả thiết x là nghiệm của phương trình 0 y x( ) 00   2x  2 0 x0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1; 4

x với trục tung Phương trình tiếp tuyến với đồ

thị hàm số trên tại điểm M là:

Câu 24 Cho hàm số y x 33x23x1 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm

của  C với trục tung là:

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A

Giao điểm của  C với trục tung là A(0;1) y(0) 3.

Câu 25 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

+ PTTT của ( )C tại điểm M0( 1; 1)  là y3(x1) 1  y3x2

Câu 28 Phương trình tiếp tuyến của  C : 3

y f x , có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có hoành

độ x0 2 là:

y f x x x , có đồ thị  C Tại các giao điểm của  C với trục Ox , tiếp

tuyến của  C có phương trình:

Phương trình tiếp tuyến: y6x1.

Câu 33 Cho hàm số y 2x 3 3x21 có đồ thị  C , tiếp tuyến với  C nhận điểm 0 0

3

;2

Ta có: y' 3 x26x 6.

Ta có: y0  9 x033x02 6x0 8 0  x0 1,x02,x0 4.

 x0  4 y x'( ) 180  Phương trình tiếp tuyến là:y18(x4) 9 18  x81

 x0  1 y x'( )0 9 Phương trình tiếp tuyến là:y9(x1) 9 9x

 x0  2 y x'( ) 180  Phương trình tiếp tuyến là:y18(x 2) 9 18  x 27

Câu 36 Cho hàm số y x 3 3x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp

Phương trình tiếp tuyến: y3x1

Câu 37 Cho hàm số y x 3 3x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểmbằng 3

 x0  1 y x'( ) 00  Phương trình tiếp tuyến: y3

 x0  2 y x'( ) 90  Phương trình tiếp tuyến:

 x0  0 y x'( ) 00  Phương trình tiếp tuyến là: y1

 x0  2 y x'( ) 8 20  Phương trình tiếp tuyến

 x0  2 y x'( )0 8 2 Phương trình tiếp tuyến

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):( ; )0 0

Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có

x , có đồ thị là  C Tìm a, bbiết tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của  C và trục Ox có phương trình là 1 2

Câu 42 Cho hàm số y x 3 3x1 có đồ thị là  C Giả sử  d là tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành

độ x2, đồng thời  d cắt đồ thị  C tại N, tìm tọa độ N

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 2 tạo

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 25

2 .

A

232;

9287;

9287;

9287;

9287;

Ta có: 2

3'

2 2

g x tại điểm của hoành độ x0 bằng

nhau Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

Phương trình tiếp tuyến  tại M: y(6x02 6 )(x0 x x 0) 2 x03 3x02 1

 đi qua P(0;8) 84x303x021  x0 1 Vậy M( 1; 4) 

Câu 47 Phương trình tiếp tuyến của đường cong ( )

Phương trình tiếp tuyến y2x1

Câu 48 Tiếp tuyến của paraboly 4 x tại điểm 2 (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông Diệntích của tam giác vuông đó là:

A , giao Oy tại B(0;5) khi đó ( )d tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông

OAB vuông tại O

Diện tích tam giác vuông OAB là: 1 1 5 .5 25

x có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ M là:

Giao với trục hoành:   Ox=A 2 x01;0.

Giao với trục tung:  

0 2 0

2 0

0 0

y x x m (C Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (C m) m) tại điểm có hoành

độ x0 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt Tìm tọa độ các giao điểm.

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 0 đi

Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( 3)4 1 16

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : yy x'( )(0 x x 0 y x( )0

(trong đó x là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)).0

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  0; 0  C :

0 0 2

0 0

4

11

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 Mặt khác: y x' 0 0, nên có: y x' 0 1

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  0; 0  C :

0 0 2

0 0

4

11

Khoảng cách từ M x y đến trục  0; 0 Oybằng 2 suy ra x0 2, hay 2;2

Phương trình tiếp tuyến tại M2;6 là: y4x14

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 4 2,

x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp

tuyến với C tại hai điểm này vuông góc với nhau m

Để C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt m A B, thì phương trình  1 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 Tức là ta phải có:

'

11

Như vậy, tiếp tuyến tại A B, lần lượt có hệ số góc là   1

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC

Câu 1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3

x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

hoành bằng :

1.9

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d :y9x316 y169x3 

Câu 3 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

x tại giao điểm với trục tung bằng :

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5 Gọi  C là đồ thị của hàm số 4

x Tìm tọa độ các điểm trên  C mà tiếp tuyến tại đó với

 C vuông góc với đường thẳng có phương trình y x 4

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2  y x 0 2 2

0

32

52

x có đồ thị cắt trục tung tại A0; –1, tiếp tuyến tại A có hệ số góc k3.

x Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là ky 0 a b 3

 a  b

Câu 14 Điểm M trên đồ thị hàm số y x 3– 3x2–1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất

cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là

A M1; –3, k–3 B M1;3, k –3 C M1; –3, k3 D M1; –3 , k –3

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi M x y Ta có  0; 0 y 3x2 6x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là ky x 0 3x02  6x0 3x012 33

Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0 1, y0 3.

Câu 15 Cho hàm số y x 33x2 6x1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến:y18x81 và y18x 27

Câu 16 Cho hàm số y x 3 3x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

Ta có: y' 3 x2 3 Gọi M x y là tiếp điểm 0; 0

Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y x'( ) 00 

Hay x0 1 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y3,y1

Câu 18 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y2x4 4x21 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y48x1

Gọi M x y là tiếp điểm. 0; 0

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y48x1

y x x Gọi M x y là tiếp điểm 0; 0

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y6x1 nên ta có:

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Hàm số xác định với mọi x1 Ta có: 2

4'

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):( ; )0 0

Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d y: 4x1 nên ta có:

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với hai

trục tọa độ một tam giác vuông cân

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):( ; )0 0

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác yx, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y x'( )0 1 Mà y' 0,   x 1nên ta có

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với

 x0  0 y0 1, phương trình tiếp tuyến là:

y x x x có đồ thị là  C Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?

A Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

B Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

C Hàm số đi qua điểm M1;17

D Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có y x'( ) 3 x2 4x8

Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị  C vuông góc với nhau

Gọi x x tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó 1, 2

Gọi k k lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên 1, 2  C có hoành độ x x 1, 2

1, 2  1 1 2  1 3 1  4 18 3 2  4 28 1

Tam thức f t  3t2 4t8 có ' 0  nên f t    0 t R từ đó và từ  1 suy ra mâu thuẫn

Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)

Câu 24 Cho hàm số

2 3 12

22

Tại M2;0 Phương trình tiếp tuyến là y x 2.

Tại N2; 4 Phương trình tiếp tuyến là y x 6

Câu 28 Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) :C y x 33x2 8x1, biết tiếp tuyến đó songsong với đường thẳng :y x 2017?

Tại N3;25 Phương trình tiếp tuyến là y x 28.

Câu 29 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số y x 3 3x2là

Với x0  1 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y9x 7

Với x0  3 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y9x25

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn

Câu 31 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số  : 21

1





x y

x tại điểm có hoành độ x0 3 có hệ số góc bằng

Câu 33 Gọi  C là đồ thị hàm số 3 2 2 2

3

y x x Có hai tiếp tuyến của  C cùng song song với

đường thẳngy2x5 Hai tiếp tuyến đó là

0 0

4(1)3(3) 4

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn

Câu 37 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x( )x3 x 2 tại điểm M( 2; 8) là:

Đường thẳng  song song với đường thẳng d y: 2x 1 có dạng :y2x c (c -1). 

 là tiếp tuyến của  H 2 2 1 2x

Xét tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ x bất kì trên 0  C Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là

x song song với đường thẳng : 2x y 1 0

22

0( 1)

+ với x0  2 y0 3, PTTT tại điểm (2;3) là y2x 2 3 2x y  7 0

+ với x0  0 y0 1, PTTT tại điểm (0; 1) là y2x1 2x y  1 0.

Câu 42 Phương trình tiếp tuyến của  C : 3

+Gọi M x y là tiếp điểm ( ; )0 0

+ Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 1 8

27



 y x suy ra 0

y Phương trình tiếp tuyến có dạng : y4x2

Câu 44 Cho đường cong cos

y  và điểm M thuộc đường cong ĐiểmM nào sau đây có tiếp

tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng 1 5

Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau

Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc :   1sin

M N2; 3 Phương trình đường thẳng MN là : y2x1 Vậy hệ số góc của cát tuyến là 2

Câu 46 Cho hàm số y x 2 2x3, có đồ thị  C Tiếp tuyến của  C song song với đường thẳng

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến 1 ; 1 

n k , d có vec tơ pháp tuyến

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến có hệ số góc bằng 1

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  0; 0  C :

0 0 2

0 0

4

11

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d y: 4x1

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  0; 0  C :

0 0 2

0 0

4

11

Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: 4x1

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y4x2, y4x14

Câu 55 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,

1





x y

x biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y2x8,y2x

Câu 56 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,

1





x y

x biết tiếp tuyến song song với đường

x biết tiếp tuyến vuông góc với đường